Bài giảng toán cao cấp 2

Bài giảng Tốn cao cấp II 2019-2020 BỘ MƠN TỐN HỌC – TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI Bài giảng Toán cao cấp II - BÀI HÀM MỘT BIẾN I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Định nghĩa hàm biến: Cho D  R, D   Hàm f ( x) quy tắc cho tương ứng với x  D cho trước với số thực Ký hiệu f :Dℝ x ֏ y  f ( x) Khi  x gọi đối số hay biến độc lập  D gọi tập xác định f ( x)  Số f ( x) gọi giá trị f x  Tập f ( X )   y  ℝ y  f ( x), x  X  gọi tập giá trị f ( x) Một số phương pháp xác định hàm số - Hàm số cho biểu thức giải tích - Hàm số xác định khúc:  x2 x 1 Ví dụ: f ( x )   2 x  x  - Hàm ẩn: y hàm x xác định phương trình F ( x, y )  Khi y gọi hàm ẩn x Hàm số đơn điệu Cho hàm số f ( x) xác định khoảng I f ( x) gọi tăng I a, b  I mà a  b  f (a)  f (b) f ( x) gọi giảm I a, b  I mà a  b  f (a)  f (b) f ( x) gọi không tăng I a, b  I mà a  b  f (a)  f (b) f ( x) gọi không giảm I a, b  I mà a  b  f (a)  f (b) Chú ý: Hàm tăng (giảm) hàm đồng biến (nghịch biến) gọi chung hàm đơn điệu II HÀM NGƯỢC Hàm 1-1 Định nghĩa: Một hàm gọi tương ứng 1-1 tập xác định tập giá trị (gọi tắt hàm 1-1) với x1 , x2 mà Bài giảng Tốn cao cấp II - x1  x2 f ( x1 )  f ( x2 ) Ví dụ Xét hàm số sau xem có phải hàm 1-1 không: a, g ( x)  x3 b, f ( x )  x Nhận xét: Hàm đơn điệu hàm 1-1 Một hàm hàm 1-1 đường thẳng song song với 0x cắt đồ thị hàm số điểm Hàm ngược Định nghĩa Cho f ( x) hàm 1-1 với tập xác định A tập giá trị B Khi hàm ngược f 1 ( x ) hàm có tập xác định B, tập giá trị A f 1 ( x) xác định sau f 1 ( y )  x  f ( x )  y, y  B Chú ý: Không nhầm lẫn f 1 ( x) với f ( x) x  A y  f ( x) f 1 ( y )  f 1 ( f ( x))  x Ví dụ Tìm hàm ngược hàm a, f ( x)  x  b, y  1  x Một số hàm ngược hàm biết a Hàm y  a x có hàm ngược hàm y  log a x b     Hàm y  sin x :  ,   1,1 ,  2      có hàm ngược y  sin 1 x :  1,1   ,  2  Ta ký hiệu sin 1 x  arcsin x Ta có y  sin 1 x  x  sin y c Hàm y  cos x :  0,     1,1 , có hàm ngược y  cos 1 x : [-1; 1]   0,   Ta ký hiệu cos 1 x  arccos x  [f ( x)]1 f ( x) Bài giảng Toán cao cấp II - Ta có y  cos 1 x  x  cos y d     Hàm y  tan x :  ,   R hàm 1-1 có hàm ngược y  tan 1 x : 2      R ,  Ta ký hiệu tan 1 x  arctan x  2 e Hàm y  cot x :  0,    R hàm 1-1, có hàm ngược y  cot 1 x : R   0,   Ta ký hiệu cot 1 x  arccot x y  cot 1 x  x  cot y III CÁC HÀM SỐ TRONG KINH TẾ Hàm Cung hàm Cầu biểu diễn phụ thuộc lượng cung lượng cầu loại hàng hóa vào giá hàng hóa điều kiện yếu tố khác không đổi Qs  S ( p ) , Qd  D ( p ) Quy luật thị trường kinh tế: Hàm cung hàm đồng biến theo P, hàm cầu hàm nghịch biến theo P Giao điểm hai đường gọi điểm cân thị trường Hàm sản xuất Q: Q  f ( L) với Q lượng sản phẩm, L lao động Hàm doanh thu: R  R (Q) Doanh thu = Giá bán x số sản phẩm bán Hàm chi phí C  C (Q) Chi phí = Chi phí cố định + chi phí biến động Chi phí cố định chi phí thuê mặt bằng… Chi phí biến đổi = giá mua x Số sản phẩm Hàm lợi nhuận: Lợi nhuận = Doanh thu – Chi phí    (Q)  R(Q)  C (Q) Ví dụ: Một quán bún bình dân có chi phí sau: Mặt 250.000đ/ngày Bún 1.500đ/tơ Gia vị 1.000đ/tơ Bài giảng Tốn cao cấp II - Thịt 10.000/tơ Nhân viên 2.500đ/tơ Qn bán với giá 25.000 đồng tơ Hãy tính xem qn bán tơ ngày có lãi Một hãng cho th xê tơ với giá 10.000/km quãng đường không 100km Nếu quãng đường vượt 100km giá thuê tăng thêm 3.500 nghìn/km Gọi x số km xe thuê chạy hàm C(x) chi phí thuê xe Hãy xây dựng hàm chi phí C(x) vẽ đồ thị Bài giảng Toán cao cấp II - BÀI DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN I- BÀI TOÁN LÃI ĐƠN, LÃI GỘP Bài toán lãi đơn Nếu ta cho vay số tiền v0 , lãi suất kỳ r Cuối kỳ lãi rút ra, gọi lãi đơn Hỏi sau n kỳ số tiền có bao nhiêu? Số tiền có sau n kỳ  v0  v0 nr Ví dụ: Một người cho vay 10 triệu đồng với lãi suất 1%/ tháng theo hình thức lãi đơn sau năm tháng, tổng số tiền thu bao nhiêu? Bài toán lãi gộp Nếu ta cho vay số tiền v0 với lãi suất kỳ r Cuối kỳ lãi nhập vào vốn để tạo thành vốn tính lãi cho kỳ sau (gọi lãi gộp lãi kép) Hỏi sau n kỳ số tiền có bao nhiêu? Số tiền có sau n kỳ  v0 (1  r ) n Chú ý: Lãi suất r/ kỳ đổi qua kỳ khác Chẳng hạn, r = 7%/năm ta có: Lãi suất theo kỳ nửa năm: r  % /nửa năm Lãi suất theo kỳ quý: r  % /quý Lãi suất theo kỳ tháng: r  % /tháng 12 Ví dụ: a Nếu người cho vay số tiền 1000USD với lãi gộp 8%/ năm tính theo q sau năm số tiền người có bao nhiêu? b Một người có 500 triệu đồng gửi ngân hàng sau năm thu 588,38 triệu với lãi gộp định kỳ nửa năm Tìm lãi suất c Nếu lãi gộp 6%/ năm, tính theo q cho vay 600 triệu sau thu toàn giá trị 900 triệu d Nếu muốn sau năm nhận khoản tiền tiết kiệm tỷ đồng với lãi suất 9%/ năm, tính theo tháng cần gửi vào tiền? II GIỚI HẠN Định nghĩa Ta nói dãy an  có giới hạn L viết lim an  L   0, N  N * cho n  Bài giảng Toán cao cấp II - an  L   n  N Tính chất + Nếu an  có giới hạn giới hạn + Mọi dãy hội tụ bị chặn + Bảo toàn thứ tự Các phép tính giới hạn Nếu dãy an  có lim an tồn số thực dãy gọi hội tụ Ngược lại dãy n  phân kỳ Nếu  xn  ,  yn  dãy hội tụ lim( xn  yn )  lim xn  lim yn n  n  n  lim( xn yn )  lim xn lim yn ; n  lim n  n  n  xn xn lim  n  (lim yn  0) yn lim yn n  n  II GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Các định nghĩa Định nghĩa 1: Hàm số f ( x) có giới hạn L x  x0 dãy  xn  mà xn  x0 lim f ( xn )  L n  Định nghĩa 2: Giả sử hàm f ( x) xác định lân cận điểm x0 , trừ điểm x0 Ta nói lim f ( x)  L với   , tồn   cho x mà x  x0   x  x0 f  x  a   Giới hạn phía Q trình x  x0 phía bên phải tức x  x0 x  x0 ký hiệu x  x0  Giới hạn hàm số x  x0  gọi giới hạn phải kí hiệu lim f ( x) x  x0 Quá trình x  x0 phía bên trái tức x  x0 x  x0 ký hiệu x  x0  Giới hạn hàm số x  x0  gọi giới hạn trái kí hiệu lim f ( x) x  x0 Định lý: Giới hạn hàm số tồn tồn giới hạn trái, giới hạn phải hai giới hạn Bài giảng Tốn cao cấp II - Ví dụ: Tính giới hạn lim x 0 x x Các tính chất giới hạn - Tính - Tính bị chặn - Tính bảo tồn thứ tự - Các phép tốn giới hạn Nếu lim f ( x)  a ; lim g ( x ) tồn hữu hạn xa xa lim( f ( x)  g ( x ))  lim f ( x)  lim g ( x ) ; x a xa xa lim f ( x ) g ( x )  lim f ( x) lim g ( x) x a lim x a xa f ( x) f ( x ) lim  x a g ( x) lim g ( x) xa lim g ( x)  x a xa - Nếu lim   x  =u0 f (u0 ) xác định lim f [  x  ]= f lim   x   - Nếu lim f ( x)  g ( x) hàm bị chặn lim f ( x).g ( x)  - Nếu f ( x) hàm sơ cấp lim f ( x)  f ( a) xa xa xa Ví dụ: Tính lim x sin x0 x Giới hạn 4.1 lim x 0 sin x sin  ( x)  Tổng quát lim  ( x)  lim 1 x  a x  a x  ( x) Ví dụ: Tính giới hạn sin(5 x  10) x 2 sin(2  x ) a lim b lim x sin x  x u 1/ u  1 4.2 lim     lim 1  u   e u  u   u Ví dụ: Tính giới hạn  x3 a lim   x  x    III 2x b lim 1  sin x  x x0 VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN Định nghĩa Hàm số f ( x) gọi vô bé (VCB) x  a lim f ( x)  xa Bài giảng Toán cao cấp II - Hàm f ( x ) gọi vô lớn (VCL) x  a lim f ( x)   x a Tính chất:  Tổng hai VCB VCB  Tích VCB hàm bị chặn VCB  Tích hai VCL VCL  lim f ( x)  L  f ( x)  L VCB x a  Nếu f ( x) VCB f ( x )   Nếu f ( x) VCL VCL f ( x) VCB f ( x)  Nếu lim f ( x)  A  f ( x)  A   ( x) với  ( x) VCB xa VCB tương đương Cho  ( x)  ( x) VCB x  a lim xa  ( x)  L  ( x) Nếu L   ( x) VCB cấp cao  ( x ) ký hiệu  ( x)    ( x)  Nếu L  (L hữu hạn)  ( x)  ( x) hai VCB cấp ký hiệu  ( x)  O(  ( x)) Đặc biệt, L   ( x)  ( x) hai VCB tương đương ký hiệu  ( x) ∼  ( x ) Một số cặp VCB tương đương (cần ghi nhớ): Khi x  0: sin x ∼ x , tan x ∼ x , arcsin x  x , arctan x  x ,  cos x  x2 , log a (1  x) ∼ x ln a , ex 1  x Chú ý: 1 ( x) ∼ 1 ( x) vàf ( x, y ) Điểm dừng: Điểm (a, b)  D gọi điểm dừng hàm số tất đạo hàm riêng cấp  f x  Tọa độ điểm dừng nghiệm hệ   f y  Điều kiện cần để hàm đạt cực trị điểm Nếu hàm f ( x, y ) đạt cực trị (a, b) tồn đạo hàm riêng cấp điểm đó,  f x (a, b)    f y ( a, b)  Điều kiện đủ a Trường hợp tổng quát Cho P điểm dừng P điểm cực đại d f ( P )  P điểm cực tiểu d f ( P )  b Điều kiện riêng cho hàm hai biến Định lý Cho hàm z  f ( x, y ) có đạo hàm riêng cấp liên tục lân cận điểm dừng (a, b) Đặt A  f xx (a, b); B  f xy (a, b) ; C  f yy (a, b) D  AC  B a Nếu D  0; A  , (a, b) điểm cực đại b Nếu D  0; A  , (a, b) điểm cực tiểu c Nếu D  (a, b) điểm n ngựa Ví dụ Tìm cực trị hàm số a, z  x  xy  y  10 x  y  b, z ( x, y )  x  y  xy  Ứng dụng kinh tế Bài giảng Toán cao cấp II - Bài toán Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm điều kiện cạnh tranh hoàn hảo Gọi P1 , P2 giá tương ứng sản phẩm Sản lượng tương ứng Q1, Q2 Gọi C  C (Q1 , Q2 ) tổng chi phí Hãy tìm mức sản lượng Q1, Q2 để lợi nhuận đạt tối đa Doanh thu công ty là: R  PQ 1  P2 Q2 Hàm lợi nhuận là:   R  C Tìm Q1 , Q2 mà hàm đạt cực đại Ví dụ Một cơng ty sản xuất hai loại sản phẩm điều kiện cạnh tranh hoàn hảo Giá bán hai loại sản phẩm thị trường P1  450 , P2  630 Tổng chi phí để sản xuất hai loại sản phẩm cho biểu thức C  Q12  Q1Q2  Q22  210Q1  360Q2  100 Hãy tìm mức sản lượng cho loại sản phẩm để công ty thu lợi nhuận tối đa Bài toán Một doanh nghiệp sản xuất điều kiện độc quyền loại sản phẩm, loại sản phẩm tiêu thụ hai thị trường tách biệt Phân phối mức tiêu thụ sản phẩm cho thị trường giá bán tương ứng cho lợi nhuận đạt tối đa Ví dụ Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm tiêu thụ sản phẩm hai thị trường tách biệt Giả sử sản lượng thị trường xác định, sau: Q1  310  P1 , Q2  350  P2 Tổng chi phí C phụ thuộc vào mức sản lượng Q sau: C  200  30Q  Q Tìm sản lượng loại giá bán tương ứng thị trường cho lợi nhuận doanh nghiệp đạt cực đại Bài giảng Toán cao cấp II - BÀI ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍCH PHÂN SUY RỘNG I Tích phân với cận vơ hạn Định nghĩa Giả sử f ( x) xác định [a, ) khả tích [a, t ]  Ký hiệu t f ( x)dx  lim  f ( x) dx  t  a a Nếu giới hạn hữu hạn, ta nói tích phân suy rộng hội tụ, ngược lại phân kì b Tương tự, ta có   b f ( x) dx  lim  f ( x) dx t    t  b f ( x)dx    f ( x) dx    f ( x) dx b Ví dụ Tích tích phân  x a dx  xe dx x b   c Tìm k biết k  1 x dx   Tích phân hàm không bị chặn Định nghĩa Giả sử f ( x) hàm xác định [a, b) , khả tích [a, t ], t  b lim f ( x)   x b b Đặt  a t f ( x)dx  lim  f ( x) dx t b a b Nếu giới hạn tồn hữu hạn, ta nói tích phân suy rộng  f ( x)dx a b Ngược lại ta nói tích phân  f ( x)dx phân kỳ a b Tương tự, lim f ( x)   xa  a b f ( x) dx  lim  f ( x)dx t a Tương tự, lim f ( x)   với c  [a, b] x c t hội tụ Bài giảng Toán cao cấp II - b c b a a c  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx Tích phân vế trái hội tụ hai tích phân bên vế phải hội tụ Ví dụ Tính  II dx x2 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Tìm hàm kinh tế từ hàm giá trị cận biên Ta có F ( x)   MF ( x )dx Ví dụ: Tìm hàm cầu từ hàm doanh thu cận biên Nếu hàm giá trị cận biên doanh thu theo sản lượng loại sản phẩm MR  10000  Q Tìm hàm cầu Ví dụ: Tìm hàm chi phí từ hàm chi phí cận biên Nếu hàm giá trị cận biên chi phí theo sản lượng loại sản phẩm MC  1000  Q có chi phí cố định C f  10000 Tìm hàm chi phí Ví dụ: Nếu hàm giá trị cận biên lợi nhuận theo sản lượng loại sản phẩm M   5Q  500 bán 50 sản phẩm bị lỗ 13500 dơn vị tiền Tìm hàm lợi nhuận ... phí thuê xe Hãy xây dựng hàm chi phí C(x) vẽ đồ thị Bài giảng Toán cao cấp II - BÀI DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN I- BÀI TOÁN LÃI ĐƠN, LÃI GỘP Bài toán lãi đơn Nếu ta cho vay số tiền v0 , lãi suất kỳ r... tế Bài giảng Toán cao cấp II - Bài toán Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm điều kiện cạnh tranh hoàn hảo Gọi P1 , P2 giá tương ứng sản phẩm Sản lượng tương ứng Q1, Q2 Gọi C  C (Q1 , Q2 )... , P2  630 Tổng chi phí để sản xuất hai loại sản phẩm cho biểu thức C  Q 12  Q1Q2  Q 22  21 0Q1  360Q2  100 Hãy tìm mức sản lượng cho loại sản phẩm để công ty thu lợi nhuận tối đa Bài toán