Bài tập Phần Tóan học 1. Tính giới hạn các dãy số docx

1 Bi tp Phn Túan hc 1. Tớnh gii hn cỏc dóy s sau ( ) ( ) ( ) 2 2 n 3/ 2 3 3 n n 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 a) lim n 5 n 6 b) lim n n 1 n 2 n c)lim sin 2 n 1 (n 2)! (n 1)! d)lim (n 2)! (n 1)! 1 1 1 e)lim 1.2 2.3 n(n 1) 1 2 n f)lim 2n 1 2 3 (2n 1) g)lim 2 4 đ Ơ đ Ơ + - + ộ ự + - + ờ ỳ ở ỷ ổ ử ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ + + - + + - + ộ ự ờ ỳ + + + ờ ỳ + ở ỷ ổ ử + + + ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ + + + + - + + + 2 (2n) 2. Tớnh gii hn 1 phớa cỏc hm s sau 1 1 x x 5 x 1 x x x x 2x x x 2 6 a) lim d) lim 3 x 5 2 3 1 b) lim e) lim 2 3 x xln(1 e ) f) limc) lim cosx-1 x - đ đ đ Ơ đ Ơ đ Ơ đ p - + - + 3. Tớnh gii hn cỏc hm s sau, nu tn ti ( ) 2 2 x 3 x 3 2 2 2 x 3 x 1 4 3 2 x 1h 0 3 t 0 h 0 x x 12 x x 12 a) lim e) lim x 3 x 3 x 2 x x 2 b) lim f)lim x x 6 x 3x 2 1 h 1 x 1 g)limc)lim x 1h 9 t (2 h) 8 d)lim h)lim 3 t h đ - đ - đ - đ đđ đ đ - + - - + + + + - - - - + + - - - - + - - 2 4 t 0 x 9 2 x 9 2 x 1 1 1 t 0 h 0 2 x 1 x 2 2 t 2 x 16 k)lim o)lim t x 2 x 81 1 2 l)lim p)lim x 3 x 1 x 1 1 1 (3 h) 3 m)lim q)lim t t 1 t h 1 1 x x i) lim x 2 n)lim 1 x x 2 đ đ đ đ - - đ đ đ đ - - - - - ộ ự ờ ỳ - - ờ ỳ - - ở ỷ ộ ự + - ờ ỳ - ờ ỳ + ở ỷ - - - - 4. Gii thớch ti sao khi vit 2 x x 6 x 3 x 2 + - = + - li sai trong khi vit ( ) 2 x 2 x 2 x x 6 lim lim x 3 x 2 đ đ + - = + - li ỳng. 5. Tớnh gii hn cỏc hm s sau, nu tn ti. Nu khụng tn ti gii thớch ti sao 2 x 1.5 x 4 x 4 x 0 x 2 x 0 2x 3x d) lim a) lim x 4 2x 3 x 4 1 1 b) lim e) lim x 4 x x x 2 1 1 c)lim f) lim x 2 x x - - + đ đ - đ - đ đ đ - + - ổ ử + ữ ỗ ữ - ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ + ố ứ - ổ ử ữ ỗ ữ -ỗ ữ - ỗ ữ ữ ỗ ố ứ 6. Tớnh gii hn cỏc hm s sau, nu tn ti. Nu khụng tn ti gii thớch ti sao 2 2 2 x ,khix 0 a)f(x) x ,khi0 x 2 8 x ,khix>2 x 2x 2,khix 1 b)f(x) 3 x ,khix 1 1 ,khix 0 c)f(x) sgn x 0 ,khix 0 1 ,khix 0 x 1 d)f(x) x 1 ỡ < ù ù ù ù = < Ê ớ ù ù - ù ù ợ ỡ ù - + < ù = ớ ù - ù ợ ỡ - < ù ù ù ù = = = ớ ù ù > ù ù ợ - = - 7. Tớnh gii hn cỏc hm s sau 3 2 2 x 0 2 2 x x 0 5 2 5 x 0 5 x 20 30 50 x 2 20 3 10 x 2 x 1 a)lim 2x x 1 x 1 b) lim 2x x 1 (1 x)(1 2x)(1 3x) 1 c)lim x (1 x) (1 5x) d)lim x x (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5) e) lim (5x 1) (2x 3) (3x 2) f) lim (2x 1) (x x 2) g)lim (x 12x 16) h)lim ® ® ¥ ® ® ® ¥ ® ¥ ® - - - - - - + + + - + - + + - - - - - - - + + - - - + ( ) 3 2 3 2 x 1 3 2 x 2 x 3 2 x x 2 2 x 2 x x 7x 4x 2 k)lim 5x 7x x 3 x 8 l) lim x 3x 10 2 x 1 m)lim 2x 5 1 n) lim x 3 x x 2 o) lim 2x 3x 5x 2 x x 6 x x x t) lim x 1 ® ® - ® ® ¥ ® ¥ ® ® + ¥ æ ö - + + ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç - + + - è ø æ ö + ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç - - è ø æ ö - + ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç - - è ø + - - + - æ ö - - ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç - - + è ø æ ö ÷ ç + + ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç + ÷ ÷ ç è ø ( ) ( ) 2 2 x 3 2 3 x 2 3 x 1 x 4 1 4x x 3 p) lim x x x 2 x 3x 9x 2 q)lim x x 6 1 x r)lim 1 x 1 2x 3 s)lim x 2 ® - ¥ ® ® ® - + - + - + æ ö + - - ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç - - è ø æ ö - ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç - è ø æ ö + - ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç - è ø 8. Tính giới hạn các hàm số sau ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x 2 2 x 4 3 4 3 x 3 x 2 2 2 x x 3 2 3 3 3 x x 3 x 0 x 4 1 x x 7 2x x x 2 a)lim f)lim x 2x x 5x 4 x x x x 6 2 b) lim g) lim 2x 1 x 8 c) lim x x x x h) lim x 7 x 1 k) lim x x 1 x d) lim x 1 x 1 cx 1 1 2x 3 l)lim e)lim x x 2 ® ® ® + ¥ ® - ® + ¥ ® + ¥ ® ¥ ® ¥ ® ® + + - + - - - - + + + - + + + æ ö ÷ ç + + - + - - ÷ ç ÷ ç è ø + - - + - + - + - - 9. Áp dụng VCB tính các giới hạn sau: 1. x 0 1 sin 4x cos4x lim 1 sin 4x cos4x      2. 2 2 x 0 1 lim cotg x sin x         3. 2 x 0 1 cos 4x lim x.tg2x   4. x 0 cos4x-cos5x.cos3x lim 2x.sinx        5. 3 x 0 sin 2x tg2x lim x         6. 3 x 0 tgx+1 sinx+1 lim x           4 7. x 0 ln(1 6x) ln(1 2x) lim 2x           8. x 0 ln(cos4x) lim ln(cos2x)        9. x a sinx-sina lim x a   10. x 0 sin5x lim tg8x  11. x / 2 lim x tgx 2          12. x 0 1 2x 1 lim tg3x    13. 2 2 x 0 sin 3x lim ln (1 2x)   14. 2x x 0 e 1 lim ln(1 4x)    15. 2 3 2 3 x 1 ln(1 x 3x 2x ) lim ln(1 3x 4x x )        16. 2 x 0 ln(1 cosx) lim ln(1 x )    17. 3 5 2 x 0 3 (1 x) 1 lim (1 x) (1 x) 1       19. 3 4 x 0 8 3x 2 lim 16 4x 2      20. 2 x 0 1 1 4x lim 1 1 arctgx      21.   3 1 x x 1 e 1 lim ln cos(x-1)    22. x 0 1 2x 1 lim tg3x    23. 3 4 x 0 8 3x 2 lim 16 5x 2      24. 2 x 0 x arcsin 1-x lim ln(1 x)         25. 2 x 1/ 2 4x 1 lim arcsin(1 2x)    26. x 1 x 1 sin(e 1) lim ln(x)    27. 2 x 0 ln(cosx) lim ln(1 x )   28. 2 2 x 2 arctg(2-x)+sin(x-2) lim x 4   29. 4 2 3 x 0 1 x x 1 lim lncosx     30. 2 3 x 0 2sin x x ln(1 x) lim x x x       31. 3 7 x 3 x 0 xarcsin x(e 1) lim tg x.ln(1 3x)     10. Áp dụng các VCB tính các giới hạn sau 5 3 2 x 3x 4 2 1 x x 2 x x 1 2 x 1 2 1 x 2 x 2 x x c x 1 x a x a x 2 3x x 1 a) lim e) lim x 3 2x x 1 x 1 b) lim x 1 f) lim x 9 x 1 x 5a c) lim g)lim x 2b sin2x d) lim sin 2a + + - đ Ơ đ Ơ + - - đ Ơ đ Ơ + đ Ơ - đ ổ ử + ổ ử - + ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ - ỗ ữ ỗ + + ố ứ ổ ử + ữ ỗ ổ ử ữ - ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ỗ ữ + ỗ ố ứ ữ ỗ ữ ỗ + ố ứ ổ ử - ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ + ổ ử ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ x x 0 x x 0 tgx x 2 1 2x h)lim cos( x) k)lim(sinx) đ đ p đ - l. 0 1 2 1 lim 3 x x tg x m. 2 2 0 sin 3 lim ln 1 2 x x x n. 2 0 1 lim ln 1 4 x x e x o. 2 3 2 3 1 ln 1 3 2 lim ln 1 3 4 x x x x x x x k. 2 0 lncos lim ln 1 x x x p. 3 5 2 0 3 1 1 lim 1 1 1 x x x x q. 3 4 0 8 3 2 lim 16 4 2 x x x x. 2 0 1 1 4 lim 1 1 x x arctgx y. 3 1 1 1 lim ln cos 1 x x e x 11. Xột tớnh liờn tc ca cỏc hm s sau 2 2 2 3 x 4 ,khix 2 a)f (x) x-2 a ,khix 2 x ,khi x 1 e)f(x) x ax+b ,khi x 1 ,khi x 1 b)f (x) ax 2 ,khix 1 ax 1 ,khix 2 c)f(x) sinx b ,khix 2 (x 1) ,khix 0 d)f(x) ax+b ,khi 0<x<1 x ,khix 1 ỡ ù - ù ạ ù = ớ ù ù = Ê ù ợ = + ỡ - Ê ù ù = ớ ù - > ù ợ ỡ p ù ù + Ê ù ù ù = ớ ù p ù + > ù ù ù ợ ỡ ù - Ê ù ù ù = ớ ù ù ù ù ợ { } 2 2 x 1 (x 1) ,khi x 1 x 1 f)f(x) a ,khi x 1 b ,khix 1 x xcos 3 2 ,x , \ 0, sinx 2 3 g)f(x) a , x 0 b , x ỡ ù ù ớ ù > ù ợ ỡ ù - ù ạ ù ù - ù = ớ = -ù ù ù ù = ù ợ ỡ ù ù ù ộ ự p p ù ờ ỳ ẻ - p ù ù ờ ỳ ù ở ỷ ù ù = = ớ ù ù = p ù ù ù ù ù ù ù ợ 6 12. Hãy phân lọai điểm gián đọan của các hàm số sau 2 3 3 2 x 1 x a)y d)y x x 6 1 x 1 1 1 b)y x 1 x x 1 e)y 1 1 1 c)y x 1 x x 3x 4x - = = + - + = - - + = - = - - - 13. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số 2 x 2 1 a)y x b) y x c) y e x 2x,khix 0 d)y f(x) x ,khix 0 = = = ì ï + ³ ï = = í ï < ï î 14. a) Cho 2 f(x) x sin(x-2). = Tính f’(2) b) Cho x f(x) x (x 1)arcsin x+1 = + - . Tính f’(1) 15. Tính đạo hàm của các hàm số sau ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 3 2 3 2 2 4 3 2 2 3 2 2 x 2 2 2 x 1 12.y 1.y x 3x 1 x 1 2.y x 3x 5 13.y 3 2x x 1 3.y x 2x 3 14.y x 1 ln x 4.y x 3x 2 15.y x sìnx 3x 1 5.y x 1 1 x 16.y 2x 1 x 2x 6.y sin x x 1 17.y 2x 1 1 7.y x x 8.y x e 9.y x 1 sin x 10.y sin x.tgx 11.y x 5x 1 x 1 + = = - + - = + + = + - = - + = + = - + = + = + - = + - = - = + = + = = + = = + + - ( ) ( ) ( ) x 2 x 4 2 3x 1 18.y sin x e x 19.y x 1 20.y e sin x x 1 21.y sin 5 x - = + = + = + + = - 16. Tính đạo hàm của hàm số 7 2 1 x 1 x k x n 2 2 2 f)y e a)y (acosx+bsinx) 1 sinx b) y Ae sin( x+ ) g)y ln 1+cosx ax+b c)y h)y cos(2arcosx) cx+d i)y=ln(ln(lnx )) d)y 2x x 1 sinx k)y lntg cos(8x-3 )-1 4 2 e)y tg2x cotg2x - + a - = = - = w a = = = = + + æ ö p ÷ ç = + ÷ ç p ÷ ç è ø = - 17. Tính đạo hàm của hàm số sau ( ) x x 7 ln x 2 2 1 log e log e 1 ln x ln x arctgx 2 sinx sinx x a)y x b)y x 2x .e e c)y arcsinsin x d)y x e)y (cosx) 1 f)y 1 x + + = = - + = = = æ ö ÷ ç = + ÷ ç ÷ ç è ø 18. Tính đạo hàm f '(0 ),f '(0 ) + - các hàm số sau 3 4 5 7 1 x 3 4 x ,khix 0 a)f(x) x ,khix 0 2x ,khix 0 b) f(x) ln(1 x ) ,khix 0 1 e ,khix 0 c) f (x) 1 x ,khix 0 ì £ ï ï = í ï > ï î ì < ï ï = í ï + ³ ï î ì ï ï + < ï ï = í ï ï + ³ ï ï î 19. Tính đạo hàm một phía của hàm số tại điểm gián đọan của nó ( ) 2 x 1 x ,khix 0 x a)f(x) 1 ,khix 0 ì ï ï - ¹ ï ï = í ï ï = ï ï î 8 1 x 1 ,khix 0 b)f(x) 1 e 0 ,khix 0 1+x arctg ,khix 1 1-x c)f(x) ,khix 1 2 1 arctg ,khix 0 x d)f(x) ,khix 0 2 ì ï ï ¹ ï ï = í + ï ï ï = ï î ì æ ö ï ÷ ï ç ¹ ÷ ï ç ÷ ç ï è ø ï = í ï p ï = ï ï ï î ì æ ö ï ÷ ï ç ¹ ÷ ï ç ÷ ç ï è ø ï = í ï p ï - =ï ï ï î 20. Cho hàm số x 1 e x 2 ,khix 1 f(x) x 1 m ,khix 1 + ì ï - - ï ¹ - ï ï = +í ï ï = ï ï î a) Xác định m để f liên tục tại x =-1 b) Tìm f’(-1) ứng với m vừa tìm được trong câu a 21. Cho hàm số 2x e 2x 1 ,khix 0 f(x) x m ,khix 0 ì ï - - ï ¹ ï = í ï ï = ï î a) Xác định m để f liên tục tại x =0 b) Tìm f’(0) ứng với m vừa tìm được trong câu a 22. Cho hàm số 2x 1 cosx ,khix 0 f(x) x m ,khix 0 ì ï + - ï ¹ ï ï = í ï ï = ï ï î a) Xác định m để f liên tục tại x =0 b) Tìm f’(0) ứng với m vừa tìm được trong câu a 23. Cho hàm số bx 2 (x a)e ,khix 0 f(x) ax bx 1 ,khix 0 - ì ï + ¹ ï = í ï + + = ï î Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại x=0. 24. Tìm vi phân của các hàm số sau 9 4 2 2 4 a)y x 5x b)y cos x c)y=x tanx d)y= 1+t u 1 e) y u 1 f)y (1 2r) - = + = p + = - = + 25. a) Tìm vi phân dy của các hàm số sau; b) Tính giá trị của dy ứng với x và dx được cho sau đây ( ) 2 3 2 3 2 1 1.y x 2x ,x 3,dx 2 2.y x 6x 5x 7,x 2,dx 0.1 3.y x 5x ,x 1,dx 0.05 4.y 1 x ,x 0,dx 0.02 5.y cosx ,x= /6,dx=0.05 6.y=sinx ,x= /6,dx=-0.1 = + = = = - + - = - = = + = = = - = = = p p 26. Tìm hàm tuyến tính L(x) của các hàm số sau tại a 3 3 1.f (x) x ,a 1 2.f (x) 1/ 2 x ,a 0 3.f (x) 1/ x ,a 4 4.f (x) x ,a 8 = = = + = = = = = - 27. Tính y,dy D ứng với giá trị của x và dx x = D . Sau đó rút ra nhận xét gì 2 2 1.y x ,x 1, x 0.5 2.y x ,x 1, x 1 3.y 6 x ,x 2, x 0.4 4.y 16/ x ,x 4, x 1 = = D = = = D = = - = - D = = = D = - 28. Sử dụng vi phân tính gần đúng các giá trị sau 10 ( ) 4 6 0 0 1. 36.1 2. 1.02 1.02 1 3. 10.1 4. 1.97 5.sin59 6.cos31.5 + 29. Tìm vi phân tại các điểm đã chỉ ra 1 2 3 2 3 2 x x 1 x 1 a)d ln ;x 1 x x lnx 1 b)d arctg ;x ,x e x e (2x 1) 2 3x c)d ;x 0 (5x 4) 1 x x 2 d)d x æ ö æ ö - ÷ ç ÷ ç + = - ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ÷ ç è ø è ø æ ö ÷ ç = = ÷ ç ÷ ç è ø æ ö - + ÷ ç ÷ = ç ÷ ç ÷ ç + - è ø æ ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø 30. Cho biết các câu phát biểu sau là đúng hay sai a) Nếu f liên tục tại a thì f có vi phân tại a b) Nếu f và g có vi phân tại a, thì   d f(x) g(x) f '(x) g'(x) dx    c) Nếu f và g có vi phân thì   d f(x).g(x) f '(x).g'(x) dx  d) Nếu f và g có vi phân thì   d f(g(x)) f '(g(x)).g'(x) dx  e) Nếu f có vi phân thì d f '(x) f(x) dx 2 f(x)  f) Nếu f có vi phân thì   d f '(x) f (x) dx 2 x  g) 2 d x x 2x 1 dx    h) Nếu f’(x) tồn tại thì x r limf(x) f (r)   31. Tìm ,   để các hàm số sau đây: i) liên tục trên  ; ii) khả vi trên  [...]... f) y  , x0  3 x 1 x2 36 Áp dụng khai triển Maclaurin của các hàm số sơ cấp, tính các giới hạn sau đây ln 1  x   x ex 1 x a) lim ; b) lim ; x 0 x 0 x2 x2 x2 cos x  1  tgx  x 2 ; c) lim d) lim ; 4 x 0 x 0 x x3 arctgx  arc sin x tgx  x e) lim ; f) lim 2 x 0 x  0 sin x  x x 38 Áp dụng quy tắc L’Hospital, tính các giới hạn sau đây x2  1 x2 1 1 1) lim 2 2) lim 2 x 0 2 x  x  1.. . L’Hospital, tính các giới hạn sau đây 3x 2  4 x  7 ln cos x a) lim 2 ; b) lim ; x 1 2 x  3 x  5 x  0 ln cos 3 x   ln  x   ln x 2 c) lim ; d) lim  ;  x  0  ln sin x tgx x  2  e) lim   2arctg x x    1 1   2 ; x ; f) lim  x  0 xarctgx x   1 2 x g) lim  arccos x  ; x 0    tgx i) lim  arcsin x  ; x0  ln x h) lim 1  x  ; x0  k) lim  tgx   x  2 cos x 39 Tìm các. .. cosx+sinx ,x  0 32 Tìm đạo hàm và vi phân cấp hai của hàm số sau a)y  x(1  3 1  x 2 ) 1 x2 b)y  cos 2 x  c)y  ln x  x 2  1   d)y  arctg x+ x 2  1  x2 1 x2 1 1-x f ) y  arccotg 2x-x 2 e) y  arcsin dy d 2 y , , với y=y(x) là hàm số cho bưởi phương trình tham số dx dx 2 a) x  1  cos 2 t  sin t , y  sin 2 t cos t ; 33 .Tính b) x   t 2  1 et , c) x  2t  t 2 t 1 , y  t 2e2t... y  t 2e2t ; y t2 ; t 1 11 d) x  ln 1  sin t  , y  ln 1  cos 2t  ; 34 Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau đây x 1  x2 a) y  2 ; b) y  ; x  4 x  12 1  x2 3  2 x2 c) y  2 ; d) y   x  1 2 x 1 ; 2 x  3x  2 3 x e) y  x cos x ; f) y  x ln 3 x 35 Viết khai triển Taylor tại lân cận điểm x0 của hàm số a) y  sin  2 x  3  , x0  1 ; b) y  x 2 e2 x , x0  1 ; c) y   x 2...    1 1   2 ; x ; f) lim  x  0 xarctgx x   1 2 x g) lim  arccos x  ; x 0    tgx i) lim  arcsin x  ; x0  ln x h) lim 1  x  ; x0  k) lim  tgx   x  2 cos x 39 Tìm các giới hạn sau x  1 xa  a x b) lim x    0 ;  a  0, a  1 x 1 x   1 xa a  a a x  sin x xa  a x c) lim a a  0, a  1 ; d) lim a  x 0 tg  x xa x  a 2  e) lim sin x ln cot gx ; f) lim . 1 x x x p. 3 5 2 0 3 1 1 lim 1 1 1 x x x x q. 3 4 0 8 3 2 lim 16 4 2 x x x x. 2 0 1 1 4 lim 1 1 x x arctgx y. 3 1 1 1 lim ln cos 1 x x e x 11  16 . 2 x 0 ln (1 cosx) lim ln (1 x )    17 . 3 5 2 x 0 3 (1 x) 1 lim (1 x) (1 x) 1       19 . 3 4 x 0 8 3x 2 lim 16 4x 2      20. 2 x 0 1 1 4x lim 1 1 arctgx      21. . 20 3 10 x 2 x 1 a)lim 2x x 1 x 1 b) lim 2x x 1 (1 x) (1 2x) (1 3x) 1 c)lim x (1 x) (1 5x) d)lim x x (x 1) (x 2)(x 3)(x 4)(x 5) e) lim (5x 1) (2x 3) (3x 2) f) lim (2x 1) (x x 2) g)lim (x 12 x 16 ) h)lim ® ®