1. Điều kiện có nghiệm không tầmthường. thường.
Chú ý: Ta luôn có: = , nên chỉ có hai khả năng:
= = : Hệ có nghiệm duy nhất (chính là nghiệm tầm thường).
= < : Hệ có vô số nghiệm Từ đó, ta có định lý:
Định lý: Hệ thuần nhất (n ẩn số) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi < .
Hệ quả:
Hệ thuần nhất với số PT bằng số ẩn có nghiệm không tầm thường khi và
chỉ khi = .
Hệ thuần nhất với số PT nhỏ hơn số ẩn luôn có nghiệm không tầm thường.
Một số ví dụ:
Ví dụ 1: (Bài 11 - Trang 200 - SGTr)
Nếu hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có hệ véc tơ cột của ma trận hệ số độc lập tuyến tính thì nó có nghiệm không tầm thường hay không? Tại sao?
Giải.
Hệ véc tơ cột của ma trận hệ số A độc lập tuyến tính thì = (n: số véc tơ cột = số cột = số ẩn). Vậy hệ không có nghiệm không tầm thường ∎
Ví dụ 2: (Bài 12 - Trang 200 - SGTr)
CMR: Nếu ma trận hệ số của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có hai cột tỷ lệ thì hệ phương trình đó có nghiệm không tầm thường.
Giải.
Nếu ma trận hệ số có hai cột tỷ lệ thì hệ véc tơ cột sẽ PTTT, nên <
⟹ hệ phương trình đó có nghiệm không tầm thường ∎
Ví dụ 3: (Bài 13 - Trang 200 - SGTr)
Ma trận hệ số của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 9 ẩn số có ma trận chuyển vị bằng ma trận đối của nó. Hệ phương trình đó có nghiệm không tầm thường hay không? Tại sao?
Giải.
Từ GT ta suy ra: = −
(Từ đây ta suy ra A vuông cấp 9)
Lấy định thức hai vế: ′ = −
⟹ = − ⟹ = −
⟹ =
Vậy hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thường (Hệ quả 1) ∎