Bài tập lớn cao cấp tập 3 phép tính tích phân. Lý thuyết chuổi, Phương trình vi phân ppt

˜ ’ ˆ NGUYEN THUY THANH ` ˆ BAI TAP ´ ´ ˆ TOAN CAO CAP Tˆp a ˜ ´ Ph´p t´ t´ phˆn L´ thuyˆt chuˆ i e ınh ıch a y e o Phu.o.ng tr` vi phˆn ınh a ´ ´ ’ ` ˆ ˆ ` ˆ NHA XUAT BAN DAI HOC QUOC GIA HA NOI Muc luc ´ 10 T´ phˆn bˆt dinh ıch a a a ınh ı a 10.1 C´c phu.o.ng ph´p t´ t´ch phˆn a ´ 10.1.1 Nguyˆn h`m v` t´ch phˆn bˆt dinh e a a ı a a ’ ´ a o e 10.1.2 Phu.o.ng ph´p dˆi biˆn ` a ıch a u a 10.1.3 Phu.o.ng ph´p t´ phˆn t`.ng phˆn 4 ´ ’ ıch o a a a 10.2 C´c l´.p h`m kha t´ l´.p c´c h`m so cˆp a o a 10.2.1 T´ phˆn c´c h`m h˜.u ty ıch a a a u ’ ’ 10.2.2 T´ phˆn mˆt sˆ h`m vˆ ty do.n gian ıch a o o a o ’ ´ a 10.2.3 T´ phˆn c´c h`m lu.o.ng gi´c ıch a a a 12 21 11 T´ phˆn x´c dinh Riemann ıch a a ’ ıch 11.1 H`m kha t´ Riemann v` t´ch phˆn x´c dinh a a ı a a - 11.1.1 Dinh ngh˜ ıa ’ - ` ’ ı 11.1.2 Diˆu kiˆn dˆ h`m kha t´ch e e e a ban cua t´ch phˆn x´c dinh ´ ’ ı a a 11.1.3 C´c t´ chˆt co ’ a ınh a a ınh ıch a a 11.2 Phu.o.ng ph´p t´ t´ phˆn x´c d inh ng dung cua t´ch phˆn x´c d inh ’ ı a a 11.3 Mˆt sˆ u o o´ ´ ’ ’ ’ 11.3.1 Diˆn t´ h` ph˘ng v` thˆ t´ch vˆt thˆ e ıch ınh a a e ı a e 30 30 37 48 57 58 58 59 59 61 78 78 a e ıch a o 11.3.2 T´ dˆ d`i cung v` diˆn t´ m˘t tr`n xoay ınh o a 11.4 T´ phˆn suy rˆng ıch a o 89 98 11.4.1 T´ phˆn suy rˆng cˆn vˆ han 98 ıch a o a o ’ a 11.4.2 T´ phˆn suy rˆng cua h`m khˆng bi ch˘n 107 ıch a o o a MUC LUC ´ ` 12 T´ phˆn h`m nhiˆu biˆn ıch a a e e 12.1 T´ phˆn 2-l´.p ıch a o `.ng ho.p miˆn ch˜ nhˆt ` e u a 12.1.1 Tru o `.ng ho.p miˆn cong ` e 12.1.2 Tru o ng dung h` hoc ınh 12.1.3 Mˆt v`i u o a ´ p 12.2 T´ phˆn 3-l´ ıch a o ` ı o e o 12.2.1 Tru.`.ng ho.p miˆn h`nh hˆp `.ng ho.p miˆn cong ` e 12.2.2 Tru o 12.2.3 12.2.4 Nhˆn x´t chung a e o 12.3 T´ phˆn d u.`.ng ıch a ’ ı 12.3.1 C´c dinh ngh˜a co ban a `.ng 12.3.2 T´ t´ phˆn du o ınh ıch a 12.4 T´ phˆn m˘t ıch a a ’ ı 12.4.1 C´c dinh ngh˜a co ban a a ınh ı a a 12.4.2 Phu.o.ng ph´p t´ t´ch phˆn m˘t c Gauss-Ostrogradski 12.4.3 Cˆng th´ o u 12.4.4 Cˆng th´.c Stokes o u 117 118 118 118 121 133 133 134 136 136 144 144 146 158 158 160 162 162 ˜ ´ 13 L´ thuyˆt chuˆ i y e o ˜ o 13.1 Chuˆ i sˆ du.o.ng o ´ ’ ı 13.1.1 C´c dinh ngh˜a co ban a o.ng ˜ o 13.1.2 Chuˆ i sˆ du o ´ ˜ o ´ ´ o e o 13.2 Chuˆ i hˆi tu tuyˆt d ˆi v` hˆi tu khˆng tuyˆt d ˆi o e o a o ’ ı 13.2.1 C´c dinh ngh˜a co ban a ˜ ´ ´ a a a e 13.2.2 Chuˆ i dan dˆu v` dˆu hiˆu Leibnitz o a ˜ u 13.3 Chuˆ i l˜y th` o u ’ ı 13.3.1 C´c dinh ngh˜a co ban a ’ - ` ’ a e 13.3.2 Diˆu kiˆn khai triˆn v` phu.o.ng ph´p khai triˆn e e e a ˜ 13.4 Chuˆ i Fourier o ’ ı 13.4.1 C´c dinh ngh˜a co ban a 177 178 178 179 191 191 192 199 199 201 211 211 MUC LUC ˜ ´ ’ ` o ’ o 13.4.2 Dˆu hiˆu du vˆ su hˆi tu cua chuˆ i Fourier 212 a e e 14 Phu.o.ng tr` vi phˆn ınh a 224 ´ 14.1 Phu.o.ng tr` vi phˆn cˆp 225 ınh a a ´ 14.1.1 Phu.o.ng tr` t´ch biˆn 226 ınh a e o.ng tr` d ang cˆp 231 ’ ´ 14.1.2 Phu ınh ˘ a ´ 14.1.3 Phu.o.ng tr` tuyˆn t´ 237 ınh e ınh 14.1.4 Phu.o.ng tr` Bernoulli 244 ınh o.ng tr` vi phˆn to`n phˆn 247 ` 14.1.5 Phu ınh a a a 14.1.6 Phu.o.ng tr` Lagrange v` phu.o.ng tr` Clairaut255 ınh a ınh o.ng tr` vi phˆn cˆp cao 259 ´ 14.2 Phu ınh a a o.ng tr` cho ph´p thˆp cˆp 260 ´ ´ 14.2.1 C´c phu a ınh e a a ´ ´ 14.2.2 Phu.o.ng tr` vi phˆn tuyˆn t´ cˆp v´.i hˆ ınh a e ınh a o e ´ ` sˆ h˘ng 264 o a ´ ` ´ ınh a e ı a a 14.2.3 Phu.o.ng tr` vi phˆn tuyˆn t´nh thuˆn nhˆt ´ ´ cˆp n (ptvptn cˆp n ) v´.i hˆ sˆ h˘ng 273 a a o e o ` ´ a o.ng tr` vi phˆn tuyˆn t´ cˆp v´.i hˆ sˆ h˘ng290 ´ ´ 14.3 Hˆ phu e ınh a e ınh a o e o ` ´ a ` 15 Kh´i niˆm vˆ phu.o.ng tr` a e e ınh vi phˆn dao h`m riˆng a a e ´ ´ ´ 15.1 Phu.o.ng tr` vi phˆn cˆp tuyˆn t´ dˆi v´.i c´c dao ınh a a e ınh o o a h`m riˆng a e ´ ´ ’ ’ 15.2 Giai phu.o.ng tr` d ao h`m riˆng cˆp d o.n gian nhˆt ınh a a e a ’ 15.3 C´c phu.o.ng tr` vˆt l´ to´n co ban a ınh a y a ` o 15.3.1 Phu.o.ng tr` truyˆn s´ng ınh e o.ng tr` truyˆn nhiˆt ` 15.3.2 Phu ınh e e o.ng tr` Laplace 15.3.3 Phu ınh ’ T`i liˆu tham khao a e 304 306 310 313 314 317 320 327 Chu.o.ng 10 ´ T´ phˆn bˆt dinh ıch a a 10.1 C´c phu.o.ng ph´p t´ a a ınh t´ phˆn ıch a ´ 10.1.1 Nguyˆn h`m v` t´ phˆn bˆt dinh e a a ıch a a ’ ´ a o e 10.1.2 Phu.o.ng ph´p dˆi biˆn 12 ` a ıch a u a 10.1.3 Phu.o.ng ph´p t´ phˆn t`.ng phˆn 21 ’ ıch a o a a 10.2 C´c l´.p h`m kha t´ l´.p c´c h`m a o cˆp 30 ´ so a 10.2.1 T´ phˆn c´c h`m h˜.u ty 30 ıch a a a u ’ ’ 10.2.2 T´ phˆn mˆt sˆ h`m vˆ ty do.n gian 37 ıch a o o a o ’ ´ a 10.2.3 T´ phˆn c´c h`m lu.o.ng gi´c 48 ıch a a a 10.1 C´c phu.o.ng ph´p t´ a a ınh t´ phˆn ıch a 10.1.1 ´ Nguyˆn h`m v` t´ phˆn bˆt dinh e a a ıch a a - ’ e a a Dinh ngh˜ 10.1.1 H`m F (x) du.o.c goi l` nguyˆn h`m cua h`m ıa a a ´ ’ ’ f (x) trˆn khoang n`o d´ nˆu F (x) liˆn tuc trˆn khoang d´ v` kha vi e a o e e e o a ’ a ınh ıch a 10.1 C´c phu.o.ng ph´p t´ t´ phˆn a ˜ ’ ’ ’ tai mˆ i diˆm cua khoang v` F (x) = f(x) o e a - ` ` o e a e e Dinh l´ 10.1.1 (vˆ su tˆn tai nguyˆn h`m) Moi h`m liˆn tuc trˆn y e a ` o ’ doan [a, b] dˆu c´ nguyˆn h`m trˆn khoang (a, b) e e a e - ´ Dinh l´ 10.1.2 C´c nguyˆn h`m bˆt k` cua c`ng mˆt h`m l` chı y a e a a y ’ u o a a ’ i mˆt h˘ng sˆ cˆng ´ ’ o a o o kh´c bo a ` ´ ’ ’ Kh´c v´.i dao h`m, nguyˆn h`m cua h`m so cˆp khˆng phai bao a o a a o e a a ’ ´ ’ a a gi` c˜ng l` h`m so cˆp Ch˘ng han, nguyˆn h`m cua c´c h`m e−x , o u a a a a e a cos x sin x ´ , , , l` nh˜.ng h`m khˆng so cˆp a u a o a cos(x2), sin(x2), lnx x x - ’ e a a e Dinh ngh˜ 10.1.2 Tˆp ho.p moi nguyˆn h`m cua h`m f (x) trˆn ıa a o.c goi l` t´ phˆn bˆt dinh cua h`m f (x) trˆn khoang ´ ’ ’ a ’ khoang (a, b) du a ıch a a e (a, b) v` du.o.c k´ hiˆu l` a y e a f (x)dx ´ ’ a ’ Nˆu F (x) l` mˆt c´c nguyˆn h`m cua h`m f (x) trˆn khoang e a o a e a e (a, b) th` theo dinh l´ 10.1.2 ı y f(x)dx = F (x) + C, C∈R ’ ’ ’ ´ a e a a u d´ C l` h˘ng sˆ t`y y v` d˘ng th´.c cˆn hiˆu l` d˘ng th´.c gi˜.a o a ` a o u ´ a a u ` u hai tˆp ho.p a ´ ´ ’ ’ ıch a a C´c t´ chˆt co ban cua t´ phˆn bˆt dinh: a ınh a 1) d f (x)dx = f(x)dx 2) f (x)dx 3) df(x) = = f (x) f (x)dx = f(x) + C ´ ’ ıa ıch a a u a ı a T` dinh ngh˜ t´ phˆn bˆt dinh r´t bang c´c t´ch phˆn co u ’ ’ o a ban (thu.`.ng du.o.c goi l` t´ phˆn bang) sau dˆy: a ıch a ´ ıch a a Chu.o.ng 10 T´ phˆn bˆt dinh I 0.dx = C II 1dx = x + C xα+1 + C, α = −1 α+1 III xαdx = IV dx = ln|x| + C, x = x V axdx = ax + C (0 < a = 1); lna ex dx = ex + C VI sin xdx = − cos x + C VII cos xdx = sin x + C VIII π dx = tgx + C, x = + nπ, n ∈ Z 2x cos IX X XI dx = −cotgx + C, x = nπ, n ∈ Z sin2 x  arc sin x + C, dx √ −1 < x < = − x2 −arc cos x + C  arctgx + C, dx = + x2 −arccotgx + C √ dx = ln|x + x2 ± 1| + C x2 ± ´ (trong tru.`.ng ho.p dˆu tr` th` x < −1 ho˘c x > 1) o a u ı a XII XIII √ dx 1+x + C, |x| = = ln 1−x 1−x ´ ınh ıch a a ´ C´c quy t˘c t´ t´ phˆn bˆt dinh: a a a ınh ıch a 10.1 C´c phu.o.ng ph´p t´ t´ phˆn a 1) kf (x)dx = k 2) [f(x) ± g(x)]dx = ´ 3) Nˆu e f (x)dx, k = f (x)dx ± g(x)dx ’ f(x)dx = F (x) + C v` u = ϕ(x) kha vi liˆn tuc th` a e ı f (u)du = F (u) + C ´ CAC V´ DU I ` a a o e a e V´ du Ch´.ng minh r˘ng h`m y = signx c´ nguyˆn h`m trˆn ı u a diˆm x = v` khˆng c´ nguyˆn h`m trˆn ’ ´ ’ khoang bˆt k` khˆng ch´ a y o u e a o o e a e ’ ’ moi khoang ch´.a diˆm x = u e ’ ´ ’ ’ Giai 1) Trˆn khoang bˆt k` khˆng ch´.a diˆm x = h`m y = signx e a y o u e a i moi khoang (a, b), < a < b ta c´ signx = ’ ` ´ ’ l` h˘ng sˆ Ch˘ng han v´ a a o a o o ’ o e v` d´ moi nguyˆn h`m cua n´ trˆn (a, b) c´ dang a o e a o F (x) = x + C, C ∈ R ’ ’ 2) Ta x´t khoang (a, b) m` a < < b Trˆn khoang (a, 0) moi e a e ’ ’ nguyˆn h`m cua signx c´ dang F (x) = −x + C1 c`n trˆn khoang (0, b) e a o o e ` ´ nguyˆn h`m c´ dang F (x) = x + C2 V´.i moi c´ch chon h˘ng sˆ C1 e a o a o o a ’ e o o a v` C2 ta thu du.o.c h`m [trˆn (a, b)] khˆng c´ dao h`m tai diˆm x = a a e ´ Nˆu ta chon C = C1 = C2 th` thu du.o.c h`m liˆn tuc y = |x| + C e a e ı ’ ’ nhu.ng khˆng kha vi tai diˆm x = T` d´, theo dinh ngh˜a h`m o e u o ı a signx khˆng c´ nguyˆn h`m trˆn (a, b), a < < b o o e a e ´ ’ a V´ du T` nguyˆn h`m cua h`m f (x) = e|x| trˆn to`n truc sˆ ı ım e a e a o |x| x i x ` ’ Giai V´ o ta c´ e = e v` d´ miˆn x > mˆt o a o e o c´c nguyˆn h`m l` ex Khi x < ta c´ e|x| = e−x v` vˆy a e a a o a a −x i h˘ng ` miˆn x < mˆt c´c nguyˆn h`m l` −e + C v´ ` e o a e a a o a ´ ´ sˆ C bˆt k` o a y ’ ’ e e o Theo dinh ngh˜ nguyˆn h`m cua h`m e|x| phai liˆn tuc nˆn n´ ıa, e a a ´ ıch a a Chu.o.ng 10 T´ phˆn bˆt dinh ` ’ ’ phai thoa m˜n diˆu kiˆn a e e lim ex = lim (−e−x + C) x→0+0 x→0−0 t´.c l` = −1 + C ⇒ C = u a Nhu vˆy a  ex ´  nˆu x > 0, e   ´ F (x) = nˆu x = 0, e    −x −e + nˆu x < ´ e ` ´ l` h`m liˆn tuc trˆn to`n truc sˆ Ta ch´.ng minh r˘ng F (x) l` nguyˆn a a e e a u a a e o |x| i x > ta c´ ´ ’ h`m cua h`m e trˆn to`n truc sˆ Thˆt vˆy, v´ a a o e a a a o o ’ F (x) = ex = e|x|, v´.i x < th` F (x) = e−x = e|x| Ta c`n cˆn phai ı o o ` a ` ch´.ng minh r˘ng F (0) = e0 = Ta c´ u a o F (x) − F (0) ex − = lim = 1, x→0+0 x→0+0 x x F (x) − F (0) −e−x + − = lim = F− (0) = lim x→0−0 x→0−0 x x ’ ´ Nhu vˆy F+ (0) = F− (0) = F (0) = = e|x| T` d´ c´ thˆ viˆt: a u o o e e  ex + C, x