Giáo trình xác suất thống kê bài 3

Bài 3: Một số quy luật phân phối xác suất quan trọng BÀI 3: MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT QUAN TRỌNG Các kiến thức cần có Mục tiêu Các quy luật phân phối xác suất chủ yếu biến ngẫu nhiên thường gặp thực tế nội dung Các quy luật phân phối xác suất tham số chúng sở đặt móng cho phần Thống kê toán môn học • Quy luật phân phối không − A(p); • Khái niệm; • Các tham số đặc trưng; • Quy luật phân phối nhị thức B(n, p); • Khái niệm; • Các tham số đặc trưng; • Quy luật phân phối Poisson; • Khái niệm; • Các tham số đặc trưng; F ( n1 , n ) • Quy luật phân phối U [a, b]; • Khái niệm; • Các tham số đặc trưng; • Quy luật phân phối chuẩn N ( μ, σ2 ) ; • Khái niệm; • Các tham số đặc trưng; • Phân phối chuẩn tắc; • Công thức xác suất biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn; • Giá trị tới hạn chuẩn tắc; • Quy luật phân phối Khi − bình phương χ (n) ; • Quy luật phân phối Student T(n); • Quy luật phân phối Fisher − Snedecor F (n1, n2); • Quy luật phân phối lũy thừa Thời lượng • tiết 75 Bài 3: Một số quy luật phân phối xác suất quan trọng TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG BÀI Tình Siêu thị Metro nhận thấy thời gian số lượng khách hàng phải đợi quầy để chờ toán lâu Siêu thị định cần thêm số quầy phục vụ Số lượng quầy phục vụ sau nâng cấp hợp lý? Biết: Thời gian phục vụ trung bình 01 khách phút Điều tra 100 Đếm số khách hàng đến quầy phục vụ vòng môt giờ: Số khách/giờ Số lần 100 200 300 400 500 600 700 13 27 27 18 1 Câu hỏi Biểu diễn bảng phân phối xác suất tiền lãi bảo hiểm khả nhận lãi? Số tiền lãi trung bình bao nhiêu? Nếu bán bảo hiểm cho 10000 khách hàng số tiền lãi trung bình thu bao nhiêu? 76 Bài 3: Một số quy luật phân phối xác suất quan trọng 3.1 Quy luật phân phối không−một A(p) 3.1.1 Khái niệm Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận hai giá trị có với xác suất tương ứng cho công thức: P ( X = x ) = p x q1 − x < p < , q = − p x = 0;1 (3.1) gọi có phân phối theo quy luật − với tham số p, ký hiệu X ~ A ( p ) Bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X có phân phối không − dạng: X P q p Ví dụ 1: Tỷ lệ thí nghiệm thành công viện nghiên cứu 25% Gọi X số thí nghiệm thành công chọn ngẫu nhiên thí nghiệm Khi X biến ngẫu nhiên nhận hai giá trị với xác suất tương ứng là: P ( X = ) = ( 0, 25 ) × ( 0, 75 ) = 0, 75 P ( X = 1) = ( 0, 25 )1 × ( 0, 75 )0 = 0, 25 Vậy X biến ngẫu nhiên có phân phối A(0.25) 3.1.2 Các tham số đặc trưng Cho X ~ A(p), ta có: E ( X ) = × q + 1× p = p ( ) (3.2) E X = 02 × q + 12 × p = p ( ) V ( X ) = E X − ⎡⎣ E ( X ) ⎤⎦ = p − p2 = pq (3.3) σX = pq (3.4) Ví dụ 2: Với biến ngẫu nhiên X Ví dụ 1, ta có: E( X) =0,25 V ( X ) = 0, 25 × 0, 75 = 0,1875 Trên thực tế, quy luật không – thường áp dụng để mô tả cho dấu hiệu định tính có hai thuộc tính/phạm trù Các toán đặc trưng Hình 3.1: Biến ngẫu nhiên 77 Bài 3: Một số quy luật phân phối xác suất quan trọng nghiên cứu giới tính khách hàng phân tích chiến lược marketing nghiên cứu tỷ lệ chính/phế phẩm dây chuyền sản xuất,… Nếu dấu hiệu định tính có nhiều hai thuộc tính sử dụng nhiều biến ngẫu nhiên phân phối không – nghiên cứu Kết luận: Phân bố không − A(p) phân bố biến ngẫu nhiên rời rạc nhận hai giá trị, hoàn toàn xác định tham số p, kỳ vọng 3.2 Quy luật phân phối Nhị thức B(n, p) 3.2.1 Khái niệm Biến ngẫu nhiên rời rạc X gọi có phân phối theo quy luật nhị thức với tham số p, ký hiệu X ~ B ( n, p ) , X nhận giá trị 0, 1, 2, , n với xác suất tương ứng cho công thức Bernoulli: p ( X = x ) = Cnx p x q n − x x = 0,1, , n q = 1− p (3.5) Ví dụ 1: Tỷ lệ thí nghiệm thành công viện nghiên cứu 25% Tiến hành quan sát thí nghiệm viện nghiên cứu Gọi X số thí nghiệm thành công thí nghiệm Khi X nhận giá trị: 0, 1, 2, 3, 4, với xác suất P ( X = x ) = C5x ( 0, 25 ) x ( 0, 75)5−x với x = 0,1, ,5 Vậy X biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(5, 0,25) 3.2.2 Các tham số đặc trưng Xét X i (i = 1, 2, … , n) biến ngẫu nhiên độc lập, có phân phối A(p) Lập tổng biến ngẫu nhiên đó: n X = ∑ Xi i =1 Khi dễ dàng chứng minh biến ngẫu nhiên tổng có phân phối nhị thức, X ~ B ( n, p ) Áp dụng tính chất tình chất phân phối không − một, cụ thể là: E ( Xi ) = p V ( X i ) = pq ∀i = 1, , n 78 Bài 3: Một số quy luật phân phối xác suất quan trọng Ta tính kỳ vọng phương sai phân phối nhị thức sau: n n i =1 i =1 n n i =1 i =1 E ( X ) = E(∑ X i ) = ∑ E(X i ) = np V(X) = V(∑ X i ) = ∑ V(X1 ) = npq (3.6) (3.7) Mốt X giá trị x0 cho giá trị p(X = x ) công thức (3.5) đạt cực đại Ta np – q số nguyên vế phải (3.5) đạt cực đại hai giá trị x = np − q x + = np − q + = (n + 1)p Còn np − q số nguyên vế phải (3.5) đạt cực đại điểm x = [(n + 1)p] , ký hiệu [t] dùng để phần nguyên số i, tức số nguyên lớn không vượt t Ví dụ 2: Với biến ngẫu nhiên X Ví dụ 1, ta có: E ( X ) = × 0.25 = 1.25 V ( X ) = × 0.25 × 0.75 = 0.9375 Kết luận: Phân bố nhị thức B(n,p) phân bố xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc nhận (n+1) giá trị, hoàn toàn xác định hai tham số n, số phép thử, p, kỳ vọng 3.3 Quy luật phân phối Poisson 3.3.1 Khái niệm Biến ngẫu nhiên rời rạc X gọi có phân phối Poisson với tham số λ , ký hiệu X ~ P ( λ ) , X nhận giá trị 0,1,2, ,n, với xác suất tương ứng cho công thức: P ( X = x ) = e −λ λx x! với x = 0,1, 2, , n, λ > (3.8) Phân phối Poisson có ứng dụng trình liên quan đến số quan sát với đơn vị thời gian không gian, chẳng hạn số điện thoại nhận trạm điện phút, số người xếp hàng chờ toán quầy thu tiền siêu thị, v.v 3.3.2 Các tham số đặc trưng Cho biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson X ~ P ( λ ) Lúc ta dễ dàng chứng minh rằng: E ( X ) = λ, V ( X ) = λ 79 Bài 3: Một số quy luật phân phối xác suất quan trọng Mốt X (tức P(λ) ) giá trị x cho CHÚ Ý giá trị công thức (3.8) đạt cực đại Ta chứng minh λ số nguyên phân phối P(λ) có hai mốt λ − λ , λ Người ta chứng minh rằng, với n lớn p đủ bé, biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B (n, p) hội tụ nhanh biến ngẫu nhiên có phân phối số nguyên mốt P(λ) [λ] , số nguyên lớn không vượt λ Ví dụ 1: Một trạm cho thuê xe taxi có xe, hàng ngày phải nộp thuế 80 nghìn/xe Mỗi xe cho thuê với giá 200 nghìn/ngày Giả sử yêu cầu thuê xe trạm biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham số λ = Poisson P ( λ ) với λ = np a Tính xác suất ngày có khách thuê (lấy e ≅ 2,718 ) b Tính tiền lãi trung bình trạm thu ngày Giải: e−3 × 33 ≅ 0, 2241 3! b Gọi Y tiền lãi trạm thu ngày, ta xét trường hợp sau a Xác suất để ngày có khách thuê xe là: P ( X = 3) = • Không có xe thuê: P ( Y = −240 ) = P ( X = ) = e −3 × 30 ≅ 0, 0498 0! • Có xe thuê: P ( Y = −40 ) = P ( X = 1) = e −3 × 31 ≅ 0,1494 1! • Có xe thuê: P( Y =160 ) = P( X = 2) e−3 ×32 ≅ 0,2241 2! • Có xe thuê: P ( Y = 360 ) = P ( X ≥ 3) = − ∑ P ( X = i ) = 0,5767 i=0 Vậy tiền lãi trung bình trạm ngày là: E ( Y ) = − 240 × 0, 0498 − 40 × 0,1494 + 160 × 0, 2241 + 360 × 0, 5767 = 225, 54 (nghìn) Kết luận: Phân bố Poisson (3.8) phân bố xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc nhận vô số giá trị, hoàn toàn xác định tham số λ , kỳ vọng 80 Bài 3: Một số quy luật phân phối xác suất quan trọng 3.4 Quy luật phân phối U [a; b] 3.4.1 Khái niệm Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi có phân phối đoạn [a; b], ký hiệu: X ~ U [ a; b ] , hàm mật độ xác suất có dạng: ⎧ ⎪ f (x) = ⎨b − a ⎪0 ⎩ x ∈[ a; b] (3.10) x ∉[ a; b] f(x) a-b a b x a b x f(x) Hình 3.2: Hàm mật độ xác suất f(x) hàm phân phối F(x) luật phân phối Hàm phân phối X xác định giá trị tích phân sau đây: ⎧0 ⎪x −a ⎪ F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = ⎨ −∞ ⎪b −a ⎩⎪1 x xb CHÚ Ý Trong máy tính thông dụng có trang bị mô đun phần mềm nhỏ để tạo số ngẫu nhiên Thông thường số ngẫu nhiên có phân bố U[0;1] Từ số ngẫu nhiên người ta tạo số ngẫu nhiên nhiều loại phân bố khác Ví dụ 1: Một xe buýt xuất bến đợi 15 phút chuyến Một hành khách tới biến vào thời điểm ngẫu nhiên Gọi X thời gian chờ xe hành khách Khi X có phân bố khoảng (0; 15) a Viết hàm phân phối xác suất X 81 Bài 3: Một số quy luật phân phối xác suất quan trọng b Tìm xác suất để hành khách phải đợi phút; nhiều 10 phút Giải: Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất ⎧1 ⎪ f ( x ) = ⎨15 ⎪0 ⎩ x ∈ ( 0;15 ) x ∉( 0;15 ) • Hàm phân phối biến ngẫu nhiên X là: x≤ ⎧0 ⎪x ⎪ F(x) = ⎨ ⎪15 ⎪⎩1 x ∈ ( 0;15 ) x ≥ 15 • Xác suất để hành khách phải đợi phút là: 1 P ( X < ) = F ( ) − F ( −∞ ) = − = 3 Xác suất để hành khách phải đợi 10 phút là: P ( X >10 ) = F ( +∞ ) − F (10 ) = − = 3 Ví dụ 2: Khi thâm nhập thị trường mới, doanh nghiệp chưa thể khẳng định chắn doanh thu hàng tháng Với phân tích dự báo số khoảng từ 20−40 triệu đồng/tháng Tìm xác suất để doanh nghiệp đạt tối thiếu 35 triệu/tháng Giải: Gọi X doanh thu hàng tháng mà doanh nghiệp đạt thị trường Do thêm thông tin nên coi X biến ngẫu nhiên phân phối khoảng (20;40) Hàm mật độ xác suất X có dạng sau: ⎧ ⎪ f (x)=⎨ ⎪⎩ 40 − 20 = 0,05 x ∉ (20;40) x ∈(20;40) Khi xác suất để doanh nghiệp có doanh thu tối thiểu hàng tháng 35 triệu tính công thức: P ( X > 35 ) = ∫ +∞ 35 82 40 f ( x ) dx = ∫ 0,05dx = 0,05x 35 = 0,25 35 40 Bài 3: Một số quy luật phân phối xác suất quan trọng 3.4.2 Các tham số đặc trưng Cho X ~ U [ a; b ] đó: E (X) = +∞ ∫ xf ( x ) dx = −∞ b =∫ a a ∫ −∞ b +∞ a b xf ( x ) dx + ∫ xf ( x ) dx + x x2 dx = b−a b−a b = a ∫ xf ( x ) dx b2 − a a + b = b−a (3.12) +∞ a b E X = ∫ x 2f ( x ) dx = ∫ x 2f ( x ) dx + ∫ x 2f ( x )dx −∞ −∞ a ( ) +∞ a b E ( X ) = ∫ x f ( x ) dx = ∫ x f ( x ) dx + ∫ x f ( x )dx a −∞ −∞ b b x2 x3 b3 − a dx = =∫ = = ( b + ab + a ) b−a a b−a a b−a Từ suy ra: V (X) = ( b − a )2 ⎛a+b⎞ b + ab + a − ⎜ ⎟ = 12 ⎝ ⎠ ( ) (3.13) Kết luận: Phân bố U[a;b] phân phối xác suất biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị đoạn thẳng [a;b] hoàn toàn xác định hai tham số a b, hai đầu mút đoạn thẳng ( 3.5 Quy luật phân phối chuẩn N μ,σ 3.5.1 Khái niệm ) Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi có phân phối theo quy luật chuẩn, ký hiệu X N μ, σ2 , ( ) hàm mật độ xác suất có dạng: f (x)= e σ 2π −( x −μ ) 2σ2 a (3.14) Hình 3.3: Quy luật phân phối chuẩn Đường cong mật độ có dạng hình chuông (the bell curve), đối xứng qua đường x = μ nhận Ox làm tiệm cận ngang Đỉnh hàm mật độ đạt tại: 83 Bài 3: Một số quy luật phân phối xác suất quan trọng max f ( x ) = f ( μ ) = σ 2π (3.15) Hàm phân phối xác suất X có dạng: F( x) = x ∫e σ 2π −∞ −( x −μ ) 2σ2 (3.16) dx Đường cong hàm phân phối tiệm cận ngang trái với trục Ox, tiệm cận ngang phải với đường thẳng y = 1, đối xứng tâm qua điểm (µ ; 0,5) ƒ(x) sÖ2p m x m x F(x) 0,5 Hình 3.4: Hàm mật độ hàm phân phối luật phân phối chuẩn X N ( μ, σ ) Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn thường gặp nhiều thực tế, đóng vai trò quan trọng lý thuyết xác suất chiếm vị trí trung tâm kết luận thống kê đề cập đến tiếp sau giáo trình 3.5.2 Các tham số đặc trưng ( ) Cho X N μ, σ , chứng minh rằng: E (X) = μ V ( X ) = σ2 Thật vậy, ta có: +∞ E (X) = ∫ x.e σ 2π −∞ Đặt t = 84 −( x −μ ) 2σ 2 dx x −μ , ta có x = σt + μ Do dt = dx thế: σ σ (3.17) Bài 3: Một số quy luật phân phối xác suất quan trọng Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên chuẩn tắc U ký hiệu Φ ( x ) Để xác định Φ ( x ) trước tiên ta định nghĩa hàm Φ ( x ) sau: x x2 − dx e Φ0 ( x ) = 2π ∫0 (3.20) Dễ dàng thấy: x2 x2 x2 − − − x x 1 Φ(x)= ∫ e dx = ∫ e dx + ∫ e dx 2π −∞ 2π −∞ 2π Φ(x)= + Φ ( x ) (3.21) Do để tính giá trị hàm Φ ( x ) , ta cần tính giá trị hàm Φ ( x ) ƒ(x) 0,3 0,2 0,1 F(x) x 0,5 F0(x) x 0,5 x -0,5 Hình 3.5: Đồ thị hàm mật độ xác suất, hàm phân phối biến ngẫu nhiên chuẩn tắc hàm Φ0 ( x ) CHÚ Ý Đối với x < , giá trị hàm Φ ( x ) tra bảng phụ lục Hàm Φ ( x ) đối xứng qua gốc tọa độ, x < ,có thể xác định giá trị hàm qua đẳng thức: Φ ( x ) = − Φ ( − x ) 86 Bài 3: Một số quy luật phân phối xác suất quan trọng Ví dụ.1: Tra bảng giá trị hàm Φ (x) ta có: Φ (1,96 ) = 0, 475; Φ (1, 645 ) = 0, 45 Φ ( −1,96 ) = −0, 475 Từ định nghĩa tính chất hàm phân phối xác suất, với biến ngẫu nhiên chuẩn hoá U ta có công thức tính xác suất sau: P ( U < a ) = Φ (a ) = + Φ0 ( a ) ; P ( U > a ) =1 − Φ ( a ) = − Φ0 ( a ) ; P (a < U < b ) = Φ ( b) − Φ (a ) = Φ0 ( b ) − Φ0 (a ) Ví dụ 2: Từ bảng giá trị hàm Φ ( u ) ta có: P ( U < 1,96 ) = 0,5 + Φ (1,96 ) = 0,975; P ( U < 1, 645 ) = 0,5 − Φ (1, 645 ) = 0,5 − 0, 45 = 0, 05; P ( −1,96 < U < 1, 645 ) = Φ (1, 645 ) − Φ ( −1,96 ) = Φ (1, 645 ) + Φ (1,96 ) = 0, 45 + 0, 475 = 0,925 3.5.4 Công thức xác suất biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn Trên ta có số công thức tính toán xác suất cho biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn tắc N ( 0;1) Đối với trường hợp tổng quát biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn X ~ N ( μ; σ2 ) , ta thông qua phép biến đổi thích hợp để đưa trường hợp biến ngẫu nhiên chuẩn tắc Cụ thể, dễ dàng chứng minh phép đổi biến: U= X −μ σ (3.2.2) giúp thực việc trên, tức ta có biến ngẫu nhiên chuẩn tắc U ~ N ( 0;1) Từ đó, ta có công thức tính xác suất cho biết ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỷ vọng μ phương sai σ2 sau: ⎛ a −μ X −μ b−μ ⎞ P (a < X < b) = P ⎜ < < ⎟ σ σ ⎠ ⎝ σ b−μ ⎞ ⎛ a −μ =P⎜ a ) = P ⎜ > ⎟=P⎜U > ⎟ = 0, − Φ ⎜ ⎟ σ ⎠ σ ⎠ ⎝ σ ⎝ ⎝ σ ⎠ (3.25) Đặc biệt, ta có: P ( X − μ < ε ) = P ( −ε ≤ X − μ ≤ +ε ) = P (μ − ε ≤ X ≤ μ + ε) ⎛ε⎞ ⎛ −ε ⎞ ⎛ε⎞ = Φ ⎜ ⎟ − Φ ⎜ ⎟ = 2Φ ⎜ ⎟ ⎝σ⎠ ⎝ σ⎠ ⎝σ⎠ (3.26) Trong trường hợp đặc biệt: • Khi ε = 2σ , ta có: P ( X − μ < 2σ ) = P ( μ − 2σ < X < μ + 2σ ) = 2Φ ( ) ≅ 0,9544 (3.27) Công thức gọi quy tắc σ , quy tắc cho thấy xác suất để biến ngẫu nhiên chuẩn N ( μ; σ2 ) nhận giá trị khoảng ( μ − 2σ; μ + 2σ ) xấp xỉ 0,9544 • Khi ε = 3σ , ta có: P ( X − μ < 3σ ) = P ( μ − 3σ < X < μ + 3σ ) = 2Φ ( 3) ≅ 0,997 (3.28) Công thức gọi quy tắc σ , quy tắc cho thấy có tới 99,7 % giá trị biến ngẫu nhiên chuẩn N ( μ; σ2 ) nằm khoảng ( μ − 3σ; μ + 3σ ) Ví dụ 3: Năng suất loại ăn biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với suất trung bình 20kg/cây độ lệch chuẩn 2,5 kg Cây đạt tiêu chuẩn hàng hoá có suất tối thiểu 15 kg a Hãy tính tỷ lệ đạt tiêu chuẩn hàng hoá b Nếu đạt tiêu chuẩn hàng hoá lãi 500 ngàn đồng ngược lại không đạt tiêu chuẩn làm lỗ triệu đồng Người ta thu hoạch ngẫu nhiên lô gồm 100 cây, tính tiền lãi trung bình cho lô Giải: Gọi X suất loại ăn Theo giả thiết X biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N μ; σ với μ = 20, σ = 2,5 ( ) • Áp dụng công thức (3.25) ta thấy tỷ lệ đạt tiêu chuẩn hàng hoá là: 88 Bài 3: Một số quy luật phân phối xác suất quan trọng ⎛ 15 − 20 ⎞ P ( X ≥ 15 ) = 0, − Φ ⎜ ⎟ = 0, − Φ ( −2 ) = 0,5 + Φ ( ) = 0, + 0, 4772 = 0,9772 ⎝ 2,5 ⎠ • Gọi Y tiền lãi cây, ta có bảng phân phối xác suất Y Y -1000 500 P 0,0228 0,9772 Tiền lãi trung bình lô là: E (100Y ) = 100 × E ( Y ) = 100 × ( −1.000 × 0, 0228 + 500 × 0, 9772 ) = 46.580 (nghìn) 3.5.5 Giá trị tới hạn chuẩn tắc Giá trị u α gọi giá trị tới hạn chuẩn tắc mức α ( ≤ α ≤ 1) biến ngẫu nhiên U nếu: P ( U > u α ) =α (3.29) Minh họa Hình 3.4, ta thấy u α tọa độ trục Ox xác định cho diện tích tam giác cong bên phải đường thẳng x = u α , giới hạn đường cong hàm mật độ ϕ ( x ) trục Ox , α ` j(x) 0,3 0,2 a = 0,05 -2 -1 X Ua = 0,05 Hình 3.6: Giá trị tới hạn u α phân phối chuẩn tắc tương ứng với mức tới hạn α CHÚ Ý • Giá trị u α tra bảng phụ lục • Dễ dàng chứng minh được: u1−α = − u α • Rõ ràng giá trị tới hạn u α phân phối chuẩn tắc phân vị (1 − α ) phân phối 89 Bài 3: Một số quy luật phân phối xác suất quan trọng Ví dụ 4: Tra bảng giá trị tới hạn chuẩn tắc ta được: u 0,025 = 1,96; u 0,05 = 1, 645; u 0,95 = − 1, 645 Có nghĩa là: P ( U > 1,96 ) = 0, 025; P ( U >1, 645 ) = 0, 05; P ( U > −1, 645 ) = 0,95 Kết luận: Phân bố chuẩn N ( μ; σ2 ) phân bố xác suất biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị trục số thực, hoàn toàn xác định hai tham số kỳ vọng μ phương sai σ 3.6 Quy luật phân phối − bình phương χ (n) Nếu X1 , X , , X n biến ngẫu nhiên độc lập phân phối chuẩn tắc N (0;1) thì: n χ2 = ∑Xi2 i=1 biến ngẫu nhiên có quy luật phân phối xác suất gọi luật phân phối Khi − bình phương với n bậc tự do, kí hiệu χ (n) Phân phối xác suất Khi − bình phương Gosset nghiên cứu từ năm cuối kỷ 19 Năm 1900 Pearson đưa dạng giải tích cho hàm mật độ phân phối Khi − bình phương Cụ thể, ông biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật Khi − bình phương với bậc tự n ( X χ (n) có hàm mật độ xác suất: ⎧ x n / 2−1e − x / ⎪ f ( x ) = ⎨ 2n / Γ(n / 2) ⎪0 ⎩ Trong đó: ∞ Γ ( a ) = ∫ x a −1e − x dx ; 90 a >1 x > , n > x ≤ (3.30) 0,5 Bài 3: Một số quy luật phân phối xác suất quan trọng a: n = 1,5 b: n = c: n = d: n = e: n = 6,2 a 0,3 0,4 b 0,2 c 0,1 d 0,0 e Hình 3.7: Hàm mật độ xác suất phân phối Khi − bình phương với bậc tự 1,5; 2; 3; 6,2 Người ta chứng minh được, χ biến ngẫu nhiên có phân phối X χ (n) thì: E(χ2 ) = n V(χ2 ) = 2n (3.31) Giá trị tới hạn mức α phân phối χ (n) , ký hiệu: χα2 (n) xác định qua đẳng thức: P(χ2 > χα2 (n)) = α (3.32) Giá trị tra bảng phụ lục: n=4 P(x > 7.779) = 0,1 X Hình 3.8: Diện tích phần đuôi giá trị tới hạn phân phối Khi−bình phương với bậc tự mức ý nghĩa α = 0,1 91 Bài 3: Một số quy luật phân phối xác suất quan trọng CHÚ Ý Người ta chứng minh số bậc tự tăng đến vô cùng, biến ngẫu nhiên có phân phối Khi-bình phương χ2 (n) hội tụ biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Do với bậc tự đủ lớn (n > 40), ta tính xấp xỉ giá trị tới hạn phân phối chuẩn tắc (sau tiến hành quy tâm với kỳ vọng n chuẩn hóa cách chia cho phương sai 2n) Ví dụ 1: Tra bảng phụ lục ta có: (4) = 7, 779; χ0,1 χ0, 025 (15) = 27, 49; (20) = 31, 41; χ0, 05 (25) =14, 61; χ0,95 (30) =16, 79 χ0,975 Có nghĩa là: P(χ (4) > 7, 779) = 0,1; P(χ (15) > 27, 49) = 0, 025; P(χ (20) > 31, 41) = 0, 05; P(χ (25) > 14, 61) = 0, 95; P(χ (30) > 16, 79) = 0, 975; Kết luận: Phân bố Khi−bình phương χ ( n ) phân phối xác suất biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị nửa đường thẳng thực dương hoàn toàn xác định tham số n, bậc tự 3.7 Quy luật phân phối Student T(n) Cho U, V biến ngẫu nhiên độc lập, U ~ N ( 0;1) V χ ( n ) , đó: T= U V/n (3.33) biến ngẫu nhiên có quy luật phân phối xác suất gọi quy luật Student với n bậc tự do, kí hiệu T(n) Hàm mật độ xác suất phân phối có dạng: n +1 ) × f (x)= ; n x Γ( ) n.π (1 + )(n + 1) / 2 n Γ( 92 n >0 , −∞< x 30), lấy giá trị tới hạn t α (n) ≅ u α Tuy nhiên cần phải ý sai số phép xấp xỉ lớn n nhỏ Ví dụ: Tra bảng phụ lục ta có T0,025 (15 ) = 2,131; T0,05 = ( 20 ) = 1, 725; T0,95 ( 25 ) = −T( 0,05) ( 25 ) = −41, 708; T0,025 ( 30 ) = −2, 042 Có nghĩa là: P(T(15) > 2,131) = 0, 025; P ( T ( 20 ) > 1, 725 ) = 0, 05; P ( T ( 25 ) > −1, 708 ) = 0,95; P ( T ( 30 ) > −2, 042 ) = 0,975 93 Bài 3: Một số quy luật phân phối xác suất quan trọng Kết luận: Phân bố Student T ( n ) phân phối xác suất biến ngẫu nhiên liên tục đối xứng nhận giá trị trục số thực hoàn toàn xác định bậc tự n 3.8 Quy luậ phân phối Fisher - Snedecor F (n1, n2) Cho hai biến ngẫu nhiên V1 , V2 phân phối theo quy luật Khi − bình phương với bậc tự tương ứng n1 n , đó: F= V /n 1 V /n 2 biến ngẫu nhiên có luật phân phối xác suất gọi quy luật Fisher−Snedecor với (n1,n ) bậc tự do, kí hiệu F ( n1 , n ) Phân phối xác suất có hàm mật độ dạng: n +n Γ( ) ⎛ n ⎞(n1 / 2) (n / − 1) ⎛ n f (x)= x ⎜ 1⎟ ⎜1 + ⎜ n n1 n ⎜ n ⎟ ⎝ Γ ( )Γ ( ) ⎝ ⎠ 2 ⎞ x⎟ ⎟ ⎠ -(n1+n )/2 (3.36) với x > , n1 > 0, n > , Γ hàm định nghĩa công thức (3.30) Đồ thị hàm mật độ phân phối F ( n1 , n ) có dạng giống hàm mật độ Khi − bình phương 0,20 0,18 ,16 0,14 0,12 0,10 0,08 ,06 0,04 0,02 0,00 10 15 20 Hình 3.10: Hàm mật độ xác suất phân phối Fisher − Snedecor với bậc tự khác Người ta chứng minh được, F biến ngẫu nhiên có phân phối F ( n1;n ) , thì: E ( F) = 94 n2 n2 − ; V ( F) = ( ) 2n 22 n1 + n 22 − n1 n − n2 − ( )( ) (3.37) Bài 3: Một số quy luật phân phối xác suất quan trọng Giá trị tới hạn mức α phân phối F ( n1;n ) , ký hiệu f α (n1, n ) , xác định qua đẳng thức: ( ) P F > f α (n1, n ) = α (3.38) Giá trị tra bảng Phụ lục Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có, F ~ F ( n1 , n ) ~ F(n ,n1 ) , đó: F f1 − α (n1, n ) = fα (n , n1) Ví dụ: Tra bảng phụ lục ta có: f0, 025 (15,10) = 3,52 f0, 05 (20,15) = 2,33 f0,95 (20,15) = 1 = = 0, 4545 f 0,95 (15, 20) 2.2 Có nghĩa là: P ( F (15,10 ) > 3,52 ) = 0, 025; P ( F ( 20,15 ) > 2,33) = 0, 05; P ( F ( 20,15 ) > 0, 4545 ) = 0,95 Kết luận: Phân bố Fisher−Snedecor F ( n1 , n ) phân phối xác suất biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị nửa đường thẳng thực dương hoàn toàn xác định hai bậc tự ( n1 , n ) 3.9 Quy luật phân phối lũy thừa Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi phân phối theo quy luật lũy thừa (quy luật mũ) hàm mật độ xác suất có dạng: ⎧⎪0 f (x) = ⎨ −λx ⎪⎩λe x[...]... , n > 0 khi x ≤ 0 (3. 30) 0,5 Bài 3: Một số quy luật phân phối xác suất quan trọng a: n = 1,5 b: n = 2 c: n = 3 d: n = 4 e: n = 6,2 a 0 ,3 0,4 b 0,2 c 0,1 d 0,0 e 0 6 4 2 8 Hình 3. 7: Hàm mật độ xác suất của phân phối Khi − bình phương với các bậc tự do 1,5; 2; 3; 4 và 6,2 Người ta chứng minh được, nếu χ 2 là biến ngẫu nhiên có phân phối X χ 2 (n) thì: E(χ2 ) = n và V(χ2 ) = 2n (3. 31) Giá trị tới hạn... khá giỏi b Tính xác suất để trong 3 em học sinh bất kỳ có đúng 1 em xếp loại giỏi 99 Bài 3: Một số quy luật phân phối xác suất quan trọng 8 Tỷ lệ người tham gia bảo hiểm y tế ở một vùng là 75% điều tra 100 người trong vùng a Tính xác suất để có ít nhất 80 người tham gia bảo hiểm b Tính xác suất để tỷ lệ người tham gia bảo hiểm trong số 100 người nói trên không vượt quá 70% c Với xác suất 0,9 hãy cho... của nó 3. 7 Quy luật phân phối Student T(n) Cho U, V là các biến ngẫu nhiên độc lập, U ~ N ( 0;1) và V χ 2 ( n ) , khi đó: T= U V/n (3. 33) là một biến ngẫu nhiên có quy luật phân phối xác suất được gọi là quy luật Student với n bậc tự do, kí hiệu là T(n) Hàm mật độ xác suất của phân phối này có dạng: n +1 ) 1 2 × f (x)= ; n 2 x Γ( ) n.π (1 + )(n + 1) / 2 2 n Γ( 92 n >0 , −∞< x 2, 131 ) = 0, 025; P ( T ( 20 ) > 1, 725 ) = 0, 05; P ( T ( 25 ) > −1, 708 ) = 0,95; P ( T ( 30 ) > −2, 042 ) = 0,975 93 Bài 3: Một số quy luật phân phối xác suất quan trọng Kết luận: Phân bố Student T ( n ) là phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên... phân phối chuẩn tắc Hàm mật độ xác suất của U được ký hiệu là ϕ( x ) : x2 1 e 2 ϕ( x ) = 2π − (3. 18) Đường cong biểu diễn mật độ của U đối xứng qua Oy và nhận Ox làm tiệm cận ngang, đỉnh đạt tại: max ϕ ( x ) = ϕ ( 0 ) = 1 2π (3. 19) 85 Bài 3: Một số quy luật phân phối xác suất quan trọng Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên chuẩn tắc U được ký hiệu là Φ ( x ) Để xác định được Φ ( x ) trước tiên... n 2 ) của nó 3. 9 Quy luật phân phối lũy thừa Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là phân phối theo quy luật lũy thừa (quy luật mũ) nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng: ⎧⎪0 f (x) = ⎨ −λx ⎪⎩λe x f α (n1, n 2 ) = α (3. 38) Giá trị này có thể tra trong bảng Phụ lục Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có, nếu F ~ F ( n1 , n 2 ) ... tối thiểu hàng tháng 35 triệu tính công thức: P ( X > 35 ) = ∫ +∞ 35 82 40 f ( x ) dx = ∫ 0,05dx = 0,05x 35 = 0,25 35 40 Bài 3: Một số quy luật phân phối xác suất quan trọng 3. 4.2 Các tham số đặc... Giải: e 3 × 33 ≅ 0, 2241 3! b Gọi Y tiền lãi trạm thu ngày, ta xét trường hợp sau a Xác suất để ngày có khách thuê xe là: P ( X = 3) = • Không có xe thuê: P ( Y = −240 ) = P ( X = ) = e 3 × 30 ≅... thuê: P ( Y = −40 ) = P ( X = 1) = e 3 × 31 ≅ 0,1494 1! • Có xe thuê: P( Y =160 ) = P( X = 2) e 3 32 ≅ 0,2241 2! • Có xe thuê: P ( Y = 36 0 ) = P ( X ≥ 3) = − ∑ P ( X = i ) = 0,5767 i=0 Vậy