XÁC SUẤT THỐNG KÊ - PHẦN 2: THỐNG KÊ TOÁN - GV. CHU BÌNH MINH docx

Giảng viên: Chu Bình Minh Bài giảng Xác suất thống kê Nam Dinh,Februay, 2008 PHẦN THỐNG KÊ TỐN CHƯƠNG 4: TỔNG THỂ VÀ MẪU I Khái niêm lý thuyết mẫu Nhiều toán thực tế dẫn đến nghiên cứu hay nhiều dấu hiệu định tính địnhlượng đặc trưng cho phần tử tập hợp Chẳng hạn muốn điều tra thu nhập bình quân gia đình Hà Nội tập hợp cần nghiên cứu hộ gia đình Hà Nội, dấu hiệu nghiên cứu thu nhập gia đình I Khái niêm lý thuyết mẫu Một doanh nghiệp muốn nghiên cứu khách hàng dấu hiệu định tính mức độ hài lòng khách hàng sản phẩm dịch vụ doanh nghiệp, dấu hiệu định lượng số lượng sản phẩm doanh nghiệp mà khách hàng có nhu cầu đáp ứng Khi khảo sát tín hiệu q trình ngẫu nhiên người ta tiến hành lấy mẫu thời điểm thu tín hiệu mẫu I Khái niêm lý thuyết mẫu Để xử lý dấu hiệu cần nghiên cứu người ta sử dung phương pháp nghiên cứu tồn bộ, điều tra toàn phần tử tập hợp theo dấu hiệu cần nghiên cứu để rút kết luận cần thiết Tuy nhiên thực tế việc áp dụng phương pháp gặp phải khó khăn sau: - Do qui mô tập hợp cần nghiên cứu q lớn nên việc nghiên cứu tồn địi hỏi nhiều chi phí vật chất thời gian, khơng kiểm sốt dẫn đến bị chồng chéo bỏ sót I Khái niêm lý thuyết mẫu - Trong nhiều trường hợp nắm toàn phần tử tập hợp cần nghiên cứu, khơng thể tiến hành tồn - Có thể q trình điều tra phá hủy đối tượng nghiên cứu … Vì thực tế phương pháp nghiên cứu toàn thường áp dụng tập hợp có qui mơ nhỏ, cịn chủ yếu người ta sử dụng phương pháp khơng toàn mà đặc biệt phương pháp nghiên cứu chọn mẫu II Tổng thể Toàn phần tử đồng theo dấu hiệu nghiên cứu định tính hay định lượng tổng thể Số lượng phần tử tổng thể gọi kích thước tổng thể Dấu hiệu nghiên cứu tổng thể mô tả biến ngẫu nhiên X gọi biến ngẫu nhiên gốc Do đó, ta áp dung công thức xác suất để áp dụng vào việc nghiên cứu tổng thể II Tổng thể Ví dụ Nghiên cứu thời gian tự học sinh viên trường đại học tổng thể toàn sinh viên trường Do trường đại học có 5000 sinh viên nên tổng thể có kích thước 5000 Dấu hiệu nghiên cứu thời gian tự học ngày sinh viên trường (Dấu hiệu nghiên cứu định lượng) II Tổng thể Ta mơ hình hóa dấu hiệu nghiên cứu cách Chọn ngẫu nhiên sinh viên trường gọi X thời gian tự học sinh viên này, X gọi biến ngẫu nhiên gốc Do thay nghiên cứu thời gian tự học ngày sinh viên ta sử dung kiến thức xác suất nghiên cứu biến ngẫu nhiên gốc X ví dụ muốn biết thời gian tự học trung bình ngày sinh viên ta cần tìm EX (trung bình tổng thể), cần biết tỉ lệ sinh viên có thời gian tự học ngày lớn ta cần tìm P(X>5), … II Tổng thể Ví dụ Nghiên cứu tỉ lệ khách hàng khơng hài lịng với sản phẩm A tổng thể toàn khách hàng dùng sản phẩn A Trường hợp thường khó xác định kích thước xác tổng thể Dấu hiệu nghiên cứu khách hàng dùng sản phẩm A có hài lịng hay khơng (dấu hiệu nghiên cứu định tính) Ta mơ hình hóa dấu hiệu cách chọn ngẫu nhiên khách hàng dùng sản phẩm A gọi X số khách hàng khơng hài lịng chọn X nhận hai giá trị và (X=1) biến cố chọn khách hàng khơng hài lịng nên P(X=1) = p tỉ lệ khách khơng hài lịng với sản phẩm A Vậy biến ngẫu nhiên X có quy luật A(p) IV Thống kê Hoặc ta sử dụng máy tính CASIOfx500 để tính Thực theo bước : Vào chế độ thống kê (SD) : mode 2 Nhập mẫu : Lặp lại trình 𝑥 𝑖 shift ; 𝑛 𝑖 DT Cu thể mẫu cho shift ; DT shift ; 10 DT … shift ; DT IV Thống kê Xem kết Xem 𝑥 : shift S-var = Xem 𝑠 : shift S-var = Xem 𝑠 : shift S-var = V Phân phối xác suất số thống kê đặc trưng Trường hợp biến ngẫu nhiên gốc có quy luật chuẩn Từ tổng thể ta rút mẫu 𝑊𝑛 = (𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋 𝑛 ) biến ngẫu nhiên 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋 𝑛 độc lập có quy luật phân phối với 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎 ) ( 𝑡ứ𝑐 𝑙à 𝑋 𝑖 ~𝑁 𝜇, 𝜎 , 𝑖 = 1, 𝑛) Do 𝑋 tổ hợp tuyến tính 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋 𝑛 nên có quy luật phân phối chuẩn 𝐸𝑋 = 𝜇, 𝐷𝑋 = 𝜎2 𝑛 nên 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2 𝑛 ) suy 𝑿− 𝝁 𝑼= 𝝈 𝒏 ~ 𝑵(𝟎, 𝟏) V Phân phối xác suất số thống kê đặc trưng Trường hợp biến ngẫu nhiên gốc có quy luật chuẩn Do 𝑆 = 𝑛 𝑛 𝑛 (𝑋 𝑖 − 𝜇)2 ⟺ 𝑛𝑆 = 𝑖=1 (𝑋 𝑖 − 𝜇)2 𝑖=1 nên 𝟐 𝒏𝑺 𝝌 = 𝟐 = 𝝈 𝟐 𝒏 𝒊=𝟏 𝑿𝒊 − 𝝁 𝟐 𝟐 ( ) ~𝝌(𝒏) 𝝈 V Phân phối xác suất số thống kê đặc trưng Trường hợp biến ngẫu nhiên gốc có quy luật chuẩn Tương tự (𝒏 − 𝟏)𝑺 𝟐 𝟐 𝝌𝟐 = ~𝝌(𝒏−𝟏) 𝝈𝟐 Nếu ta xây dựng tiếp thống kê 𝑇= 𝑈 𝜒2 𝑛−1 = 𝑿− 𝝁 𝑻= 𝑺 𝑋− 𝜇 𝑛 𝜎 = 𝑛 − 𝑆2 𝑛 − 𝜎2 𝒏 ~ 𝑻(𝒏−𝟏) V Phân phối xác suất số thống kê đặc trưng Trường hợp có hai biến ngẫu nhiên gốc có phân phối chuẩn Giả sử ta xét lúc hai tổng thể Ở tổng thể thứ ta xét biến ngẫu nhiên gốc 𝑋~𝑁(𝜇1 , 𝜎1 ), tổng thể thứ hai ta xét biến ngẫu nhiên gốc 𝑌~𝑁(𝜇2 , 𝜎2 ) Từ hai tổng thể nói rút hai mẫu ngẫu nhiên độc lập có kích thước tương ứng 𝑛1 𝑛2 : 𝑊 𝑋 = (𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋 𝑛 ) 𝑊 𝑌 = (𝑌1 , 𝑌2 , … , 𝑌 𝑛 ) V Phân phối xác suất số thống kê đặc trưng Trường hợp có hai biến ngẫu nhiên gốc có phân phối chuẩn Xét 𝑋 − 𝑌: Do 𝑋~𝑁(𝜇1 , 𝜎1 𝑛1 ) 𝑌~𝑁(𝜇2 , 𝜎2 𝑛2 ) nên 𝑋 − 𝑌~𝑁(𝐸 𝑋 − 𝑌 , 𝐷 𝑋− 𝑌 ) 𝐸 𝑋 − 𝑌 = 𝐸𝑋 − 𝐸𝑌 = 𝜇1 − 𝜇2 , 𝐷 𝑋 − 𝑌 = 𝐷𝑋 + 𝐷𝑌 = 𝜎1 𝑛1 + 𝜎2 𝑛2 suy 2 𝜎1 𝜎2 𝑋 − 𝑌~𝑁(𝜇1 − 𝜇2 , + ) 𝑛1 𝑛2 V Phân phối xác suất số thống kê đặc trưng Trường hợp có hai biến ngẫu nhiên gốc có phân phối chuẩn nên 𝑼= 𝑿 − 𝒀 − (𝝁 𝟏 − 𝝁 𝟐 ) 𝝈𝟐 𝝈𝟐 𝟏 + 𝟐 𝒏𝟏 𝒏𝟐 ~𝑵(𝟎, 𝟏) V Phân phối xác suất số thống kê đặc trưng Trường hợp có hai biến ngẫu nhiên gốc có phân phối chuẩn Mặt khác ta có thống kê (𝑛1 − 1)𝑆 𝑋 2 𝜒2 = ~𝜒(𝑛 −1) 𝑋 𝜎1 (𝑛2 − 1)𝑆 𝑌 2 𝜒2 = ~𝜒(𝑛 −1) 𝑌 𝜎2 nên 𝝌 𝟐 = 𝝌 𝟐𝑿 + 𝝌 𝟐𝒀 ~𝝌 𝟐𝒏 𝟏+𝒏 𝟐−𝟐 V Phân phối xác suất số thống kê đặc trưng Trường hợp có hai biến ngẫu nhiên gốc có phân phối chuẩn suy 𝑇= 𝑈 𝜒2 𝑛1 + 𝑛2 − ~𝑇(𝑛 +𝑛 −2) V Phân phối xác suất số thống kê đặc trưng Trường hợp biến ngẫu nhiên gốc tuân theo quy luận phân phối không - Ở trường hợp ta thường xử dụng định lý giới hạn trung tâm : Khi 𝑛 ≫ 0, 𝑋 − 𝐸𝑋 𝑈= 𝜎 𝑛~𝑁(0,1) 𝑈= 𝑋 − 𝐸𝑋 𝑆 𝑛~𝑁(0,1) V Phân phối xác suất số thống kê đặc trưng Trường hợp biến ngẫu nhiên gốc tuân theo quy luận phân phối không - Giả sử tổng thể, biến ngẫu nhiên gốc X tuân theo quy luật không-một 𝑃 𝑋 = = 𝑝, 𝑃 𝑋 = = − 𝑝 = 𝑞 Từ tổng thể lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n: 𝑊𝑛 = (𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋 𝑛 ), 𝑋= 𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑚 𝑋𝑖 = 𝑓 = 𝑛 V Phân phối xác suất số thống kê đặc trưng Trường hợp biến ngẫu nhiên gốc tuân theo quy luận phân phối không - Với 𝑚 = 𝑛 𝑖=1 𝑋 𝑖 ~𝐵(𝑝; 𝑛) nên 𝐸 𝑚 = 𝑛𝑝, 𝐷 𝑚 = 𝑛𝑝𝑞, suy 𝐸𝑋 = 𝐸 𝑚 𝑛 = 𝑝, 𝐷𝑋 = 𝐷 Khi n lớn p khơng q nhỏ 𝑼= 𝑿− 𝒑 𝒑𝒒 𝒏~𝑵(𝟎, 𝟏) 𝑚 𝑛 = 𝑝𝑞 𝑛 V Phân phối xác suất số thống kê đặc trưng Trường hợp biến ngẫu nhiên gốc tuân theo quy luận phân phối không - Giả sử ta xét lúc hai tổng thể Ở tổng thể thứ ta xét biến ngẫu nhiên gốc 𝑋 tuân theo quy luật không-một với 𝑃 𝑋 = = 𝑝1 , 𝑃 𝑋 = = − 𝑝1 = 𝑞1 tổng thể thứ hai ta xét biến ngẫu nhiên gốc 𝑌 tuân theo quy luật không-một với 𝑃 𝑌 = = 𝑝2 , 𝑃 𝑋 = = − 𝑝2 = 𝑞2 Từ hai tổng thể nói rút hai mẫu ngẫu nhiên độc lập có kích thước tương ứng 𝑛1 𝑛2 : 𝑊 𝑋 = (𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋 𝑛 ) 𝑊 𝑌 = (𝑌1 , 𝑌2 , … , 𝑌 𝑛 ) V Phân phối xác suất số thống kê đặc trưng Trường hợp biến ngẫu nhiên gốc tuân theo quy luận phân phối không - Xét 𝑋 − 𝑌, với 𝑋 = 𝑛1 𝑛1 𝑖=1 𝑋𝑖 , 𝑌 = 𝑛2 𝑛2 𝑖=1 𝑌𝑖 Do 𝐸 𝑋 − 𝑌 = 𝐸𝑋 − 𝐸𝑌 = 𝑝1 − 𝑝2 , 𝐷 𝑋 − 𝑌 = 𝐷𝑋 + 𝑝1 𝑞1 𝑝2 𝑞2 𝐷𝑌 = + suy 𝑛1 𝑛2 𝑿 − 𝒀 − (𝒑 𝟏 − 𝒑 𝟐 ) 𝑼= ~𝑵(𝟎, 𝟏) 𝒑𝟏 𝒒𝟏 𝒑𝟐 𝒒𝟐 + 𝒏𝟏 𝒏𝟐 ... shift ; DT IV Thống kê Xem kết Xem