Giáo trình xác suất thống kê bài 2

Bài 2: Biến ngẫu nhiên quy luật phân bố xác suất BÀI 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN BỐ XÁC XUẤT Các kiến thức cần có • Định nghĩa phân loại biến ngẫu nhiên; • Định nghĩa biến ngẫu nhiên; • Phân loại biến ngẫu nhiên; • Quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên; • Bảng phân phối xác suất; • Hàm phân phối xác suất; • Hàm mật độ xác suất; • Các tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên; • Kỳ vọng (giá trị trung bình); • Trung vị; • Mốt (Mode); • Phương sai độ lệch chuẩn; • Giá trị tới hạn (critical value); Mục tiêu • Mômen trung tâm bậc cao; Thông qua công cụ giải tích, giới thiệu với học viên khái niệm biến ngẫu nhiên, phân loại biến ngẫu nhiên, quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên, tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên ý nghĩa chúng Hai nội dung quan trọng chương quy luật phân phối xác suất tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên • Biến ngẫu nhiên nhiều chiều; • Biễn nhẫu nhiên k chiều; • Bảng phân phối xác suất biễn ngẫu nhiên hai chiều; • Bảng phân phối xác suất có điều kiện hai biến ngẫu nhiên; • Bảng phân phối xác suất có điều kiện hai biến ngẫu nhiên Thời lượng • tiết 33 Bài 2: Biến ngẫu nhiên quy luật phân bố xác suất TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG BÀI Tình Một công ty bảo hiểm bán thẻ bảo hiểm với giá 100000đ/1 người/1 năm Nếu người tham gia bảo hiểm gặp rủi ro năm nhận số tiền bồi thường triệu đồng Theo thống kê biết tỷ lệ người tham gia bảo hiểm bị rủi ro năm 005, tính tiền lãi trung bình bán thẻ bảo hiểm Nếu bán bảo hiểm cho 10000 khách hàng số tiền lãi trung bình thu bao nhiêu? Câu hỏi Biểu diễn bảng phân phối xác suất tiền lãi bảo hiểm khả nhận lãi? Số tiền lãi trung bình bao nhiêu? Nếu bán bảo hiểm cho 10000 khách hàng số tiền lãi trung bình thu bao nhiêu? 34 Bài 2: Biến ngẫu nhiên quy luật phân bố xác suất 2.1 Định nghĩa phân loại biến ngẫu nhiên 2.1.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên Trong thực tế người ta thường gặp nhiều đại lượng nhận giá trị cách ngẫu nhiên Ta bắt đầu làm quen với khái niệm biến ngẫu nhiên qua ví dụ Ví dụ 1.1: Gọi X số chấm xuất gieo xúc sắc X nhận giá trị 1, 2, 3, 4, Ví dụ 1.2: Bắn viên đạn cách độc lập vào mục tiêu, xác suất trúng bia viên đạn 0,8 Gọi Y số viên đạn trúng bia Lúc Y nhận giá trị 0, 1, Ví dụ 1.3: Một hộp có m sản phẩm tốt, n sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên từ hộp sản phẩm Nếu ký hiệu Z số sản phẩm tốt lấy Z nhận giá trị 0, Ví dụ 1.4: Bắn viên đạn vào bia có bán kính 20cm giả sử viên đạn trúng vào bia Gọi W khoảng cách từ tâm bia tới điểm bia trúng đạn W nhận giá trị thuộc đoạn [0; 20) Các đại lượng X, Y, Z, W ví dụ nhận giá trị có cách ngẫu nhiên, tương ứng với xác suất Chúng gọi biến ngẫu nhiên hay đại lượng ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1: Biến ngẫu nhiên đại lượng mà việc nhận giá trị cụ thể đó, giá trị nằm khoảng thuộc miền khoảng giá trị có nó, biến cố ngẫu nhiên phép thử chưa thực CHÚ Ý Sau phép thử thực hiện, biến ngẫu nhiên nhận giá trị giá trị có biến ngẫu nhiên Ta thường ký hiệu biến ngẫu nhiên chữ in hoa: X, Y, Z, X1, X2, … , Y1, Y2, giá trị chúng chữ thường x1 , x , , y1 , y , z1 , z 35 Bài 2: Biến ngẫu nhiên quy luật phân bố xác suất Hình 2.1: Kết tung đồng xu nhận hai giá trị: sấp ngửa CHÚ Ý Để đơn giản, ta kí hiệu ( X = x ) thay cho biến cố "biến ngẫu nhiên X nhận giá trị x" viết ( X < x ) thay cho biến cố "biến ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ x" Nếu biến ngẫu nhiên X nhận giá trị: x1 , x , x n biến cố ( X = x1 ) , ( X = x ) , , ( X = x n ) 2.1.2 tạo nên hệ đầy đủ biến cố phép thử Phân loại biến ngẫu nhiên Người ta thường chia biến cố ngẫu nhiên làm hai loại: Biến ngẫu nhiên rời rạc biến ngẫu nhiên liên tục • Biến ngẫu nhiên gọi rời rạc giá trị có xếp thành dãy hữu hạn vô hạn đếm x1 , x , , x j , , x k Nói cách khác, ta liệt kê tất giá trị biến ngẫu nhiên Các biến ngẫu nhiên X, Y, Z tương ứng ví dụ 1.1, 1.2, 1.3 biến ngẫu nhiên rời rạc • Biến ngẫu nhiên gọi liên tục khoảng giá trị giá trị có lấp đầy khoảng giá trị Biến ngẫu nhiên W Ví dụ 1.4 biến ngẫu nhiên liên tục 2.2 Hình 2.2: Số lượng cá câu Quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Như trình bày trên, biến ngẫu nhiên nhận giá trị tương ứng với biến cố ngẫu nhiên tương ứng với xác suất biến cố Quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên cách biểu diễn mối quan hệ gíá trị 36 Bài 2: Biến ngẫu nhiên quy luật phân bố xác suất có biến ngẫu nhiên xác suất tương ứng để biến ngẫu nhiên nhận giá trị Các phương pháp sử dụng phổ biến để mô tả quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên bao gồm: • Bảng phân phối xác suất (áp dụng cho biến ngẫu nhiên rời rạc) • Hàm phân phối xác suất (áp dụng cho hai loại biến ngẫu nhiên rời rạc liên liên tục) • Hàm mật độ xác suất (áp dụng cho biến ngẫu nhiên liên tục) 2.2.1 Hình 2.3: Chiều cao người biến ngẫu nhiên liên tục Bảng phân phối xác suất Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị x1 , x , x n với xác suất tương ứng pi = P ( X = x i ) ,i =1 ÷ n Khi bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X trình bày sau: X x1 x2 xn P p1 p2 pn Hình 2.4: Quy luật phân phối biến ngẫu nhiên Trong đó: ⎧0 ≤ p i ≤ ⎪ n ⎨ ⎪ ∑ pi = ⎩ i =1 (khi X nhận vô hạn đếm giá trị ∞ ∑ p = ) i =1 i CHÚ Ý Nếu biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất p (a < X < b) = ∑ P (X = x ) = ∑ i a < xi < b a < xi 2 2.2.2.2 Tính chất hàm phân phối xác suất Từ định nghĩa, ta chứng minh hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên có số tính sau: Tính chất 1: ≤ F(x) ≤1, ∀x Hình 2.6: Tính chất hàm Tính chất 2: Nếu a giá trị nhỏ có X b giá trị lớn có X thì: F(x)=0 với x ≤ a F(x)=1 với x > b Hàm phân phối xắc xuất Chứng minh: Vì a giá trị nhỏ X nên với x ≤ a biến cố X < a biến cố có Do F ( x ) = P(X < x) = P(V) = Tương tự, b giá trị lớn có X nên với x > b (X < x) = U Từ F ( x ) = P(X < x) = P(U) = Tính chất 3: Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên hàm không giảm Thật vậy, giả sử x1 , x ∈ x1 < x Ta có: F ( x1 ) = P ( X < x1 ) , F ( x2 ) = P ( X < x2 ) Vì biến cố (X < x ) tách thành hai biến cố xung khắc ( X < x1 ) ( x1 ≤ X < x ) nên P ( X < x ) = P ( X < x1 ) + P ( x1 ≤ X ≤ x ) , Do F ( x ) = F ( x1 ) + P ( x1 ≤ X < x ) ≥ F ( x1 ) Vì F(x) hàm không giảm 40 Hình 2.7: Hàm phân phối xắc suất biến ngẫu nhiên liên tục bên trái Bài 2: Biến ngẫu nhiên quy luật phân bố xác suất Tính chất 4: Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên liên tục bên trái Từ tính chất trên, ta có hệ sau: Hệ 2.1: F ( −∞ ) = lim P ( X < x ) = (2.3) F ( +∞ ) = lim P ( X < x ) =1 2.4) P (a ≤ X < b) = F (b) − F (a ) (2.5) x →−∞ x →+∞ Hệ 2.2: Hệ 2.3: Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục P ( X = x ) = với x ∈ Ý nghĩa hệ trình nghiên cứu biến ngẫu nhiên liên tục ta không cần quan tâm đến xác suất để biến ngẫu nhiên nhận gíá trị cụ thể nào, mà cần quan tâm đến xác suất để nhận giá trị khoảng giá trị Hệ 2.4: Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục ta có: P ( x1 < X < x ) = P ( x1 < X ≤ x ) = P ( x1 ≤ X < x ) = P ( x1 ≤ X ≤ x ) Ý nghĩa hệ với biến ngẫu nhiên liên tục ta không cần phân biệt xác xuất để nhận giá trị đoạn hay khoảng giá trị CHÚ Ý Nếu hàm F(x) có tính chất 1, 2, hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Hàm F(x) cho biết tỷ lệ phần trăm giá trị X nằm bên trái số thực x Ví dụ 2.8: Biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối xác suất X P 0,3 0,4 0,3 • Lập hàm phân phối xác suất X • Tính p ( < X ≤ ) P (1 < X < ) Giải: o Ta có: ⎧0 ⎪0,3 ⎪ F(x) = ⎨ ⎪0, ⎪⎩1 x≤0 0< x ≤1 1< x ≤ 2< x 41 Bài 2: Biến ngẫu nhiên quy luật phân bố xác suất Hình 2.8: Đồ thị hàm phân phối F(x) biến ngẫu nhiên rời rạc o Để tính P ( < X ≤ 2) ta sử dụng hai cách: Cách 1: Tính thông qua hàm phân phối: P(0 < X ≤ 2) = P(X < 2) + P(X = 2) − (P(X < 0) + P(X = 0)) = F ( ) + P(X = 2) − F(0) − P(X = 0) = 0, + 0,3 − − 0,3 = 0, Cách 2: Tính trực tiếp: P ( < X ≤ ) = P ( X = 1) + P ( X = ) = 0, + 0,3 = 0, Tương tự ta tính được: P (1 < X < ) = P ( X < ) − P ( X < 1) − P ( X = 1) = F ( ) − F (1) − P ( X = 1) = − 0, − 0, = 0, cách khác: P (1 < X < ) = P ( X = ) = 0,3 2.2.3 Hàm mật độ xác suất Hình 2.9: Mật độ xe nút giao thông 42 Bài 2: Biến ngẫu nhiên quy luật phân bố xác suất Hình 2.18: Minh họa cho giá trị tới hạn mức α biến ngẫu nhiên X Như giá trị tới hạn xα biến ngẫu nhiên liên tục X giá trị cho phần diện tích giới hạn trục hoành, đường cong hàm mật độ xác suất đường thẳng x = xα α 2.3.5 Mômen trung tâm bậc cao Giá trị mômen trung tâm bậc k biến ngẫu nhiên, ký hiệu µk , xác định với công thức sau: µk = E[X−E(X)]k Có thể thấy phương sai biến ngẫu nhiên mômen trung tâm bậc biến Bên cạnh tham số trên, ta có: μ Hệ số nhọn: α = σ4 Hệ số bất đối xứng: α = μ3 với σ độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên σ3 2.4 Biến ngẫu nhiên nhiều chiều 2.4.1 Biến nhẫu nhiên k chiều Trong nhiều toán thực tế ta thường phải xét đồng thời nhiều biến ngẫu nhiên X1 , X , X k có quan hệ với gọi biến ngẫu nhiên k chiều hay vectơ ngẫu nhiên k−chiều, ký hiệu X = ( X1 , X , X k ) , X lấy giá trị k Nếu X1 , X , X k biến ngẫu nhiên rời rạc X biến ngẫu nhiên k−chiều rời rạc, X1 , X , , X k biến ngẫu nhiên liên tục X biến ngẫu nhiên k−chiều liên tục 58 Hình 2.19: Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Bài 2: Biến ngẫu nhiên quy luật phân bố xác suất Ví dụ 4.1: Gọi X biến ngẫu nhiên chiều dài sản phẩm, Y biến ngẫu nhiên chiều rộng sản phẩm Khi ta có biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y) mô tả kích thước sản phẩm Để đơn giản, mục ta xét biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc, kết luận mở rộng tương tự cho loại biến ngẫu nhiên k−chiều khác 2.4.2 Bảng phân phối xuất suất biến ngẫu nhiên hai chiều Cho biến ngẫu nhiên 2−chiều (X, Y) nhận giá trị ( x i , y j ) với xác suất: ( ) ( ) P X = x i , Y = y j = p x i , y j , ∀i =1, n, j =1, m (n m vô cùng) Bảng phân phối xác suất (X, Y) xác định sau: Y y1 y2 yj ym p (X) x1 p ( x1 , y1 ) p ( x1 , y ) p ( x1 , y j ) p ( x1 , y m ) p ( x1 ) x2 p ( x , y1 ) p ( x , y2 ) p ( x2 , yj ) p ( x , ym ) p ( x2 ) xi P ( x i , y1 ) P ( xi , y2 ) P ( xi , y j ) p ( x i , ym ) p ( xi ) xn p ( x n , y1 ) p ( x n , y2 ) p ( xn , yj ) p ( x n , ym ) p ( xn ) X Trong đó: ( ) ∑ p ( xi , y j ) =1 i, j ≤ p x i , y j ≤1, ∀i, j Từ bảng phân phối xác suất (X, Y) ta dễ dàng có bảng phân phối xác suất thành phần X, Y , gọi bảng phân phối xác suất biên duyên (thành phần) • Bảng phân phối xác suất thành phần X X x1 x2 xn P p ( x1 ) p ( x2 ) p ( xn ) Với: p ( xi ) = ∑ p ( xi , y j ) (2.30) j 59 Bài 2: Biến ngẫu nhiên quy luật phân bố xác suất • Bảng phân phối xác suất thành phần Y Y y1 y2 ym P P ( y1 ) p ( y2 ) p ( ym ) đó: p ( y j ) = ∑ p ( xi , y j ) (2.31) i Từ bảng phân phối ta dễ dàng xác định tham số đặc trưng X Y Hình 2.20: Phân phối xác suất Ví dụ 4.1: Từ kết phân tích số liệu thống kê tháng doanh số bán hàng (D) chi phí cho quảng cáo (Q) (đơn vị triệu đồng) công ty, thu bảng phân phối xác suất đồng thời sau: D Q 100 200 300 0,15 0,1 0,04 1,5 0,05 0,2 0,15 0,01 0,05 0,25 • Tính giá trị trung bình phương sai doanh số bán hàng • Tính giá trị trung bình phương sai chi phí cho quảng cáo Giải: Ta dễ dàng lập bảng phân phối biên duyên sau: 60 D 100 200 300 P 0,21 0,35 0,44 Q 1,5 P 0,29 0,4 0,31 Bài 2: Biến ngẫu nhiên quy luật phân bố xác suất Từ ta có: o Giá trị trung bình phương sai doanh số bán hàng là: E ( D ) = 100 × 0, 21 + 200 × 0,35 + 300 × 0, 44 = 223 ( ) V D = 1002 × 0, 21 + 2002 × 0,35 + 3002 × 0, 44 = 55.700 ( ) V ( D ) = E D − ⎡⎣ E ( D ) ⎤⎦ = 5.971 o Giá trị trung bình phương sai chi phí cho quảng cáo là: E ( Q ) =1× 0, 29 + 1,5 × 0, + × 0,31 = 1,51 CHÚ Ý E Q2 = 12 × 0, 29 + 1,52 × 0, + 22 × 0,31 = 2, 43 Nếu X Y độc lập với cov(X,Y) = ( ) ( ) V ( Q ) = E Q2 − ⎡⎣ E ( Q ) ⎤⎦ = 0,1499 2.4.3 Nếu cov(X,Y) ≠ X Y phụ thuộc vào Bảng phân phối xác suất có điều kiện hai biến ngẫu nhiên Từ bảng phân phối xác suất (X, Y) ta có bảng phân phối xác suất có điều kiện thành phần X Y sau: Bảng phân phối xác suất X với điều kiện ( Y = y j ) là: X / Y = yj x1 x2 xn P p ( x1 / y j ) p ( x2 / yj ) p ( xn / y j ) Trong đó: P(x i / y j ) = P(X = x i / Y = y j ) = P(x i , y j ) (2.32) P(yi ) Bảng phân phối xác suất Y với điều kiện ( X = x i ) là: X / Y = xi y1 y2 ym P P ( y1 / x i ) p ( y2 / x i ) p ( ym / xi ) Trong đó: ( p xi , y j P y j / xi = P ⎛⎜ Y = yi / X = x ⎞⎟ = ⎝ 1⎠ p xi ( ) ( ) ) (2.33) Từ công thức ta xác định tham số đặc trưng có điều kiện X Y như: 61 Bài 2: Biến ngẫu nhiên quy luật phân bố xác suất E(X = xi / y = y ), E(Y / X = x ), j i Ví dụ 4.2: Với giả thiết Ví dụ 4.1, trả lời câu hỏi sau: • Nếu chi phí cho quảng cáo 1.5 triệu đồng doanh số trung bình bao nhiêu? • Nếu muốn doanh số 300 triệu đồng trung bình phí cho quảng cáo bao nhiêu? Giải: Từ bảng phân phối xác suất đồng thời ta có: P ( D = 100 / Q = 1,5 ) = p ( D = 100;Q = 1,5 ) 0, 05 = = 0,125 p ( Q = 1,5 ) 0, Tương tự với giá trị lại, ta xác định bảng phân phối xác suất doanh số bán hàng chi phí cho quảng cáo 1,5 triệu đồng, sau: o o Bảng phân phối xác suất X với điều kiện ( Y = y j ) là: D / Q = 1,5 100 200 300 P 0,125 0,5 0,375 Bảng phân phối xác suất chi phí cho quảng cáo trường hợp có doanh số 300 triệu đồng là: D / Q = 300 1.5 P 44 15 44 25 44 Từ ta có: ƒ Doanh số bán hàng trung bình phí cho quảng cáo 1,5 triệu đồng là: E ( D / Q = 1,5 ) = 100 × 0,125 + 200 × 0,5 + 300 × 0,375 = 225 ƒ Nếu muốn doanh số 300 triệu đồng trung bình phí cho quảng cáo: E ( Q / D = 300 ) = 1× 15 25 + 1,5 × + × ≅ 1, 738 44 44 44 CHÚ Ý ( ) Với điều kiện ( X = x i ) E Y / X = x nhận giá trị xác định Từ ta có quan hệ i ( hàm số x a E Y / X = x i i ) Hàm số gọi hàm hồi quy Y theo X Việc nghiên cứu quan hệ hàm có ý nghĩa lớn phân tích kinh tế, trình bày chi tiết môn học Kinh tế lượng 2.4.4 Tương quan hai biến ngẫu nhiên Định nghĩa 4.3: 62 Bài 2: Biến ngẫu nhiên quy luật phân bố xác suất Hiệp phương sai (Covariance) hai biến ngẫu nhiên X, Y số, ký hiệu cov(X, Y) xác định sau: cov ( X, Y ) = E ⎡⎣( X − E ( X ) ) ( Y − E ( Y ) ) ⎤⎦ (2.34) Từ tính chất kỳ vọng dễ thấy : cov ( X, Y ) = E ( XY ) − E(X)E ( Y ) (2.35) Khi X Y biến ngẫu nhiên rời rạc, ta có: cov ( X, Y ) = n ∑ xi y jp ( x; y1 ) − E ( X ) E ( Y ) (2.36) i, j=1 Định nghĩa 4.4: Hệ số tương quan hai biến ngẫu nhiên X Y định nghĩa công thức: ρ(X, Y) = cov ( X, Y ) V (X) V (Y) (2.37) CHÚ Ý Nếu hai biến nhẫu nhiên X Y số ta quy ước ρ( X, Y ) = • Tính chất: Hệ số tương quan ρ (X, Y) có tính chất −1 ≤ ρ ( X, Y ) ≤ ρ ( X, Y ) = ± X Y phụ thuộc tuyến tính vào Ví dụ 4.3: Với hai biến ngẫu nhiên Q D Ví dụ 4.1, ta có: E ( QD ) =1×100 × 0,15 + 1× 200 × 0,1 + 1× 300 × 0, 04 + 1,5 × 100 × 0, 05 + 1,5 × 200 × 0, + 1,5 × 300 × 0,15 + × 100 × 0, 01 + × 200 × 0, 05 + × 300 × 0, 25 = 354 E ( D ) = 223 ; V ( D ) = 5.971 E ( Q ) =1,51 ; V ( Q ) = 0,1499 Vậy hiệp phương sai hệ số tương quan X với Y là: cov ( Q, D ) = E ( QD ) − E ( Q ) E ( D ) = 354 − 223 ×1,51 = 17, 27 ρ ( Q, D ) = cov ( Q, D ) V (Q) V ( D) ≅ 0,577 63 Bài 2: Biến ngẫu nhiên quy luật phân bố xác suất TÓM LƯỢC CUỐI BÀI Trong bạn cần nắm vững kiến thức sau: Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc liên tục, bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc, hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên, hàm mật độ xác suất tính chất, mối quan hệ hàm phân phối hàm mật độ, tham số đặc trưng kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên hai chiều bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên hai chiều, phân phối xác suất có điều kiện kỳ vọng có điều kiện 64 Bài 2: Biến ngẫu nhiên quy luật phân bố xác suất BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Cho bảng phân phối xác suất đồng thời số lao động nam (X) số lao động nữ (Y) gia đình khu vực dân cư sau: X 0,05 0,12 0,07 0,12 0,25 0,1 0,1 0,09 0,1 Y Số lao động nam trung bình hộ là: a 1,85 b c 2,35 d 2,45 Tuổi thọ loại sản phẩm (đơn vị: năm) biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất sau: x1) b Tính E(X), V(X) c Tìm hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X 70 Bài 2: Biến ngẫu nhiên quy luật phân bố xác suất Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối xác sau: ⎧0 ⎪ F ( x ) = ⎨kx ⎪1 ⎩ ; x≤0 ; 0< x ≤1 ; 1< x a Xác hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên X Tính k? b Tính E(X), V(X) Cho bảng phân phối đồng thời ngẫu nhiên hai chiều (X, Y), X số người tuổi lao động Y số người không độ tuổi lao động gia đình khu vực sau: X 0,05 0,12 0,07 0,11 0,25 0,14 0,1 P 0,1 Y a Tìm P lập bảng phân phối xác suất biên X, Y; phân phối xác suất X/Y = b Tính số người trung bình độ tuổi lao động số người trung bình không độ tuổi lao động gia đình vùng c Tính xác suất để hộ gia đình có người? d Tính số người trung bình gia đình e Tính E (X/Y = 2)? Nêu ý nghĩa kết tìm f X Y có độc lập hay không? Cho bảng phân phối xác suất đồng thời số người độ tuổi lao động (X) không độ tuổi lao động (Y) gia đình khu vực sau: X 0,05 0,12 0,07 0,12 0,25 0,1 0,1 0,09 0,1 Y a Lập bảng phân phối xác suất tổng số người hộ gia đình b Số người tuổi lao động trung bình hộ bao nhiêu? 10 Tuổi thọ loại sản phẩm (đơn vị: năm) biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ: x[...]... = x 1 2 ⎠ 2 Vậy, A = 2 và , x ∉[1; 2] ⎧0 ⎪ f (x)= ⎨ 2 ⎪ 2 ⎩x , x ∈[1; 2] Từ đó ta có: 3⎞ ⎛ P⎜0 < X < ⎟ = 2 ⎝ 3/ 2 ∫ f ( x ) dx = 1 3/ 2 ∫ 1 2 x dx = − 2 3/ 2 2 x1 2 ⎞ 2 = 2 ⎜ − 1⎟ = ⎝3 ⎠ 3 Ví dụ 2. 11: Thời gian (phút) để một khách hàng xếp hàng chờ phục vụ là biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối xác xuất ,x≤0 ⎧0 ⎪ 2 F ( x ) = ⎨Ax , 0 < x < 3 ⎪1 , x ≥3 ⎩ • Tìm A và hàm mật độ xác suất của... phối xác suất của X xác định như sau: ⎧0 ⎪x −a x ⎪ F ( x ) = ∫ f ( t ) di = ⎨ ⎪b−a −∞ ⎪⎩1 , x≤ a ,a ... nhiên, hàm phân phối xác suất 2. 2 .2 Hàm phân phối xác suất 2. 2 .2. 1 Định nghĩa hàm phân phối xác suất Cho biến ngẫu nhiên X Với số thực x, xác định biến cố (X < x) có tương ứng xác suất P ( X < x )... bảng phân phối xác suất mục 2. 1 hàm phân phối xác suất X xác định sau: F ( x ) = ∑ pi , x∈ (2. 2) xi < x Ví dụ 2. 7: Cho biết ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất X P 10 2 39 Bài 2: Biến ngẫu... < ) = P ( X = ) = 0,3 2. 2.3 Hàm mật độ xác suất Hình 2. 9: Mật độ xe nút giao thông 42 Bài 2: Biến ngẫu nhiên quy luật phân bố xác suất 2. 2.3.1 Định nghĩa hàm mật độ xác suất Cho biến ngẫu nhiên