Ta cũng gọi mọi tập hợp chứa một -lân cận của M0 là lân cận của điểm M0.. Tính chất i Giới hạn của hàm số nhiều biến là duy nhất.. Như vậy giới hạn trên là không tồn tại... Nhưng không
Trang 1Chương 4
PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM
NHIỀU BIẾN
4.1 Khái niệm mở đầu
4.1.1 Không gian Rn
a Không gian Rn
Tập Rn= R.R R| {z }
n
= {(x1, x2, , xn), xi ∈ R, i = 1, 2, , n}
Cho x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn, y = (y1, y2, yn) ∈ Rn, k ∈ R ta có
x + y = (x1, x2, , xn) ∈ Rn, y = (y1, y2, , yn) ∈ Rn
kx = (kx1, kx2, , kxn) ∈ R Khi đó Rn cùng hai phép toán trên lập thành không gian vector
b Khoảng cách, chuẩn trong Rn
Giả sử M (x1, x2, , xn) , N (y1, y2, , yn) ∈ Rn Khoảng cách giữa hai điểm M và N, kí hiệu d(M, N ), được định nghĩa bằng
d(M, N ) =
X n i=1
(xi− yi)
1
2
Chú ý: ∀A, B, C ∈ R thì d(A, C) ≤ d(A, B) + d(B, C) (bất đẳng thức tam giác)
Ta gọi chuẩn của x = (x1, x2, xn) ∈ Rn là số
||x|| =È
x2
1+ x2
2+ + x2
n Nếu n = 1 thì ||x|| = |x|
c Lân cận, điểm tụ
M0 ∈ R Ta gọi −lân cận của M0 là tập hợp tất cả những điểm M ∈ R sao cho d(M0, M ) <
Ta cũng gọi mọi tập hợp chứa một -lân cận của M0 là lân cận của điểm M0 Kí hiệu B(a) Cho X ⊂ Rn Điểm a ∈ Rn gọi là điểm tụ của tập X nếu mọi > 0, B(a) đều chứa những điểm thuộc X khác a (∀ > 0, ∃x ∈ X : 0 < ||x − a|| < .)
4.1.2 Định nghĩa hàm số nhiều biến số
Định nghĩa 4.1 Cho tập X ⊂ Rn Một quy tắc f đặt tương ứng mỗi điểm x = (x1, x2, , xn) ∈ X với một số thực u = f (x1, x2, xn) ∈ Rn gọi là một hàm n biến số có miền xác định là tập X
Kí hiệu u = f (x), x ∈ X hoặc x 7→ f (x), x ∈ X
Trang 2Ví dụ 4.1 f (x, y) = ln(1 − x2 − y2) là hàm hai biến có miền xác định là hình tròn mở (không kể biên) tâm O, bán kính 1
Ví dụ 4.2 f (x, y, z) = xyz
x2+ y2+ z2 là hàm ba biến có miền xác định là R3\{0, 0, 0}
4.1.3 Giới hạn của hàm số nhiều biến số
1 Định nghĩa
Định nghĩa 4.2 Cho hàm u = f (x) xác định trên tập X ⊂ Rn, a là một điểm tụ của X Khi đó
ta nói hàm f (x) có giới hạn là A khi x dần đến a nếu mọi dãy {ak} ⊂ {a} mà lim
x→∞ak = a ta đều có lim
x→∞{ak} = A
Kí hiệu lim
x→af (x) = A hay f (x) → A, x → a
Chú ý rằng, x = (x1, x2, xn) → a = (a1, a2, an) khi xi → ai(i = 1, , n)
2 Tính chất
i) Giới hạn của hàm số nhiều biến là duy nhất
ii) Nếu có lim
x→af (x) = A, lim
x→ag (x) = B thì lim
x→a(f (x) ± g (x)) = A ± B;
lim
x→af (x) g (x) = AB;
lim
x→a
f (x)
g (x) =
A
B (B 6= 0)
3 Ví dụ
Ví dụ 4.3 Tính lim
x→0 y→1
2x − 3
x2+ y2
HD Hàm f (x) = 2x − 3
x2+ y2 có miền xác định R2\{0, 0}
Xét dãy tuỳ ý {(xn, yn)} ⊂ R2\ {(0, 0) ; (0, 1)} , xn→ 0, yn→ 1 ta có: 2xn− 3
x2
n+ y2 n
→ 2.0 − 3
02+ 12 = −3 Vậy, limf (x)
x→0
y→1
= −3
Ví dụ 4.4 Tính lim
x→0 y→0
x
y − x
HD Chọn dãy xn = 1
n, yn =
2
n thì (xn, yn) → (0, 0) và
xn
yn− xn = 1 → 1 Mặt khác nếu ta chọn dãy x0n = 1
n, y
0
n = 3
n thì và
xn
yn− xn =
1
2 → 1
2 Như vậy giới hạn trên là không tồn tại.
4 Giới hạn lặp
Cho hàm hai biến f (x, y) xác định trên tập X, (x0, y0) là điểm tụ của tập X, với y 6= y0 đặt : g(y) = lim
x→x 0
f (x, y)
Nếu tồn tại lim
y→y 0
g (y) = A thì ta gọi A là giới hạn lặp của hàm f (x, y) khi x → x0, y → y0 và
kí hiệu là : lim
y→y 0
lim
x→x 0
f (x, y) Tương tự ta có giới hạn lặp : lim
x→x lim
y→y f (x, y)
Trang 3Ví dụ 4.5 a.
lim
y→0lim
x→0
x
y − x = limy→00 = 0 lim
x→0lim
y→0
x
y − x = limx→0
x
−x = −1
* Giới hạn lim
x→0 y→0
x
y − x là không tồn tại.
b Tồn tại giới kép lim
x→0 y→0
x sin1
y = 0
x sin
1 y
≤ |x| → 0
Nhưng không tồn tại giới hạn lặp vì
không tồn tại lim
y→y 0
sin1
y. 4.1.4 Tính liên tục và liên tục đều của hàm số nhiều biến
Định nghĩa 4.3 Cho hàm u = f (x) xác định trên tập X ⊂ Rn Hàm f (x) gọi là liên tục tại điểm
x0 ∈ X nếu lim
x→x 0
f (x) = f (x0)
Nếu f(x) liên tục tại mọi x ∈ X ta nói f (x) liên tục trên tập X
Hàm f (x) được gọi là liên tục đều trên tập X nếu :
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x, y ∈ X : kx − yk < δ ⇒ kf (x) − f (y)k < ε Nhận xét: Nếu f (x) liên tục đều trên X thì liên tục trên X Ngược lại nói chung không đúng Định nghĩa 4.4 Tập K ⊂ Rn được gọi là tập compăc nếu mọi dãy ¦
ak =
xk1, xk2, , xkn©
⊂ K đều
có dãy con hội tụ tới a ∈ K
i) Nếu hàm f (x) liên tục trên tập compăc K nằm trong Rn thì đạt cận trên đúng và cận dưới đúng trên K, tức là tồn tại a, b ∈ K sao cho f (a) ≤ f (x) ≤ f (b), ∀x ∈ K
ii) Nếu hàm f (x) liên tục trên tập compăc K ⊂ Rn thì f (x) liên tục đều trên K
4.2 Đạo hàm riêng
4.2.1 Định nghĩa
Định nghĩa 4.5 Giả sử hàm số z = f (x, y) xác định trên một -lân cận của điểm (x0, y0) Cho x
số gia ∆x Khi đó ta có số gia hàm số tại (x0, y0) là : ∆xf = f (x0+ ∆x, y0) − f (x0, y0)
Nếu tồn tại và hữu hạn giới hạn lim
∆x→0
∆xf
∆x thì giới hạn đó gọi là đạo hàm riêng của hàm z = f (x, y) theo biến x tại điểm (x0, y0) và ký hiệu là ∂f
∂x(x0, y0) hoặc f
0
x(x0, y0) Nhận xét : Đạo hàm riêng theo biến x là đạo hàm của hàm z = f (x, y) theo biến x nếu coi y là hằng số
Tương tự ta có đạo hàm riêng theo biến y Kí hiệu là z = f (x, y) hoặc fy0(x0, y0)
Cho hàm n biến u = f (x1, x2, , xn) thì đạo hàm riêng theo biến xi là đạo hàm của hàm theo xi (như hàm một biến) nếu coi tất cả các biến khác là hằng số Kí hiệu ∂f
∂xi hoặc f
0
x i
Ví dụ 4.6 a Cho f (x, y) = x3− 2xy2+ y ta có
∂f
∂x(x, y) = 3x
2− 2y2, ∂f
∂y (x, y) = −4xy + 1
∂f
∂x(1, 0) = 3,
∂f
∂y (1, 0) = 1
Trang 4b) f (x, y) = |x| ta có f (0, y) = 0 ⇒ ∂f
∂y (0, 0) = 0 nhưng f (x, 0) = |x| là hàm một biến không
có đạo hàm tại x = 0 nên không tồn tại ∂f
∂x(0, 0) 4.2.2 Đạo hàm riêng cấp cao, định lý Schawartz
a Định nghĩa đạo hàm riêng cấp cao
Xét hàm hai biến z = f (x, y) ta có:
∂
∂x
∂f
∂x
= ∂
2f
∂x2 = fxx00 = fx002
∂
∂y
∂f
∂x
= ∂
2f
∂x∂y = f
00 xy
∂
∂x
∂f
∂y
= ∂
2f
∂y∂x = f
00 yx
∂
∂y
∂f
∂y
= ∂
2f
∂y2 = fyy00 = fy002
Ví dụ 4.7 Cho hàm f (x, y) = x3y + eysin x
Ta có
∂f
∂x = 3x
2y + eycos x; ∂f
∂y = x
3+ eysin x
∂2f
∂x2 = fx002 = 6xy − eysin x
∂2f
∂x∂y = f
00
xy = 3x2+ eycos x
∂2f
∂y∂x = f
00
yx = 3x2+ eycos x
∂2f
∂y2 = fy002 = eysin x
b Định lý Schawartz
Nếu các đạo hàm hỗn hợp fxy00 , fyx00 xác định và liên tục trong một -lân cận của điểm x0, y0 thì : fxy00 (x0, y0) = fyx00 (x0, y0)
4.3 Vi phân của hàm hai biến số
4.3.1 Định nghĩa
Cho hàm số hai biến z = f (x, y) xác định trong một lân cận của điểm (x0, y0) Cho x số gia
∆x , y số gia ∆y Khi đó ta gọi số gia toàn phần của hàm f (x, y) tại (x0, y0) là : ∆f (x0, y0) =
f (x0+ ∆x, y0+ ∆y) − f (x0, y0)
Hàm f (x, y) được gọi là khả vi tại (x0, y0) nếu số gia toàn phần ∆f tại (x0, y0) có thể viết dưới dạng :
∆f (x0, y0) = A∆x + B∆y + α∆x + β∆y trong đó A, B là các hằng số, α → 0 & β → 0 khi ∆x → 0 &∆y → 0 Kí hiệu là df (x0, y0) = A∆x + B∆y và gọi là vi phân của hàm f (x, y) tại điểm (x0, y0)
Trang 54.3.2 Điều kiện khả vi
Định lý 4.1 Nếu hàm f (x, y) khả vi tại (x0, y0) thì nó liên tục tại (x0, y0)
Định lý 4.2 Nếu hàm f (x, y) khả vi tại (x0, y0) thì nó có các đạo hàm riêng tại (x0, y0) , hơn nữa
fx0 (x0, y0) = A; fy0(x0, y0) = B
Định lý 4.3 Nếu hàm f (x, y) xác định trong một − lân cận của điểm (x0, y0), có các đạo hàm riêng fx0, fy0 liên tục tại điểm (x0, y0) thì hàm f (x, y) khả vi tại (x0, y0)
4.3.3 Đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm của hàm ẩn
a Đạo hàm hàm hợp
Cho hàm z = f (x, y) có các đạo hàm riêng liên tục trong một miền mở D, x = x (t) , y =
y (t) , t ∈ (a, b) là các hàm khả vi sao cho (x (t) , y (t)) ∈ D Ta có dz
dt =
∂z
∂x
∂x
∂t +
∂z
∂y
∂y
∂t. Nếu hàm z = f (x, y) = f (x (u, v) , y (y, v)) thì khi lấy đạo hàm theo u ta coi v như là hằng số và ngược lại nên ta có :
∂z
∂u =
∂z
∂x
∂x
∂u +
∂z
∂y
∂y
∂u
∂z
∂v =
∂z
∂x
∂x
∂v +
∂z
∂y
∂y
∂v Trường hợp đặc biệt z = f (x, y) = f (x, y (x)) thì ta có dz
dx =
∂f
∂x +
∂f
∂y
dy
dx.
b Đạo hàm của hàm ẩn
Cho phương trình F (x, y) = 0 trong đó F (x, y) xác định trong một miền mở D ⊂ R2
Nếu tồn tại khoảng (a, b) để mọi x ∈ (a, b), tồn tại y = y(x) sao cho F (x, y(x)) thì ta nói
F (x, y) = 0 xác định một hàm ẩn y theo x
Định lý 4.4 Cho hàm F (x, y) thỏa mãn các điều kiện:
i) Xác định và liên tục trong lân cận Bε(x0, y0) ;
ii) F (x0, y0) = 0;
iii) Fx0, Fy0 tồn tại và liên tục trong lân cận Bε(x0, y0) ;
iv) Fy0(x0, y0) 6= 0
Khi đó phương trình F (x, y) = 0 xác định một hàm ẩn y = y(x), x ∈ (x0− δ, x0+ δ) sao cho
y (x0) = y0 và F (x, y (x)) = 0 với mọi x ∈ (x0− δ, x0+ δ)
Hàm y = y(x) có đạo hàm liên tục trên (x0− δ, x0+ δ) và có các công thức yx0 = −F
0 x
F0 y
Fy0 6= 0
Định lý 4.5 Cho hàm số F (x, y, z) thoả mãn các điều kiện
i) Xác định và liên tục trong lân cận Bε(x0, y0, z0) ;
ii) F (x0, y0, z0) = 0;
iii) Fx0, Fy0, Fz0tồn tại và liên tục trong Bε(x0, y0, z0) ;
iv) Fz0(x0, y0, z0) 6= 0
Khi đó phương trình F (x, y, z) = 0 xác định một hàm ẩn Z = Z (x, y) , (x, y) ∈ Bδ(x0, y0) sao cho Z (x0, y0) = Z0 và F (x, y, Z (x, y)) = 0, ∀ (x, y) ∈ Bδ(x0, y0)
Hàm Z = Z (x, y) có các đạo hàm riêng liên tục trên Bδ(x0, y0) và
Zx0 = −F
0 x
F0 z
; Zy0 = −F
0 y
F0 z
(Fz0 6= 0)
Trang 64.4 Cực trị của hàm hai biến số
4.4.1 Công thức Taylor của hàm hai biến số
Cho hàm f (x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp n + 1 trong -lân cận Bε(x0, y0) Với các giá trị
h, k đủ bé
|h| < √ε
2, |y| <
ε
√ 2
đặt F (t) = f (x, y) = f (x0+ ht, y0+ kt) , t ∈ [0, 1]
Do hàm F (t) khả vi đến cấp n + 1 trên đoạn [0, 1] nên theo công thức Taylor của hàm một biến
ta có :
F (1) = F (0) +F
0(0) 1! +
F00(0) 2! + +
F(n)(0) n! +
F(n+1)(0) (n + 1)! , θ ∈ (0, 1)
Ta có F0(t) = hfx0 (x, y) + kfy0(x, y) với x = x0+ h, y = y0+ k
Từ đó ta cũng có F00(t) = h2fx002(x, y) + k2fy002(x, y)
Hay có thể viết một cách hình thức F00(t) = d
2F
dt2 =
∂
∂xh +
∂
∂yk
2
f (x, y) Bằng qui nạp ta có d
nF
dtn =
∂
∂xh +
∂
∂yk
n
f (x, y)
4.4.2 Cực trị của hàm hai biến số
a Định nghĩa
Định nghĩa 4.6 Cho hàm hai biến số z = f (x, y) xác định trong một lân cận điểm (x0, y0) Điểm (x0, y0) được gọi là điểm cực đại (hay cực tiểu) của hàm z = f (x, y) nếu tồn tại > 0 sao cho
f (x, y) ≤ f (x0, y0)
f (x, y) ≥ f (x0, y0)
với mọi (x, y) ∈ Bε(x0, y0) Nếu các bất đẳng thức trên là thực sự tại (x, y) ∈ Bε(x0, y0) , (x, y) 6= (x0, y0) thì ta nói các điểm
là cực đại (hay cực tiểu) thực sự
Các điểm cực đại (cực tiểu) gọi chung là các điểm cực trị
b Điều kiện cần và đủ để hàm hai biến có cực trị
Định lý 4.6 (Điều kiện cần) Nếu hàm f (x, y) có cực trị tại điểm (x0, y0) mà tồn tại các đạo hàm riêng fx0, fy0 thì các đạo hàm đó bằng 0
* Các điểm mà tại đó các đạo hàm riêng bằng 0 được gọi là các điểm dừng
Định lý 4.7 (Điều kiện đủ) Cho hàm số f (x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục trong một lân cận của từng điểm dừng (x0, y0)
Đặt A = fx002(x0, y0) , B = fxy00 (x0, y0) , C = fy002(x0, y0) và ∆ = AC − B2
Khi đó :
i) Nếu ∆ > 0 thì hàm đạt cực trị tại (x0, y0)., hơn nữa nếu A > 0 thì hàm đạt cực tiểu thực sự,
A < 0 thì hàm đạt cực đại thực sự tại (x0, y0)
ii) Nếu ∆ < 0 thì hàm không đạt cực trị tại (x0, y0)
iii) Nếu ∆ = 0 thì hàm có thể đạt cực trị hoặc không đạt cực trị tại (x0, y0)
Ví dụ 4.8 Tìm cực trị của hàm số f (x, y) = x3 + y3− 3xy
HD Ta có fx0 (x, y) = 3x2− 3y, f0
y(x, y) = 3y2− 3x Giải hệ
¨
3x2− 3y = 0 3y2 − 3x = 0 ta tìm được hai điểm dừng là (1, 1)và (0, 0).
Trang 7Vì fx002 = 6x, fxy00 = −3, fy002 = 6y nên :
+ Tại điểm (1, 1) có A = 6, B = −3, C = 6 Vì ∆ = 27 > 0 và A > 0 nên (1, 1) là điểm cực tiểu
và f (1, 1) = −1
+ Tại (0, 0) có A = 0, B = −3, C = 0 suy ra ∆ = −9 < 0 nên điểm (0, 0) không phải là điểm cực trị
BÀI TẬP CHƯƠNG 4 4.1 Tính đạo hàm riêng cấp một của các hàm số sau:
a) f (x, y) = x
3+ y3
x2+ y2;
b) f (x, y) = ln(x +√
x2+ y2);
c) f (x, y) = y2sinx
y;
d) f (x, y) = ln(x + ln y);
e) f (x, y) = exycos x sin y;
f)f (x, y) = xy3 (x > 0)
4.2 Tính đạo hàm của các hàm hợp sau:
a) z = eu2−2v2, u = cos x, v =√
x2+ y2; b) z = ln(x2+ v2), u = xy, v = x
y; c) z = x2ln y, x = u
v, v = 3u − 2v;
d) z = uev+ ve−u, u = ex, v = yx2;
e) z = xe
x
y , x = cos t, y = e2t;
f) z = x√
1 + y2, x = te2t, y = e−t
4.3 Tính vi phân toàn phần của các hàm số:
a) z = sin(x2+ y2);
b) z = ex(cos y + x sin y);
c) z = ln tgy
x;
d) z = arctgx + y
x − y;
e) z = ex + e−yx;
f) z =
y
R
x et2dt;
g) z =
x y
R
xy
t2cos 2tdt;
h) u = y2√
x3− 3y√3
z2; i) u = xey + yez+ zex; j) u = xy 2 z, (x > 0)
4.4 Dùng vi phân, tính gần đúng các số sau:
a) È 3
(1, 02)2 + (0, 05)2;
b) ln(√3
1, 03 +√4
0, 98 − 1);
c)È
9.(1, 95)2+ (8, 1)2; d)È
sin21, 55 + 8.e0,015
4.5 Tính đạo hàm của các hàm số ẩn xác định bởi các phương trình sau:
a) x3y − y3x = a4, tính y0;
b) xey + yex− exy tính y0;
c) y5+ 3x2y2+ 5x4 = 0 tính y0;
d) 3 sin
√
x
y − 2 cos
√ x
y + 1 = 0 tính y0;
e) x + y + z = ez, tính z0x, zy0; f) x3+ y3+ z3 = 3xyz, tính zx0, zy0; g) xy2z3+ x3y2z = x + y + z, tính z0x, zy0;
Trang 8h) xey + yz + zex = 0, tính zx0, zy0; i)xyz = cos(x + y + z), tính zx0, zy0;
j) y2zex+y − sin(xyz) = 0 tính z0
x, zy0
4.6 Tìm cực trị của các hàm số
a) z = 4(x − y) − x2− y2;
b) z = x2+ xy + y2 + x − y + 1;
c) z = x + y − xry;
d) z = 2x4 + y4− x2− 2y2;
e) z = xy ln(x2+ y2);
f) z = (x − y)2+ (x + y)3; g) z = x2y3(3x + 2y + 1);
h) z = x4+ y4− 2(x − y)2
4.7 Chứng minh rằng:
a) Hàm số u(x, y) = ln√ 1
x2+ y2 thỏa mãn: ∆u = ∂
2u
∂x2 + ∂
2u
∂y2 = 0 b) Hàm số u(x, y, z) = ln√ 1
x2+ y2+ z2 thỏa mãn phương trình ∆u = ∂
2u
∂x2 + ∂
2u
∂y2 +∂
2u
∂z2 = 0
... y0)Cho hàm n biến u = f (x1, x2, , xn) đạo hàm riêng theo biến xi đạo hàm hàm theo xi (như hàm biến) coi tất biến khác số Kí hiệu... y0) hàm f (x, y) khả vi (x0, y0)
4.3.3 Đạo hàm hàm hợp đạo hàm hàm ẩn
a Đạo hàm hàm hợp
Cho hàm z = f (x, y) có đạo hàm riêng liên tục miền mở...
x(x0, y0) Nhận xét : Đạo hàm riêng theo biến x đạo hàm hàm z = f (x, y) theo biến x coi y số
Tương tự ta có đạo hàm riêng theo biến y Kí hiệu z = f (x, y) fy0(x0,