Giáo trình Xác suất thống kê: Phần 2 - ĐH Sư phạm kỹ thuật Nam Định

Tiếp nội dung phần 1, Giáo trình Xác suất thống kê: Phần 2 cung cấp cho người học những kiến thức như: Khái niệm ước lượng điểm, ước lượng khoảng; khái niệm cơ bản về kiểm định giả thuyết, kiểm định về kỳ vọng; kiểm định về tỷ lệ; kiểm định về sự bằng nhau của hai kỳ vọng;...

Giáo trình Xác suất thống kê 98 Chƣơng 3: LÝ THUYẾT ƢỚC LƢỢNG 3.1 LÝ THUYẾT MẪU 3.1.1 Khái niệm mẫu ngẫu nhiên, thống kê mô tả Trong thực tế, ngƣời ta thƣờng phải nghiên cứu tập hợp các phần tử đồng theo hay nhiều dấu hiệu định tính định lƣợng đặc trƣng cho các phần tử đó Chẳng hạn, doanh nghiệp phải nghiên cứu tập hợp các khách hàng nó dấu hiệu định tính có thể mức độ hài lịng khách hàng sản phẩm dịch vụ doanh nghiệp, dấu hiệu định lƣợng nhu cầu khách hàng số lƣợng sản phẩm doanh nghiệp Để nghiên cứu tập hợp các phần tử theo dấu hiệu định ngƣời ta sử dụng phƣơng pháp nghiên cứu toàn bộ, tức thống kê toàn tập hợp đó phân tích phần tử nó theo dấu hiệu nghiên cứu Chẳng hạn để nghiên cứu dân số nƣớc theo các dấu hiệu nhƣ tuổi tác, trình độ văn hoá địa bàn cƣ trú, cấu nghề nghiệp có thể tiến hành tổng điều tra dân số phân tích ngƣời theo các dấu hiệu trên, từ đó tổng hợp thành dấu hiệu chung cho toàn dân số nƣớc đó Tuy nhiên thực tế phƣơng pháp gặp phải khó khăn chủ yếu sau: - Nếu quy mô tập hợp quá lớn việc nghiên cứu tồn địi hỏi nhiều chi phí vật chất thời gian - Nhiều quy mô tập hợp quá lớn nên có thể xảy trƣờng hợp tính trùng bỏ sót các phần tử nó - Do quy mơ nghiên cứu lớn mà trình độ tổ chức nghiên cứu lại hạn chế dẫn đến các sai sót quá trình thu thập thơng tin ban đầu, hạn chế độ xác kết phân tích - Trong nhiều trƣờng hợp khơng thể nắm đƣợc tồn các phần tử tập hợp cần nghiên cứu, đó khơng thể tiến hành nghiên cứu tồn đƣợc Vì thực tế phƣơng pháp nghiên cứu toàn thƣờng đƣợc áp dụng các tập hợp có quy mơ nhỏ, cịn chủ yếu ngƣời ta áp dụng phƣơng pháp nghiên cứu khơng tồn bộ, đặc biệt phƣơng pháp nghiên cứu chọn mẫu Phƣơng pháp chủ trƣơng từ tập hợp cần nghiên cứu chọn số phần tử (gọi mẫu), phân tích các phần tử dựa vào đó mà suy các kết luận tập hợp cần nghiên cứu Giả Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 99 sử theo phƣơng pháp đó từ tổng thể lấy n phần tử tạo nên mẫu kích thước n Nếu mẫu đƣợc chọn cách ngẫu nhiên xử lý các phƣơng pháp xác suất vừa thu đƣợc các kết luận cách nhanh chóng, đỡ tốn mà đảm bảo độ xác cần thiết Việc thu thập, xếp trình bày các số liệu tổng thể mẫu gọi thống kê mô tả Cịn việc sử dụng thơng tin mẫu để tiến hành các suy đoán, kết luận tổng thể gọi thống kê suy diễn Giả sử mẫu kích thƣớc N từ tổng thể nghiên cứu có dấu hiệu biến ngẫu nhiên X, đƣợc lập theo phƣơng pháp chọn mẫu ngẫu nhiên đơn giản Với cách chọn mẫu này, lần chọn phần tử mẫu nhƣ làm phép thử độc lập rút ngẫu nhiên giá trị X từ tập các giá trị nó Rút ngẫu nhiên đƣợc hiểu rút phù hợp với luật phân phối xác suất X nghĩa xác suất để giá trị đƣợc rút đó thuộc phận đó, xác suất X thuộc phận đó Vì ta có thể coi thành phần thứ i mẫu biến ngẫu nhiên Xi có luật phân phối X Định nghĩa: Mẫu ngẫu nhiên kích thước n tập hợp n biến ngẫu nhiên độc lập X1 , X2 , , Xn thành lập từ biến ngẫu nhiên gốc X tổng thể nghiên cứu có phân phối xác suất với X Mẫu ngẫu nhiên thƣờng đƣợc ký hiệu là: W = (X1 , X2 , , Xn) Giả sử giá trị nó là: X1 = x1 , X2 = x2 , , Xn = xn Tập hợp n giá trị x1, x2, , xn tạo thành giá trị mẫu ngẫu nhiên, hay gọi mẫu cụ thể, ký hiệu: w = (x1 , x2 , , xn) Nhƣ vậy, mẫu ngẫu nhiên tập hợp n biến ngẫu nhiên, mẫu cụ thể tập hợp n giá trị cụ thể quan sát đƣợc thực phép thử mẫu ngẫu nhiên Ví dụ 1: Khi nghiên cứu chiều cao cộng đồng ngƣời, gọi X ĐLNN chiều cao Chúng ta dự định đo chiều cao 100 ngƣời đƣợc chọn ngẫu nhiên Trƣớc chƣa tiến hành chọn mẫu, ta chƣa biết đƣợc ngƣời thứ đƣợc chọn vào mẫu có chiều cao bao nhiêu, nó đóng vai trò ĐLNN, ký hiệu X1, có phân phối xác suất với X Tƣơng tự, ta có chiều cao ngƣời thứ 100 X100 Khi đó (X1, Giáo trình Xác suất thống kê 100 X2, , X100) mẫu tổng quát có kích thƣớc 100 Sau đo đạc ta xác định đƣợc các giá trị Xi xi, đó số thực (x1, x2, , x100) mẫu cụ thể 3.1.2 Các phƣơng pháp lấy mẫu Có nhiều phƣơng pháp chọn mẫu khác nhau, nhƣng khó có thể nói phƣơng pháp tốt Tùy thuộc vào đặc điểm tổng thể nghiên cứu mà mẫu có thể đƣợc chọn theo nhiều phƣơng pháp khác để đảm bảo yêu cầu tính đại diện mẫu Sau số phƣơng pháp chọn mẫu chủ yếu thƣờng đƣợc sử dụng để nghiên cứu các tổng thể kinh tế – xã hội a) Chọn mẫu đơn giản Là phƣơng pháp chọn trực tiếp từ danh sách các phần tử đƣợc đánh số tổng thể Từ tổng thể kích thƣớc N ngƣời ta dùng cách rút thăm đơn giản n phần tử mẫu theo bảng số ngẫu nhiên đó Khi đó phần tử đám đông có thể đƣợc chọn vào mẫu với khả nhƣ Việc chọn mẫu kiểu có phƣơng thức chọn: chọn có hồn lại chọn khơng hồn lại Khi số phần tử N tổng thể lớn so với kích thƣớc mẫu n kết lấy mẫu theo phƣơng thức sai lệch không đáng kể Phƣơng pháp có ƣu điểm cho phép thu đƣợc mẫu có tính đại diện cao, cho phép suy rộng kết mẫu cho tổng thể với sai số định, song để vận dụng phải có đƣợc toàn danh sách các phần tử tổng thể nghiên cứu Mặt khác chi phí chọn mẫu khá lớn b) Chọn mẫu phân nhóm Trong chọn mẫu phân nhóm, trƣớc hết ngàu ta phân chia tổng thể thành các nhóm có độ cao để chọn các phần tử đại diện cho nhóm Việc phân nhóm có hiệu tổng thể nghiên cứu không theo dấu hiệu nghiên cứu Sau phân nhóm kích thƣớc mẫu đƣợc phân bổ cho nhóm theo quy tắc đó, chẳng hạn tỷ lệ thuận với kích thƣớc tổ c) Chọn mẫu chùm Trong số trƣờng hợp, để tiện cho việc nghiên cứu ngƣời ta muốn quy diện nghiên cứu gọn khu vực định không các phần tử mẫu phân tán quá rộng, chẳng hạn tập trung nghiên cứu khách hàng địa phƣơng đó Lúc đó mẫu đƣợc chọn theo chùm Chẳng hạn, chùm có thể hộ gia đình có nhiều ngƣời, làng có nhiều hộ gia đình Theo phƣơng pháp này, trƣớc tiên tổng thể điều tra đƣợc phân chia thành nhiều chùm theo nguyên tắc: Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 101 - Mỗi phần tử tổng thể đƣợc phân vào chùm - Mỗi chùm cố gắng chứa nhiều phần tử khác dấu hiệu nghiên cứu, cho nó có độ phân tán cao nhƣ tổng thể Phân chia cho các chùm tƣơng đối đồng quy mô - Các chùm đƣợc chọn cách ngẫu nhiên tất các phần tử chùm đó đƣợc chọn vào mẫu Phƣơng pháp có thể tiết kiệm chi phí thời gian, nhƣng sai số chọn mẫu cao các phƣơng pháp d) Chọn mẫu có suy luận Phƣơng pháp chọn mẫu dựa ý kiến các chuyên gia đối tƣợng nghiên cứu Nhƣợc điểm phƣơng pháp khó đảm bảo tính khách quan 3.1.3 Bảng phân phối thực nghiệm Giả sử từ tổng thể với biến ngẫu nhiên gốc X rút mẫu cụ thể kích thƣớc n, đó:  giá trị x1 xuất n1 lần, x2 xuất n2 lần, , xk xuất nk lần  x1 < x2 < < xk n1 + n2 + + nk = n Khi đó:  ni đƣợc gọi tần số xi  ni fi = n đƣợc gọi tần suất xuất xi Các bảng mô tả số liệu sau đƣợc gọi bảng phân phối thực nghiệm Bảng phân phối tần số thực nghiệm: với xi x1 x2 xk ni n1 n2 nk n + n2 + + n k = n Bảng phân phối tần suất thực nghiệm: với fi = xi x1 x2 xk fi f1 f2 fk ni n , f1 + f2 + + fk = Giáo trình Xác suất thống kê 102 Ví dụ 3: Điều tra thời gian đợi phục vụ khách hàng ngân hàng (đơn vị: phút), ngƣời ta chọn ngẫu nhiên 10 ngƣời, kết thu đƣợc nhƣ sau: 9, 8, 10, 10, 12, 6, 11, 10, 12, Khi đó: Bảng phân phối tần số thực nghiệm Bảng phân phối tần suất thực nghiệm xi 10 11 12 xi ni fi 10 11 12 0.1 0.2 0.1 0.3 0.1 0.2 Chú ý: Khi kích thƣớc mẫu lớn, các giá trị mẫu khá gần nhau, ngƣời ta chia các giá trị mẫu thành các lớp lập bảng phân phối thực nghiệm mẫu lớp Ví dụ 4: Đo chiều cao 300 học sinh 12 tuổi, ta thu đƣợc bảng số liệu sau: Lớp Tần số ni Tần suất fi 117,5 – 122,5 0,030 122,5 – 127,5 33 0,110 127,5 – 132,5 74 0,247 132,5 – 137,5 93 0,310 137,5 – 142,5 64 0,213 142,5 – 147,5 21 0,070 147,5 – 152,5 0,020 (chiều cao cm) Chú ý: - Thông thƣờng ngƣời ta phân chia số liệu thành từ đến 15 lớp Nếu số liệu nhiều có thể giúp phân tích tốt hơn, nhƣng cải thiện không nhiều, số lớp quá các thơng tin có thể bị xử lý - Giữa lớp liền [ai-1– ai] [ai – ai+1] quy ƣớc phần tử đếm cho lớp [ai-1 – ai] - Một bảng phân phối theo lớp có thể đƣa bảng phân phối thực nghiệm phép lấy trung bình cộng lớp, tức xi = a i 1  a i Chẳng hạn với bảng số liệu phân lớp ví dụ 4, ta có bảng phân phối tần số thực nghiệm tƣơng ứng: Trƣờng ĐHSPKT Nam Định xi 103 120 125 130 135 140 145 150 ni 33 74 93 64 21 3.1.4 Các đặc trƣng mẫu Xét mẫu ngẫu nhiên (X1, X2 , , Xn) có bảng phân phối tần số thực nghiệm nhƣ sau: đó: xi x1 x2 xk ni n1 n2 nk n1 + n2 + + nk = n * Trung bình mẫu (Kỳ vọng mẫu): X  n  Xi n i1 Giả sử biến ngẫu nhiên gốc X tổng thể có EX =  ; VX = 2 Do X1 , X2 , , Xn các biến ngẫu nhiên độc lập phân phối nhƣ X, nên trung bình mẫu X biến ngẫu nhiên và: EX  n EXi   n  EX    n i1 n VX  n 2  VXi  n  n  VX  n i 1 n Thực phép thử X thu đƣợc giá trị trung bình mẫu cụ thể, ký hiệu giá trị x , đƣợc tính cơng thức sau: x k  xi ni n i1 Chú ý: Không gây hiểu nhầm mặt ý nghĩa X biến ngẫu nhiên x giá trị mà biến ngẫu nhiên đó nhận, ta dùng chung X Khi X có thể hiểu giá trị trung bình mẫu X * Phƣơng sai mẫu: S2 = n   Xi  X  n i 1 Giáo trình Xác suất thống kê 104 Phƣơng sai mẫu S2 biến ngẫu nhiên, ta có thể ra: ES2 = n 1 n 1 VX =  n n Thực phép thử S2 ta thu đƣợc giá trị phương sai mẫu cụ thể: S2 = n k   xi  x  i 1 ni  x   x  Chú ý: Độ lệch chuẩn mẫu S  S2 * Phƣơng sai mẫu hiệu chỉnh: - Vì giá trị trung bình S2 không 2 đó nhiều thay cho phƣơng sai mẫu, ta dùng phƣơng sai mẫu hiệu chỉnh, ký hiệu s2 để có Es2 = VX = 2 s2   n  Xi  X n  i1   n S n 1 - Thực phép thử s2 thu đƣợc giá trị gọi phương sai mẫu hiệu chỉnh cụ thể s2  k n 2 S  xi  x  ni   n  i1 n 1 - Phƣơng sai mẫu hiệu chỉnh phản ánh độ phân tán các giá trị mẫu xung quanh trung bình mẫu - Chú ý: Độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh s  s * Tỷ lệ mẫu: F n  Xi n i1 đó Xi ĐLNN có phân phối nhị thức: Xi nhận giá trị phần tử thứ i chọn vào mẫu có tính chất A ngƣợc lại, nhận giá trị phần tử i chọn vào mẫu khơng có tính chất A Nếu cho mẫu cụ thể ta tính đƣợc giá trị tỷ lệ mẫu cụ thể F: f m n Vì các đại lƣợng ngẫu nhiên Xi ~ B(1,p), (i=1,2, n) với p xác suất xuất A Do đó dễ dàng suy ra: E(F) = p; Chú ý: V(F) = pq n Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 105 1) Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn N(, 2) (x1, x2, …, xn) mẫu X Khi đó đại lƣợng thống kê: n 1 Z=  s2 có phân phối  n21 2) Cho X tuân theo luật phân phối chuẩn N(μ, 2) (x1, x2, …, xn) (n≥1) mẫu X Khi đó đại lƣợng thống kê: t= X  n s có phân phối Student với n-1 bậc tự 3.1.5 Cách tính đặc trƣng mẫu a) Tính trực tiếp: x Suy ra: k k 2 x n ; x   i i  xi ni n i1 n i1   S2 = x  x s2 = n S2 n 1 Ví dụ 5: Cho bảng phân phối thực nghiệm: xi -2 ni 2 2 Tính trung bình mẫu, phƣơng sai mẫu phƣơng sai mẫu hiệu chỉnh? Giải: Ta lập bảng: xi ni xini xi2ni -2 -4 1 1 2 18 32 5 25 Tổng n = 10 x n i i = 20 x i n i = 92 Giáo trình Xác suất thống kê 106 Suy ra: x k 20 =2 xini =  10 n i1 x2  k 92 = 9,2 xi ni =  10 n i1   S2 = x  x = 9,2 – 22 = 5,2 n 10 S2 = 5,2 = 5,7778 n 1 s2 = Chú ý: Nếu liệu cho dạng mẫu lớp, ta có thể tính gần các đặc trƣng mẫu a i 1  a i cách thay lớp [ai-1 – ai] đại diện xi = Ví dụ 6: Lƣợng xăng hao phí tơ từ A đến B sau 30 lần chạy, kết thu đƣợc nhƣ sau: Lƣợng xăng hao phí (lít) 9,6 -9,8 9,8 -10 10-10,2 10,2-10,4 10,4-10,6 Số lần tƣơng ứng 10 Giải: Ta lập bảng: Lớp xi ni xini xi2ni 9,6-9,8 9,7 29,1 282,27 9,8-10 9,9 49,5 490,05 10-10,2 10,1 10 101 1020,1 10,2-10,4 10,3 82,4 848,72 10,4-10,6 10,5 42 441 Tổng n = 30 x n i Suy ra: x k 304 xi ni = = 10,1333  30 n i1 x2  k 3082,14 xi ni = = 102,738  30 n i1 i = 304 x i n i = 3082,14 Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 107 S2 = x   x  = 102,738 – (10,1333)2 = 0,05423 s2 = n 30 S2 = 0,05423 = 0,0561 n 1 29 b) Tính gián tiếp: Khi liệu lớn phức tạp cách ta có thể biến đổi để giảm độ phức tạp tính toán nhƣ sau: Bước 1: Chọn giá trị x0 tuỳ ý thuộc vào mẫu (thƣờng mẫu) Bước 2: Tính di= xi  x0 h n d Bước 3: Tính i i ; (trong đó h = xi – xi-1) n d i i Bước 4: Tính: x  x0  h  di n i n h2  2   n i d i   n i d i   S = n  n  s2 = n S2 n 1 Ví dụ 7: Tính các đặc trƣng mẫu ví dụ phƣơng biến đổi Giải: Dễ thấy các liệu mẫu cách khoảng h = 0,2 Chọn giá trị x0 = 10,1 Khi đó ta có bảng sau: Lớp xi di ni dini di2ni 9,6-9,8 9,7 -2 -6 12 9,8-10 9,9 -1 -5 10-10,2 10,1 10 0 10,2-10,4 10,3 8 10,4-10,6 10,5 16 Tổng Suy ra: n = 30 d n i i =5 d n i i = 41 Trƣờng ĐHSPKT Nam Định λ 179 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 0,018316 0,006738 0,002479 0,000912 0,000335 0,000123 0,073263 0,033690 0,014873 0,006383 0,002684 0,001111 0,146525 0,084224 0,044618 0,022341 0,010735 0,004998 0,195367 0,140374 0,089235 0,052129 0,028626 0,014994 0,195367 0,175467 0,133853 0,091226 0,057252 0,033737 0,156293 0,175467 0,160623 0,127717 0,091604 0,060727 0,104194 0,146223 0,160623 0,149003 0,122138 0,091090 0,059540 0,104445 0,137677 0,149003 0,139587 0,117116 0,029770 0,065278 0,103258 0,130377 0,139587 0,131756 0,013231 0,036266 0,068838 0,101405 0,124077 0,131756 10 0,005292 0,018133 0,041303 0.070983 0,099262 0,118580 11 0,001925 0,008242 0,022529 0,045171 0,072190 0,097020 12 0,000642 0,003434 0,011262 0,026350 0,048127 0,072765 13 0,000197 0,001321 0,005199 0,014188 0,029616 0,050376 14 0,000056 0,000472 0,002228 0,007094 0,016924 0,032384 15 0,000015 0,000157 0,000891 0,003311 0,009026 0,019431 16 0,000004 0,000049 0,000334 0,001448 0,004513 0,010930 17 0,000001 0,000014 0,000118 0,000596 0,002124 0,005786 18 0,000004 0,000039 0,000232 0,000944 0,002893 19 0,000001 0,000012 0,000085 0,000397 0,001370 20 0,000004 0,000030 0,000159 0,000617 21 0,000001 0,000010 0,000061 0,000264 22 0,000003 0,000022 0,000108 23 0,000001 0,000008 0,000042 24 0,000003 0,000016 25 0,000001 0,000006 k 26 0,000002 27 0,000001 Giáo trình Xác suất thống kê 180 f (x)  Bảng 2: GIÁ TRỊ HÀM GAUSS 2π e  x2 X 0,0 0,3989 3989 3989 3986 3986 3984 3982 3980 3977 3973 0,1 3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 3918 0,2 3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 3825 0,3 3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 3697 0,4 3683 3668 9653 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538 0,5 3521 3503 3485 3467 3448 3929 3410 3391 3372 3352 0,6 3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144 0,7 3123 3101 3079 3056 3034 3011 2989 2966 2943 2920 0,8 2897 2874 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 2685 0,9 2661 2637 2613 2589 2565 2541 1516 2492 2468 2444 1,0 0,2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203 1,1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965 1,2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736 1,3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518 1,4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315 1,5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127 1,6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957 1,7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804 1,8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669 1,9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551 2,0 0,0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 0449 2,1 0440 0431 0422 0413 0404 0396 0388 0379 0371 0363 2,2 0355 0347 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 0290 2,3 0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 0229 2,4 0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180 2,5 0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139 Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 181 x 2,6 0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 0110 0107 2,7 0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 0081 2,8 0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0061 2,9 0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0046 3,0 0,0044 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 0034 3,1 0033 0031 0031 0030 0029 0028 0027 0026 0025 0025 3,2 0024 0023 0022 0022 0021 0020 0020 0019 0018 0018 3,3 0017 0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 0013 3,4 0012 0012 0012 0011 0011 0010 0010 0010 0009 0009 3,5 0009 0008 0008 0008 0008 0007 0007 0007 0007 0006 3,6 0006 0006 0006 0006 0006 0005 0005 0005 0005 0004 3,7 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 0003 3,8 0003 0003 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 0002 3,9 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0001 0001 x Giáo trình Xác suất thống kê 182 Φ(x)  Bảng : HÀM LAPLACE 2π x  e t2 dt  X 0,0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1,0 1.1 1,2 1.3 1,4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2,0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554 0.6915 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159 0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713 0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 0.9981 0.998650 0.999032 0.999313 0.999517 0.999663 0.999767 0.999841 0.999892 0.999928 0.999952 0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591 0.6950 0.7291 0.7611 0.7910 0.8186 0.8438 0.8665 0.8869 0.9049 0.9207 0.9345 0.9463 0.9564 0.9649 0.9719 0.9778 0.9826 0.9864 0.9896 0.9920 0.9940 0.9955 0.9966 0.9975 0.9982 0.5080 0.5478 0.5871 0.6255 0.6628 0.6985 0.7324 0.7642 0.7939 0.8212 0.8461 0.8686 0.8888 0.9066 0.9222 0.9357 0.9474 0.9573 0.9656 0.9726 0.9783 0.9830 0.9868 0.9898 0.9922 0.9941 0.9956 0.9967 0.9976 0.9982 0.5120 0.5517 0.5910 0.6293 0.6664 0.7019 0.7357 0.7673 0.7967 0.8238 0.8485 0.8708 0.8907 0.9082 0.9236 0.9370 0.9484 0.9582 0.9664 0.9732 0.9788 0.9834 0.9871 0.9901 0.9925 0.9943 0.9957 0.9968 0.9977 0.9983 0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700 0.7054 0.7389 0.7704 0.7995 0.8264 0.8508 0.8729 0.8925 0.9099 0.9251 0.9382 0.9495 0.9591 0.9671 0.9738 0.9793 0.9838 0.9875 0.9904 0.9927 0.9945 0.9959 0.9969 0.9977 0.9984 0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736 0.7088 0.7422 0.7734 0.8023 0.8289 0.8531 0.8749 0.8944 0.9115 0.9265 0.9394 0.9505 0.9599 0.9678 0.9744 0.9798 0.9842 0.9878 0.9906 0.9929 0.9946 0.9960 0.9970 0.9978 0.9984 0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772 0.7123 0.7454 0.7764 0.8051 0.8315 0.8554 0.8770 0.8962 0.9131 0.9279 0.9406 0.9515 0.9608 0.9686 0.9750 0.9803 0.9846 0.9881 0.9909 0.9931 0.9948 0.9961 0.9971 0.9979 0.9985 0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808 0.7157 0.7486 0.7794 0.8078 0.8340 0.8577 0.8790 0.8980 0.9147 0.9292 0.9418 0.9525 0.9616 0.9693 0.9756 0.9808 0.9850 0.9884 0.9911 0.9932 0.9949 0.9962 0.9972 0.9979 0.9985 0.5319 0.5714 0.6103 0.6480 0.6844 0.7190 0.7517 0.7823 0.8106 0.8365 0.8599 0.8810 0.8997 0.9162 0.9306 0.9429 0.9535 0.9625 0.9699 0.9761 0.9812 0.9854 0.9887 0.9913 0.9934 0.9951 0.9963 0.9973 0.9980 0.9986 0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879 0.7224 0.7549 0.7852 0.8133 0.8389 0.8621 0.8830 0.9015 0.9177 0.9319 0.9441 0.9545 0.9633 0.9706 0.9767 0.9817 0.9857 0.9890 0.9916 0.9936 0.9952 0.9964 0.9974 0.9981 0.9986 0.998694 0.998736 0.998777 0.998817 0.998856 0.998893 0.998930 0.998965 0.998999 0.999065 0.999096 0.999126 0.999155 0.999184 0.999211 0.999238 0.999264 0.999289 0.999336 0.999359 0.999381 0.999402 0.999423 0.999443 0.999462 0.999481 0.999499 0.999534 0.999550 0.999566 0.999581 0.999596 0.999610 0.999624 0.999638 0.999651 0.999675 0.999687 0.999698 0.999709 0.999720 0.999730 0.999740 0.999749 0.999758 0.999776 0.999784 0.999792 0.999800 0.999807 0.999815 0.999822 0.999828 0.999835 0.999847 0.999853 0.999858 0.999864 0.999869 0.999874 0.999879 0.999883 0.999888 0.999896 0.999900 0.999904 0.999908 0.999912 0.999915 0.999918 0.999922 0.999925 0.999931 0.999933 0.999936 0.999938 0.999941 0.999943 0.999946 0.999948 0.999950 0.999954 0.999956 0.999958 0.999959 0.999961 0.999963 0.999964 0.999966 0.999967 Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 183 Bảng 4: PHÂN PHỐI KHI BÌNH PHƢƠNG P(X > 2(n, )) với X  2 (n) Bậc 0.005 0.010 0.025 0.050 0.500 0.950 0.975 0.990 0.9950 7.8794 6.6349 5.0239 3.8415 0.4549 0.0039 0.00098 0.00016 0.000039 10.5966 9.2103 7.3778 5.9915 1.3863 0.1026 0.0506 0.0201 0.0100 12.8382 11.3449 9.3484 7.8147 2.3660 0.3518 0.2158 0.1148 0.0717 14.8603 13.2767 11.1433 9.4877 3.3567 0.7107 0.4844 0.2971 0.2070 16.7496 15.0863 12.8325 11.0705 4.3515 1.1455 0.8312 0.5543 0.4117 18.5476 16.8119 14.4494 12.5916 5.3481 1.6354 1.2373 0.8721 0.6757 20.2777 18.4753 16.0128 14.0671 6.3458 2.1673 1.6899 1.2390 0.9893 21.9550 20.0902 17.5345 15.5073 7.3441 2.7326 2.1797 1.6465 1.3444 23.5894 21.6660 19.0228 16.9190 8.3428 3.3251 2.7004 2.0879 1.7349 10 25.1882 23.2093 20.4832 18.3070 9.3418 3.9403 3.2470 2.5582 2.1559 11 26.7568 24.7250 21.9200 19.6751 10.3410 4.5748 3.8157 3.0535 2.6032 12 28.2995 26.2170 23.3367 21.0261 11.3403 5.2260 4.4038 3.5706 3.0738 13 29.8195 27.6882 24.7356 22.3620 12.3398 5.8919 5.0088 4.1069 3.5650 14 31.3193 29.1412 26.1189 23.6848 13.3393 6.5706 5.6287 4.6604 4.0747 15 32.8013 30.5779 27.4884 24.9958 14.3389 7.2609 6.2621 5.2293 4.6009 16 34.2672 31.9999 28.8454 26.2962 15.3385 7.9616 6.9077 5.8122 5.1422 17 35.7185 33.4087 30.1910 27.5871 16.3382 8.6718 7.5642 6.4078 5.6972 18 37.1565 34.8053 31.5264 28.8693 17.3379 9.3905 8.2307 7.0149 6.2648 19 38.5823 36.1909 32.8523 30.1435 18.3377 10.1170 8.9065 7.6327 6.8440 20 39.9968 37.5662 34.1696 31.4104 19.3374 10.8508 9.5908 8.2604 7.4338 21 41.4011 38.9322 35.4789 32.6706 20.3372 11.5913 10.2829 8.8972 8.0337 22 42.7957 40.2894 36.7807 33.9244 21.3370 12.3380 10.9823 9.5425 8.6427 23 44.1813 41.6384 38.0756 35.1725 22.3369 13.0905 11.6886 10.1957 9.2604 24 45.5585 42.9798 39.3641 36.4150 23.3367 13.8484 12.4012 10.8564 9.8862 25 46.9279 44.3141 40.6465 37.6525 24.3366 14.6114 13.1197 11.5240 10.5197 26 48.2899 45.6417 41.9232 38.8851 25.3365 15.3792 13.8439 12.1981 11.1602 27 49.6449 46.9629 43.1945 40.1133 26.3363 16.1514 14.5734 12.8785 11.8076 28 50.9934 48.2782 44.4608 41.3371 27.3362 16.9279 15.3079 13.5647 12.4613 29 52.3356 49.5879 45.7223 42.5570 28.3361 17.7084 16.0471 14.2565 13.1211 30 53.6720 50.8922 46.9792 43.7730 29.3360 18.4927 16.7908 14.9535 13.7867 31 55.0027 52.1914 48.2319 44.9853 30.3359 19.2806 17.5387 15.6555 14.4578 32 56.3281 53.4858 49.4804 46.1943 31.3359 20.0719 18.2908 16.3622 15.1340 33 57.6484 54.7755 50.7251 47.3999 32.3358 20.8665 19.0467 17.0735 15.8153 34 58.9639 56.0609 51.9660 48.6024 33.3357 21.6643 19.8063 17.7891 16.5013 35 60.2748 57.3421 53.2033 49.8018 34.3356 22.4650 20.5694 18.5089 17.1918 36 61.5812 58.6192 54.4373 50.9985 35.3356 23.2686 21.3359 19.2327 17.8867 37 62.8833 59.8925 55.6680 52.1923 36.3355 24.0749 22.1056 19.9602 18.5858 38 64.1814 61.1621 56.8955 53.3835 37.3355 24.8839 22.8785 20.6914 19.2889 39 65.4756 62.4281 58.1201 54.5722 38.3354 25.6954 23.6543 21.4262 19.9959 40 66.7660 63.6907 59.3417 55.7585 39.3353 26.5093 24.4330 22.1643 20.7065 Giáo trình Xác suất thống kê 184 Bảng : PHÂN PHỐI STUDENT: P(T< t) = p với t  t(n) n\p 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 Ơ 0.800 1.3764 1.0607 0.9785 0.9410 0.9195 0.9057 0.8960 0.8889 0.8834 0.8791 0.8755 0.8726 0.8702 0.8681 0.8662 0.8647 0.8633 0.8620 0.8610 0.8600 0.8591 0.8583 0.8575 0.8569 0.8562 0.8557 0.8551 0.8546 0.8542 0.8538 0.8520 0.8507 0.8497 0.8489 0.8482 0.8477 0.8472 0.8468 0.8464 0.8461 0.8459 0.8456 0.8454 0.8452 0.8416 0.850 1.9626 1.3862 1.2498 1.1896 1.1558 1.1342 1.1192 1.1081 1.0997 1.0931 1.0877 1.0832 1.0795 1.0763 1.0735 1.0711 1.0690 1.0672 1.0655 1.0640 1.0627 1.0614 1.0603 1.0593 1.0584 1.0575 1.0567 1.0560 1.0553 1.0547 1.0520 1.0500 1.0485 1.0473 1.0463 1.0455 1.0448 1.0442 1.0436 1.0432 1.0428 1.0424 1.0421 1.0418 1.0364 0.875 2.4142 1.6036 1.4226 1.3444 1.3009 1.2733 1.2543 1.2403 1.2297 1.2213 1.2145 1.2089 1.2041 1.2001 1.1967 1.1937 1.1910 1.1887 1.1866 1.1848 1.1831 1.1815 1.1802 1.1789 1.1777 1.1766 1.1756 1.1747 1.1739 1.1731 1.1698 1.1673 1.1654 1.1639 1.1626 1.1616 1.1607 1.1600 1.1593 1.1588 1.1583 1.1578 1.1574 1.1571 1.1503 0.900 3.0777 1.8856 1.6377 1.5332 1.4759 1.4398 1.4149 1.3968 1.3830 1.3722 1.3634 1.3562 1.3502 1.3450 1.3406 1.3368 1.3334 1.3304 1.3277 1.3253 1.3232 1.3212 1.3195 1.3178 1.3163 1.3150 1.3137 1.3125 1.3114 1.3104 1.3062 1.3031 1.3006 1.2987 1.2971 1.2958 1.2947 1.2938 1.2929 1.2922 1.2916 1.2910 1.2905 1.2901 1.2815 0.925 4.1653 2.2819 1.9243 1.7782 1.6994 1.6502 1.6166 1.5922 1.5737 1.5592 1.5476 1.5380 1.5299 1.5231 1.5172 1.5121 1.5077 1.5037 1.5002 1.4970 1.4942 1.4916 1.4893 1.4871 1.4852 1.4834 1.4817 1.4801 1.4787 1.4774 1.4718 1.4677 1.4645 1.4620 1.4599 1.4582 1.4567 1.4555 1.4544 1.4535 1.4527 1.4519 1.4513 1.4507 1.4395 0.950 6.3138 2.9200 2.3534 2.1318 2.0150 1.9432 1.8946 1.8595 1.8331 1.8125 1.7959 1.7823 1.7709 1.7613 1.7531 1.7459 1.7396 1.7341 1.7291 1.7247 1.7207 1.7171 1.7139 1.7109 1.7081 1.7056 1.7033 1.7011 1.6991 1.6973 1.6896 1.6839 1.6794 1.6759 1.6730 1.6706 1.6686 1.6669 1.6654 1.6641 1.6630 1.6620 1.6611 1.6602 1.6448 0.975 12.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1314 2.1199 2.1098 2.1009 2.0930 2.0860 2.0796 2.0739 2.0687 2.0639 2.0595 2.0555 2.0518 2.0484 2.0452 2.0423 2.0301 2.0211 2.0141 2.0086 2.0040 2.0003 1.9971 1.9944 1.9921 1.9901 1.9883 1.9867 1.9853 1.9840 1.9600 0.990 31.8205 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.5835 2.5669 2.5524 2.5395 2.5280 2.5176 2.5083 2.4999 2.4922 2.4851 2.4786 2.4727 2.4671 2.4620 2.4573 2.4377 2.4233 2.4121 2.4033 2.3961 2.3901 2.3851 2.3808 2.3771 2.3739 2.3710 2.3685 2.3662 2.3642 2.3264 0.995 63.6567 9.9248 5.8409 4.6041 4.0321 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208 2.8982 2.8784 2.8609 2.8453 2.8314 2.8188 2.8073 2.7969 2.7874 2.7787 2.7707 2.7633 2.7564 2.7500 2.7238 2.7045 2.6896 2.6778 2.6682 2.6603 2.6536 2.6479 2.6430 2.6387 2.6349 2.6316 2.6286 2.6259 2.5758 0.9995 636.619 31.5991 12.9240 8.6103 6.8688 5.9588 5.4079 5.0413 4.7809 4.5869 4.4370 4.3178 4.2208 4.1405 4.0728 4.0150 3.9651 3.9216 3.8834 3.8495 3.8193 3.7921 3.7676 3.7454 3.7251 3.7066 3.6896 3.6739 3.6594 3.6460 3.5911 3.5510 3.5203 3.4960 3.4764 3.4602 3.4466 3.4350 3.4250 3.4163 3.4087 3.4019 3.3959 3.3905 3.2905 Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 185 PHỤ LỤC HƢỚNG DẪN SỬ DỤNG MỘT SỐ HÀM TRONG EXCEL Giải tích tổ hợp Akn  PERMUT(n,k) %k  POWER(n,k) A n Ckn  COMBIN(n,k) Pn  FACT(n) A 420  PERMUT(20,4)=116280 Ví dụ: C18  COMBIN(18,7)  31824 Phân phối nhị thức Cho X ~ B(n, p) ta cần tính P(X  x) P(X  x) ta có thể dùng cơng thức: P(X  x)  BINOMDIST(x, n, p,false) P(X  x)  BINOMDIST(x, n, p, true) (trong công thức có thể thay false true 1) Ví dụ: Cho X ~ B(10; 0.4) ta cần tính P(X  6);P(X  4) P(X  6)  BINOMDIST(6,10,0.4,0)  0.111477 P(X  4)  BINOMDIST(4,10,0.4,1)  0.633103 Phân phối Poisson Cho X ~ P(  ) ta cần tính P(X  x) P(X  x) ta có thể dùng công thức: P(X  x)  POISSON(x, ,0) P(X  x)  POISSON(x, ,1) Ví dụ: Cho X ~ P(2) ta cần tính P(X  3);P(X  4) P(X  3)  POISSON(3, 2,0)  0.180447 P(X  4)  POISSON(4, 2,1)  0.947347 Phân phối chuẩn  Để tính giá trị hàm mật độ f(x) hàm phân phối F(x) X ~ N(2 ) ta dùng hàm NORMDIST:  f (x)  e  2 (x 2 2  NORMDIST(X,  x  F(x)  P(X  x)  e   2  (t 2 2 dt  NORMDIST(x,  Giáo trình Xác suất thống kê 186  Để tính ngƣợc phân phối chuẩn, có nghĩa để tìm x từ biểu thức: x  F(x)  e   2  (t 2 2 dt  p Ta dùng hàm: x = NORMINV(p,  Để tính các giá trị hàm phân phối chuẩn tắc X ~ N(0, 1): x t2  dt  NORMSDIST(x) (x)  e  2  Hàm phân phối Laplace: Ví dụ: (0.1)  NORMSDIST(0.1)  0.539828  Để tính hàm ngƣợc phân phối chuẩn tắc, tức tìm x từ biểu thức x t2  2  dt  p G(x)  e  2  ta dùng hàm: x = NORMSINV(p) Ví dụ: Cho (x)  0.975 , tìm x = ?  x  NORMSINV(0.975)  1,959964 ; 1.96  Nếu X ~ N(2 ) ta cần tính P(X  x) P(x1  X  x ) ta có thể dùng hàm: P(X  x)  NORMDIST(x,  P(x1  X  x )  NORMDIST(x ,   NORMDIST(x1,   Nếu X ~ N(01) ta cần tính P(X  x) P(x1  X  x ) ta có thể dùng hàm: P(X  x)  NORMSDIST(x,  P(x1  X  x )  NORMSDIST(x ,   NORSMDIST(x1,   Nếu X ~ N(2 ) ta cần tính P( X    ) ta có thể dùng hàm:  P( X    )  2* NORMSDIST     Phân phối Student  Nếu T ~ t(k), để tính P(T > t0), t0 > dùng hàm P(T > t0) = TDIST(t0, k, 1) Chú ý: Nếu t0 < P(T > t0) = - P(T > -t0) với - t0 >  Nếu T ~ t(k), để tính P( T  t ), t  dùng hàm: Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 187 P  T  t   TDIST(t , k, 2)  Nếu T ~ t(k), để tìm t   t k (1   cho P(X  t      ta dùng công thức t   t k (1    TINV(2*  k) Phân phối Khi bình phƣơng  Nếu 2 ~ 2 (k) , để tính P(2  02 ) dùng hàm P(2  02 )  CHIDIST(22 ,k)  Nếu 2 ~ 2 (k) , để tìm X 2k ( cho P(2  k2 ())   dùng hàm 2k (  CHIINV( k) Tính đặc trƣng mẫu Chú ý: - Chỉ dùng cho mẫu đơn (x1, x2, , xn) - Nếu mẫu tổng quát ta có thể coi giá trị xi xuất ni lần ni giá trị đơn xi - Coi các giá trị x1, x2, ,xn) nằm cột bảng tính Excel, chẳng hạn cột A  Trung bình mẫu: x  n  xi  AVERAGE(A1 : An ) n i1  Phƣơng sai mẫu hiệu chỉnh: s2    n x  (x)2  STDVE(A1 : A n ) ^ n 1  Độ lệch mẫu hiệu chỉnh: s  s2  STDVE(A1 : An ) Ƣớc lƣợng cho kỳ vọng Cho mẫu ngẫu nhiên kích thƣớc n, độ tin cậy 1  , ta tính độ xác theo cơng thức:   u   CONFIDENCE( n) n  s u   CONFIDENCE( s n) n Ƣớc lƣợng phƣơng sai Để tính giá trị (n  1)s2 ta dùng hàm DEVSQ(x1, x2, , xn) có nghĩa: (n  1)s2  DEVSQ(A1 : An ) Giáo trình Xác suất thống kê 188 PHỤ LỤC HƢỚNG DẪN SỬ DỤNG TÍNH TỐN THỐNG KÊ TRÊN MÁY TÍNH Tính đặc trƣng số đại lƣợng ngẫu nhiên rời rạc Ta có thể sử dụng tính toán thống kê các máy tính bỏ túi CASIO 500MS, 570MS, 500ES, 570ES, để tính kỳ vọng, phƣơng sai độ lệch chuẩn đại lƣợng ngẫu nhiên rời rạc Ví dụ: Xét đại lƣợng ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối nhƣ sau: X P 2/15 8/15 1/3 Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 189 190 Tính đặc trƣng mẫu Giáo trình Xác suất thống kê Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 191 192 Giáo trình Xác suất thống kê Trƣờng ĐHSPKT Nam Định 193 ... kính 20 trục máy máy tiện tự động sản xuất ra, ta đƣợc kết sau (tính mm) 25 0 ; 24 9 ; 25 1 ; 25 3 ; 24 8 ; 25 0 ; 25 0 ; 25 2 ; 25 7 ; 24 5 ; 24 8 ; 24 7 ; 24 9 ; 24 9 ; 25 0 ; 28 0 ; 25 0 ; 24 7 ; 25 3 ; 25 6... 32 5 25 Tổng n = 10 x n i i = 20 x i n i = 92 Giáo trình Xác suất thống kê 106 Suy ra: x k 20 =2 xini =  10 n i1 x2  k 92 = 9 ,2 xi ni =  10 n i1   S2 = x  x = 9 ,2 – 22 = 5 ,2 n 10 S2... (lít) 9,6 -9 ,8 9,8 -1 0 1 0-1 0 ,2 10 , 2- 10,4 10, 4-1 0,6 Số lần tƣơng ứng 10 Giải: Ta lập bảng: Lớp xi ni xini xi2ni 9, 6-9 ,8 9,7 29 ,1 28 2 ,27 9, 8-1 0 9,9 49,5 490,05 1 0-1 0 ,2 10,1 10 101 1 020 ,1 10 , 2- 10,4