Toán cao cấp 1-Bài 3: Phép tính tích phân doc

Bài 3: Phép tính tích phân 43 BÀI 3: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN Mục tiêu • Nắm được các khái niệm về tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng. • Làm được bài tập về tích phân bất định, tích phân xác định. • Áp dụng phần mềm Maple để tính tích phân. Thời lượng Nội dung Bạn nên dành mỗi tuần khoảng 90 phút để đọc kỹ lý thuyết và khoảng 120 phút trong vòng hai tuần để làm bài tập để nắm vững nội dung bài học này. • Bài này giới thiệu với các bạn các khái niệm tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng và các phương pháp tính các loại tích phân này. • Phép tính tích phân là một trong hai phép tính cơ bản của giải tích, có nhiều ứng dụng trong bài toán kỹ thuật, kinh tế… Hướng dẫn học • Bạn nên đọc kỹ lý thuyết để nắm được các khái niệm tích phân bất định, tích phân xác định và các loại tích phân suy rộng. • Bạn nên làm càng nhiều bài tập càng tốt để thành thạo phuơng pháp tính các loại tích phân đó. Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ 44 3.1. Tích phân bất định 3.1.1. Khái niệm về tích phân bất định 3.1.1.1. Nguyên hàm Bài này trình bày về phép tính tích phân, đây là phép toán ngược của phép tính đạo hàm (vi phân) của hàm số. Nếu ta cho trước một hàm số f(x) thì có tồn tại hay không một hàm số F(x) có đạo hàm bằng f(x)? Nếu tồn tại, hãy tìm tất cả các hàm số F(x) như vậy. Định nghĩa: Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên một khoảng D nếu: F'(x) f(x), x D=∀∈, hay dF(x) f (x)dx = . Ví dụ 1: Vì: (sin x)' cos x, x=∀∈R nên sin x là nguyên hàm của hàm số cos x trên R . Vì: 2222 112x arctg x ' , x 1 1x 1x (1x) ⎛⎞ +=+ ∀≠± ⎜⎟ −+− ⎝⎠ nên: 2 1 arctg x 1x + − là một nguyên hàm của hàm số 222 12x 1x (1x) + +− trên { } \1. ± R Định lý sau đây nói rằng nguyên hàm của một hàm số cho trước không phải là duy nhất, nếu biết một nguyên hàm thì ta có thể miêu tả được tất cả các nguyên hàm khác của hàm số đó. Định lý: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng D thì: Hàm số F(x) C + cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) , với C là một hằng số bất kỳ. Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) đều viết được dưới dạng F(x) C + , trong đó C là một hằng số. Chứng minh: Giả sử C là một hằng số bất kỳ, ta có: () F(x) C ' F'(x) f(x)+= = với mọi xD ∈ . Theo định nghĩa F(x) C+ cũng là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng D. Ngược lại, giả sử (x)ϕ là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số f (x) trên khoảng D. Ta có: [ ] F(x) (x) ' F'(x) '(x) f(x) f(x) 0, x D−ϕ = −ϕ = − = ∀ ∈ . Suy ra F(x) (x)−ϕ nhận giá trị hằng số trên khoảng D: F(x) (x) C (x) F(x) C, x D−ϕ =− ⇔ϕ = + ∀ ∈ . Như vậy biểu thức F(x) C+ biểu diễn tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x), mỗi hằng số C tương ứng cho ta một nguyên hàm. Bài 3: Phép tính tích phân 45 3.1.1.2. Tích phân bất định Định nghĩa: Tích phân bất định của một hàm số f(x) là họ các nguyên hàm F(x) C+ ; với xD ∈ ; trong đó F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) và C là một hằng số bất kỳ. Tích phân bất định của f(x)dx được ký hiệu là: f(x)dx ∫ . Biểu thức f(x)dx được gọi là biểu thức dưới dấu tích phân và hàm số f được gọi là hàm số dưới dấu tích phân. Vậy: f(x)dx F(x) C=+ ∫ , với F(x) là nguyên hàm của f(x). Ví dụ 2: cos xdx sin x C = + ∫ xx edx e C=+ ∫ . 3.1.1.3. Các tính chất cơ bản của tích phân xác định f(x)dx ' f(x) ⎡⎤ = ⎣⎦ ∫ hay d f (x)dx f (x)dx= ∫ F'(x)dx F(x) C = + ∫ hay dF(x) F(x) C = + ∫ af (x)dx a f (x)dx= ∫∫ , (a là hằng số khác 0) [ ] f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx±=± ∫∫∫ . Hai tính chất cuối cùng là tính chất tuyến tính của tích phân bất định, ta có thể viết chung: [ ] f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dxα+β =α +β ∫∫∫ trong đó ,αβ là các hằng số không đồng thời bằng 0 Các tính chất nói trên được chứng minh trực tiếp từ định nghĩa của tích phân bất định. 3.1.1.4. Các công thức tích phân cơ bản Các công thức tích phân sau đây được chứng minh bằng định nghĩa: 1 x xdx C,( 1) 1 α+ α =+α≠− α+ ∫ sin xdx cos x C=− + ∫ 2 dx cotg x C sin x =− + ∫ x x a a dx C,(a 0,a 1) ln a =+ >≠ ∫ 22 dx 1 a x ln C ax 2aax + =+ −− ∫ 2 2 dx ln x x C x = ++α+ +α ∫ dx ln x C x = + ∫ cos xdx sin x C=+ ∫ 2 dx tg x C cos x = + ∫ xx edx e C = + ∫ 22 dx 1 x arctg C xa a a =+ + ∫ 22 dx x arcsin C a ax =+ − ∫ Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ 46 3.1.2. Các phương pháp tính tích phân bất định 3.1.2.1. Phương pháp khai triển Để tính một tích phân bất kỳ, ta cần sử dụng các phương pháp thích hợp để đưa về các tích phân đã có trong bảng các công thức tích phân cơ bản ở trên. Một phương pháp đơn giản là phương pháp khai triển. Phương pháp này dựa trên tính chất tuyến tính của tích phân bất định: [ ] f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dxα+β =α +β ∫∫∫ . Ta phân tích hàm số dưới dấu tích phân thành tổng (hiệu) của các hàm số đơn giản mà đã biết được nguyên hàm của chúng, các hằng số được đưa ra bên ngoài dấu tích phân. Ví dụ 3: 35 223 22 4 (2x x 3x )dx 2 x dx 3 x dx x x C 5 − =−=−+ ∫∫∫ 4 33 1dxx 2sin x x dx 2 sin xdx x dx 2cos x ln x C xx4 ⎛⎞ + −= + −=− +−+ ⎜⎟ ⎝⎠ ∫∫∫∫ 22 2 2 dx 1 1 1 dx arctg x C x(1x) x 1x x ⎛⎞ = −=−++ ⎜⎟ ++ ⎝⎠ ∫∫ . 3.1.2.2. Phương pháp biến đổi biểu thức vi phân Nhận xét: Nếu: f (x)dx F(x) C = + ∫ thì f(u)du F(u) C = + ∫ ; trong đó u u(x) = là một hàm số khả vi liên tục. Ta có thể kiểm tra lại bằng cách đạo hàm hai vế theo x. Sử dụng tính chất này, ta biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân g(x)dx về dạng: g(x)dx f(u(x))u'(x)dx= trong đó f(x) là một hàm số mà ta dễ dàng tìm được nguyên hàm F(x) . Khi đó tích phân cần tính trở thành: g(x)dx f(u(x))u'(x)dx f(u(x))du F(u(x)) C===+ ∫∫ ∫ ( ) a0 ≠ Trong trường hợp đơn giản u(x) ax b = + thì du adx = , do đó nếu f(x)dx F(x) C=+ ∫ ta suy ra: 1 f (ax b)dx F(ax b) C a + =++ ∫ ( ) a0≠ Ví dụ 4: 1 sin axdx cosax C a = −+ ∫ . ( ) a0 ≠ ax ax e edx C a =+ ∫ ( ) a0 ≠ sin x sin x sin x e cos xdx e d(sin x) e C = =+ ∫∫ Bài 3: Phép tính tích phân 47 3 2 4 dx tg x (1 tg x)d(tg x) tg x C cos x 3 = +=++ ∫∫ ( ) 3 2222 11 x 1 3x dx 1 3x d(1 3x ) 1 3x C 69 +=++=++ ∫∫ 2 arccos x arcsin x I dx arcsin x arcsin xd(arcsin x) 2 1x π ⎛⎞ ==− ⎜⎟ ⎝⎠ − ∫∫ 23 1 I arcsin x arcsin x C 43 π ⇒= − + . 3.1.2.3. Phương pháp đổi biến Xét tích phân I f (x)dx= ∫ ; trong đó f (x) là một hàm số liên tục. Để tính tích phân này, ta tìm cách chuyển sang tính tích phân khác của một hàm số khác bằng một phép đổi biến sao cho biểu thức dưới dấu tích phân đối với biến t có thể tìm được nguyên hàm một cách đơn giản hơn. Ta chia phương pháp đổi biến làm hai trường hợp là đổi biến xuôi x (t)=ϕ và đổi biến ngược t (x) = ψ . • Phép đổi biến thứ nhất: Đặt x(t)=ϕ ; trong đó (t)ϕ là một hàm số đơn điệu, và có đạo hàm liên tục. Khi đó ta có: [ ] I f(x)dx f (t) '(t)dt==ϕϕ ∫∫ Giả sử hàm số [ ] g(t) f (t) '(t)=ϕ ϕ có nguyên hàm là hàm G(t) , và t h(x)= là hàm số ngược của hàm số x(t) = ϕ , ta có: [ ] I g(t)dt G(t) C I G h(x) C==+⇒= + ∫ . • Phép đổi biến thứ hai: Đặt t (x)=ψ , trong đó (x) ψ là một hàm số có đạo hàm liên tục, và ta viết được hàm [ ] f(x) g (x) '(x)=ψ ψ . Khi đó ta có: [ ] I f(x)dx g (x) '(x)dx==ψψ ∫∫ . Giả sử hàm số g(t) có nguyên hàm là hàm số G(t), ta có: [ ] IG (x) C=ψ +. Ví dụ 5: a) Tính tích phân: 1 x Idx 2x = − ∫ Đặt 2 x2sint,t 0, 2 π ⎛⎞ =∈ ⎜⎟ ⎝⎠ , ta tính được: dx 4sin tcos tdt= ; CHÚ Ý : Khi tính tích phân bất định bằng phương pháp đổi biến số, sau khi tìm được nguyên hàm theo biến số mới, phải đổi lại thành hàm số của biến s ố cũ. Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ 48 2 2 x2sint tg t 2x 2(1sint) == −− . Suy ra: 2 1 x I dx 4 sin tdt 2t sin 2t C 2x = ==−+ − ∫∫ . Đổi lại biến x, với x tarcsin 2 = , ta thu được: 2 1 xx I dx 2arcsin 2x x C 2x 2 == −−+ − ∫ . b) Tính tích phân 2x 2 x e Idx e1 = + ∫ . Đặt xx etedxdt=⇒ = , ta có: 2 t1 Idt1dttlnt1C t1 t1 ⎛⎞ ==−=−++ ⎜⎟ ++ ⎝⎠ ∫∫ . Đổi lại biến x, ta được: xx 2 Ieln(e1)C = −++ . c) Tính tích phân 3 x dx I 14 = + ∫ . Đặt xx t 2 dt 2 ln 2dx −− =⇒=− , tích phân trở thành: 2 3 22 dt 1 dt 1 I ln(t t 1) C ln 2 ln 2 tln2 1 t t 1 − − ==−=−+++ ++ ∫∫ . Đổi lại biến x, ta có: xx 3 1 I ln(2 4 1) C ln 2 −− =− + + + . 3.1.2.4. Phương pháp tích phân từng phần Giả sử uu(x)= và vv(x)= là các hàm số có đạo hàm liên tục. Theo quy tắc lấy vi phân d(uv) udv vdu uv d(uv) udv vdu=+⇒= = + ∫ ∫∫ . Suy ra : udv uv vdu=− ∫∫ . Xét tích phân: I f (x)dx= ∫ . Ta cần biểu diễn: [ ] [ ] f(x)dx g(x)h(x) dx g(x) h(x)dx udv=== và áp dụng công thức tích phân từng phần với các hàm số u g(x);v h(x)dx== ∫ . Ta thường sử dụng phương pháp này khi biểu thức dưới dấu tích phân chứa một trong các hàm số sau đây: x ln x;a ; hàm số lượng giác, hàm số lượng giác ngược. Cụ thể: • Trong các tích phân nkx n n x e dx; x sin kxdx; x coskxdx ∫∫ ∫ , n nguyên dương, ta thường chọn: n ux= Bài 3: Phép tính tích phân 49 • Trong các tích phân n x ln xdx α ∫ , 1 α ≠− và n nguyên dương, ta thường chọn n ulnx= • Trong tích phân nn x arctg kxdx; x arcsin kxdx ∫∫ , n nguyên dương, ta thường chọn: uarctgkx= hoặc uarcsinkx = ; n dv x dx= . Ví dụ 6: Tính các tích phân bất định: a) 1 I ln xdx x ln x dx x ln x x C==−=−+ ∫∫ . b) 2 2 I x sin xdx= ∫ . Đặt 2 u x ,dv sin xdx v cos x== ⇒=−, ta được: 2 2 I x cos x 2 x cos xdx=− + ∫ . Đặt u x,dv cos xdx v sin x== ⇒=, ta được: ( ) 22 2 I x cosx 2 xsinx sinxdx x cosx 2xsinx 2cosx C.=− + − =− + + + ∫ c) x 3 2 xe dx I (x 1) = + ∫ . Đặt xx 2 dx 1 uxe;dv v ;du(x1)edx (x 1) x 1 == ⇒=− =+ ++ , ta được: xxx xx 3 xe xe e IedxeCC x1 x1 x1 =− + =− + + = + +++ ∫ . d) x 4 x xe dx I 1e = + ∫ . Đặt x x x edx 1 e t 2dt 1e +=⇒ = + ; ta có: [] 4 I 2 ln(t 1) ln(t 1) dt 2(t 1)ln(t 1) 2(t 1)ln(t 1) 4t C=−++=−−+++−+ ∫ . Đổi lại biến x ta có: ( ) x xx x xe dx 2(x 2) 1 e 4ln 1 1 e 2x C 1e = −++ ++−+ + ∫ . e) 5 2 xarcsinx Idx 1x = − ∫ . Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ 50 Đặt 2 22 xdx dx uarcsinx;dv du ;v 1x 1x 1x ==⇒==−− −− , ta được: 22 5 I1xarcsinxdx1xarcsinxxC=− − + =− − + + ∫ . f) x 6 I e cos 2xdx= ∫ . Đặt xx u cos2x;dv e dx v e ;du 2sin 2xdx==⇒==−; ta được: xx 6 I e cos2x 2 e sin 2xdx=+ ∫ . Đặt xx u sin 2x;dv e dx v e ;du 2cos 2xdx==⇒== ; ta được: () xxx xx 6 6 I e cos2x 2 e sin2x 2 e cos2xdx e cos2x 2e sin2x 4I 5C=+ − =+ −+ ∫ . Vậy: () x 6 e Icos2x2sin2xC 5 =++. Trong các mục sau đây chúng ta sẽ xét tích phân bất định của một số dạng hàm cơ bản: Hàm phân thức hữu tỷ, hàm lượng giác, hàm chứa căn thức và trình bày một số phương pháp giải chung đối với tích phân các hàm này. 3.1.3. Tích phân hàm phân thức hữu tỷ Định nghĩa: Một hàm phân thức hữu tỷ là một hàm số có dạng: P(x) f(x) Q(x) = , trong đó P(x),Q(x) là các đa thức của x. Một phân thức hữu tỷ có bậc của đa thức ở tử số nhỏ hơn bậc của đa thức ở mẫu số là một phân thức hữu tỷ thực sự. Bằng phép chia đa thức, chia P(x) cho Q(x) ta luôn đưa được một hàm phân thức hữu tỷ về dạng: r(x) f(x) H(x) Q(x) =+ Trong đó H(x) là đa thức thương, r(x) là phần dư trong phép chia. Khi đó r(x) Q(x) là một phân thức hữu tỷ thực sự. Nguyên hàm của đa thức H(x) được tìm bởi công thức tích phân cơ bản: n1 n x xdx C n1 + =+ + ∫ ; n nguyên dương. Ta sẽ xét việc tìm nguyên hàm của phân thức hữu tỷ còn lại r(x) Q(x) trong hai trường hợp đặc biệt: Mẫu số của phân thức là đa thức bậc nhất hoặc đa thức bậc hai. Trong những trường hợp mẫu số phức tạp hơn, chúng ta sử dụng phương pháp hệ số bất định để đưa về hai trường hợp trên. Bài 3: Phép tính tích phân 51 3.1.3.1. Tích phân của phân thức hữu tỷ với mẫu số bậc nhất Xét tích phân: P(x) dx ax b+ ∫ . Trong đó P(x) là một đa thức. Ta biểu diễn hàm dưới dấu tích phân ở dạng sau: P(x) C Q(x) ax b ax b =+ ++ . Chúng ta sử dụng hai công thức sau để tính tích phân nói trên n1 n x xdx C,n 0 n1 + =+≥ + ∫ và dx 1 ln ax b C ax b a = ++ + ∫ . Ví dụ 7: 3 32 2 ln 2x 1 4x 2x 1 1 1 2x x x dx 2x x dx C 2x 1 2 2(2x 1) 3 2 2 4 − ⎛⎞ −+ =+−+ =+−+ + ⎜⎟ −− ⎝⎠ ∫∫ . 3.1.3.2. Tích phân của phân thức hữu tỷ với mẫu số bậc hai Xét tích phân: 2 P(x) dx xpxq++ ∫ . Trong đó P(x) là một đa thức. Ta biểu diễn hàm dưới dấu tích phân ở dạng sau: 22 P(x) Mx N Q(x) x pxq x pxq + =+ ++ ++ . Ta viết lại: MMp Mx N (2x p) N 22 += ++− suy ra: 2 22 2 Mx N M d(x px q) Mp dx dx N xpxq 2 xpxq 2 xpxq +++ ⎛⎞ =+− ⎜⎟ ++ ++ ++ ⎝⎠ ∫∫ ∫ 2 2 MMpdx ln x px q N . 22xpxq ⎛⎞ =+++− ⎜⎟ + + ⎝⎠ ∫ Tích phân còn lại ở vế phải 2 dx J xpxq = + + ∫ được tìm như sau : • Nếu tam thức 2 xpxq++ có hai nghiệm phân biệt 12 xx ≠ ; ta có: 1 1212 1 2 12 2 xx dx 1 1 1 1 JdxlnC (x x )(x x ) x x x x x x x x x x ⎛⎞ − ==−=+ ⎜⎟ −− − − − − − ⎝⎠ ∫∫ . • Nếu tam thức 2 xpxq++ có nghiệm kép α , ta có: 2 dx 1 JC (x ) x ==−+ −α −α ∫ . Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ 52 • Nếu tam thức 2 xpxq++ vô nghiệm, ta viết lại: 2 2 2222 pp xpxq x q Xa,(a0) 24 ⎛⎞ ⎛⎞ ++=+ +− = + > ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ . suy ra: 12xp Jarctg C a2a + = + . Ví dụ 8: Tính tích phân: 2 22 2 2x 3x 2 5x 5 2x 1 1 dx 2 dx 2 dx dx x x1 x x1 2x x1 −+ +− ⎛⎞ =− = − ⎜⎟ ++ ++ ++ ⎝⎠ ∫∫ ∫∫ 2 22 5d(x x1) 5 dx 2x 2 x x 1 2 (x 1/2) 3/4 ++ =− + ++ + + ∫∫ 2 552x1 2x ln(x x 1) arctg C 2 33 + = −+++ + 3.1.3.3. Phương pháp hệ số bất định Giả sử chúng ta muốn phân tích một phân thức hữu tỷ thực sự P(x) Q(x) thành tổng (hiệu) của các phân thức hữu tỷ thực sự có mẫu số là đa thức bậc nhất hoặc bậc hai. Trước hết ta phân tích đa thức ở mẫu số Q(x) thành tích của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai: 1m 1 n aa b b 22 1m11 nn Q(x) (x ) (x ) (x p x q ) (x p x q )=−α −α + + + + . trong đó ijj ,p ,qα là các hằng số, ij a ,b là các số nguyên dương, 1 i m;1 j n≤≤ ≤≤ . • Nếu trong phân tích của Q(x) xuất hiện đơn thức a (x ) − α , a là số nguyên dương thì trong phân tích của phân thức P(x) Q(x) xuất hiện các hạng tử dạng i i A (x )−α , trong đó i A là hằng số và 1ia≤≤ . • Nếu trong phân tích của Q(x) xuất hiện biểu thức 2b (x px q)++ , b là số nguyên dương thì trong phân tích của phân thức P(x) Q(x) xuất hiện các hạng tử dạng jj 2j Bx C (x px q) + ++ , trong đó jj B,C là các hằng số và 1jb ≤ ≤ . Sau khi viết được phân tích của P(x) Q(x) , ta tìm các hằng số ijj A,B,C bằng cách quy đồng mẫu số ở hai vế, rồi đồng nhất hệ số của n x,n ∈ ` ở hai vế. Ví dụ 9: Tính các tích phân bất định a) 43 2 1 2 xx2x2x1 Idx (x 2)(x 1) −+ −+ = +− ∫ . [...]... F(−1) = −1 π−2 4 61 Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ 3.2.4 Các phương pháp tính tích phân xác định Ta đã biết công thức Newton – Leibnitz cho phép tính tích phân xác định khi đã biết nguyên hàm của hàm số dưới dấu tích phân, do đó các phương pháp tính tích phân bất định đều được sử dụng để tính tích phân xác định như là: Phương pháp khai triển, biến đổi vi phân, đổi biến và tích phân từng phần Tuy nhiên... Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ 3.1.5 Tích phân hàm chứa căn thức Xét tích phân có dạng ∫ R(x, α 2 ± x 2 )dx , ∫ R(x, x 2 − α 2 )dx , trong đó R(u, v) là các hàm số hữu tỷ • Đặt x = α tg t đối với tích phân ∫ R(x, α 2 + x 2 )dx • Đặt x = α sin t hoặc x = a cos t đối với tích phân ∫ R(x, α 2 − x 2 )dx α α hoặc x = đối với tích phân ∫ R(x, x 2 − α 2 )dx cos t sin t • Đặt x = Ví dụ 13: Tính các tích phân. .. Giới hạn của tích phân xác định ∫ f (x)dx khi A → +∞ được gọi là tích phân suy rộng a của hàm số f (x) trên khoảng [ a, +∞ ) và ký hiệu như sau: +∞ ∫ f (x)dx = a A lim ∫ f (x)dx A →+∞ a +∞ Nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn ta nói tích phân suy rộng ∫ f (x)dx hội tụ Ngược a lại, nếu không tồn tại giới hạn này hoặc giới hạn bằng vô cùng ta nói tích phân đó phân kỳ 64 Bài 3: Phép tính tích phân Tương tự... và tích phân xác định, sự hội tụ của tích phân suy rộng Khi học, học viên cần nắm vững các khái niệm, các phương pháp tính tích phân, vận dụng thành thạo và linh hoạt các phương pháp đó trong tính tích phân và khảo sát tích phân suy rộng 68 CÂU HỎI ÔN TẬP 1 Hãy nêu công thức xác định hàm cận trên Từ đó hãy chứng minh công thức Newton – Leibnitz 2 Trình bày nội dung định lý đổi biến số đối với tích phân. .. Vậy tích phân suy rộng I hội tụ khi và chỉ khi α < 1 , phân kỳ khi và chỉ khi α ≥ 1 67 TÓM LƯỢC CUỐI BÀI Trong bài này chúng ta nghiên cứu các vấn đề sau: • Nguyên hàm của một hàm số • Tích phân xác định của hàm số trên một đoạn • Tích phân bất định của một hàm số • Tích phân suy rộng cận vô hạn và của hàm không bị chặn Bài này nghiên cứu các định nghĩa, tính chất, phương pháp tính cơ bản của tích phân. .. tại, do đó tích phân phân kỳ +∞ d) Xét sự hội tụ của tích phân: I = dx ∫x α 1 65 Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ ⎧ (A1−α − 1) khi α ≠ 1 dx ⎪ Với mọi A > 1 , ta có: ∫ α = ⎨ 1 − α x 1 ⎪ khi α = 1 ⎩ln A A A1−α − 1 1 Với α > 1 : I = lim = A →+∞ 1 − α α −1 A1−α − 1 = +∞ A →+∞ 1 − α Với α < 1 : I = lim Với α = 1 : I = lim ln A = +∞ A →+∞ Do đó tích phân suy rộng I hội tụ khi và chỉ khi α > 1 , và phân kỳ... trên đoạn [ a, b ] và I được gọi là tích phân xác định của hàm số f (x) trên đoạn [ a, b ] , và ký hiệu: b I = ∫ f (x)dx a a, b tương ứng được gọi là cận dưới và cận trên của tích phân Ví dụ 14: Xét hàm hằng f (x) = C, ∀x ∈ [ 0,1] 57 Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ Với một phân hoạch π bất kỳ của đoạn [ 0,1] và cách chọn điểm ξi ∈ [ x i , x i +1 ] , ta lập tổng tích phân: n −1 n −1 i=0 i=0 σ = ∑ f (ξi... Δx i = C Theo định nghĩa tích phân xác định, ta có 1 ∫ Cdx = 0 lim σ = C max Δx i → 0 CHÚ Ý : Tích phân xác định của một hàm số khả tích f (x) trên đoạn [ a, b ] là một số xác định, do đó tích phân không phụ thuộc vào ký hiệu của biến số dưới dấu tích phân b b b a a a ∫ f (x)dx = ∫ f (u)du = ∫ f (t)dt = 3.2.1.3 Điều kiện khả tích Ta thừa nhận các định lý sau về tính khả tích của các hàm số Định lý... tổng tích phân không phụ thuộc vào cách phân hoạch đoạn [ a, b ] và cách chọn điểm ξi Do đó khi tính tích phân xác định của một hàm khả tích bằng định nghĩa, ta thực hiện việc chia đều đoạn [ a, b ] , và chọn điểm ξi trùng với một trong hai đầu mút của đoạn [ x i , x i +1 ] , (với 0 ≤ i ≤ n − 1 ) Khi đó ta có xi = a + 58 i(b − a) b−a ; Δx i = ; ξi = x i hoặc ξi = x i +1 n n Bài 3: Phép tính tích phân. .. thì hàm số f (x) cũng khả tích trên mỗi đoạn [ a, c] ; [ c, b ] và 59 Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ b c b a a c ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx • Tính chất tuyến tính của tích phân xác định b b b a a a ∫ [αf (x) + βg(x)] dx = α ∫ f (x)dx + β∫ g(x)dx trong đó α, β là các hằng số và f (x);g(x) là các hàm số khả tích trên đoạn [ a, b ] • Giả sử f (x), g(x) là hai hàm số khả tích trên đoạn [ a, b ] . Bài 3: Phép tính tích phân 43 BÀI 3: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN Mục tiêu • Nắm được các khái niệm về tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng. • Làm được bài tập về tích phân. khái niệm tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng và các phương pháp tính các loại tích phân này. • Phép tính tích phân là một trong hai phép tính cơ bản của giải tích, có. pháp tính các loại tích phân đó. Bài 3: Phép tính tích phân {{Ơ 44 3.1. Tích phân bất định 3.1.1. Khái niệm về tích phân bất định 3.1.1.1. Nguyên hàm Bài này trình bày về phép tính tích