BÀI 3: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN

Bài 3: Phép tính tích phân BÀI 3: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN Mục tiêu  Nắm khái niệm tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng  Làm tập tích phân bất định, tích phân xác định  Áp dụng phần mềm Maple để tính tích phân Thời lượng Nội dung Bạn nên dành tuần khoảng 90 phút để đọc kỹ lý thuyết khoảng 120 phút vòng hai tuần để làm tập để nắm vững nội dung học  Bài giới thiệu với bạn khái niệm tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng phương pháp tính loại tích phân  Phép tính tích phân hai phép tính giải tích, có nhiều ứng dụng toán kỹ thuật, kinh tế… Hướng dẫn học  Bạn nên đọc kỹ lý thuyết để nắm khái niệm tích phân bất định, tích phân xác định loại tích phân suy rộng  Bạn nên làm nhiều tập tốt để thành thạo phuơng pháp tính loại tích phân MAT101_Bài 3_v2.3013101225 43 Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ 3.1 Tích phân bất định 3.1.1 Khái niệm tích phân bất định 3.1.1.1 Nguyên hàm Bài trình bày phép tính tích phân, phép toán ngược phép tính đạo hàm (vi phân) hàm số Nếu ta cho trước hàm số f (x) có tồn hay không hàm số F(x) có đạo hàm f (x) ? Nếu tồn tại, tìm tất hàm số F(x) Định nghĩa: Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f (x) khoảng D nếu: F '(x)  f (x), x  D , hay dF(x)  f (x)dx Ví dụ 1: Vì: (sin x) '  cos x, x   nên sin x nguyên hàm hàm số cos x   2x  '  , x  1 Vì:  arctg x   1 x  1 x (1  x )  nên: arctg x  1 2x   \ 1 nguyên hàm hàm số 2  x (1  x ) 1 x Định lý sau nói nguyên hàm hàm số cho trước nhất, biết nguyên hàm ta miêu tả tất nguyên hàm khác hàm số Định lý: Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f (x) khoảng D thì: Hàm số F(x)  C nguyên hàm hàm số f (x) , với C số Ngược lại, nguyên hàm hàm số f (x) viết dạng F(x)  C , C số Chứng minh: Giả sử C số bất kỳ, ta có:  F(x)  C  '  F '(x)  f (x) với x  D Theo định nghĩa F(x)  C nguyên hàm hàm số f (x) khoảng D Ngược lại, giả sử (x) nguyên hàm hàm số f (x) khoảng D Ta có:  F(x)  (x) '  F'(x)   '(x)  f (x)  f (x)  0, x  D Suy F(x)  (x) nhận giá trị số khoảng D: F(x)  (x)  C  (x)  F(x)  C, x  D Như biểu thức F(x)  C biểu diễn tất nguyên hàm hàm số f (x) , số C tương ứng cho ta nguyên hàm 44 MAT101_Bài 3_v2.3013101225 Bài 3: Phép tính tích phân 3.1.1.2 Tích phân bất định Định nghĩa: Tích phân bất định hàm số f (x) họ nguyên hàm F(x)  C ; với x  D ; F(x) nguyên hàm hàm số f (x) C số Tích phân bất định f (x)dx ký hiệu là:  f (x)dx Biểu thức f (x)dx gọi biểu thức dấu tích phân hàm số f gọi hàm số dấu tích phân Vậy:  f (x)dx  F(x)  C , với F(x) nguyên hàm f (x) Ví dụ 2:  cos xdx  sin x  C  e dx  e  C x x 3.1.1.3 Các tính chất tích phân xác định  f (x)dx  '  f (x) hay d f (x)dx  f (x)dx     F '(x)dx  F(x)  C hay  dF(x)  F(x)  C  af (x)dx  a  f (x)dx , ( a số khác 0)  f (x)  g(x) dx   f (x)dx   g(x)dx Hai tính chất cuối tính chất tuyến tính tích phân bất định, ta viết chung:  f (x)  g(x) dx    f (x)dx   g(x)dx ,  số không đồng thời Các tính chất nói chứng minh trực tiếp từ định nghĩa tích phân bất định 3.1.1.4 Các công thức tích phân Các công thức tích phân sau chứng minh định nghĩa:   x dx  x 1  C, (  1)  1  sin xdx   cos x  C dx  sin x   cotg x  C ax a dx   C, (a  0, a  1)  ln a x a  MAT101_Bài 3_v1.0013101225 dx ax  ln C x 2a a  x dx x   ln x  x    C  dx  ln x  C x  cos xdx  sin x  C dx  cos x  tg x  C  e dx  e x x  x C dx x  arctg  C a a a dx a x 2  arcsin x C a 45 Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ 3.1.2 Các phương pháp tính tích phân bất định 3.1.2.1 Phương pháp khai triển Để tính tích phân bất kỳ, ta cần sử dụng phương pháp thích hợp để đưa tích phân có bảng công thức tích phân Một phương pháp đơn giản phương pháp khai triển Phương pháp dựa tính chất tuyến tính tích phân bất định:  f (x)  g(x) dx    f (x)dx   g(x)dx Ta phân tích hàm số dấu tích phân thành tổng (hiệu) hàm số đơn giản mà biết nguyên hàm chúng, số đưa bên dấu tích phân Ví dụ 3: 2  (2x x  3x )dx  2 x dx  3 x dx  52 x  x3  C 1 dx x4  3          ln x  C 2sin x x dx sin xdx x dx 2cos x      x x x dx   dx    arctg x  C    2  (1  x ) x  x 1 x  3.1.2.2 Phương pháp biến đổi biểu thức vi phân Nhận xét: Nếu:  f (x)dx  F(x)  C  f (u)du  F(u)  C ; u  u(x) hàm số khả vi liên tục Ta kiểm tra lại cách đạo hàm hai vế theo x Sử dụng tính chất này, ta biến đổi biểu thức dấu tích phân g(x)dx dạng: g(x)dx  f (u(x))u '(x)dx f (x) hàm số mà ta dễ dàng tìm nguyên hàm F(x) Khi tích phân cần tính trở thành:  g(x)dx   f (u(x))u '(x)dx   f (u(x))du  F(u(x))  C  a   Trong trường hợp đơn giản u(x)  ax  b du  adx ,  f (x)dx  F(x)  C ta suy ra:  f (ax  b)dx  a F(ax  b)  C  a   Ví dụ 4:  sin axdx   a cos ax  C  a   ax  e dx  e 46 sin x eax  C  a  0 a cos xdx   esin x d(sin x)  esin x  C MAT101_Bài 3_v2.3013101225 Bài 3: Phép tính tích phân dx tg x  cos4 x   (1  tg x)d(tg x)   tg x  C  x  3x dx  I 1  3x d(1  3x )   arccos x arcsin x I 1 x2   3x  C   dx     arcsin x  arcsin xd(arcsin x) 2   arcsin x  arcsin x  C 3.1.2.3 Phương pháp đổi biến Xét tích phân I   f (x)dx ; f (x) hàm số liên tục Để tính tích phân này, ta tìm cách chuyển sang tính tích phân khác hàm số khác phép đổi biến cho biểu thức dấu tích phân biến t tìm nguyên hàm cách đơn giản Ta chia phương pháp đổi biến làm hai trường hợp đổi biến xuôi x  (t) đổi biến ngược t  (x) Phép đổi biến thứ nhất: Đặt x  (t) ; (t) hàm số đơn điệu, có đạo hàm liên tục Khi ta có: I   f (x)dx   f  (t)   '(t)dt Giả sử hàm số g(t)  f  (t)   '(t) có nguyên hàm hàm G(t) , t  h(x) hàm số ngược hàm số x  (t) , ta có: I   g(t)dt  G(t)  C  I  G  h(x)   C Phép đổi biến thứ hai: Đặt t  (x) ,  (x) hàm số có đạo hàm liên tục, ta viết hàm f (x)  g   (x)   '(x) Khi ta có: I   f (x)dx   g  (x)   '(x)dx Giả sử hàm số g(t) có nguyên hàm hàm số G(t) , ta có: I  G   (x)   C CHÚ Ý : Khi tính tích phân bất định phương pháp đổi biến số, sau tìm nguyên hàm theo biến số mới, phải đổi lại thành hàm số biến số cũ Ví dụ 5: a) Tính tích phân: I1   x dx 2x   Đặt x  2sin t, t   0,  , ta tính được:  2 dx  4sin t cos tdt ; MAT101_Bài 3_v1.0013101225 47 Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ x 2sin t   tg t 2x 2(1  sin t) Suy ra: I1   x dx   sin tdt  2t  sin 2t  C 2x x , ta thu được: Đổi lại biến x, với t  arcsin x x dx  arcsin  2x  x  C 2x I1   b) Tính tích phân I   e2x dx ex  Đặt e x  t  e x dx  dt , ta có: I2   t   dt   1   dt  t  ln t   C t 1  t 1  Đổi lại biến x, ta được: I  e x  ln(e x  1)  C dx c) Tính tích phân I3    4x Đặt t  2 x  dt  2 x ln 2dx , tích phân trở thành: I3   dt t ln  t 2 Đổi lại biến x, ta có: I3    dt ln(t  t  1)  C   ln ln t 1 ln(2 x  4 x  1)  C ln 3.1.2.4 Phương pháp tích phân phần Giả sử u  u(x) v  v(x) hàm số có đạo hàm liên tục Theo quy tắc lấy vi phân d(uv)  udv  vdu  uv   d(uv)   udv   vdu Suy :  udv  uv   vdu Xét tích phân: I   f (x)dx Ta cần biểu diễn: f (x)dx   g(x)h(x) dx  g(x)  h(x)dx   udv áp dụng công thức tích phân phần với hàm số u  g(x); v   h(x)dx Ta thường sử dụng phương pháp biểu thức dấu tích phân chứa hàm số sau đây: ln x;a x ; hàm số lượng giác, hàm số lượng giác ngược Cụ thể: Trong tích phân x e n kx dx;  x n sin kxdx;  x n cos kxdx , n nguyên dương, ta thường chọn: u  x n 48 MAT101_Bài 3_v2.3013101225 Bài 3: Phép tính tích phân Trong tích phân  x  ln n xdx ,   1 n nguyên dương, ta thường chọn u  ln n x Trong tích phân x n arctg kxdx;  x n arcsin kxdx , n nguyên dương, ta thường chọn: u  arctg kx u  arcsin kx ; dv  x n dx Ví dụ 6: Tính tích phân bất định: a) I1   ln xdx  x ln x   dx  x ln x  x  C b) I   x sin xdx Đặt u  x , dv  sin xdx  v   cos x , ta được: I   x cos x  2 x cos xdx Đặt u  x, dv  cos xdx  v  sin x , ta được:   I2  x cos x  x sin x   sin xdx  x cos x  2xsin x  2cos x  C c) I3   xe x dx (x  1) dx v ;du  (x  1)e x dx , ta được: (x  1) x 1 Đặt u  xe x ;dv  xe x xe x ex x x I3    e dx   e C  C x 1  x 1 x 1 d) I   xe x dx  ex e x dx Đặt  e x  t   ex  2dt ; ta có: I4  2  ln(t  1)  ln(t  1) dt  2(t  1) ln(t  1)  2(t  1) ln(t  1)  4t  C Đổi lại biến x ta có:  e) I5   MAT101_Bài 3_v1.0013101225 x arcsin x 1 x2 xe x dx 1 e x    2(x  2)  e x  ln   e x  2x  C dx 49 Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ Đặt u  arcsin x;dv  xdx 1 x  du  dx 1 x ; v    x , ta được: I5    x arcsin x   dx    x arcsin x  x  C f) I6   e x cos 2xdx Đặt u  cos 2x;dv  e x dx  v  e x ;du  2sin 2xdx ; ta được: I6  e x cos 2x   e x sin 2xdx Đặt u  sin 2x;dv  e x dx  v  e x ;du  cos 2xdx ; ta được:   I6  ex cos2x  ex sin2x  2 ex cos2xdx  ex cos2x  2ex sin2x  4I6  5C Vậy: I6  ex  cos 2x  2sin 2x   C Trong mục sau xét tích phân bất định số dạng hàm bản: Hàm phân thức hữu tỷ, hàm lượng giác, hàm chứa thức trình bày số phương pháp giải chung tích phân hàm 3.1.3 Tích phân hàm phân thức hữu tỷ Định nghĩa: Một hàm phân thức hữu tỷ hàm số có dạng: f (x)  P(x) , Q(x) P(x), Q(x) đa thức x Một phân thức hữu tỷ có bậc đa thức tử số nhỏ bậc đa thức mẫu số phân thức hữu tỷ thực Bằng phép chia đa thức, chia P(x) cho Q(x) ta đưa hàm phân thức hữu tỷ dạng: f (x)  H(x)  r(x) Q(x) Trong H(x) đa thức thương, r(x) phần dư phép chia r(x) phân thức hữu tỷ thực Nguyên hàm đa thức H(x) Q(x) tìm công thức tích phân bản: Khi x n 1  x dx  n   C ; n nguyên dương n r(x) hai trường hợp Q(x) đặc biệt: Mẫu số phân thức đa thức bậc đa thức bậc hai Trong trường hợp mẫu số phức tạp hơn, sử dụng phương pháp hệ số bất định để đưa hai trường hợp Ta xét việc tìm nguyên hàm phân thức hữu tỷ lại 50 MAT101_Bài 3_v2.3013101225 Bài 3: Phép tính tích phân 3.1.3.1 Tích phân phân thức hữu tỷ với mẫu số bậc Xét tích phân: P(x)  ax  b dx Trong P(x) đa thức Ta biểu diễn hàm dấu tích phân dạng sau: P(x) C  Q(x)  ax  b ax  b Chúng ta sử dụng hai công thức sau để tính tích phân nói n  x dx  x n 1  C, n  n 1 dx  ax  b  a ln ax  b  C Ví dụ 7:   4x  2x  1 2x x x ln 2x          C dx 2x x dx   2x    2(2x  1)  2 3.1.3.2 Tích phân phân thức hữu tỷ với mẫu số bậc hai Xét tích phân: x P(x) dx  px  q Trong P(x) đa thức Ta biểu diễn hàm dấu tích phân dạng sau: P(x) Mx  N  Q(x)  x  px  q x  px  q Ta viết lại: Mx  N  suy ra: M Mp (2x  p)  N  2 Mx  N M d(x  px  q)  Mp  dx dx  N  2  x  px  q  x  px  q  x  px  q   M Mp  dx  ln x  px  q   N   2  x  px  q  Tích phân lại vế phải J   dx tìm sau : x  px  q Nếu tam thức x  px  q có hai nghiệm phân biệt x1  x ; ta có: J  x  x1 dx 1    C ln   dx   (x  x1 )(x  x ) x1  x  x  x1 x  x  x1  x x  x Nếu tam thức x  px  q có nghiệm kép  , ta có: J MAT101_Bài 3_v1.0013101225 dx  C (x  ) x  51 Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ Nếu tam thức x  px  q vô nghiệm, ta viết lại: p  p2   x  px  q   x     q    X  a , (a  0) 2  4  2x  p suy ra: J  arctg C a 2a Ví dụ 8: Tính tích phân: 2x  3x  5x 2x      x  x  dx     x  x   dx  2 dx   x  x  dx  2x  d(x  x  1) dx    x  x 1 (x  1/ 2)  / 5 2x   2x  ln(x  x  1)  C arctg 3 3.1.3.3 Phương pháp hệ số bất định Giả sử muốn phân tích phân thức hữu tỷ thực P(x) thành tổng (hiệu) Q(x) phân thức hữu tỷ thực có mẫu số đa thức bậc bậc hai Trước hết ta phân tích đa thức mẫu số Q(x) thành tích đa thức bậc bậc hai: Q(x)  (x  1 )a1 (x   m )a m (x  p1x  q1 ) b1 (x  p n x  q n ) bn i , p j , q j số, a i , b j số nguyên dương,  i  m;1  j  n Nếu phân tích Q(x) xuất đơn thức (x  )a , a số nguyên dương phân tích phân thức Ai P(x) xuất hạng tử dạng , Q(x) (x  )i Ai số  i  a Nếu phân tích Q(x) xuất biểu thức (x  px  q) b , b số nguyên dương phân tích phân thức B jx  C j (x  px  q) j P(x) xuất hạng tử dạng Q(x) , B j , C j số  j  b P(x) , ta tìm số Ai , B j , C j cách quy Q(x) đồng mẫu số hai vế, đồng hệ số x n , n   hai vế Sau viết phân tích Ví dụ 9: Tính tích phân bất định a) I1   52 x  x  2x  2x  dx (x  2)(x  1) MAT101_Bài 3_v2.3013101225 Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ 3.1.5 Tích phân hàm chứa thức Xét tích phân có dạng  R(x,   x )dx ,  R(x, x   )dx , R(u, v) hàm số hữu tỷ Đặt x   tg t tích phân  R(x,   x )dx Đặt x   sin t x  a cos t tích phân  R(x,   x )dx Đặt x    x  tích phân  R(x, x   )dx cos t sin t Ví dụ 13: Tính tích phân sau: a)   (1  x ) dx    Đặt x  sin t, t    ,   dx  cos tdt,  x  cos t ,  2  (1  x b) x dx 1 x2  ) dx   dt  tg t  C  tg(arcsin x)  C cos t      dt Đặt x  tg t  t    ,    dx  , ta có: cos t   2  x dx 1 x  cos tdt 1  C   C sin t sin t sin(arctg x) 3.2 Tích phân xác định 3.2.1 Khái niệm tích phân xác định Điều kiện khả tích 3.2.1.1 Bài toán diện tích hình thang cong Cho hàm số y  f (x) xác định liên tục đoạn  a, b  giả sử f (x) không âm đoạn Xét hình thang cong AabB hình giới hạn đồ thị hàm số y  f (x) ( x   a, b  ); đường thẳng x  a, x  b trục Ox Tính diện tích S hình thang cong AabB Ta chia đoạn  a, b  thành n đoạn nhỏ điểm chia: x  a  x1   x i   x n  b Cách phân chia nói gọi phân hoạch  đoạn  a, b  Tại điểm có hoành độ x i trục hoành ta kẻ đường thẳng song song với trục Oy Các đường thẳng giao với đồ thị hàm số f (x) điểm A i 56 MAT101_Bài 3_v2.3013101225 Bài 3: Phép tính tích phân chia hình thang cong AabB thành n hình thang cong nhỏ A i x i x i 1A i 1 Ta xấp xỉ diện tích hình thang cong nhỏ diện tích hình chữ nhật có đáy chiều cao f (i ) , i điểm nằm x i x i 1 Gọi Si diện tích hình thang cong nhỏ thứ i, ta có: Si  f (i )(x i 1  x i )  f (i )x i Vậy diện tích S hình thang cong AabB xấp xỉ công thức: n 1 S   f (i )x i i0 Tổng vế phải gọi tổng tích phân ứng với phân hoạch  cách chọn điểm i   x i , x i 1  Khi số điểm chia n lớn lên vô hạn độ dài đoạn chia x i nhỏ dần cạnh hình chữ nhật thứ i sát với hình dáng đồ thị f (x) đoạn  x i , x i1  , phép xấp xỉ diện tích S tổng diện tích hình chữ nhật nói xác Khi n tiến vô cùng, giới hạn tổng vế phải diện tích S hình thang cong AabB: S  lim  (3.1) n  Trong toán học, giới hạn vế phải ràng buộc định gọi tích phân xác định hàm số f (x) đoạn  a, b  3.2.1.2 Định nghĩa tích phân xác định Định nghĩa: Cho hàm số f (x) xác định đoạn  a, b  Phân hoạch đoạn  a, b  điểm chia x  a  x1   x i   x n  b n 1 Trên đoạn  x i , x i 1  lấy điểm i lập tổng tích phân    f (i )x i i0 Nếu tồn giới hạn hữu hạn I  lim   lim max x i  max x i  n 1  f ( )x i 0 i i , ( giới hạn không phụ thuộc vào cách chia đoạn  a, b  cách chọn điểm i ) hàm số f (x) gọi khả tích đoạn  a, b  I gọi tích phân xác định hàm số f (x) đoạn  a, b  , ký hiệu: b I   f (x)dx a a, b tương ứng gọi cận cận tích phân Ví dụ 14: Xét hàm f (x)  C, x   0,1 MAT101_Bài 3_v1.0013101225 57 Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ Với phân hoạch  đoạn  0,1 cách chọn điểm i   x i , x i 1  , ta lập tổng tích phân: n 1 n 1 i0 i0    f (i )x i  C x i  C Theo định nghĩa tích phân xác định, ta có  Cdx  lim   C max x i  CHÚ Ý : Tích phân xác định hàm số khả tích f (x) đoạn  a, b  số xác định, tích phân không phụ thuộc vào ký hiệu biến số dấu tích phân b b b a a a  f (x)dx   f (u)du   f (t)dt  3.2.1.3 Điều kiện khả tích Ta thừa nhận định lý sau tính khả tích hàm số Định lý 1: Điều kiện cần để hàm số f (x) khả tích đoạn  a, b  bị chặn đoạn Định lý 2: Một hàm số f (x) xác định đoạn  a, b  khả tích đoạn thoả mãn điều kiện sau đây: f (x) liên tục đoạn  a, b  f (x) đơn điệu bị chặn  a, b  f (x) bị chặn có hữu hạn điểm gián đoạn  a, b  CHÚ Ý : Từ định lý biết hàm số f (x) khả tích đoạn  a, b  giới hạn tổng tích phân không phụ thuộc vào cách phân hoạch đoạn  a, b  cách chọn điểm i Do tính tích phân xác định hàm khả tích định nghĩa, ta thực việc chia đoạn  a, b  , chọn điểm i trùng với hai đầu mút đoạn  x i , x i 1  , (với  i  n  ) Khi ta có xi  a  58 i(b  a) ba ; x i  ; i  x i i  x i 1 n n MAT101_Bài 3_v2.3013101225 Bài 3: Phép tính tích phân Ví dụ 15: Tính tích phân  x dx Dễ thấy hàm số f (x)  x liên tục khả tích đoạn  0,1 Phân hoạch đoạn 0,1 điểm chia  x  x1   x i  Chọn điểm i  x i 1  i   x n  n i 1 , ta có tổng tích phân ứng với phân hoạch nói cách n n 1  i   n n(n  1)(2n  1)  chọn điểm i là:     i   n i 0  n  n i 1 6n Vậy:  x dx  lim n  n(n  1)(2n  1)  6n 3 Từ ví dụ ta thấy ứng dụng tích phân xác định việc tìm giới hạn dãy số Sn , cách biểu diễn Sn tổng tích phân hàm số ứng với phân hoạch cách chọn điểm i đặc biệt 3.2.1.4 Ý nghĩa hình học tích phân xác định Chúng ta biết hàm số liên tục đoạn  a, b  khả tích đoạn đó, công thức (3.1) viết lại dạng : b S   f (x)dx a Như y  f (x) hàm số liên tục f (x)  đoạn  a, b  tích phân xác định hàm số f (x) đoạn  a, b  số đo diện tích hình thang cong AabB giới hạn đồ thị hàm số f (x) đoạn đường thẳng x  a, x  b, y  3.2.1.5 Các tính chất tích phân xác định Trong phần ta giả sử a  b Nếu hàm số f (x) khả tích đoạn  a, b  thì: b a a b  f (x)dx    f (x)dx Nếu f (x) khả tích đoạn  a, b  c điểm nằm a b, hàm số f (x) khả tích đoạn  a, c ;  c, b  MAT101_Bài 3_v1.0013101225 59 Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ b c b a a c  f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx Tính chất tuyến tính tích phân xác định b b b a a a  f (x)  g(x) dx    f (x)dx   g(x)dx ,  số f (x);g(x) hàm số khả tích đoạn  a, b  Giả sử f (x), g(x) hai hàm số khả tích đoạn  a, b  f (x)  g(x), x   a, b  , ta có : b b a a  f (x)dx   g(x)dx Dấu “=” xảy f (x)  g(x) với x   a, b  Nếu f (x) khả tích đoạn  a, b  hàm số f (x) khả tích đoạn b b a a  f (x)dx   f (x) dx Giả sử hàm số f (x) liên tục đoạn  a, b  tồn điểm c   a, b  cho : b  f (x)dx  f (c)(b  a) a 3.2.2 Công thức đạo hàm theo cận Giả sử f (x) hàm số liên tục đoạn  a, b  Khi f (x) khả tích đoạn  a, x  với x điểm thuộc đoạn  a, b  x Xét hàm số:  (x)   f (t)dt, x   a, b  a Hàm số  (x) gọi hàm cận Định lý: Nếu f (x) hàm số liên tục đoạn  a, b  hàm cận  (x) hàm khả vi liên tục đoạn đó, với điểm x   a, b  ta có: x   '(x)    f (t)dt  '  f (x) a  Nhận xét: Công thức nói cho ta thấy hàm cận  (x) nguyên hàm hàm số dấu tích phân f (x) đoạn  a, b  Và hàm số liên tục có nguyên hàm 60 MAT101_Bài 3_v2.3013101225 Bài 3: Phép tính tích phân 3.2.3 Công thức Newton – Leibnitz b  f (x)dx  F(x) b a  F(b)  F(a) a F(x) nguyên hàm hàm số liên tục f (x) Công thức Newton – Leibnitz cho phép ta tính tích phân xác định thông qua nguyên hàm hàm số Chứng minh: Do hàm cận  (x) nguyên hàm hàm số f (x) đoạn  a, b  nên ta có F(x)   (x)  C Thay x  a ta có: F(a)   (a)  C  C x Suy ra:  f (t)dt   (x)  F(x)  C  F(x)  F(a) a b Thay x  b ta được:  f (t)dt  F(b)  F(a) a Ví dụ 16: Tính tích phân xác định: a) I1   x  dx Ta thấy tích phân hàm số f (x)  x  không suy trực tiếp từ bảng tích phân bản, ta cần khử dấu giá trị tuyệt đối hàm dấu tích phân Do ta chia đoạn lấy tích phân thành hai đoạn: Trên đoạn 0,1 hàm số f (x)   x , đoạn 1, 2 hàm số f (x)  x  Sau dùng công thức Newton – Leibnitz ta tính tích phân:   x2   x2 I1   (1  x)dx   (x  1)dx   x      x   0   1 1 b) I   x arctg(x  1)dx 1 Ta tìm nguyên hàm hàm dấu tích phân  x2  x2 x dx F(x)   x arctg xdx   arctg xd    arctg x   1 x2   x2 Suy F(x)  arctg x  (x  arctgx) theo công thức Newton – Leibnitz: 2  x arctg(x  1)dx  F(0)  F(1)  1 MAT101_Bài 3_v1.0013101225 2 61 Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ 3.2.4 Các phương pháp tính tích phân xác định Ta biết công thức Newton – Leibnitz cho phép tính tích phân xác định biết nguyên hàm hàm số dấu tích phân, phương pháp tính tích phân bất định sử dụng để tính tích phân xác định là: Phương pháp khai triển, biến đổi vi phân, đổi biến tích phân phần Tuy nhiên dùng phương pháp đổi biến, ta không cần phải đổi lại biến ban đầu mà cần tính lại cận tích phân tương ứng Sau trình bày lại hai cách đổi biến tích phân xác định, công thức tích phân phần 3.2.4.1 Phương pháp tích phân phần b b  udv   uv  a   vdu b a a u(x), v(x) hàm số có đạo hàm liên tục Phương pháp áp dụng trường hợp hàm dấu tích phân có chứa hàm số a x , e x , ln x , hàm lượng giác hàm lượng giác ngược Ví dụ 17: Tính tích phân: I   xe3x dx du  dx u  x   Đặt:  e3x 3x dv  e dx  v   1 xe3x e3 2e3  suy ra: I    e3x dx   e3x  30 9 3.2.4.2 Phương pháp đổi biến b Giả sử ta cần tính tích phân  f (x)dx , f (x) hàm số liên tục đoạn  a, b  a Phép đổi biến thứ nhất: Đặt x  (t) , đó: Hàm số (t) xác định, liên tục có đạo hàm liên tục đoạn  ,  ()  a, ()  b Khi t biến thiên đoạn  ,  hàm số x  (t) nhận giá trị tương ứng đoạn  a, b  Khi đó: b   a    f (x)dx   f (t)  '(t)dt   g(t)dt Phép đổi biến thứ hai: Đặt t  (x) , đó: 62 MAT101_Bài 3_v2.3013101225 Bài 3: Phép tính tích phân (x) hàm số đơn điệu thực có đạo hàm liên tục  a, b  f (x)dx trở thành g(t)dt , g(t) hàm số liên tục đoạn  (a), (b)  b  (b) a  (a ) Khi đó:  f (x)dx   g(t)dt Ví dụ 18: a) Giả sử hàm số f (x) liên tục đoạn  a, a  Nếu f (x) hàm chẵn a a a  f (x)dx  2 f (x)dx a Nếu f (x) hàm lẻ  f (x)dx  a a a a a  f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx  I Thật ta có I   I2 Đối với tích phân I1, thay biến x   t , ta có: a I1   f ( t)dt a Do f (x) hàm lẻ thì: f (t)  f ( t)  ,  f (x)dx  a Nếu f (x) hàm chẵn thì: f (t)  f ( t)  2f (t) , b) Tính tích phân: J   a a a  f (x)dx  2 f (x)dx x 1 dx x 2ex Đặt xe x  t  (x  1)e x dx  dt 2e2 Suy ra: J   e 2e dt 2e    t te 2e 2 c) Tính tích phân: K   x  x dx  Đặt x  2sin t, (0  t  ) , ta có: dx  cos tdt,  x  cos t /2 /2 Vậy: K  16  sin t cos tdt   3.2.5 /  sin 4t  (1  cos 4t)dt   t     0  Ứng dụng tích phân xác định Xét biến số x nhận giá trị số khác cách ngẫu nhiên, gọi biến ngẫu nhiên Xác suất để biến ngẫu nhiên x nhận giá trị x cho MAT101_Bài 3_v1.0013101225 63 Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ hàm mật độ xác suất Hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên liên tục x hàm số liên tục f (x) thoả mãn điều kiện sau: f (x)  B Nếu miền biến thiên biến x đoạn  A, B  f (x)dx  A Xác suất để x nhận giá trị khoảng  a, b  tính công thức: b P  a  x  b    f (x)dx, (A  a  b  B) a Ví dụ 19: Gọi t thời gian xếp hàng để mua hàng cửa hàng lớn Qua số liệu thực nghiệm người ta ước lượng hàm mật độ xác suất: f (t)  t ,   t  5 125 Xác suất để khách hàng phải xếp hàng thời gian từ đến phút là: 3 3t t3 P dt   0,152 125 125 2 3.3 Tích phân suy rộng Khi định nghĩa tích phân xác định, xét hàm số xác định đoạn hữu hạn  a, b  bị chặn đoạn Trong phần mở rộng khái niệm tích phân, từ đưa vào khái niệm tích phân suy rộng với cận vô hạn tích phân hàm số không bị chặn 3.3.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn Giả sử f (x) hàm số xác định khoảng  a,   khả tích đoạn hữu hạn  a, A  , (a  A  ) Định nghĩa: A Giới hạn tích phân xác định  f (x)dx A   gọi tích phân suy rộng a hàm số f (x) khoảng  a,   ký hiệu sau:  A  f (x)dx  lim  f (x)dx a A  a  Nếu giới hạn tồn hữu hạn ta nói tích phân suy rộng  f (x)dx hội tụ Ngược a lại, không tồn giới hạn giới hạn vô ta nói tích phân phân kỳ 64 MAT101_Bài 3_v2.3013101225 Bài 3: Phép tính tích phân Tương tự ta định nghĩa tích phân hàm số f (x) khoảng  , a   ,   công thức sau: a  f (x)dx   Ta viết:    a  f (x)dx  a  A A  A  A ' A ' lim  f (x)dx A   f (x)dx   f (x)dx  lim  f (x)dx a  f (x)dx  hai ba tích phân nói hội tụ Từ định nghĩa ta suy phương pháp tính tích phân suy rộng với cận vô hạn Ví dụ 20:  dx  x ln x(ln ln x) a) Tính tích phân e2 A A dx 1 Ta có:     x ln x(ln ln x) ln ln x e2 ln ln ln A e2 A  lim A   Vậy: dx  x ln x(ln ln x)  b) Tính tích phân:  (x  A Trước hết ta tính  ln ln dx  1) 2  (x A' e2  e2 dx  x ln x(ln ln x) dx dx dt   cos tdt , đặt x  tg t  2  1) (1  x )  tg t arctg A arctg A A dx  cos 2t  t sin 2t  A ' (x  1)2  arctg A ' dt     arctg A '   Khi A  , A '   arctg A  ;arctg A '   2   dx   t sin 2t   suy ra:      (x  1)    c)   x sin xdx  lim  x sin xdx  lim   x cos x  sin x  A  lim  A cos A  sin A  A  A A  A  giới hạn không tồn tại, tích phân phân kỳ  d) Xét hội tụ tích phân: I  dx x  MAT101_Bài 3_v1.0013101225 65 Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ  (A1  1)   dx  Với A  , ta có:       x    ln A A A1  1  A     1 Với   : I  lim A1  Với   : I  lim   A    Với   : I  lim ln A   A  Do tích phân suy rộng I hội tụ   , phân kỳ   3.3.2 Tích phân suy rộng hàm số không bị chặn Giả sử f (x) hàm số xác định khoảng  a, b  khả tích đoạn  a, t  ; ( t  b bất kỳ), lim f (x)   Điểm x  b gọi điểm bất thường (điểm kỳ dị) x b hàm số f (x) Định nghĩa: t Giới hạn tích phân  f (x)dx t  b  ; gọi tích phân suy rộng hàm a số f (x) khoảng  a, b  ký hiệu sau: b t  f (x)dx  lim  f (x)dx t  b a a Nếu giới hạn vế phải tồn tại, ta nói tích phân suy rộng hội tụ Ngược lại không tồn giới hạn giới hạn vô cùng, ta nói tích phân phân kỳ Tương tự ta định nghĩa tích phân suy rộng hàm số f (x) không bị chặn khoảng  a, b   a, b  nhận x  a x  a, x  b làm điểm bất thường b b b t' t a t a  t ' b  t  f (x)dx  lim  f (x)dx  f (x)dx  lim  f (x)dx t a  a Đối với tích phân có hai điểm bất thường x  a, x  b , ta viết: b c b a a c  f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx hai ba tích phân nói hội tụ Ví dụ 21: a) 66  1 dx 1 x  lim  t 1 t dx 1 x  lim arcsin x  lim   arcsin t   t 1 t t 1  MAT101_Bài 3_v2.3013101225 Bài 3: Phép tính tích phân t dx  1 x 1 x 1   1 1 x 0 dx   lim  t 1 1 x  lim arcsin x  lim arcsin t  t 1 dx b) Xét hội tụ tích phân I   t dx  dx 1 x2 t 1    dx x Điểm bất thường hàm số x  1  t1    Với t   0,1 , ta có: I(t)   x  dx     t  ln t    1  t1  1  1  Với   I  lim t 0 1 1 t Với   : I  lim   t 0     ln t)   Với   : I  lim(  t 0 Vậy tích phân suy rộng I hội tụ   , phân kỳ   MAT101_Bài 3_v1.0013101225 67 Bài 3: Phép tính tích phân TÓM LƯỢC CUỐI BÀI Trong nghiên cứu vấn đề sau:  Nguyên hàm hàm số  Tích phân xác định hàm số đoạn  Tích phân bất định hàm số  Tích phân suy rộng cận vô hạn hàm không bị chặn Bài nghiên cứu định nghĩa, tính chất, phương pháp tính tích phân xác định tích phân xác định, hội tụ tích phân suy rộng Khi học, học viên cần nắm vững khái niệm, phương pháp tính tích phân, vận dụng thành thạo linh hoạt phương pháp tính tích phân khảo sát tích phân suy rộng 68 MAT101_Bài 3_v2.3013101225 Bài 3: Phép tính tích phân CÂU HỎI ÔN TẬP Hãy nêu công thức xác định hàm cận Từ chứng minh công thức Newton – Leibnitz Trình bày nội dung định lý đổi biến số tích phân xác định Ta sử dụng phép đổi biến x  để tính t MAT101_Bài 3_v1.0013101225 dx  1 x không? 1 69 Bài 3: Phép tính tích phân BÀI TẬP Sử dụng phương pháp khai triển biến đổi vi phân, tính tích phân sau a) x2   x  dx b) x 1  5x 1 dx c)  10 x e) e x dx  e x  tg xdx x dx d)  (x  2)5 / f)  sin xdx cos3 x Sử dụng phương pháp đổi biến tích phân phần, tính tích phân sau a) ln xdx  x  ln x b) sin x cos3 x   cos2 x dx c)  d)  x ln(1  x)dx f)  x arctg  x dx e)  e  x sin 2xdx xdx Tính tích phân sau 4x  dx a)  (2x  1)(x  5) b) 1 / c)  sin x x 1 dx  x 1 / x cos xdx  d) sin x sin 2x sin 3xdx  / Xét hội tụ tích phân suy rộng sau  a)  dx x  2x  b)  ln xdx 0 dx c)   x x 70 d) dx  (3  x) 2x MAT101_Bài 3_v2.3013101225 [...]... MAT101 _Bài 3_v1.0013101225 2 4 61 Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ 3.2.4 Các phương pháp tính tích phân xác định Ta đã biết công thức Newton – Leibnitz cho phép tính tích phân xác định khi đã biết nguyên hàm của hàm số dưới dấu tích phân, do đó các phương pháp tính tích phân bất định đều được sử dụng để tính tích phân xác định như là: Phương pháp khai triển, biến đổi vi phân, đổi biến và tích phân từng... nghiên cứu các định nghĩa, tính chất, phương pháp tính cơ bản của tích phân xác định và tích phân xác định, sự hội tụ của tích phân suy rộng Khi học, học viên cần nắm vững các khái niệm, các phương pháp tính tích phân, vận dụng thành thạo và linh hoạt các phương pháp đó trong tính tích phân và khảo sát tích phân suy rộng 68 MAT101 _Bài 3_v2.3013101225 Bài 3: Phép tính tích phân CÂU HỎI ÔN TẬP Hãy nêu... lim(  t 0 Vậy tích phân suy rộng I hội tụ khi và chỉ khi   1 , phân kỳ khi và chỉ khi   1 MAT101 _Bài 3_v1.0013101225 67 Bài 3: Phép tính tích phân TÓM LƯỢC CUỐI BÀI Trong bài này chúng ta nghiên cứu các vấn đề sau:  Nguyên hàm của một hàm số  Tích phân xác định của hàm số trên một đoạn  Tích phân bất định của một hàm số  Tích phân suy rộng cận vô hạn và của hàm không bị chặn Bài này nghiên... chứng minh công thức Newton – Leibnitz Trình bày nội dung định lý đổi biến số đối với tích phân xác định Ta có thể sử dụng phép đổi 1 biến x  để tính t MAT101 _Bài 3_v1.0013101225 1 dx  1 x 2 được không? 1 69 Bài 3: Phép tính tích phân BÀI TẬP 1 Sử dụng phương pháp khai triển và biến đổi vi phân, tính các tích phân sau a) x2  3  x 2  1 dx b) 2 x 1  5x 1 dx c)  10 x e) e x dx  e x  tg... của tích phân xác định  f (x)dx khi A   được gọi là tích phân suy rộng a của hàm số f (x) trên khoảng  a,   và ký hiệu như sau:  A  f (x)dx  lim  f (x)dx a A  a  Nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn ta nói tích phân suy rộng  f (x)dx hội tụ Ngược a lại, nếu không tồn tại giới hạn này hoặc giới hạn bằng vô cùng ta nói tích phân đó phân kỳ 64 MAT101 _Bài 3_v2.3013101225 Bài 3: Phép tính tích. .. b  và I được gọi là tích phân xác định của hàm số f (x) trên đoạn  a, b  , và ký hiệu: b I   f (x)dx a a, b tương ứng được gọi là cận dưới và cận trên của tích phân Ví dụ 14: Xét hàm hằng f (x)  C, x   0,1 MAT101 _Bài 3_v1.0013101225 57 Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ Với một phân hoạch  bất kỳ của đoạn  0,1 và cách chọn điểm i   x i , x i 1  , ta lập tổng tích phân: n 1 n 1 i0 i0... (x) cũng khả tích trên mỗi đoạn  a, c ;  c, b  và MAT101 _Bài 3_v1.0013101225 59 Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ b c b a a c  f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx Tính chất tuyến tính của tích phân xác định b b b a a a  f (x)  g(x) dx    f (x)dx   g(x)dx trong đó ,  là các hằng số và f (x);g(x) là các hàm số khả tích trên đoạn  a, b  Giả sử f (x), g(x) là hai hàm số khả tích trên đoạn... không tồn tại, do đó tích phân phân kỳ  d) Xét sự hội tụ của tích phân: I  dx x  1 MAT101 _Bài 3_v1.0013101225 65 Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ  (A1  1) khi   1 dx  Với mọi A  1 , ta có:     1   x 1  khi   1 ln A A A1  1 1  A  1    1 Với   1 : I  lim A1  1 Với   1 : I  lim   A  1   Với   1 : I  lim ln A   A  Do đó tích phân suy rộng I hội... ; i  x i hoặc i  x i 1 n n MAT101 _Bài 3_v2.3013101225 Bài 3: Phép tính tích phân Ví dụ 15: 1 Tính tích phân  x 2 dx 0 Dễ thấy hàm số f (x)  x 2 liên tục và do đó khả tích trên đoạn  0,1 Phân hoạch đoạn 0,1 bởi các điểm chia 0  x 0  x1   x i  Chọn điểm i  x i 1  i   x n  1 n i 1 , ta có tổng tích phân ứng với phân hoạch nói trên và cách n 2 1 n 1  i  1  1 n 2 n(n  1)(2n... sin 2x sin 3 2x   I2       C 8 2 2 8 2 6  Đối với tích phân I 2 sau khi sử dụng công thức hạ bậc lần thứ nhất ta cũng có thể tiếp tục hạ bậc của biểu thức lượng giác dưới dấu tích phân bởi công thức: sin 3 x  54 3sin x  sin 3x 3cos x  cos 3x ;cos3 x  4 4 MAT101 _Bài 3_v2.3013101225 Bài 3: Phép tính tích phân Áp dụng vào tích phân I 2 , ta có: 1  1  cos 4x 3cos 2x  cos 6x   1  cos2x ... phân công thức: sin x  54 3sin x  sin 3x 3cos x  cos 3x ;cos3 x  4 MAT101_Bài 3_ v2 .30 131 01225 Bài 3: Phép tính tích phân Áp dụng vào tích phân I , ta có:   cos 4x 3cos 2x  cos 6x   1... ngược Ví dụ 17: Tính tích phân: I   xe3x dx du  dx u  x   Đặt:  e3x 3x dv  e dx  v   1 xe3x e3 2e3  suy ra: I    e3x dx   e3x  30 9 3. 2.4.2 Phương pháp đổi biến b Giả sử... C MAT101_Bài 3_ v2 .30 131 01225 Bài 3: Phép tính tích phân dx tg x  cos4 x   (1  tg x)d(tg x)   tg x  C  x  3x dx  I 1  3x d(1  3x )   arccos x arcsin x I 1 x2   3x  C  