chương 3 phép tính tích phân

Khái niệm nguyên hàm và tích phân bất định 1.. Định Lý : Mọi hàm số fx liên tục trên a,b đều có nguyên hàm trên khoảng đó Ví dụ.. Dạng tổng quát của nguyên hàm của fx trên khoảng a,b,

Chương 3 : PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN

3.1 Tích phân bất định

3.1.1 Khái niệm nguyên hàm và tích phân bất định

1 Nguyên hàm

a Định nghĩa: F(x) là nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a,b)

 F(x) = f(x) , x  (a,b)

b Định Lý : Mọi hàm số f(x) liên tục trên (a,b) đều có nguyên hàm trên

khoảng đó

Ví dụ Cho f x( ) cos x, dễ thấy F x( ) sinx là một nguyên hàm của f x( ) trên

R Ngoài ra nó còn có nguyên hàm dạng s inx+C, với C là hằng số tùy ý

c Định Lý 2

 Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) trên (a,b) thì F(x) + C ( C : hằng số) cũng là nguyên hàm của f(x)

 Mọi nguyên hàm của f(x) trên (a,b) đều có dạng F(x) + C

2 Tích phân bất định

a Định nghĩa Dạng tổng quát của nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a,b), kí

hiệu là  f(x)dx , được gọi là tích phân bất định của hàm f(x) trên khoảng đó

 f(x)dx = F(x) +C

b Tính chất cơ bản

1) [f(x)g(x)]dx f(x)dxg(x)dx

2) kf(x)dxk f(x)dx (k : hằng số )

3 Bảng tích phân

(1) odxC (7) sinxdxcosxC

(2) 1dxxC (8) cosxdxsinxC

(3) x dx x C



x

dx





cos2

x

dx





x

dx







sin2

a

a dx

a

x

x

dx







(6) e x dxe x C (12) arctgx C

x



Ví dụ Tính các nguyên hàm

a 2 52 32 12 2 72 4 52 2 32

x x dx x  x x dx x  x  x C

sin

3.1.2 Các phương pháp tính tích phân

1 Phương pháp đổi biến số

a

 f(x)dx = g )(u du= G [u(x)] + C

b  f(x)dx =  f((t)).'(t)dt g(t)dt G(t)

Ví dụ

a) Tính I x x24dx

Đặt t x2    4 t2 x2   4 2tdt  2xdx Từ đó:

3

4

x t

b) Tính I  a2 x dx2 , (a > 0) Đặt x a costdx  a sintdt Từ đó:

sin ( a sin ) ( os2 1) sin 2

2 Phương pháp tích phân từng phần

udv = uv - vdu

Ghi chú : Phương pháp tích phân từng phần thường được dùng để tính các tích

phân có dạng sau:

 P(x)e ax dx,P(x)sinaxdx,P(x)cosaxdx

Dùng phương pháp trên với phép đặt ( )ax

b

u P x







 P(x)lnxdx,P(x)arcsinxdx,P(x)arctgxdx

Dùng phương pháp trên với phép đặt ln ,arcsin ,ar

( )

dv P x dx





 

Ví dụ

a) Tính I x ctgxdxar

2

dx du

v









Suy ra:

2 ar 1 2 2 2 ar 1 ( 2 1) 12 2 ar 1 1 1 2

2 ar 1ar

b) Tính I x2cosxdx

s inx cos

u x

v





Suy ra: I x2sinx 2 xsinxdx

Tính K xsinxdx

Đặt



Suy ra: K  xcosxc xdxos  xcosxsinxC

Vậy I x2cosxdx x 2sinx 2 cos x x2sinx C

3.1.3 Tích phân một số hàm đặc biệt

1 Tích phân hàm hữu tỉ

) (

) (

x Q

x P

 f(x) là phân thức thật sự nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x)

 Lúc nào ta cũng có thể đưa hàm hữu tỉ về dạng một đa thức cộng với một phân thức thật sự bằng cách chia đa thức

 Có 3 dạng cơ bản

I / I = dx A x a C

a x



a x k

A dx a x

A

k









1 1 )

(

III / I = dx

q px x

N Mx

 2   













) 4 ( ) 2 (

2 2

q

p x

dx q

px x dx

Tùy thuộc q -

4

2

p

ta có các dạng :

o u2

du

Ví Dụ : I = x2 4x4

dx

o u2du  k Ví Dụ : I = x2 2x4

dx

o u2 k2

du

Ví Dụ : I = x2 4x6

dx

q px x

MP N p x M dx q px x

N Mx









2 2

) 2 (

) 2 ( 2

q px x

dx Mp

N q px x

M

2

2 (

ln 2

Ví dụ

( 1)( 1)

dx I





2 2

2

( 1)( 1)



Suy ra:

1 4 0

1

2

4

A

A C

A B C

C

  



 



I

1 1 1 1

b) Tính ( 3 2)2

( 3)( 2)

I

 





2( ) (3 2 ) 2 3



Suy ra:

 

2 Tích phân hàm lượng giác

a Dạng R(cosx,sinx)dx trong đó R(u,v) là biểu thức hữu tỉ theo cosx,sinx Phương pháp chung : Đặt t =

2

x tg

Khi đó : sin x = 2

1

2

t

t

2

1

2 ,

1

1

t

dt dx

t

t









Ví dụ

cos

dx





Đặt t =

2

x

2

ar



b) Tính

4sin cos 5

dx I





Đặt t =

2

x

2

t I



2

x

b Dạng cosaxcosbxdx,sinaxsinbxdx,cosaxsinbxdx

Biến đổi tích thành tổng :

Nhớ công thức : coscos  = cos( ) cos( )

2

1     

2

1     

2

1    

Ví Dụ : I = sinxcos3xdx,I cos4xcos7xdx

c Dạng sinn xdx,cosn xdx

Phương pháp :  n lẻ : Đặt t = cosx hoặc sin x

 n chẵn : Dùng công thức hạ bậc cos2x =

2

2 cos 1 sin , 2

2 cos

x



Ví Dụ

a) Tính cos43

sin

x

x



Đặt t = s inx dt cosxdx thì

b) Tính I sin cos3x 2xdx

Đặt t = cosx dt  sinxdx thì

c) Tính sin26

os

x

c x



os

dx tgx dt

c x

  thì

3 Tích phân hàm vô tỉ

Phương pháp chung để tính tích phân các hàm vô tỉ là tìm cách đưa về tích phân hàm hữu tỷ Trong một vài trường hợp ta chuyển về dùng các tích phân cơ bản của hàm

vô tỷ sau:

1

1

arcsinx

a





2 2

2

1

ln





arcsin

x

a



ln

k

x kdx x x  k x x  k C



Dạng 1: Tính I  f x( , axn b dx)

n

a





Dạng 2: Tính I  f( axm b, axn b dx)

k

a





      (trong đó k là bội chung nhỏ nhất của m và n)

Ví dụ Tính

3

x

x







Đặt t4  x 4t dt dx3  Từ đó:

2

Dạng 3: Tính tích phân: R x( , ax2bx c dx a ) ,( 0)

TH1:

2

4 4

a x



4



2

2

1

4 4

du dx

a u k

a x





TH2:

2

B

Ví dụ Tính

dx I





Đặt 2 2 2 2

1

Suy ra:

2

t t dt

 

2ln ln 2 1

t

3.2 Tích phân xác định

3.2.1 Khái niệm về tích phân xác định

1 Định nghĩa Giả sử hàm số f(x) xác định trên đoạn [a,b]

a) Chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm : xo = a <x1 < x2 <… <xn=b

b) Trên mỗi đoạn nhỏ [xi-1,xi] ta chọn điểm ξi tùy ý

c) Lập tổng tích phân In = ( )( 1)

1







n

i

i x x

f 

d) Nếu n

d I

0

lim

 tồn tại không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a,b] và các cách chọn điểm ξi thì nó được gọi là tích phân xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a,b]

a f x dx d I

0

lim )

( ( d =max (xi-xi-1) với 1  i  n )

Ghi chú :

 Hàm số có tích phân xác định trên đoạn [a,b] thì gọi là khả tích trên đoạn [a,b]

 In : tổng tích phân của f(x) trên đoạn [a,b]

 [a,b] : đoạn lấy tích phân ; a: cận dưới, b: cận trên

 b

a : dấu tích phân xác định, f(x) : hàm số dưới dấu tích phân

Quy ước:

 Cho f(x) xác định tại a, ta có a ( )  0

b f x dx

 Cho f(x) xác định trên đoạn [a,b] và a < b , ta có :a

b f(x)dx = - b

a f(x)dx

2 Hàm khả tích

 Điều kiện cần Hàm số f(x) khả tích trên đoạn [a,b] thì bị chặn trên đoạn nầy

Suy ra : f(x) không bị chặn trên [a,b] ==> f(x) không khả tích trên [a,b]

 Điều kiện đủ

Nếu f(x) liên tục trên [a,b] thì f(x) khả tích trên đoạn nầy

Ví Dụ Dùng định nghĩa tính tích phân xác định :

a) I = 01

2dx

2 1

Ghi chú :

6

) 1 2 )(

1 ( ,

2

) 1 (

1

2 1















n n

n i n

n

i

n

i

,

4

) 1

2 1



n n i n i

Tích phân xác định chỉ phụ thuộc vào hàm số dưới dấu tích phân và đoạn lấy tích phân chứ không phụ thuộc vào ký hiệu biến số tích phân

  b

a

b

a

b

a f(x)dx f(t)dt f(u)du

3 Các tính chất

a

b

a

b

a

dx x g dx x f dx x g x

(2)  b

a

b

a

dx x f k dx x

kf( ) ( ) ( k : hằng số )

(3)   b

c

c

a

b

a

dx x f dx x f dx x

(4) b dx b a



(5) Nếu f(x)  g(x) , x  [a,b] thì a b f(x)dx  a b g )(x dx

(6) Nếu m  f(x)  M , x  [a,b] thì :

m(b-a)  b

a f(x)dx  M(b-a)

4 Các định lý cơ bản

a Định Lý về giá trị trung bình

 Nếu f(x) liên tục trên [a,b] thì c [a,b] : b

a f(x)dx = f (c) (b-a)

Chứng Minh:

f(x) liên tục trên [a,b] ==> m = ymin và M = ymax : m  f(x)  M , x  [a,b] Theo tính chất (6) :

a b m a b M dx x f b a

b











f(x) liên tục trên [a,b] nên đạt được mọi giá trị trung gian giữa m và M :

c [a,b] : f(c) =  b

a f x dx a

1

hay a b f(x)dx=f(c) (b-a)

b Định lý về đạo hàm theo cận trên

 Nếu f(x) liên tục trên [a,b] thì hàm  x

a f t dt

( với a  x  b ,là một nguyên hàm của f(x) trên [a,b]

Vậy : ' (x) x f(t)dt ' f(x), x [a,b]







Chứng Minh:  x (a,b) , cho xố gia x, ta có :





         















x

x a

x x a

x a

x a

x x

x x

(

Theo đl giá trị trung bình c (x+x+x) sao cho :

) ( ) ( ' ) ( lim lim

) ( )

( )

(

0

x c

f x x c f dt

t

f

x x

x

x































x = a , x=b : '(a) f(a),'(b) f(b),

Vậy x [a,b] : ’(x)=f(x)

Hệ quả Mọi hàm số liên tục trên [a,b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó

Ví Dụ Tính đạo hàm hàm số :

) sin(

sin )

(

0

t

x  x  

Mở rộng :  v    

u f t dt x f v v f u u

(

Ví Dụ Tính đạo hàm các hàm số :

(a)  x x t dt

0

2

1 )

(

(b) x x t dt

x





sin 2

cos )

(

c Định Lý Newton – Leibnitz

Nếu f(x) liên tục trên [a,b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì :

) ( ) ( )

f b



Chứng Minh:

f(x) liên tục trên [a,b] nên theo đl đạo hàm cận trên ta có : x

a f t dt

nguyên hàm của f(x), x [a,b] Vậy (x) =F(x) +C hay

x

a f )(t dt = F(x) + C

a f )(t dt = F(a)+C = 0 ==> C =-F(a) Cho x =b a b f )(t dt = F(b)+C = F(b)-F(a)

Vậy b f(x)dx F(b) F(a)

Bổ sung :

Có những hàm số bị chặn nhưng không khả tích Chẳng hạn :

f(x) =





 0 1

Có những hàm số khả tích nhưng chưa chắc liên tục

Bài tập: 1/ Xét sự khả tích

f(x) =







 0

1

x

Hướng dẫn : Không bị chặn ==> không khả tích

2 / Xét sự khả tích :

f(x)

















 1 0 1

ln

x

x x

Hướng dẫn : f(x) liên tục ==> khả tích

Ví Dụ : a) I = 

2 1

2dx

6 2

cos





x

dx

c) I = 2 x dx

x

x e

1

2

ln

3.2.2 Các phương pháp tính tích phân xác định

 Phương pháp đổi biến số

a Định Lý 1 Xét tích phân xác định a b f(x)dx với f(x) liên tục trên [a,b] Giả sử x= (t) thỏa các điều kiện:

(1) (t) có đạo hàm liên tục trên [,]

(2) ()=a, () =b (3) Khi t biến thiên trên [,] thì x biến thiên trên [a,b]

Khi đó: a b f(x)dx = f (t) ' (t)dt





Ví Dụ Tính I = 1 x dx

0

2

1

Đặt x = cost với t  0,2

 : x = 0  t =

2



dx = -sintdt x = 1  t = 0

0

2 0

2 2

0 2 0

2

2

1 sin

sin sin sin

cos 1







Nếu x hữu tỉ [0,1]

Nếu x vô tỉ [0,1]

Nếu x =0 Nếu x [0,1]

Khi 0 < x < 1 Khi x = 0 Khi x = 1

=

4 2

1 2

0













  sìnt t

b Định Lý 2 Xét tích phân xác định b

a f(x)dx với f(x) liên tục trên [a,b] Giả

sử u = (x) thỏa các điều kiện :

(1) (x) đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên [a,b]

(2) f(x)dx trở thành g(u)du trong đó g(u) liên tục trên [(a),(b)]

Khi đó:

b

a f(x)dx =  ( )

) (b ( )

a g u du



Ví Dụ Tính I = 3 

1

1

dx x x

Đặt u = x1 ==> u2=x+1 ==> 2udu = dx

x= u2-1

x =1 ==> u = 2

x = 3 ==> u =2

2 2

2

4 2 2 ln1 ln 2 1





 Phương pháp tích phân từng phần

Với tích phân xác định, công thức tích phân từng phần chỉ thêm các cận

b a

udv uv  vdu

Ví dụ Tính 1

0

ar

I  ctgxdx

1

dx

x

dv dx

v x



1

2

1

xdx

x



ln 2 ln 2

ar 1

3.2.3 Ứng dụng của tích phân xác định

1 Tính diện tích hình phẳng

Diện tích hình phẳng H giới hạn bởi hai đường thẳng x a x b ,  và các đường cong y f x y g x( ),  ( ) trên đoạn [a,b] là:

b

H

a

S  f x g x dx

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = x2 và đường thẳng y = x + 2

1

2

9

2 Tính độ dài cung

Giả sử cung AB là đồ thị của hàm số y f x( ) trên [a,b] Khi đó:

2

b AB a

l   f x dx

Nếu AB cho bởi phương trình tham số: ( ),

( )

x x t

a t b

y y t





 

 

b AB a

l  x t  y t dt

Ví dụ Tính chu vi đường tròn tâm O bán kính R = 2

Tham số hóa: 2cos , 0 t 2

2sin



 

 

AB



3 Tính thể tích của vật thể tròn xoay

Xét vật thể V nhận được bằng cách quay đường cong y f x( ) (với x [a,b] ) quanh trục Ox Khi đó thể tích của V cho bởi công thức:

2

[ ( )]

b

a

V  f x dx

Nếu quay đường cong x g y ( )(với y [c,d] ) quanh trục Oy thì thể tích là:

2

[ ( )]

d

c

V  g y dy

3.3 Tích phân suy rộng

3.3.1 Tích phân suy rộng có cận vô hạn

Định nghĩa Nếu f(x) xác định trên [a, ) và f(x) khả tích trên [a,t] với t > a

Tích phân suy rộng của f(x) trên [a, ) là :











a

dx x f dx

x

Nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn ,ta nói tích phân suy rộng hội tụ , ngược lại là phân kỳ

Tương tự ,ta có :





t

b

t f x dx dx

x









 

a a

b f x dx dx

x

f( ) lim ( )

Ví dụ xét sự hội tụ, phân kì của các tích phân suy rộng sau

a 2

dx x





 b

1

,

dx

R

x 





Giải:

0

dx

x











b Nếu  1, ta có 1

x





1 1

0, >1

, <1

dx















KL:

1

,

dx

R

x 





 hội tụ với   1, phân kỳ với   1

3.3.2 Tích phân suy rộng của hàm không bị chặn

1 Định nghĩa

Cho f(x) khả tích trên [a,] với a <  < b và 

 ( )

lim f x b

x Khi đó ,ta có :    



a

b

dx x f dx

x

2 Ví dụ Tính các tích phân suy rộng:

a) 1 

0 x 1

dx b) 1 

0 1 x2

dx

BÀI TẬP CHƯƠNG 3 Tính các tích phân bất định sau

3.1 a. x4  4

xdx

b. 2  4

4

x

dx x

x

x x

 244

3

d.x2 x4

dx

3.2 a. dx

x

x

x

 2 11 b.    dx

x x

x

5 4

2 3

x x

x x x

 2 234

2 3

d. x3dx  x 3.3 a.x x2 1dx b. x2 1

xdx

c. dx

x

dx x

2

1 d. x4 1

xdx

3.4 a. xlndx5 x b. x 1dx  xln c. x e x dx

cos sin d.  x

x

e

dx e

2

1

3.5 a. e x dx

 2 1 b.e x 1

dx

c. dx

e

dx e x

 2 1

2

d.x x2dx

5

3.6 a.sin5 x dx b. 3

3

cos

sin

x

xdx

c cos7x.cos5xdx d.tg5xdx

3.7 a.25dxcosx b.sinx dxcosx c 3sin2 x dx5cos2x d.cosdx3 x 3.8 a.x2sinx dx b.xarctgxdx c sin(lnx) dx d.ln2xdx 3.9 a. e x

xdx

b.xsin cosx xdx c  dx

x

x

2

arcsin

d. dx

x

x

 3

ln

Tính các tích phân xác định sau

3.10 a dx

x

x

1 

x

x

1

) sin(ln

c 1  

0

2 4x 5

x

dx d.

0

4

3.11 a 1 

2

9dx

x

x

b 1  

0

2 3x 2

x

xdx

 4

4





tgxdx d 

2

ln

e

e x x dx

3.12 a 2 

03 2cos



x

dx

b 5  

1 x 2x 1

dx

x

arctgx

1  0 2

1 d ln8 

3

ln e x 1

3.13 a 2

0

cos



xdx

e x b 1

0

arcsin xdx c 1

0

2

3e dx

x x d 

1 3

cos

sin

dx x

x x

Tính các tích phân suy rộng

3.14 a. 

0

0 2

1 x

dx

c   

2

x

dx

d 

e x x

dx

2

ln

3.15 a. 

0

2 dx

0 x

dx c 1 

0e x 1

dx d 2 

1

3 1

x dx

Ứng dụng tích phân xác định

3.16 Tính diện tích giới hạn bởi các đường

a y = cosx và trục Ox với 0x

b y = 2 – x2 và y = x

c y = x2 và x = y2

d y = 2x , y = 2 và x =0

3.17 Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo ra khi quay các miền phẳng giới hạn bởi các

đường cong sau đây

a y = tgx , y = 0 và x =

3

 quanh trục ox

b.x2 y( 2)2 1 quanh trục ox