Bài giảng toán cao cấp 4

Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ——————— ——————— BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Trần Văn Bằng Hà Nội, 15-10-2013 Mục lục Chương Tích phân phụ thuộc tham số 1.1 Tích phân xác định phụ thuộc tham số 1.1.1 Khái niệm 1.1.2 Tính liên tục, khả vi tính khả tích 1.2 Tích phân xác định phụ thuộc tham số với cận tích phân thay đổi 1.2.1 Khái niệm 1.2.2 Tính liên tục, khả vi tính khả tích 10 1.3 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 11 1.3.1 Sự hội tụ tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 12 1.3.2 Tính liên tục, tính khả vi tính khả tích 16 1.3.3 Một số hàm đặc biệt 19 Chương Tích phân đường 2.1 Đường cong biểu diễn tham số đường cong 2.1.1 Khái niệm đường cong R3 21 21 21 MỤC LỤC 2.1.2 Khái niệm đường cong Rn 2.2 Tích phân đường loại I 24 26 2.2.1 Tích phân đường loại I đường cong R3 26 2.2.2 Điều kiện khả tích cách tính 27 2.2.3 Tính chất 29 2.2.4 Ứng dụng tích phân đường loại I 30 2.2.5 Tích phân đường loại I đường cong Rn 31 2.3 Tích phân đường loại II 31 2.3.1 Định hướng đường cong 31 2.3.2 Tích phân đường loại II đường cong R3 33 2.3.3 Điều kiện khả tích cách tính 34 2.3.4 Tính chất 36 2.3.5 Tích phân đường loại II đường cong Rn 37 Chương Tích phân mặt 3.1 Mặt cong biểu diễn tham số mặt cong 39 39 3.1.1 Khái niệm mặt cong R3 39 3.1.2 Khái niệm mặt cong Rn 44 3.2 Tích phân mặt loại I 46 3.2.1 Tích phân mặt loại I mặt cong R3 46 3.2.2 Điều kiện khả tích cách tính 47 3.2.3 Tính chất 49 3.2.4 Ứng dụng tích phân mặt loại I 50 3.2.5 Tích phân mặt loại I mặt cong Rn 50 MỤC LỤC 3.3 Tích phân mặt loại II 51 3.3.1 Mặt cong phía mặt cong hai phía 51 3.3.2 Định hướng mặt cong 53 3.3.3 Khái niệm tích phân mặt loại II 55 3.3.4 Tính chất 57 3.3.5 Ý nghĩa Vật lý tích phân mặt loại II 58 3.3.6 Tích phân mặt loại II Rn 59 3.4 Liên hệ tích phân đường, tích phân mặt tích phân bội 59 3.4.1 Công thức Green 59 3.4.2 Công thức Stokes 63 3.4.3 Công thức Ostrogradski 65 3.5 Đại cương lý thuyết trường 66 3.5.1 Trường vô hướng 66 3.5.2 Trường véc tơ 68 3.5.3 Các toán tử vi phân tác động trường 69 3.5.4 Bài tập 72 MỤC LỤC Chương Tích phân phụ thuộc tham số Chương nhằm giới thiệu cho người học cách cho hàm số mới, hàm sơ cấp, hàm số cho dạng tích phân phụ thuộc tham số Đồng thời trình bày số kết điều kiện đủ tính liên tục, tính khả vi, tính khả tích chúng 1.1 Tích phân xác định phụ thuộc tham số 1.1.1 Khái niệm Cho Y ⊂ R Giả sử f (x, y) hàm số xác định [a, b] × Y cho với y ∈ Y cố định, hàm f (x, y) khả tích theo biến x Bài giảng Toán cao cấp đoạn [a, b] Đặt b I(y) = f (x, y)dx, y ∈ Y (1.1) a Hàm số I(y) tập Y, xác định gọi tích phân phụ thuộc tham số hàm f (x, y) đoạn [a, b] Ví dụ 1.1 Cho hàm số f (x, y) = |x − y|    2(1 − y)   I(y) = |x − y|dx = −y − 2y +    2(y − 1) [0, 2] × R Ta có y < ≤ y ≤ y > Nhận xét 1.1 Trên tích phân phụ thuộc tham số, tính cách tường minh tích phân theo x Nói cách khác, biểu diễn I(y) thông qua hàm sơ cấp nhờ số hữu hạn phép toán sơ cấp hàm Từ dạng cụ thể đó, chúng dễ dàng khảo sát tính liên tục, khả vi khả tích I(y) Tuy nhiên, nói chung lúc Khi muốn khảo sát tính chất liên tục, khả vi, khả tích I(y) làm nào? Dưới bàn vấn đề 1.1.2 Tính liên tục, khả vi tính khả tích Trong mục giả thiết f (x, y) xác định hình chữ nhật [a, b] × [c, d], tức Y = [c, d] Định lý 1.1 (Tính liên tục) Nếu hàm f (x, y) xác định liên tục hình chữ nhật [a, b] × [c, d] tích phân phụ thuộc tham số I(y) Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội xác định (1.1) hàm liên tục [c, d] Chứng minh Xem [4], Định lý 14.VIII, trang 41 Ví dụ 1.2 Xét tính liên tục tích phân phụ thuộc tham số sau đoạn [−1, 2] sin(x2 y )dx I(y) = Áp dụng tính giới hạn limy→0 I(y) =? Ta thấy hàm f (x, y) = sin(x2 y ) liên tục hình chữ nhật [1, 2] × [−1, 2] nên I(y) liên tục [−1, 2] Từ ta có lim I(y) = I(0) = 0dx = y→0 Định lý 1.2 (Tính khả vi) Cho hàm f (x, y) xác định hình chữ nhật [a, b]×[c, d], liên tục theo x ∈ [a, b] với y ∈ [c, d] cố định Nếu ∂f f (x, y) có đạo hàm riêng liên tục hình chữ nhật [a, b] × [c, d] ∂y tích phân phụ thuộc tham số I(y) xác định (1.1) hàm khả vi [c, d] Hơn ta có b ∂f (x, y)dx ∂y I (y) = a Chứng minh Xem [4], Định lý 15.VIII, trang 42 Ví dụ 1.3 Xét tính khả vi tích phân phụ thuộc tham số cho Ví dụ 1.2 Nêu công thức tính đạo hàm (nếu khả vi) Bài giảng Toán cao cấp Dễ dàng kiểm tra rằng, hàm f (x, y) = sin(x2 y ) xác định hình chữ nhật [1, 2] × [−1, 2], liên tục theo x ∈ [1, 2] với ∂f y ∈ [−1, 2] có đạo hàm riêng = 3x2 y cos(x2 y ) liên tục ∂y hình chữ nhật [1, 2] × [−1, 2] Do I(y) khả vi [−1, 2] 3x2 y cos(x2 y )dx, I (y) = y ∈ [c, d] Định lý 1.3 (Tính khả tích) Nếu hàm f (x, y) xác định liên tục hình chữ nhật [a, b] × [c, d] tích phân phụ thuộc tham số I(y) xác định (1.1) hàm khả tích [c, d] Hơn ta có    d  b b d d     f (x, y)dy dx I(y)dy = f (x, y)dx dy =     c c a a c hay d b dy c b f (x, y)dx = a d dx a f (x, y)dy c Chứng minh Xem [4], Định lý 16.VIII, trang 44 Ví dụ 1.4 Cho < a < b tính tích phân sau đây: I(a, b) = xb − x a dx ln x Trước hết để ý rằng, ta tìm nguyên hàm hàm dấu tích phân, để tính tích phân phải tìm cách khác Cụ thể, ta có b xb − xa = ln x xy dy, a Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội nên I(a, b) = b xy dy dx a Vì hàm f (x, y) = xy liên tục hình chữ nhật [0, 1] × [a, b] (nếu quy ước 0y = 1y = 1) Do theo Định lý 1.3, b I(a, b) = b a b+1 dy = ln y+1 a+1 xy dx = dy a 1.2 Tích phân xác định phụ thuộc tham số với cận tích phân thay đổi 1.2.1 Khái niệm Cho D := [a, b] × [c, d] hai đường cong C1 , C2 nằm hình chữ nhật D, có phương trình tướng ứng: x = a(y), x = b(y), y ∈ [c, d] Giả sử f (x, y) hàm số xác định D, khả tích theo biến x đoạn [a, b] với y ∈ [c, d] cố định Đặt b(y) I(y) = f (x, y)dx, y ∈ [c, d] (1.2) a(y) Cũng mục trước, cần khảo sát tính liên tục, tính khả vi tính khả tích hàm số I(y) xác định (1.2) Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội 59 3.3.6 Tích phân mặt loại II Rn Khái quát hóa khái niệm tích phân mặt loại II hàm véc tơ → − F = (F1 , F2 , F3 ) mặt cong định hướng Σ ⊂ R3 , ta có khái niệm tích phân mặt loại II hàm véc tơ → − F (x) = (F1 (x), F2 (x), · · · , Fn (x)), x = (x1 , · · · , xn ) ∈ Rn mặt cong định hướng Σ ⊂ Rn dựa theo mối liên hệ tích phân mặt loại II tích phân mặt loại I (3.9) Cụ thể: → − → − F dS = Σ+ → − → F − n dS Σ 3.4 Liên hệ tích phân đường, tích phân mặt tích phân bội 3.4.1 Công thức Green Miền D ⊂ R2 gọi miền đơn liên đường cong Jordan kín Γ nằm D giới hạn miền bị chặn DΓ ⊂ D Về trực giác, miền đơn liên miền mà bên "lỗ thủng." Một miền miền đơn liên gọi miền đa liên Như vậy, trực giác miền đa liên miền có lỗ thủng Nếu có lỗ thủng biên D có hai thành phần liên thông nên gọi miền nhị liên Miền có hai lỗ thủng biên D có ba thành phần liên thông nên gọi miền tam liên, , miền có n − lỗ thủng gọi miền n liên 60 Bài giảng Toán cao cấp Nếu D ⊂ R2 miền bị chặn với biên Γ Khi ta quy ước hướng dương Γ hướng cho ta biên theo hướng thấy miền D bên trái Định lý 3.4 (Công thức Green) Giả sử D ⊂ R2 miền đơn liên, bị chặn, với biên Γ trơn khúc, P (x, y), Q(x, y) hai hàm khả vi liên tục D = D ∪ Γ Khi ta có công thức Green sau ∂Q ∂P − ∂x ∂y P (x, y)dx + Q(x, y)dy = Γ+ dxdy (3.10) D Chứng minh Xem [4], Định lý 2.X, trang 180 Chú ý: Công thức Green miền đa liên có biên trơn khúc Hệ 3.1 hq:3.4.1 Nếu D ⊂ R2 miền bị chặn, với biên Γ trơn khúc diện tích D cho công thức S(D) = −ydx + xdy Γ+ Chứng minh Áp dụng công thức Green với hàm P = −y, Q = x ta có −ydx + xdy = Γ+ 2dxdy = 2S(D) D Từ ta có kết luận hệ Ví dụ 3.8 Tính diện tích miền ellipse D giới hạn đường ellipseΓ : x2 a2 + y2 b2 = Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội 61 Theo hệ ta có −ydx + xdy S(D) = Γ+ Phương trình tham số Γ : x = a cos t, y = b sin t, t ∈ [0, 2π] Do đó, 2π S(D) = [−(b sin t)(a cos t) + (a cos t)(b sin t) ]dt 2π = ab dt = πab Định lý 3.5 (Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc vào đường lấy tích phân) Giả sử D miền đơn liên, P (x, y), Q(x, y) hai hàm khả vi liên tục miền D Khi mệnh sau tương đương: 1, ∂Q ∂x ≡ ∂P ∂y D; P (x, y)dx + Q(x, y)dy = với đường cong Γ kín, trơn 2, Γ khúc nằm D; P (x, y)dx + Q(x, y)dy cung trơn khúc AB không kín 3, AB nằm hoàn toàn D, phụ thuộc vào điểm đầu điểm cuối A, B ∈ D mà không phụ thuộc vào đường nối A với B; 4, Tồn hàm U (x, y) ∈ C (D) cho dU (x, y) = P (x, y)dx+ Q(x, y)dy D Nói cách khác, tồn nguyên hàm U (x, y) biểu thức vi phân P (x, y)dx + Q(x, y)dy 62 Bài giảng Toán cao cấp Chứng minh Xem [4], Định lý 3.X, trang 183 Chú ý: Nếu tích phân đường I = P (x, y)dx + Q(x, y)dy không phụ AB thuộc vào đường cong nối A với B ta kí hiệu là: B I= P (x, y)dx + Q(x, y)dy A Khi đó, U (x, y) nguyên hàm biểu thức vi phân P (x, y)dx + Q(x, y)dy ta có công thức tính: B P (x, y)dx + Q(x, y)dy = u|B A = u(A) − u(B) (3.11) A tích phân xác định Vấn đề tìm nguyên hàm U (x, y) Câu trả lời cho hệ sau: Hệ 3.2 Cho D mặt phẳng R2 nửa mặt phẳng với bờ đường tọa độ Khi đó, U (x, y) ∈ C (D) nguyên hàm biểu thức vi phân P (x, y)dx + Q(x, y)dy D, với P, Q ∈ C (D) ta có: U (x, y) = x    P (x, y)dx + x0 x y Q(x0 , y)dy + C, y0    P (x, y0 )dx + x0 (x, y) ∈ D, y Q(x, y)dy + C, y0 (x0 , y0 ) ∈ D điểm cố định Ví dụ 3.9 Tính tích phân đường loại II sau đây: (ex + y)dx + (x − sin y)dy, I= AB Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội 63 AB đường cong trơn khúc nối A(1, 0) với điểm B(2, −1) Trong tích phân ta có P = ex + y, Q = x − sin y hàm thuộc C (R2 ) ∂Q ∂P =1= , ∂x ∂y ∀(x, y) ∈ R2 Do theo Định lý 3.5 tồn nguyên hàm U (x, y) P dx + Qdy R2 theo Hệ 3.2, chọn (x0 , y0 ) = (0, 0) ta có y x (ex + y)dx + U (x, y) = sin ydy = ex + xy − cos y − Theo (3.11), I = U (B) − U (A) = e2 − e − cos − 3.4.2 Công thức Stokes Giả sử Σ mặt cong trơn R3 , định hướng dương − véc tơ pháp tuyến đơn vị → n , với biên đường cong Γ Khi ta quy ước hướng dương Γ phù hợp với hướng dương mặt Σ − hướng cho ta đứng theo hướng → n dọc Γ theo hướng thấy điểm Σ gần nằm bên trái Giả sử mặt cong Σ có biểu diễn tham số γ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ D phù hợp với hướng dương Σ Khi điểm (u, v) chạy biên ∂D miền D theo hướng dương điểm γ(u, v) chạy biên Γ Σ theo hướng dương 64 Bài giảng Toán cao cấp Định lý 3.6 (Stokes) Cho Σ ⊂ R3 mặt cong trơn, định hướng − dương véc tơ pháp tuyến đơn vị → n , với biên đường cong Γ trơn khúc, định hướng dương phù hợp với hướng dương Σ Giả sử P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) hàm khả vi liên tục miền Ω ⊃ Σ Khi ta có công thức Stokes sau: ∂R ∂Q − ∂y ∂z P dx + Qdy + Rdz = Γ+ dydz + ∂P ∂R − ∂z ∂x + ∂P ∂Q − ∂x ∂y dzdx Σ+ (3.12) dxdy Chứng minh Xem [4], Định lý 4.X, trang 189 Ví dụ 3.10 Tính tích phân đường loại II: I= ydx + zdy + xdz, Γ+ Γ+ giao tuyến mặt cầu x2 +y +z = a2 với mặt phẳng x + y + z = 0, với hướng dương hướng ngược chiều kim đồng hồ nhì từ phái dương trục Oz Khó khăn tính trực tiếp tích phân nằm khâu viết phương trình tham số Γ Vì ta nghĩ tới việc sử dụng công thức Stokes Lúc này, ta gọi Σ phần mặt phẳng x + y + z = giới hạn Γ, với hướng dương phù hợp với hướng dương Γ Cụ thể phía mặt phẳng → − Véc tơ pháp tuyến hướng lên mặt phẳng N = (1, 1, 1) − nên véc tơ pháp tuyến đơn vị → n = ( √1 , √1 , √1 ) 3 Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội 65 Theo Định lý Stokes, −dydz − dzdx − dxdy I= Σ+ √ √ √ − 3dS = − 3S(Σ) = − 3πa2 = Σ 3.4.3 Công thức Ostrogradski Trong mục vừa thấy mối liên hệ tích phân đường loại II biên mặt cong tích phân mặt loại II mặt cong Công thức Ostrogradski sau mối liên hệ tích phân mặt loại II biên miền R3 với tích phân bội ba miền Định lý 3.7 (Ostrogradski) Cho Ω ⊂ R3 miền bị chặn với biên Σ mặt cong trơn mảnh, định hướng dương véc tơ pháp tuyến hướng miền Ω Giả sử P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) hàm thuộc lớp C (Ω) Khi ta có công thức Ostrogradski sau đây: ∂P ∂Q ∂R + + ∂x ∂y ∂z P dydz + Qdzdx + Rdxdy = Σ+ dxdydz, (3.13) Ω Chứng minh Xem [4], Định lý 5.X, trang 191 Hệ 3.3 Cho Ω ⊂ R3 miền bị chặn với biên Σ mặt cong trơn mảnh, định hướng dương véc tơ pháp tuyến hướng miền Ω Khi ta có công thức tính thể tích Ω sau: V (Ω) = xdydz + ydzdx + zdxdy Σ+ 66 Bài giảng Toán cao cấp Chứng minh Áp dụng công thức Ostrogradski với hàm P = x, Q = y, R = z ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3.11 Tính tích phân mặt loại II sau: x3 dydz + y dzdx + z dxdy, I= Σ Σ phía mặt cầu x2 + y + z = a2 Áp dụng công thức Ostrogradski ta có: (x2 + y + z )dxdydz, I=3 Ω với Ω khối cầu giới hạn Σ : x2 + y + z ≤ a2 Đổi sang hệ tọa độ cầu ta có a π I=3 r dr 2π sin θdθ dϕ = 12 πa 3.5 Đại cương lý thuyết trường Trong mục giới thiệu khái niệm liên quan tới trường vô hướng trường véc tơ, khái niệm Vật lý, với ứng dụng Vật lý công thức toán học nêu 3.5.1 Trường vô hướng Định nghĩa 3.5 Trường vô hướng phần không gian Ω ⊂ R3 mà điểm M ứng với đại lượng vô hướng f (M ) Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội 67 • Cho trường vô hướng có nghĩa cho hàm số f : Ω → R Vì giá trị f đại lượng vô hướng nên gọi hàm vô hướng • Trong hệ tọa độ Descartes Oxyz, ta thường viết f (M ) = f (x, y, z) • Nếu hàm vô hướng f (M ) trường không đổi theo thời gian ta nói ta có trường dừng Nếu f phụ thuộc vào thời gian ta có trường không dừng hay trường thay đổi, f (M, t) Ở đây, đề cập tới trường dừng • Để biểu diễn hình học trường vô hướng ta dùng mặt mức, tập hợp điểm Ω mà trường vô hướng có giá trị không đổi: Lc (f ) := {(x, y, z) ∈ Ω : f (x, y, z) = c} Ví dụ 3.12 Trường mật độ vật rắn không đồng chất ρ(M ) điều kiện bình thường trường vô hướng dừng Trong trường nhiệt độ thường trường vô hướng không dừng Ví dụ 3.13 Tìm mặt mức trường vô hướng f (x, y, z) = x2 + y + z Theo định nghĩa, ta thấy mặt mức f tập: Lc (f ) = {(x, y, z) : x2 + y + z = c} tập rỗng c < 0, tập điểm (0, 0, 0) c = mặt √ cầu bán kính c c > 68 Bài giảng Toán cao cấp Đối với trường vô hướng f tích phân loại I: f (x, y, z)dL, Γ f (x, y, z)dS Σ có ý nghĩa tương ứng tổng giá trị f đường cong Γ mặt cong Σ 3.5.2 Trường véc tơ Định nghĩa 3.6 Trường véc tơ phần không gian Ω ⊂ R3 mà điểm M ứng với đại lượng véc tơ → − → − → − → − F (M ) = P (M ) i + Q(M ) j + R(M ) k = (P (M ), Q(M ), R(M )) → − • Cho trường véc tơ có nghĩa cho hàm véc tơ F : Ω → R3 → − → − • Trong hệ tọa độ Descartes Oxyz, ta thường viết F (M ) = F (x, y, z) • Để biểu diễn hình học trường véc tơ ta dùng đường véc tơ, đường không gian mà điểm M đường → − véc tơ F (M ) nằm tiếp tuyến Ví dụ 3.14 Tìm đường véc tơ trường véc tơ − → − → − → − → F (M ) = x i + j + k Giả sử đường véc tơ Γ có phương trình tham số x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ [a, b] Khi đó, véc tơ tiếp tuyến Γ điểm (x(t), y(t), z(t)) → − → − → − → − T = x (t) i + y (t) j + z (t) k Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội 69 → − → − Theo định nghĩa, ta có T phương với F (x(t), y(t), z(t)) hay    x (t) = kx(t),   y (t) = k2    z (t) = k Từ ta có x = ekt + C1 , y = 2kt + C2 , z = kt + C3 → − Đối với trường véc F tích phân đường loại II: → − → − F (x, y, z)d L A := Γ+ → − → − có ý nghĩa tương ứng lưu số F đường cong Γ+ Khi F trường lực lưu số biết công sinh trường lực → − F dọc theo Γ+ Trong tích phân mặt loại II: → − → − F (x, y, z)d S Φ := Σ+ → − → − có ý nghĩa lưu thông F qua mặt cong định hướng Σ+ Khi F trường vận tốc dòng chất lỏng chảy chế độ ổn định (dừng) lưu thông biết thông lượng dòng chất lỏng qua bề mặt Σ+ 3.5.3 Các toán tử vi phân tác động trường Cho Ω ⊂ R3 miền 70 Bài giảng Toán cao cấp a, Đối với trường vô hướng f : Ω → R ta có toán tử vi phân sau: i, Toán tử gradient: Nếu f ∈ C (Ω) gradient f trường véc tơ xác định −−→ gradf (x, y, z) := ∂f ∂f ∂f , , ∂x ∂y ∂z , (x, y, z) ∈ Ω −−→ Dễ thấy, gradf (M ) véc tơ pháp tuyến với mặt mức f qua M − (M ) tốc Hơn nữa, → p ∈ R3 véc tơ khác không ∂∂f− → p − độ biến đổi f theo hướng → p điểm M ∈ Ω Có thể thấy −−→ − tốc độ đạt giá trị lớn → p phương với gradf (M ) ii, Toán tử Laplace: Nếu f ∈ C (Ω) Laplace f trường vô hướng xác định ∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f + + 2, ∆f (x, y, z) := ∂x2 ∂y ∂z (x, y, z) ∈ Ω Toán tử dùng nhiều lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Ví dụ 3.15 Cho trường vô hướng f (x, y, z) = x2 + y + z Tính −−→ gradf ∆f ? −−→ Ta có: gradf = (2x, 2y, 2z) ∆f = → − b, Đối với trường véc tơ F : Ω → R3 ta có toán tử vi phân sau: → − i, Toán tử divergence: Nếu F = (P, Q, R) ∈ C (Ω) divergence → − F trường vô hướng xác định → − ∂P ∂Q ∂R div F (x, y, z) := + + , (x, y, z) ∈ Ω ∂x ∂y ∂z Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội 71 → − Toán tử dùng để đo mức độ phát tán trường véc tơ F Nếu → − → − div F (M ) > ta nói điểm M điểm nguồn trường F Nếu → − → − div F (M ) < ta nói điểm M điểm hút trường F → − → − ii, Toán tử rota: Nếu F = (P, Q, R) ∈ C (Ω) rota F trường véc tơ xác định − − →→ rot F (x, y, z) := ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P − , − , − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y , (x, y, z) ∈ Ω → − Toán tử dùng để đo mức độ xoáy trường véc tơ F quanh điểm − → − → − − →→ M Nếu rot F (M ) ≡ ta nói trường F trường không xoáy → − − − →→ Ví dụ 3.16 Tính div F rot F với → − → − → − → − F =x i +y j +zk → − − → − − →→ Ta có div F = rot F = Với kí hiệu nêu, phát biểu lại công thức Stokes Ostrogradski sau Định lý 3.8 (Stokes) Cho Σ ⊂ R3 mặt cong trơn, định hướng − dương véc tơ pháp tuyến đơn vị → n , với biên đường cong Γ trơn khúc, định hướng dương phù hợp với hướng dương Σ Giả sử → − F trường véc tơ khả vi liên tục miền Ω ⊃ Σ Khi ta có công thức Stokes sau: → − → − F dL = Γ+ − → − − →→ (rot F )d S = Σ+ − − − →→ (rot F → n )dS Σ Định lý định luật bảo toàn Vật lý Nó nói → − rằng: Lưu số trường véc tơ F dọc theo biên mặt cong − − →→ định hướng lưu thông trường véc tơ rot F qua mặt cong 72 Bài giảng Toán cao cấp Định lý 3.9 (Ostrogradski) Cho Ω ⊂ R3 miền bị chặn với biên Σ mặt cong trơn mảnh, định hướng dương véc tơ → − pháp tuyến hướng miền Ω Giả sử F trường véc tơ khả vi liên tục Ω Khi ta có công thức Ostrogradski sau đây: → − → − F dS = Σ+ → − (div F )dxdydz Ω Định lý định luật bảo toàn: Lưu thông → − trường véc tơ F qua phía biên Σ+ miền Ω tổng → − độ phát tán trường véc tơ F miền 3.5.4 Bài tập Bài 3.1 Vẽ mặt mức trường vô hướng f = x2 + y2 + z2 Bài 3.2 Vẽ mặt mức trường vô hướng f = x2 + y − z Bài 3.3 Tìm đường véc tơ trường véc tơ F = (x + 1)i + 3j + (1 − 2z)k Bài 3.4 Tìm đường véc tơ trường E = kqr r3 điện tích điểm q, r khoảng cách từ điểm quan sát đến điện tích điểm Bài 3.5 CMR đường véc tơ trường không đổi F = p đường thẳng song song Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2003), Toán cao cấp, Tập 3, NXBGD [2] Nguyễn Thừa Hợp (2007), Giải tích, Tập 2, NXB ĐHQGHN [3] Nguyễn Thừa Hợp (2007), Giải tích, Tập 3, NXB ĐHQGHN [4] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn (2001), Giáo trình Giải tích, Tập 3, NXB ĐHQGHN [5] Nguyễn Xuân Liêm (2004), Giải tích, Giáo trình lý thuyết tập, Tập 1, NXBGD [6] Y Y Liasko, A C Boiatruc, IA G Gai, G P Golovac (1979), Giải tích toán học, ví dụ tập, Phần II, Tập I, NXB ĐH&THCN [7] Nguyễn Duy Tiến (2004), Bài giảng Giải tích, Tập I, NXB ĐHQGHN [...]... [4] , Định lý 19.VIII, trang 54 Định lý 1.7 (Weierstrass) Giả sử tồn tại hàm ϕ(x) không âm trên [a, +∞) sao cho |f (x, y)| ≤ ϕ(x), ∀(x, y) ∈ [a, +∞) × Y +∞ +∞ ϕ(x)dx hội tụ thì tích phân Khi đó, nếu tích phân a f (x, y)dx hội a tụ đều trên Y Chứng minh Xem [4] , Định lý 20.VIII, trang 55 Ví dụ 1.7 Xét sự hội tụ đều của tích phân +∞ cos xy dx, 1 + x2 I(y) = 0 y ∈ (−∞, +∞)  14 Bài giảng Toán cao cấp 4. ..10 Bài giảng Toán cao cấp 4 1.2.2 Tính liên tục, khả vi và tính khả tích Định lý 1 .4 (Tính liên tục) Nếu hàm f (x, y) xác định và liên tục trong hình chữ nhật D, các hàm a(y), b(y) liên tục trên đoạn [c, d] thì tích phân phụ thuộc tham số I(y) xác định bởi (1.2) là hàm liên tục trên [c, d] Chứng minh Xem [4] , Định lý 17.VIII, trang 47 Ví dụ 1.5 Xét tính liên tục của... những hàm có nhiều ứng dụng trong toán học, đặc biệt là trong khi giải các phương trình vật lý toán 20 Bài giảng Toán cao cấp 4 Chương 2 Tích phân đường 2.1 Đường cong và biểu diễn tham số của đường cong 2.1.1 Khái niệm đường cong trong R3 Trong thực tế, khi nói tới đường cong, chúng thường nghĩ ngay tới một "đường không thẳng, liên tục" trong không gian Tuy nhiên, để tính toán được với đường cong thì... I(y) khả vi trên đoạn [c, d] và ta có +∞ ∂f (x, y)dx, ∂y I (y) = y ∈ [c, d] a Chứng minh Xem [4] , Định lý 25.VIII, trang 65 Ví dụ 1.10 Tính tích phân Dirichlet sau: +∞ sin x dx x I= 0 18 Bài giảng Toán cao cấp 4 Đây cũng là một trong những tích phân mà hàm dưới dấu tích phân có nguyên hàm không phải là hàm sơ cấp Để tính tích phân này, chúng ta có thể sử dụng tích phân suy rộng phụ thuộc tham số như... −→ AM = tAB với 0 ≤ t ≤ 1 Từ đây ta có phương trình tham số của AB : x = 1 − t; y = 2 − 3t; z = 3 − t; t ∈ [0, 1] 24 Bài giảng Toán cao cấp 4 và độ dài đoạn thẳng AB là: 1 (−1)2 L(AB) = + (−3)2 + (−1)2 dt = √ 11 0 b, Viết phương trình tham số và tính độ dài của đường tròn: x2 + y 2 = 4, z = 0 Ta có thể tìm phương trình tham số của đường tròn này dựa trên việc đổi sang hệ tọa độ trụ x = r cos ϕ, y =... (x, y)g(x)dx hội tụ đều trên Y a Chứng minh Xem [4] , Định lý 22.VIII, trang 59 Ví dụ 1.9 Xét sự hội tụ đều của tích phân suy rộng phụ thuộc tham số +∞ e−xy I(y) = sin x dx trên [0, +∞) x 0 Đặt f (x, a) = e−xy Với mỗi y ≥ 0 cố định, f (x, y) đơn điệu, liên tục theo x trên [0, +∞), có đạo hàm riêng ∂f ∂x = −ye−xy liên tục theo 16 Bài giảng Toán cao cấp 4 x ∈ [0, +∞) với mỗi y ∈ Y cố định, bị chặn đều... biết phương trình của đường cong Γ ⊂ R2 dưới dạng y = y(x), x ∈ [a, b] thì ta có thể coi x là tham số Khi đó ta có phương 26 Bài giảng Toán cao cấp 4 trình tham số của Γ là x = x, x ∈ [a, b] y = y(x), Khi đó ta nhận được công thức tính độ dài của Γ : b 1 + y 2 (x)dx L(Γ) = (2 .4) a 2.2 Tích phân đường loại I 2.2.1 Tích phân đường loại I trên đường cong trong R3 Giả sử Γ là đường cong trơn hay trơn từng... y, z)dL + Γ αf (x, y, z)dL = α Γ Γ f (x, y, z)dL, Γ g(x, y, z)dL; α ∈ R 30 Bài giảng Toán cao cấp 4 Tính chất 2: Giả sử Γ = Γ1 ∪ Γ2 là một đường cong trơn hoặc trơn từng khúc Nếu f (x, y, z) là hàm khả tích trên các đường cong Γ1 , Γ2 thì f cũng khả tích trên Γ và f (x, y, z)dL = Γ f (x, y, z)dL + Γ1 f (x, y, z)dL Γ2 2.2 .4 Ứng dụng của tích phân đường loại I Giả sử Γ ⊂ R3 là đường cong tương ứng với... > 0 sao cho với mọi phép phân hoạch TN của đường cong Γ mà d(TN ) < δ và với mọi cách chọn Mi∗ ∈ Mi−1 Mi ta có |S(TN , Mi∗ ) − I| < ε Khi đó ta kí hiệu I= lim S(TN , Mi∗ ) d(TN )→0 (2.7) 34 Bài giảng Toán cao cấp 4 → − Nếu giới hạn (2.7) tồn tại hữu hạn thì ta nói hàm véc tơ F (x, y, z) khả tích trên đường cong Γ và giới hạn I được gọi là tích phân đường loại II → − của hàm véc tơ F (x, y, z) hay của... cách tính Định lý 2.1 (Điều kiện khả tích) Giả sử Γ là đường cong trơn, f (x, y, z) là hàm số liên tục trên Γ Khi đó tồn tại tích phân đường loại I của f (x, y, z) trên Γ : f (x, y, z)dL Γ 28 Bài giảng Toán cao cấp 4 Chứng minh Định lý 2.2 (Cách tính tích phân) Nếu Γ là đường cong trơn hay trơn từng khúc, có phương trình tham số x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ [a, b] và f (x, y, z) khả tích trên Γ Khi