Nghiên cứu các phép tính vi phân của hàm một biến và các bài toán có liên quan

Nhờ vào các định lí của phép tính vi phân như Định lí giá trị trung bình, Định lí Rolle, Định lí Lagrange và các hệ quả của các định lí,..., đã giúp chúng ta rấtnhiều trong việc giải toá

Mục lục

1.1 Định nghĩa đạo hàm, đạo hàm cấp cao 6

1.2 Định nghĩa vi phân, vi phân cấp cao 7

1.3 Các định lí về hàm số khả vi 9

2 Một số áp dụng của đạo hàm, vi phân và các bài toán có liên quan 16 2.1 Một số áp dụng của đạo hàm và vi phân 16

2.1.1 Khử dạng vô định 16

2.1.2 Khảo sát sự biến thiên của hàm số 17

2.1.3 Hàm số lồi 19

2.1.4 Giải phương trình f(x)=0 theo phương pháp Newton 23

2.2 Một số bài toán có liên quan 25

2.2.1 Bài toán tìm kích thước lô hàng tối ưu 25

2.2.2 Đạo hàm và giá trị cận biên trong kinh tế 27

2.2.3 Hàm cầu và tính co giãn của cầu 28

2.2.4 Lựa chọn tối ưu trong kinh tế 29

2.2.5 Định mức đánh thuế doanh thu 30

3 Sử dụng định lí trung bình trong việc giải một số các bài toán sơ cấp 33

3.1 Một số bài toán sử dụng định lí Rolle 33

3.2 Một số bài toán sử dụng định lí Lagrange 37

3.3 Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình 43

3.4 Giải phương trình 46

3.5 Chứng minh bất đẳng thức và đánh giá các tổng hữu hạn 47

3.6 Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó 56

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Giải tích là một chuyên ngành toán học quan trọng Nó là cơ sở của nhiềungành toán học khác và có ứng dụng rất nhiều trong thực tế đời sống, khoa học

và kĩ thuật trong đó phải kể đến có phép tính vi phân

Nhờ vào các định lí của phép tính vi phân như Định lí giá trị trung bình, Định

lí Rolle, Định lí Lagrange và các hệ quả của các định lí, , đã giúp chúng ta rấtnhiều trong việc giải toán sơ cấp và thường xuyên được khai thác trong các kỳthi Olympic Toán địa phương, quốc gia và quốc tế (ở cấp độ học sinh THPT hoặcsinh viên Đại học)

Có thể nói rằng, các định lí của phép tính vi phân này thường xuyên được sửdụng và khai thác triệt để trong việc nghiên cứu nghiệm của nhiều loại phươngtrình khác nhau cả về định tính lẫn định lượng Đồng thời việc kết hợp một cáchkhéo léo và linh hoạt giữa định lí giá trị trung gian của hàm số liên tục và tínhđơn điệu của hàm số để giải quyết các bài toán đó một cách có hiệu quả là hếtsức cần thiết

Bên cạnh các định lí còn có các bài toán liên quan tới phép tính vi phân khámẹo mực và tinh tế, tất nhiên việc kết hợp giữa các Định lí Rolle, Lagrange cũngnhư Định lí Cauchy để giải quyết các bài toán này rất tự nhiên và cần thiết.Với mong muốn nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn các phép tính vi phân, đồngthời đóng góp thêm một số các bài toán có liên quan tới phép tính này Tôi mạnh

dạn lựa chọn đề tài: "Nghiên cứu các phép tính vi phân của hàm một biến và các bài toán có liên quan"để làm khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Khóa luận tập trung nghiên cứu các vấn đềsau:

- Hệ thống hóa kiến thức của phép tính vi phân, nghiên cứu một số áp dụngcủa phép tính vi phân và các bài toán có liên quan.

- Sử dụng định lí trung bình để giải một số bài toán sơ cấp

3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu các phép tính vi phân về hàm một biến

4 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Tìm hiểu khái quát các định lí cơ bản của phép tính vi phân, các bài toán cóliên quan

- Sử dụng các định lí một cách linh hoạt, khéo léo để giải quyết các bài toánmột cách hiệu quả

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích tổng hợp các kiến thức

- Trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn, trình bày cũng như seminar với

tổ bộ môn

6 TÍNH MỚI VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA KHÓA LUẬN

6.1 Tính mới mẻ của khóa luận

Đây là một vấn đề khá được quan tâm và được sử dụng thường xuyên khaithác trong các kì thi Olympic, quốc gia và quốc tế (ở cấp độ học sinh THPT hoặcsinh viên Đại học)

6.2 Hướng phát triển của khóa luận

Nghiên cứu và tổng hợp, thống kê các định lí, các bài toán có liên quan tớiphép tính vi phân

7 NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA KHÓA LUẬN

- Khóa luận đã hệ thống hóa được kiến thức về phép tính vi phân và các ứngdụng của nó trong thực tiễn

8 CẤU TRÚC KHÓA LUẬN

Với mục đích như vậy khóa luận này được chia thành 3 chương với nhữngnội dung chính sau đây:

Chương 1:Trình bày một số kiến thức quan trọng và các định lí của phép tính

vi phân như các khái niệm về đạo hàm, vi phân, các định lí cùng với các hệ quảđược sử dụng cho chứng minh chương 2

Chương 2:Trình bày một số áp dụng của đạo hàm, vi phân và các bài toán cóliên quan

Chương 3: Trình bày giá trị trung gian cho hàm liên tục và các bài toán ápdụng

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, trước hết tôi trình bày một số kiến thức có liên quan đếnkhóa luận như định nghĩa đạo hàm, đạo hàm cấp cao, định nghĩa vi phân, cácđịnh lí cơ bản về đạo hàm cùng với một số kết quả quan trọng của nó

1.1 Định nghĩa đạo hàm, đạo hàm cấp cao

Định nghĩa 1.1. Giả sử hàm số f xác định trên khoảng(a, b)chứa điểm x0 Nếutồn tại:

lim

x → x0

f(x) − f(x0)

x−x0 ∈R thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số f tại điểm x0, kí hiệu là f0(x0)

Như ta đã biết, nếu hàm số y= f(x)có đạo hàm tại mọi điểm thuộc một khoảng

X thì đạo hàm y0 = f0(x)là một hàm số đối số x, xác định trên khoảng X, do đó

ta có thể lấy đạo hàm của hàm số y0 = f0(x) Đạo hàm của đạo hàm của hàm số

y= f(x)được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số đó Tiếp theo, ta lại có thể xét

đạo hàm cấp hai của hàm số y= f(x)như một hàm số đối số x và lấy đạo hàmcủa nó

Định nghĩa 1.2. Đạo hàm của hàm đạo hàm cấp n−1 của hàm số y= f(x)được

gọi là đạo hàm cấp n của hàm số đó.

Các đạo hàm cấp cao của hàm số y= f(x)được kí hiệu như sau:

Đạo hàm cấp 2: y”= f ”(x), hoặc d

2y

dx2 = d2f(x)

dx2 ;Đạo hàm cấp 3: y000 = f000(x), hoặc d

3y

dx3 = d3f(x)

dx3 ;

Đạo hàm cấp n: y(n)= f(n)(x), hoặc d

ny

dxn = dnf(x)

dxn

Đạo hàm cấp cao của hàm số còn được gọi là đạo hàm lặp Để tính đạo hàm cấp

ncủa hàm số y= f(x), ta thực hiện phép toán đạo hàm liên tiếp n lần:

y0 = f0(x); y”= (y0)0; y000 = (y”)0; ; y(n) = [y(n−1)]0

Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Nếu hàm số y= f(x)có đạo hàm tại điểm x0 thì đồ thị tại điểm M(x0, f(x0)) cóphương trình: y−y0= f0(x0)(x−x0)

1.2 Định nghĩa vi phân, vi phân cấp cao

Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trong khoảng X⊂R Như ta đã biết,

nếu f(x)liên tục tại điểm x0∈ X thì số gia∆ f(x0) = f(x0 +∆x) − f(x0) là một

vô cùng bé khi∆x→0

Định nghĩa 1.3. Hàm số f(x) được gọi là hàm khả vi tại điểm x0 nếu tồn tại sốthực k sao cho∆ f(x0)là một vô cùng bé tương đương với k∆x (khi ∆x→0), tức

trong đó vi phân dx của biến độc lập x là số gia∆x, không phụ thuộc x.

Định nghĩa 1.4. Vi phân cấp n của hàm số y= f(x) là vi phân cấp n−1 củahàm số đó

Vi phân cấp n của hàm số y= f(x)được kí hiệu là dnyhay dnf(x)

Ta thấy biểu thức vi phân cấp cao không có tính bất biến như biểu thức vi phâncấp một, tức là với n>1 công thức trên chỉ đúng khi x là biến độc lập.

Liên hệ với đạo hàm

Định lý 1.5 Hàm số f(x) khả vi tại điểm x0 khi và chỉ khi nó có đạo hàm tại điểm đó Khi đó, hằng số k trong hệ thức (1.1) chính là đạo hàm của hàm số f(x)tại điểm x0 tức là:

d f(x0) = f0(x0).∆x (1.2)

Ứng dụng của vi phân

Cho hàm số y = f(x) xác định tập mở U ⊂ R và x0 ∈ U Giả sử f khả vi tại

x0 ∈U Cho x0 một số gia h sao cho x0 +h∈U, khi đó:

∆ f(x0, h) = f(x0 +h) − f(x0) = f0(x0)h+σ(h).Nếu|h|đủ nhỏ thì σ(h)nhỏ tùy ý và ta có xấp xỉ:

Chứng minh. Giả sử c là điểm cực đại của f

Theo giả thiết f khả vi tại x=cnên tồn tại đạo hàm f0(c) Ta có

f0(c) = lim

h → 0

f(c+h) − f(c)

h

Vì f(x)đạt cực đại tại c nên f(c+h) − f(c) ≤0 với mọi h, do đó

Như thế, chuyển qua giới hạn khi h→0 ta có f+0 (c) ≤0 và f0(c) ≥0

Mặt khác, vì tồn tại đạo hàm f0(c), nghĩa là f+0 (c) = f0(c)

Hệ quả 1.8 Nếu hàm số f(x) có đạo hàm trên (a, b) và phương trình f(x) = 0 có

n nghiệm phân biệt (n là số nguyên dương lớn hơn 1) trên (a, b) thì phương trình

f0(x) =0 có ít nhất n−1 nghiệm trên(a, b).

Hệ quả 1.9 Nếu hàm số f(x) có đạo hàm trên (a, b) và phương trình f(x) = 0 vô

nghiệm trên (a, b) thì phương trình f(x) =0 có nhiều nhất một nghiệm trên(a, b).

Hệ quả 1.10 Nếu hàm số f(x) có đạo hàm trên (a, b) và phương trình f(x) =0 có

nhiều nhất n nghiệm (n là số nguyên dương) trên(a, b) thì phương trình f(x) =0 có

nhiều nhất n+1 nghiệm trên(a, b).

Các hệ quả trên được suy ra trực tiếp từ định lí Rolle và nó vẫn đúng nếu cácnghiệm là nghiệm bội (khi f(x)là đa thức)

Các hệ quả trên cho ta ý tưởng về việc chứng minh tồn tại nghiệm cũng nhưxác định số nghiệm của phương trình Hơn nữa, nếu như bằng một cách nào đó

ta tìm được tất cả các nghiệm của phương trình thì khi đó phương trình đã đượcgiải

Từ định lí Rolle cho phép ta chứng minh định lí Lagrange, tổng quát hơn, chỉcần ta để ý tới ý nghĩa của đạo hàm (trung bình giá trị biến thiên của hàm số)

Định lý 1.11. (Định lý Lagrange) Nếu f là hàm số liên tục trên đoạn [a, b], có đạo hàm trên khoảng(a, b)thì tồn tại c∈ (a, b)sao cho f0(c) = f(b) − f(a)

f0(c) = f(b) − f(a)

b−a

Định lý Rolle là một hệ quả của Định lý Lagrange (trong trường hợp f(a) =

gọi là định lý Gía trị trung bình (Mean Value Theorem) Từ đó cho ta ý tưởng

chứng minh các định lý về sự biến thiên của hàm số, đặt nền móng cho nhữngứng dụng của đạo hàm

Định lý 1.12 Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng(a, b) Khi đó:

a) Nếu f0(x) >0,∀x∈ (a, b)thì f là hàm số đồng biến trên (a, b);

b) Nếu f0(x) <0,∀x∈ (a, b)thì f là hàm số nghịch biến trên(a, b);

c) Nếu f0(x) =0,∀x∈ (a, b)thì f là hàm hằng trên(a, b).

Chứng minh. a) Giả sử f0(x) >0,∀x∈ (a, b)và x1, x2∈ (a, b)(x1 <x2), theo định

lý Lagrange, tồn tại c∈ (a, b)sao cho f0(c) = f(x2) − f(x1)

x2−x1

Mà f0(c) >0⇒ f(x1) < f(x2) ⇒ f là hàm số đồng biến trên(a, b)

Hai khẳng định còn lại được chứng minh hoàn toàn tương tự

Nhận xét 1.13. Nếu trong giả thiết của định lý Lagrange ta thêm vào giả thiết f0đồng biến hoặc nghịch biến trên[a, b]thì ta có thể so sánh f(b) − f(a)

đánh giá các tổng hữu hạn.

Cũng tương tự nếu trong giải thiết của định lý Lagrange ta thêm vào giả thiết

f0 dồng biến hoặc nghịch biến trên [a, b] thì ta có thể so sánh f(c) − f(a)

c−a và

f(b) − f(c)

b−c với c∈ [a, b] Điều này cho ta ý tưởng để chứng minh bất đẳng thứcnhư bất đẳng thức Jensen, bất đẳng thức hàm lồi,

Định lý 1.14. (Định lý Cauchy) Giả sử f và g là các hàm liên tục trên đoạn[a, b]và

có đạo hàm trên khoảng(a, b) thỏa mãn g(x) 6= 0 với mọi x∈ (a, b) Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm c∈ (a, b)sao cho

Định lý 1.15. (Công thức Taylor) Giả sử f :[a, b] →R khả vi liên tục tới cấp n trên

[a, b], tồn tại fn+1 hữu hạn trong(a, b) Khi đó, ta có khai triển( hoặc công thức) Taylor sau:

trong đó

r(x) = (x−x0)n+1 f(n+1)(c)

(n+1)!

đối với x, x0 ∈ [a, b]và c là số nào đó nằm giữa x và x0.

Chứng minh. Nếu n=0 thì kết quả trên đây suy ra từ định lý Lagrange

Trong trường hợp tổng quát, ta cố định x và gọi M là số xác định bởi hệ thứcsau:

Vậy theo định lí Rolle ta có

g(x0) =0; g(x) =0⇒ g0(c1) =0

g0(x0) =0; g0(c1) =0⇒ g”(c2) =0g”(x0) =0; g”(c2) =0⇒ g(3)(c3) =0

Tiếp tục như vậy, ta được

g(xn)=0; g(n)(cn) =0⇒g(n+1)(c) =0

Vậy (1.6) được chứng minh và do đó định lí được chứng minh đầy đủ

có liên quan như bài toán biên, hàm cầu và tính co giãn của cầu,

2.1 Một số áp dụng của đạo hàm và vi phân

2.1.1 Khử dạng vô định

Một trong những ứng dụng quan trọng của công thức Lagrange và Cauchy

là dùng để "khử các dạng vô định" Thực chất của vấn đề này là sử dụng cácphương pháp của phép tính vi phân để tìm giới hạn của tỷ số các vô cùng béhay vô cùng lớn

Định lý 2.1. (De L’Hospital) Giả sử các hàm số f(x), g(x) xác định, khả vi tại lân cận x=a(a∈R), có thể trừ tại x=a.

2.1.2 Khảo sát sự biến thiên của hàm số

Việc áp dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số dựa vào định lísau:

Định lý 2.2 Cho f là một hàm số xác định, liên tục trong một khoảng đóng hữu hạn

[a, b]và khả vi trong khoảng mở(a, b), khi đó:

(1) Điều kiện cần và đủ để f(x)tăng (giảm) trong [a, b]là f0(x) ≥0(f0(x) ≤0) với mọi x∈ (a, b).

(2) Nếu f0(x) ≥0(f0(x) ≤ 0) với mọi x∈ (a, b) và nếu f0(x) >0(f0(x) <0) tại ít nhất một điểm x thì f(b) > f(a)(f(b) < f(a)).

Chứng minh. Cách chứng minh trường hợp f(x)giảm tương tự trường hợp f(x)tăng, ở đây chúng ta chỉ chứng minh trường hợp f(x)tăng

(1)Giả sử f tăng, khi đó f(x+h) ≥ f(x)với h>0 và f(x+h) ≤ f(x)với h<0

Do đó f(x+h) ưh(x)

h ≥0, h6=0 bằng cách chuyển qua giới hạn ta có f

0(x) ≥0.Ngược lại, giả sử f0(x) ≥0 với mọi x∈ (a, b), lấy tại điểm u <v của đoạn[a, b],theo Định lý Lagrange có

f(v) ư f(u) = (vưu)f0(w)với u<w<v

Do đó

f(v) − f(u) ≥0nghĩa là f(v) ≥ f(u)

Vậy f(x)tăng

(2)Nếu f0(x) ≥0 với mọi x ∈ [a, b]

Theo (1) f(x)tăng trên[a, b]

Do đó

f(a) ≤ f(x) ≤ f(b).với mọi x∈ (a, b), sao cho f0(x) >0

Hệ quả 2.3 Cho f , g là hai hàm số xác định, liên tục trong và khả vi trong(a, b).

(1)Nếu f(a) 6g(a)và nếu f0(x) 6g0(x)với mọi x∈ (a, b)thì f(x) 6g(x)với mọi

Tìm cực trị của hàm số

Bây giờ ta xét một vài mệnh đề giúp cho việc tìm cực trị một hàm số f(x)khả vitrong khoảng(a, b)

Định lý 2.4 Cho hàm số f xác định, liên tục trong[a, b], khả vi trong(a, b)(có thể trừ

ra một số hữu hạn điểm, giả sử c là một điểm thỏa mãn a<c<b (có thể tại x=c hàm

f không khả vi).

(1)Nếu khi x vượt qua c mà f0(c)đổi dấu từ + sang - thì f(x)đạt cực đại tại x=c.(2)Nếu khi x vượt qua c mà f0(x)đổi dấu từ - sang + thì f(x)đạt cực tiểu tại x=c.(3)Nếu khi x vượt qua x mà f0(x)đổi dấu từ - sang + thì f(x)không đổi dấu thì f(x)

không đạt cưc trị tại c.

Chứng minh. Chứng minh trường hợp (1) các trường hợp sau cũng lập luậntương tự

Giả sử x là một điểm thuộc lân cận điểm x= c và x <c, khi đó theo giả thiết

f0(t) >0 với x <t<c, do đó f(x)tăng trong[x, c]( định lý về hàm tăng )

Do đó, f(x)giảm trong[c, x], nghĩa là f(c) ≥ f(x)

Như thế với mọi x thuộc lân cận điểm c ta luôn có f(c) ≥ f(x)

Vậy f(x)đạt cực đại tại x=c

2.1.3 Hàm số lồi

Định nghĩa 2.5. Hàm số f xác dịnh trong khoảng I được gọi là lồi nếu với mọi

a, b∈ I với mọi t∈ [0; 1]ta luôn có

t f(a) + (1−t)f(b) > f(ta+ (1−t)b)

bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức lồi.

Mệnh đề 2.6 Cho f một hàm số xác định, liên tục trong một khoảng I nào đó, giả sử f

có đạo hàm cấp hai f ”>0 trong I Khi đó, với bất kì a<b (a, b∈ I), hàm số f lồi trong

[a, b].

Chứng minh. Đặt g(t) := t f(a) + (1−t)f(b) − f(ta + (1−t)b), muốn chứngminh f lồi trong[a, b]chỉ cần chứng minh f thỏa mãn bất đẳng thức lồi, nghĩa làchứng minh g(x) ≥0 với mọi t∈ [0, 1] Thật vậy, từ biểu thức định nghĩa ta có:

g0(t) = f(a) − f(b) − (a−b)f0(ta+ (1−t)b)Theo công thức Lagrange, tồn tại c=t0a+ (1−t0)b, t0 ∈ (0, 1)sao cho a<c<b

n

∑

k = 1

λkf(xk)*

Chứng minh. Bất đẳng thức trên là tầm thường khi n=1 và n=2 thì đó chính làđịnh nghĩa tính lồi của f

Bây giờ ta sẽ quy nạp theo n, thật vậy,

Giả sử bất đẳng thức đúng với một số nguyên n >2 nào đó, nghĩa là với mọi

x1, x2, , xn ∈ I và với mọi λ1, λ2, , λn ∈ [0; 1]sao cho ∑n

k = 1

λk=1 ta cóf

Nếu λ1 =λ2= =λn =0 thì bất đẳng thức muốn có là hiển nhiên

Giả sử λi, i=1; 2; ; n không đồng thời triệt tiêu, đặt

x0 = 1c

n

∑

k = 1

λkf(xk)Suy ra

Cho ai>0, i=1, n đặt

C := 1n

Khi đó:

N 6C

tức là trung bình nhân các số không âm, không vượt quá trung bình cộng của chúng.

Chứng minh. Xét hàm số f(x) = −ln x, x∈ (1,∞), hiển nhiên f là lồi vì f00(x) =1

x2 ≥0, do đó có thể dùng bất đẳng thức Jensen ta được, với ∑n

k = 1

λk =1, λi ∈[0; 1]; i=1; 2; ; n

p, λ2=1

(ii) Bây giờ cho xi, yi∈R,i=1, n đặt

Với ab6=0, dùng bất đẳng thức có được ở phần (i) với x := |xk|

|xk|p

ap +

1p

|yk|q

bq , k=1, nSuy ra

= 1

p +

1

q =1Thay giá trị của a, b vào bất đẳng thức trên ta suy ra bất đẳng thức Holder dướiđây:

Đặc biệt, khi p=q=2 thì bất đẳng thức trên được gọi là bất đẳng thức schwarz

Cauchy-(iii) Với cùng những kí hiệu như trên, ta cũng có:

2.1.4 Giải phương trình f(x)=0 theo phương pháp Newton

Bài toán giải phương trình f(x) =0 là một bài toán có nhiều ý nghĩa về líthuyết cũng như ứng dụng Cho đến nay chúng ta chỉ xây dựng được công thứctìm nghiệm của phương trình đó cho trường hợp f(x) là các đa thức có bậc 1;

2 Trường hợp f(x) là đa thức có bậc 3; 4 tuy có thể xây dựng được công thức

nhưng việc tính toán phức tạp, người ta đã chứng minh được với đa thức bậccao thì không có công thức tìm nghiệm Trường hợp f(x)là các hàm lượng giác

cơ bản (sinx, cosx, tanx) ta cũng có công thức tìm nghiệm Khi f(x)là một hàm

số không phải thuộc loại đã nói trên thì việc giải phương trình f(x) =0 đượcthực hiện theo hướng tìm một dãy số thực{xn}, n∈ N sao cho{xn}hội tụ đến

nghiệm thực α của phương trình f(x) =0 Trước kia khi nghiên cứu tính chấtcủa hàm số liên tục chúng ta đã giới thiệu một phương pháp, gọi là phươngpháp phân đôi để xây dựng dãy{xn} Bây giờ ta sẽ dùng tính chất khả vi và đặcbiệt các định lí trung bình để xây dựng một phương pháp xây dựng dãy {xn}

hội tụ đến nghiệm thực α, đó là phương pháp Newton Trước hết ta chứng minh

mệnh đề:

Mệnh đề 2.7 Giả sử hàm số f(x)xác định, liên tục và khả vi trên(a, b) Ngoài ra, giả

sử f(a)f(b) <0 và f(x)không đổi dấu trên(a, b) Khi đó tồn tại duy nhất một nghiệm

α của phương trình f(x) =0, a<α<b

Chứng minh. Xét phương trình f(α) =0 và giả sử hàm số f(x)thỏa mãn với giảthiết của mệnh đề trên

Ngoài ra, giả sử f có đạo hàm cấp hai f0(x)trong(a, b)

Ta lấy một điểm x0tùy ý, x0∈ (a, b)với giả thiết trên có thể khai triển Taylor hàm

số f tại x0 như sau:

Bây giờ ta xây dựng công thức tìm dãy{xn} hội tụ đến nghiệm α bằng cách bỏ

qua số hạng bình phương trong phương trình (2.1) ta được:

Tóm lại, với công thức (2.3) ta có một dãy{xn}với x0 ∈ (a, b)

Nếu{xn}hội tụ thì lim xn =α là nghiệm của phương trình nguyên thủy

Thật vậy, giả sử xn→cchuyển qua giới hạn hệ thức (2.3) và lim f(xn) = f(lim xn)Suy ra f(c) =0

Mặt khác, phương trình f(x) =0 có duy nhất nghiệm α∈ (a, b)

Do đó, c≡α

2.2 Một số bài toán có liên quan

2.2.1 Bài toán tìm kích thước lô hàng tối ưu

Giả sử n là đơn vị một loại hàng mà một của hàng bán được trong một năm,

h là chi phí lưu kho cho một đơn vị hàng trong một năm, p là chi phí cho mỗichuyến đặt hàng, còn Q là kích thước của mỗi chuyến đặt hàng ( kích thước củamỗi lô hàng) Ta xem n, h, p là những hằng số, còn Q là biến số, lúc này tổng chiphí trong một năm của cửa hàng đối với loại hàng hóa trên là hàm số C(Q)baogồm 2 loại chi phí: chi phí lưu kho và chi phí cho các chuyến hàng

•Chi phí lưu kho: Q

2.h

•Chi phí cho các chuyến hàng: n

Q.p

Ví dụ 2.8. Một cửa hàng bán lẻ 2500 cái tivi mỗi năm Chi phí gửi trong kho là

$10 một cái trong một năm Để đặt hàng chi phí cố định là $20, cộng thêm $9mỗi cái

Hỏi cửa hàng nên đặt bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi lần đặt bao nhiêu cái

với Q>0.

nên minQ∈[1;2500]C(Q) =C(100) =23500

Khi đó, số lần đặt hàng mỗi năm là: 2500

100 =25.

Vậy để chi phí hàng tồn kho nhỏ nhất thì cửa hàng nên đặt hàng 25 lần mỗi năm

và mỗi lần đặt 100 cái tivi

2.2.2 Đạo hàm và giá trị cận biên trong kinh tế

Trong kinh tế, đại lượng đo tốc độ thay đổi của biến phụ thuộc y khi biến độclập x thay đổi một lượng nhỏ gọi là giá trị cận biên của y đối với x

Kí hiệu: My(x) =y0(x) = dy

dx.

Ta thường chọn xấp xỉ My(x) ≈∆y tức là My(x) gần bằng lượng thay đổi ∆ycủa y khi x tăng lên một đơn vị(∆x=1)

1.Giá trị cận biên của chi phí

Cho hàm chi phí C=C(Q) Khi đó ta gọi MC(Q)là giá trị cận biên của chi phí.Giá trị này có thể coi là lượng thay đổi của chi phí khi Q tăng lên một đơn vị

Ví dụ 2.9. Cho chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là:

C=0, 0001Q2−0, 02Q+5+ 500

QTìm giá trị cận biên của chi phí đối với Q sản phẩm Áp dụng Q=50

Giải.Hàm tổng chi phí sản suất Q đơn vị sản phẩm là:

Như vậy, nếu Q tăng lên một đơn vị từ 50 lên 51 thì chi phí tăng lên 3, 75 đơn vị

2.Giá trị cận biên của doanh thu

Cho hàm doanh thu R = R(Q) Khi đó ta gọi MR(Q) là giá trị cận biên củadoanh thu.

Ví dụ 2.10. Số vé bán được Q và giá vé P của một hãng xe bus có quan hệ

2.2.3 Hàm cầu và tính co giãn của cầu

Ta gọi P là giá bán một số sản phẩm và Q là số lượng sản phẩm bán được (haynhu cầu về loại sản phẩm đó)

Khi đó ta có thể coi Q là hàm số với biến số là P và đây là hàm số nghịch biến vìgiá bán càng cao thì nhu cầu càng thấp và ngược lại.

Tìm hệ số co giãn của cầu tại P=3

Giải.Hệ số co giãn của cầu là

η = 30

9 ≈3, 3.

2.2.4 Lựa chọn tối ưu trong kinh tế

Nhiều bài toán về kinh tế được đưa về tìm cực trị của một hàm y= f(x)

Ta gọi P là đơn giá, hàm sản lượng Q=Q(P), hàm doanh thu R =PQ, hàm chiphí C=C(Q), hàm lợi nhuận N =R−C

Trong kinh tế ta thường gặp các bài toán sau:

•Tìm P để sản lượng Q đạt tối đa( cực đại)

•Tìm P hoặc Q để doanh thu R đạt tối đa

•Tìm Q để chi phí C đạt tối thiểu( cực tiểu)

Ví dụ 2.12. Lập kế hoạch sản xuất để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa

Giải.Giả sử hàm cầu theo giá bán trong một đơn vị thời gian Q=Qd =Q(P)

và hàm tổng chi phí là C=C(Q)

Tìm sản lượng Q trong một đơn vị thời gian để lợi nhuận tối đa

Ta có, để hàng bán hết xí nghiệp chỉ có thể bán so với giá P sao cho

2.2.5 Định mức đánh thuế doanh thu

Giả sử một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm có hàm cầu trongmột đơn vị thời gian Q= Q(P) và hàm chi phí sản xuất trong một đơn vị thờigian là C=C(Q)

Xác định mức thuế trên một đơn vị sản phẩm của xí nghiệp để thu được nhiềuthuế nhất

Phương pháp giải:Giả sử mức thuế trên một đơn vị sản phẩm là t>0

Ta có

Q=Q(P) ⇔P=P(Q).Lợi nhuận của xí nghiệp là

N=P(Q).Q−c(Q) −Q(t)

Xí nghiệp sẽ sản xuất ở mức Q=Q(t)để N đạt max

Do đó thuế thu được sẽ là T=Q(t).t

Ta cần xác định t để Tmax

Ví dụ 2.13. Cho hàm cầu Q=300−P, hàm chi phí: C=Q2 +100Q+10.

a) Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để tổng lợi nhuận và tổngthuế chính phủ thu được đạt giá trị cực đại

b) Muốn xí nghiệp sản xuất ít nhất là 40 sản phẩm thì mức thuế thu trên mỗiđơn vị sản phẩm là bao nhiêu?

N =300Q−Q2 − (Q2 +100Q+10) −Qt= −2Q2+ (200−t)Q−10

N0 = −4Q+200−t=0⇔Q= 200−t

4Vậy để có lợi nhuận lớn nhất xí nghiệp phải sản xuất ở mức

Với mức thuế t=100 thì xí nghiệp sẽ sản xuất ở mức

Q= 200−100

sản phẩm trong một đơn vị thời gian

b) Muốn xí nghiệp sản xuất ít nhất 40 sản phẩm thì

Q= 200−t

4 ≥40⇔t≤40.

... trình f(x) =0 Trước nghiên cứu tính chấtcủa hàm số liên tục giới thiệu phương pháp, gọi phươngpháp phân đôi để xây dựng dãy{xn} Bây ta dùng tính chất khả vi đặcbiệt định lí trung... khác, phương trình f(x) =0 có nghiệm α∈ (a, b)

Do đó, c≡α

2.2 Một số tốn có liên quan< /b>

2.2.1 Bài tốn tìm kích thước lô hàng... data-page="28">

Cho hàm doanh thu R = R(Q) Khi ta gọi MR(Q) giá trị cận biên củadoanh thu.

Ví dụ 2.10. Số vé bán Q giá vé P hãng xe bus có quan hệ

2.2.3 Hàm cầu tính co giãn