Cho đờng tròn tâm O bán kính R, hai điểm C và D thuộc đờng tròn, B là trung điểm của cung nhỏ CD. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Nối AC cắt MN tại E. Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ: TỨ GIÁC NỘI TIẾP
I) Các kiến thức cần nhớ 1) Khái niệm:
O A
B
C
D
Một tứ giác có bốn đỉnh nằm đờng tròn đợc gọi tứ giác nội tiếp đờng
tròn (Gọi tắt tứ giác nột tiếp)
2) Định lí
- Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 1800
-Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 1800 tứ giác
nội tiếp đờng trịn
3) Dấu hiệu nhận biết (các cách chứng minh) tứ giác nội tiếp
- Tứ giác có tổng số hai góc đối diện 1800
- Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện
- Tứ giác có bón đỉnh cách điểm(mà ta xác định đợc) Điểm
đó tâm đờng trịn ngoại tiếp tứ giác
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dới
góc a
II) Bài tập
Bài tập
Cho ∆ABC vuông A Trên AC lấy diểm M vẽ đờng trịn đờng kính MC Kẻ
BM cắt đờng tròn D Đờng thẳng DA cắt Đờng tròn S Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ABCD nội tiếp
(2)c) CA phân giác SCB
Bài tập
Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đờng trịn đờng kính AD Hai đờng chéo AC
BD cắt E Vẽ EF vng góc với AD Chứng minh: a) Tứ giác ABEF, tứ giác DCEF nội tiếp
b) CA phân giác éBCF
c) Gọi M trung điểm DE Chứng minh tứ giác BCMF nội tiếp
Bài tập
Tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn đờng kính AD Hai đờng chéo AC , BD cắt E Hình chiếu vng góc E AD F Đờng thẳng CF cắt đờng
tròn điểm thứ hai M Giao điểm BD CF N Chứng minh :
a) CEFD tứ giác nội tiếp b
b) Tia FA tia phân giác góc BFM
c) BE DN = EN BD
Bài tập
Cho tam giác ABC vuông A điểm D nằm A B Đờng trịn đờng
kính BD cắt BC E Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn điểm thứ hai F , G Chứng minh :
a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD
b) Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp đợc đờng tròn c) AC song song với FG
d) Các đờng thẳng AC , DE BF đồng quy
Bài tập
Cho tam giác vuông ABC (
90
A
∠ = ; AB > AC) điểm M nằm đoạn
(3)và MB với đơng trịn đờng kính MC; gọi S giao điểm thứ hai AD với đ-ờng tròn đđ-ờng kính MC; T giao điểm MN AB Chứng minh:
a Bốn điểm A, M, N B thuộc đờng tròn b CM phân giác góc ∠BCS
c
TA TC TD = TB
Bài tập
Cho đờng trịn (O) điểm A nằm ngồi đờng tròn Qua A dựng hai tiếp tuyến AM AN với đờng tròn (M, N tiếp điểm) cát tuyến cắt đ-ờng trịn P, Q Gọi L trung điểm PQ
a/ Chứng minh điểm: O; L; M; A; N thuộc đờng tròn
b/ Chứng minh LA phân giác MLN
c/ Gọi I giao điểm MN LA Chứng minh MA2 = AI.AL
d/ Gọi K giao điểm ML với (O) Chứng minh KN // AQ
e/ Chứng minh ∆ KLN cân
Bài tập
Cho đường trũn (O; R) tiếp xỳc với đường thẳng d A Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A AH <R Qua H kẻ đường thẳng vng góc với d, đường thẳng cắt đường trũn hai điểm E B ( E nằm B H)
1 Chứng minh góc ABE góc EAH tam giác ABH đồng dạng với tam giác EAH
2 Lấy điểm C d cho H trung điểm đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB K Chứng minh AHEK tứ giác nội tiếp
3 Xác định vị trí điểm H để AB= R
Bài tập
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng trịn (O) Các đờng cao AD, BE, CF cắt H cắt đờng tròn (O) lần lợt M,N,P
Chứng minh rằng:
1 Các tứ giác AEHF, nội tiếp
2 Bốn điểm B,C,E,F nằm đờng tròn
3 AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC
4 H M đối xứng qua BC
(4)Bài tập
Cho DABC không cân, đờng cao AH, nội tiếp đờng trịn tâm O Gọi E, F thứ tự hình chiếu B, C lên đờng kính AD đờng tròn (O) M, N thứ tự trung điểm BC, AB Chứng minh:
a) Bốn điểm A,B, H, E nằm đờng tròn tâm N HE// CD b) M tâm đờng tròn ngoại tiếp DHEF
Bài tập 10
Cho đờng trịn tâm O điểm A bên ngồi đờng tròn Vẽ ccs tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE với đờng tròn ( B C tiếp điểm) Gọi Hlà trung điểm DE
a) CMR: A,B, H, O, C thuộc đờng tròn Xác định tâm đờng
tròn
b) Chứng minh: HA tia phân giác BHC
c) Gọi I giao điểm BC DE Chứng minh: AB2 = AI.AH
d) BH cắt (O) K Chứng minh: AE // CK
Bài tập 11
Từ điểm S đờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB cát tuyến SCD đờng trịn
a) Gọi E trung điểm dây CD Chứng minh điểm S,A,E,O,B thuộc đờng tròn
b) Nếu SA = AO SAOB hình gì? sao?
c) Chứmg minh rằng:
2
A B C D A C B D = B C D A =
Bài tập 12
Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đờng tròn Các tia AC AD cắt Bx lần lợt E, F (F B E)
1 Chứng minh AC AE không đổi
2 Chứng minh é ABD = é DFB
3 Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp
Bài tập 13
(5)1) Chứng minh tứ giác CBPK nội tiếp đợc đờng tròn 2) Chứng minh AI.BK = AC.CB
3) Giả sử A, B, I cố định xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang vng ABKI lớn
Bài tập 14
Cho DABC vuông A Kẻ đờng cao AH, vẽ đờng trịn đờng kính AH, đờng trịn cắt AB E, cắt AC F
a) Chứng minh AEHF hình chữ nhật b) Chứng minh:BEFC tứ giác nội tiếp c) Chứng minh: AB.AE = AC.AF
d) Gọi M là giao điểm CE BF Hãy so sánh diện tích tứ giác AEMF diện tích tam giác BMC
Bài tập 15
Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đờng cao AD, BE, cắt H Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE
1 Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp
2 Bốn điểm A, E, D, B nằm đờng tròn
3 Chứng minh ED =
1
BC
4 Chứng minh DE tiếp tuyến đờng trịn (O) Tính độ dài DE biết DH = Cm, AH = Cm
Bài tập 16
Từ điểm M đường trũn (O) vẽ tiếp tuyến MA MB Trờn cung
nhỏ AB lấy điểm C Vẽ CD⊥ AB; CE ⊥MA; CF ⊥MB Gọi I giao điểm
AC DE; K giao điểm BC DF Chứng minh rằng: a) Tứ giác AECD; BFCD nội tiếp
b) CD2 = CE.CF
c) IK ⊥CD
Bài tập 17
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) M điểm di động cung nhỏ BC Trên đoạn thẳng MA lấy điểm D cho MD = MC
a) Chứng minh ∆DMC
(6)c) Chứng minh tứ giác ADOC nội tiếp đợc
d) Khi M Di động cung nhỏ BC D di động đờng cố định ?
Bài tập 18
Cho đường tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đường thẳng d lấy điểm M ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp điểm) Kẻ AC ^ MB, BD ^ MA, gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB
1 Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp
2 Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B nằm đờng tròn
3 Chứng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2
4 Chứng minh OAHB hình thoi
5 Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng
6 Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển đờng thẳng d
Bài tập 19
Cho điểm A; B; C cố định thẳng hàng theo thứ tự Vẽ đường tròn (O) qua B C (BC khơng đờng kính (O)) Kẻ từ tiếp tuyến AE AF đến (O) (E; F tiếp điểm) Gọi I trung điểm BC; K trung điểm EF, giao điểm FI với (O) D Chứng minh:
1 AE2 = AB.AC Tứ giác AEOF
3 Năm điểm A; E; O; I; F nằm đờng tròn ED song song với Ac
5 Khi (O) thay đổi tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác OIK thuộc
đường thẳng cố định
Bài tập 20
Cho DABC có góc nhọn A =450 Vẽ đờng cao BD CE DABC
Gọi H gia điểm BD CE
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp
b) Tính tỉ số
DE BC
c) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp DABC Chứng minh OA ^ DE
(7)Cho tam giác nhọn PBC Gọi A chân đờng cao kẻ từ P xuống cạnh BC Đờng trịn đờng kính BC cắt PB, PC lần lợt M N Nối N với A cắt đờng trịn đờng kính BC điểm thứ hai E
a/ Chứng minh rằng: điểm A, B, N, P nằm đờng tròn Hãy xác định tâm bán kính đờng trịn
b/ Chứng minh: EM vng góc với BC
c/ Gọi F điểm đối xứng N qua BC Chứng minh AM.AF = AN.AE
Bài tập 22
Cho tam giác vuông ABC ( 900
A
∠ = ); đoạn AC lấy điểm D (D không trùng
với điểm A C) Đờng trịn đờng kính DC cắt BC điểm thứ hai E; đ-ờng thẳng BD cắt đđ-ờng trịn đđ-ờng kính DC điểm F (F không trùng với D) Chứng minh:
a Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDC b Tứ giác ABCF nội tiếp đờng tròn
c AC tia phân giác góc EAF
Bài tập 23
Cho hình thang cân ABCD (AB>CD; AB//CD) nội tiếp đờng tròn (O) Tiếp tuyến với đường tròn (O) A D cắt E Gọi I giao điểm hai đường chéo AC BD
a/ Chứng minh: Tứ giác AEDI nội tiếp b/ Chứng minh AB//EI
c/ Đường thẳng EI cắt cạnh bên AD BC hình thang tương ứng R S Chứng minh:
* I trung điểm RS
* AB CD RS
2
1
= +
Bài tập 24
Cho đờng trịn (O; R) có hai đờng kính AOB COD vng góc với Lấy điểm E OA, nối CE cắt đờng tròn F Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đ]ờng tròn, qua E dựng Ey vng góc với OA Gọi I giao điểm Fx Ey
a/ Chứng minh I; E; O; F nằm đờng tròn b/ Tứ giác CEIO hình gì? sao?
(8)Bài tập 25
Cho nửa đường trịn đờng kính BC bán kính R điểm A nửa đường tròn (A khác B C) Từ A hạ AH vng góc với BC Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ nửa đường tròn đờng kính BH cắt AB E, nửa đường trịn đường kính HC cắt AC F
a Tứ giác AFHE hình gì? Tại sao? b Chứng minh BEFC tứ giác nội tiếp
c Hãy xác định vị trí điểm A cho tứ giác AFHE có diện tích lớn Tính diện tích lớn theo R
Bài tập 26
Cho điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự Một đường trịn (O) thay đổi qua hai điểm M, N Từ P kẻ tiếp tuyến PT, PT’ với đường tròn (O)
a) Chứng minh: PT2 = PM.PN Từ suy (O) thay đổi qua M, N
thì T, T’ thuộc đường tròn cố định
b) Gọi giao điểm TT’ với PO, PM I J K trung điểm MN Chứng minh: Các tứ giác OKTP, OKIJ nội tiếp
c) Chứng minh rằng: Khi đường tròn (O) thay đổi qua M, N TT’ ln qua điểm cố định
d) Cho MN = NP = a Tìm vị trí tâm O để góc ∠TPT’ = 600
Bài tập 27
Cho DABC vuông A Trên AC lấy điểm M (M≠A C) Vẽ đường trịn đường kính MC Gọi T giao điểm thứ hai cạnh BC với đờng tròn Nối BM kéo dài cắt đờng tròn điểm thứ hai D Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai S Chứng minh:
a) Tứ giác ABTM nội tiếp
b) Khi M chuyển động AC ADM có số đo khơng đổi c) AB//ST
Bài tập 28
Cho hai đờng tròn (O) (O') cắt A, B Đờng vng góc với AB kẻ qua B cắt (O) (O') lần lợt điểm C, D Lấy M cung nhỏ BC đờng tròn (O) Gọi giao điểm thứ hai đờng thẳng MB với đờng tròn (O') N giao điểm hai đờng thẳng CM, DN P
(9)b Chứng minh ACPD nội tiếp đợc đờng tròn
c Gọi giao điểm thứ hai AP với đờng tròn (O') Q, chứng minh BQ // CP
Bài tập 29
Cho ∆ABC vuông A (AB < AC) H nằm A C Đường trũn (O) đường kính HC cắt BC I BH cắt (O) D
a) Chứng minh tứ giỏc ABCD nội tiếp
b) AB cắt CD M Chứng minh điểm H; I; M thẳng hàng c) AD cắt (O) K Chứng minh CA tia phõn giỏc KCB
Bài tập 30
Cho đường trịn (O), đờng kính AB cố định, điểm I nằm A O cho AI = 2/3 AO Kẻ dây MN vng góc với AB I, gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN cho C không trùng với M, N B Nối Ac cắt MN E
1 Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp
2 Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM
3 Chứng minh AM2 = AE.AC
4 Chứng minh AE AC - AI.IB = AI2
5 Hãy xác định vị trí C cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ
Bài tập 31
Cho nửa đường trũn (O;R) đường kính AB, dây AC Gọi E điểm cung AC bán kính OE cắt AC H, vẽ CK song song với BE cắt AE K
a) Chứng minh tứ giỏc CHEK nội tiếp
b) Chứng minh KH⊥AB
c) Cho BC = R Tớnh PK
Bài tập 32
Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đờng tròn nội tiếp, K tâm đờng trịn bàng tiếp góc A , O trung điểm IK
1 Chứng minh B, C, I, K nằm đờng tròn Chứng minh AC tiếp tuyến đờng trịn (O)
3 Tính bán kính đờng trịn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm
(10)Cho điểm A bên ngồi đờng trịn (O ; R) Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE
đến đờng tròn (O) Gọi H trung điểm DE
a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C nằm đờng tròn b) Chứng minh HA tia phân giác BHC
c) DE cắt BC I Chứng minh :
AB =AI.AH
d) Cho AB=R 3
R OH=
2 Tính HI theo R
Bài tập 34
Cho nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB điểm M nửa đờng trịn ( M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kể tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đờng tròn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K
a) Chứng minh rằng: EFMK tứ giác nội tiếp b) Chứng minh rằng: AI2 = IM IB
c) Chứng minh BAF tam giác cân
d) Chứng minh : Tứ giác AKFH hình thoi
e) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc đờng tròn
Bài tập 35
Cho hai đường trũn (O1), (O2) có bán kính cắt A B Vẽ
cát tuyến qua B không vng góc với AB, cắt hai đường trũn E F (E (O1); F (O 2))
1 Chứng minh AE = AF
2 Vẽ cỏt tuyến CBD vuụng gúc với AB ( C (O 1); D (O 2)) Gọi P giao
điểm CE DF Chứng minh rằng:
a Các tứ giác AEPF ACPD nội tiếp đường trũn
b Gọi I trung điểm EF chứng minh ba điểm A, I, P thẳng hàng
3 Khi EF quay quanh B thỡ I P di chuyển trờn đường nào?
Bài tập 36
Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC, CD lần lợt lấy điểm E, F cho
0
45
EAF = Biết BD cắt AE, AF theo thứ tự G, H Chứng minh:
a) ADFG, GHFE tứ giác nội tiếp
(11)Bài tập 37
Cho đờng tròn tâm O bán kính R, hai điểm C D thuộc đờng tròn, B trung điểm cung nhỏ CD Kẻ đờng kính BA; tia đói tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) M; MD cắt AB K; MB cắt AC H
a Chứng minh: ∠BMD = ∠BAC, từ suy tứ giác AMHK nội tiếp
b Chứng minh: HK // CD c Chứng minh: OK.OS = R2
Bài tập 38
Cho đờng trịn (O), đờng kính AB cố định, điểm I nằm A O
cho AI =
2
3AO Kẻ dây MN vng góc với AB I Gọi C điểm tuỳ ý thuộc
cung lớn MN, cho C không trùng với M, N B Nối AC cắt MN E a Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đợc đờng tròn
b Chứng minh △AME đồng dạng với △ACM AM2 = AE.AC
c Chứng minh AE.AC −AI.IB = AI2
d Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ
Bài tập 39
Cho ba điểm A, B, C đờng thẳng theo thứ tự đờng thẳng d vng góc với AC A Vẽ đờng trịn đờng kính BC lấy điểm M Tia CM cắt đờng thẳng d D; Tia AM cắt đờng tròn điểm thứ hai N; Tia DB cắt đờng tròn điểm thứ hai P
a) Chứng minh: Tứ giác ABMD nội tiếp đợc
b) Chứng minh: Tích CM CD khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M
c) Tứ giác APND hình gì? Tại sao?
d) Chứng minh trọng tâm G tam giác MAB chạy đờng
tròn cố định
Bài tập 40
Cho đờng trịn (O) điểm A nằm ngồi đờng tròn Các tiếp tuyến với đờng tròn kẻ từ A tiếp xúc với đờng tròn B C Gọi M điểm tuỳ ý đờng tròn (M khác B C) Gọi H; K; I lần lợt chân đờng vng góc kẻ từ M xuống BC; CA; AB
(12)b/ Chứng minh:MHI =MKH c/ Chứng minh: MH2 = MI.MK
Bài tập 41
Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đờng tròn (O) A M Q hai điểm (d) cho M≠A, M≠Q, Q≠A Các đờng thẳng BM BQ lần lợt cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai N P Chứng minh:
1 Tích BN.BM khơng đổi Tứ giác MNPQ nội tiếp
3 Bất đẳng thức: BN + BP + BM + BQ > 8R
Bài tập 42
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O P trung điểm cung AB không chứa C D Hai dây PC PD lần lợt cắt dây AB E F Các dây AD PC kéo dài cắt I, dây BC PD kéo dài cắt K Chứng minh rằng:
a Góc CID góc CKD
b Tứ giác CDFE nội tiếp đợc dờng tròn c IK // AB
Bài tập 43
Trên đờng tròn (O; R) đờng kính AB, lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B (hai điểm M, E khác hai điểm A, B) AM cắt BE C; AE cắt BM D
a Chứng minh MCED tứ giác nội tiếp CD vng góc với AB
b Gọi H giao điểm CD AB Chứng minh BE.BC = BH.BA c Chứng minh tiếp tuyến M E đờng tròn (O) cắt điểm nằm đờng thẳng CD
d Cho biết 450
BAM
∠ = 300
BAE
∠ = Tính diện tích tam giác ABC
theo R
Bài tập 44
Cho đường tròn (O) đờng kính AB Một cát tuyến MN quay xung quanh trung điểm H OB Giọi I trung điểm MN Từ A kẻ Ax vng góc với MN K Gọi C giao điểm Ax với tia BI
a/ Chứng minh rằng: BN// MC
(13)c/ Tiếp tuyến Bt với đờng tròn (O) cắt tia AM E, cắt tia Ax F Gọi D giao điểm thứ hai tia Ax với (O) Chứng minh rằng: tứ giác DMEF nội tiếp
Bài tập 45
Cho D ABC cân (AB = AC) góc A nhỏ 600; tia đối tia AC lấy
điểm D cho AD = AC
a) Tam giác BCD tam giác gì? sao?
b) Kéo dài đờng cao CH D ABC cắt BD E Vẽ đờng tròn tâm E tiếp
xúc với CD F Qua C vẽ tiếp tuyến CG đờng tròn Chứng minh: Bốn điểm B, E, C, G thuộc đờng tròn
c) Các đờng thẳng AB CG cắt M, tứ giác AFGM hình
gì? Tại sao?
d) Chứng minh: D MBG cân
Bài tập 46
Cho đờng trịn (O) bán kính R, đờng thẳng d khơng qua O cắt đờng trịn hai điểm A, B Từ điểm C d (C nằm ngồi đờng trịn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đờng tròn (M, N thuộc (O)) Gọi H trung điểm AB, đờng thẳng OH cắt tia CN K
a Chứng minh bốn điểm C, O, H, N nằm đờng tròn b Chứng minh KN.KC = KH.KO
c Đoạn thẳng CO cắt đờng tròn (O) I, chứng minh I cách CM, CN MN
d Một đờng thẳng qua O song song với MN cắt tia CM, CN lần l-ợt E F Xác định vị trí C d cho diện tích tam giác CEF nhỏ
Bài tập 47
Cho BC dây cung cố định đờng tròn (O; R) (0 < BC < 2R) A điểm di
động cung lớn BC cho ∆ABC nhọn Các đờng cao AD; BE; CF cắt
tại H (D∈BC; E∈CA; F∈AB)
4 Chứng minh: Tứ giác BCEF nội tiếp Từ suy AE.AC = AF.AB
5 Gọi A' trung điểm BC Chứng minh rằng: AH = 2OA'
6 Kẻ đờng thẳng d tiếp xúc với đờng trịn (O) A Đặt S diện tích
∆ABC, 2p chu vi ∆DEF Chứng minh:
(14)b S = p.R
Bài tập 48
Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD đáy nhỏ BC nội tiếp đờng tròn tâm O; AB CD kéo dài cắt I Các tiếp tuyến đờng tròn tâm O B D cắt điểm K
a Chứng minh tứ giác OBID OBKD tứ giác nội tiếp b Chứng minh IK song song với BC
c Hình thang ABCD phải thoả mãn điều kiện để tứ giác AIKD hình bình hành
Bài tập 49
Cho đường tròn (O;R) điểm A nằm đường tròn Một góc xAy = 900
quay quanh A ln thoả mãn Ax, Ay cắt đờng trịn (O) Gọi giao điểm thứ hai Ax, Ay với (O) tơng ứng B, C Đờng trịn đờng kính AO cắt AB, AC điểm thứ hai tơng ứng M, N Tia OM cắt đờng tròn P Gọi H trực tâm tam giác AOP Chứng minh
a) AMON hình chữ nhật
b) MN//BC
c) Tứ giác PHOB nội tiếp
d) Xác định vị trí góc xAy cho tam giác AMN có diện tích lớn
Bài tập 50
Cho đường tròn (O) đờng kính AB điểm I nằm A O (I khác A O) Kẻ dây MN vng góc với AB I Gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN (C khác M, N khác B) Nối AC cắt MN E Chứng minh:
a) Tứ giác IECB nội tiếp b) AM2 = AE.AC
c) AE.AC – AI.IB = AI2
Bài tập 51
Cho nửa đường trịn (O) đờng kính AB hai điểm C, D thuộc nửa đường tròn cho cung AC nhỏ 900 góc COD = 900 Gọi M điểm nửa
đ-ờng trịn cho C điểm cung AM Các dây AM, BM cắt OC, OD lần lợt E, F
a) Tứ giác OEMF hình gì? Tại sao?
(15)c) Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờngtròn M cắt tia OC, OD lần lợt I, K Chứng minh tứ giác OBKM OAIM nội tiếp đợc
d) Giả sử tia AM cắt tia BD S Hãy xác định vị trí C D cho điểm M, O, B, K, S thuộc đờng tròn
Bài tập 52
Cho đường tròn (O) hai điểm A, B phân biệt thuộc (O) cho đường thẳng AB không qua tâm O Trên tia đối tia AB lấy điểm lấy điểm M khác A, từ M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt ME, MF với đờng tròn (O) (E, F tiếp điểm) Gọi H trung điểm dây cung AB Các điểm K I theo thứ tự giao điểm đờng thẳng EF với đờng thẳng OM OH
a) Chứng minh điểm M, O, H, E, F nằm đờng tròn b) Chứng minh: OH.OI = OK OM
c) Chứng minh: IA, IB tiếp tuyến đờng tròn (O)
Bài tập 53
Cho đờng trịn (O) đờng kính AC Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ) Gọi M trung điểm đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB CD cắt đường trịn đường kính BC I
1 Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp Chứng minh tứ giác ADBE hình thoi Chứng minh BI // AD
4 Chứng minh I, B, E thẳng hàng
5 Chứng minh MI tiếp tuyến đường trịn đường kính BC
Bài tập 54
Cho đường tròn (0) điểm A nằm ngồi đường trịn Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN với đờng tròn (B, C, M, N thuộc đờng tròn AM < AN) Gọi E trung điểm dây MN, I giao điểm thứ hai đờng thẳng CE với đờng tròn
a) Chứng minh: Bốn điểm A, 0, E, C thuộc đờng trịn
b) Chứng minh: góc AOC góc BIC
c) Chứng minh: BI // MN
d) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn
(16)Cho đường trịn (O) có tâm O, đường kính AB Trên tiếp tuyến đường tròn O tại A lấy điểm M (M không trùng với A) Từ M kẻ cát tuyến MCD (C nằm M
và D; tia MC nằm tia MA tia MO) tiếp tuyến thứ hai MI (I tiếp điểm)
với đờng tròn (O) Đờng thẳng BC BD cắt đờng thẳng OM lần lợt tai E F Chứng minh:
a Bốn điểm A, M, I O nằm đờng tròn b ∠IAB= ∠AMO
c O trung điểm FE
Bài tập 56
Cho nửa đờng trịn (0) đờng kính AB, M thuộc cung AB, C thuộc OA Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa M kẻ tia Ax,By vng góc với AB Đờng thẳng qua M vng góc với MC cắt Ax, By P Q AM cắt CP E, BM cắt CQ F
a/ Chứng minh : Tứ giác APMC, EMFC nội tiếp b/ Chứng minh : EF//AB
c/ Tìm vị trí điểm C để tứ giác AEFC hình bình hành
Bài tập 57
Cho đờng tròn (O) đờng thẳng xy ngồi đờng trịn Đờng thẳng qua O vng góc với xy H cắt đờng tròn (O) A B M điểm (O), đờng thẳng AM cắt xy E, đờng thẳng BM cắt xy F, tiếp tuyến M cắt xy I, đ-ờng thẳng AF cắt (O) K Nối E với K
a) Chứng minh: IM = IF
b) Chứng minh: điểm E, M, K, F thuộc đờng tròn c) Chứng minh: IK tiếp tuyến (O)
d) Tìm tập hợp tâm đờng trịn ngoại tiếp ∆AMH M di động (O)
Bài tập 58
Cho đờng trịn (O; R) có đờng kính AB; điểm I nằm hai điểm A O Kẻ đờng thẳng vng góc với AB I, đờng thẳng cắt đờng tròn (O; R) M N Gọi S giao điểm BM AN Qua S kẻ đờng thẳng song song với MN, đờng thẳng cắt đờng thẳng AB AM lần lợt K H Hãy chứng minh:
1) Tứ giác SKAM tứ giác nội tiếp HS.HK=HA.HM 2) KM tiếp tuyến đờng tròn (O; R)
3) Ba điểm H; N; B thẳng hàng
(17)Cho đờng tròn (0; R), dây CD có trung điểm M Trên tia đối tia DC lấy điểm S, qua S kẻ tiếp tuyến SA, SB với đờng tròn Đờng thẳng AB cắt đ-ờng thẳng SO ; OM P Q
a) Chứng minh tứ giác SPMQ, tứ giác ABOM nội tiếp
b) Chứng minh SA2 = SD SC
c) Chứng minh OM OQ không phụ thuộc vào vị trí điểm S
d) Khi BC // SA Chứng minh tam giác ABC cân A
e) Xác định vị điểm S tia đối tia DC để C, O, B thẳng hàng BC // SA
Bài tập 60
Cho nửa đờng trịn (0) đờng kính AB, M điểm cung AB K thuộc cung BM ( K khác M B ) AK cắt MO I
a) Chứng minh : Tứ giác OIKB nội tiếp đợc đờng tròn
b) Gọi H hình chiếu M lên AK Chứng minh : Tứ giác AMHO nội tiếp c) Tam giác HMK tam giác ?
d) Chứng minh : OH phân giác góc MOK
e) Xác định vị trí điểm K để chu vi tam giác OPK lớn (P hình chiếu K lên AB)
Bài tập 61
Cho tam giác ABC với ba góc nhọn nội tiếp đờng trịn (0) Tia phân giác góc B, góc C cắt đờng tròn thứ tự D E, hai tia phân giác cắt F Gọi I, K theo thứ tự giao điểm dây DE với cạnh AB, AC
a) Chứng minh: tam giác EBF, DAF cân
b) Chứng minh tứ giác DKFC nội tiếp FK // AB c) Tứ giác AIFK hình ? Tại ?
d) Tìm điều kiện tam giác ABC để tứ giác AEFD hình thoi đồng thời có diện tích gấp lần diện tích tứ giác AIFK
Bài tập 62
Cho đờng tròn (O), đờng kính AB cố định, đoạn OA lấy điểm I cho
AI = 3.OA
Kẻ dây MN vng góc với AB I Gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN ( C không trùng với M, N, B) Nối AC cắt MN E
a) Chứng minh : Tứ giác IECB nội tiếp
(18)c) Chứng minh : AE AC - AI IB = AI2
d) Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đờng
tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ
Bài tập 63
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O;R)(AB < CD) Gọi P điểm cung nhỏ AB ; DP cắt AB E cắt CB K ; CP cắt AB F cắt DA I
a) Chứng minh: Tứ giác CKID nội tiếp đợc b) Chứng minh: IK // AB
c) Chứng minh: Tứ giác CDFE nội tiếp đợc d) Chứng minh: AP2 = PE PD = PF PC
e) Chứng minh : AP tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác AED f) Gọi R1 , R2 bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác AED
BED.Chứng minh: R1 + R2 = 4R2 −PA2
Bài tập 54
Cho hình vng ABCD cố định , có độ dài cạnh a E điểm chuyển đoạn CD (E khác D), đờng thẳng AE cắt đờng thẳng BC F, đờng thẳng vng góc với AE A cắt đờng thẳng CD K
1) Chứng minh DABF = DADK từ suy DAFK vng cân
2) Gọi I trung điểm FK, Chứng minh I tâm đờng tròn qua A , C, F , K
3) Tính số đo góc AIF, suy điểm A, B, F, I nằm đờng tròn
Bài tập 65
Cho góc vng xOy , Ox, Oy lần lợt lấy hai điểm A B cho OA = OB M điểm AB Dựng đờng tròn tâm O1 qua M tiếp xúc với
Ox A, đờng tròn tâm O2 qua M tiếp xúc với Oy B , (O1) cắt (O2)
điểm thứ hai N
1) Chứng minh tứ giác OANB tứ giác nội tiếp ON phân giác
góc ANB
2) Chứng minh M nằm cung tròn cố định M thay đổi 3) Xác định vị trí M để khoảng cách O1O2 ngắn
(19)Cho điểm A bên đường trũn (O ; R) Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC cỏt tuyến ADE đến đường trũn (O) Gọi H trung điểm DE
a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C nằm đường trũn b) Chứng minh HA tia phõn giỏc BHC
c) DE cắt BC I Chứng minh :
AB =AI.AH
Bài tập 67
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng trịn tâm O Đờng phân giác góc A , B cắt đờng tròn tâm O D E , gọi giao điểm hai đờng phân giác I , đờng thẳng DE cắt CA, CB lần lợt M , N
1) Chứng minh tam giác AIE tam giác BID tam giác cân 2) Chứng minh tứ giác AEMI tứ giác nội tiếp MI // BC 3) Tứ giác CMIN hình ?
Bài tập 68
Cho tam giaực ABC coự ba goực nhoùn (AB < AC) ẹửụứng troứn ủửụứng kớnh BC caột AB, AC theo thửự tửù taùi E vaứ F Bieỏt BF caột CE taùi H vaứ AH caột BC taùi D
a) Chửựng minh tửự giaực BEFC noọi tieỏp vaứ AH vuoõng goực vụựi BC
b) Chửựng minh AE.AB = AF.AC
c) Gói O laứ tãm ủửụứng troứn ngoùai tieỏp tam giaực ABC vaứ K laứ
trung ủieồm cuỷa BC Tớnh tổ soỏ
OK
BC tửự giaực BHOC noọi tieỏp
d) Cho HF = 3cm , HB = 4cm , CE = 8cm vaứ HC > HE Tinh HC
Bài tập 69
Cho (O) đờng kính AB = 2R, C trung điểm OA dây MN vng góc với OA C Gọi K điểm tuỳ ý cung nhỏ BM, H giao điểm AK MM
a) CMR: BCHK tứ giác nội tiếp b) Tính AH.AK theo R
Xác định vị trí điểm K để (KM+KN+KB) đạt giá trị lớn tính giá trị lớn
(20)Cho hai đờng trịn (O1) (O2) cắt A B Một đờng thẳng qua
A cắt đờng tròn (O1) , (O2) lần lợt C,D , gọi I , J trung điểm AC AD
1) Chứng minh tứ giác O1IJO2 hình thang vuông
2) Gọi M giao diểm CO1 DO2 Chứng minh O1 , O2 , M , B nằm
trên đờng tròn
3) E trung điểm IJ , đờng thẳng CD quay quanh A Tìm tập hợp
điểm E
4) Xác định vị trí dây CD để dây CD có độ dài lớn
Bài tập 71
Cho tam giác ABC , góc B góc C nhọn Các đờng trịn đờng kính AB , AC cắt D Một đờng thẳng qua A cắt đờng trịn đờng kính AB , AC lần lợt E F
1) Chứng minh B , C , D thẳng hàng
2) Chứng minh B, C , E , F nằm đờng tròn
3) Xác định vị trí đờng thẳng qua A để EF có độ dài lớn
Bài tập 72
Cho đường tròn tâm O cát tuyến CAB ( C ngồi đờng trịn ) Từ điểm cung lớn AB kẻ đờng kính MN cắt AB I , CM cắt đường tròn E , EN cắt đường thẳng AB F
1) Chứng minh tứ giác MEFI tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh góc CAE góc MEB
3) Chứng minh : CE CM = CF CI = CA CB
Bài tập 73
Cho D ABC có góc nhọn AC > BC nội tiếp (O) Vẽ tiếp tuyến với (O) A B, tiếp tuyến cắt M Gọi H hình chiếu vng góc O MC CMR
a/ MAOH tứ giác nội tiếp
b/ Tia HM phân giác góc AHB
c/ Qua C kẻ đờng thẳng song song với AB cắt MA, MB lần lợt E, F Nối EH cắt AC P, HF cắt BC Q Chứng minh QP // EF
(21)Cho tam giác ABC vuông A điểm D nằm A B Đờng trịn đờng kính BD cắt BC E Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn điểm thứ hai F , G Chứng minh :
a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD
b) Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp đợc đờng tròn c) AC song song với FG
d) Các đờng thẳng AC , DE BF đồng quy
Bài tập 75
Cho đờng tròn tâm O Từ điểm P ngồi đờng trịn kẻ hai tiếp tuyến phân biệt PA, PC (A, C tiếp điểm) với đờng tròn (O)
a Chứng minh PAOC tứ giác nội tiếp đờng tròn
b Tia AO cắt đờng tròn (O) B; đờng thẳng qua P song song với AB cắt BC D Tứ giác AODP hình gì?
c Gọi I giao điểm OC PD; J giao điểm PC DO; K trung điểm AD Chứng tỏ điểm I, J, K thẳng hàng
Bài tập 76
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O M điểm cung AC ( khơng chứa B ) kẻ MH vng góc với AC ; MK vng góc với BC
1) Chứng minh tứ giác MHKC tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh AMB=HMK
3) Chứng minh D AMB đồng dạng với D HMK
Bài tập 77
Cho nửa đường trũn đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường trũn Gọi C điểm nửa đường trũn cho cung AC cung CB Trờn cung CB lấy điểm D khác C B Các tia AC, AD cắt Bx E F
a, Chứng minh ABE vuụng c õn b, Chứng minh ABF BDF
c, Chứng minh tứ giỏc CEFD nội tiếp d, Chứng minh AC.AE = AD.AF
Bài tập 78
(22)a) Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp đợc; b) E tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BCH; c) Năm điểm B, C, I, O, H nằm đờng tròn
Bài tập 79
Tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn đờng kính AD Hai đờng chéo AC , BD cắt E Hình chiếu vng góc E AD F Đờng thẳng CF cắt đờng tròn điểm thứ hai M Giao điểm BD CF N Chứng minh :
a) CEFD tứ giác nội tiếp
b) Tia FA tia phân giác góc BFM c) BE DN = EN BD
Bài tập 80
Cho tam giác cân ABC (AB = AC;
45
B
∠ > ), đờng tròn (O) tiếp xúc với AB
AC lần lợt B C Trên cung nhỏ BC lấy điểm M (M không trùng với B C) hạ đờng vng góc MI, MH, MK xuống cạnh tơng ứng BC, CA, AB
a Chỉ cách dựng đờng tròn (O) b Chứng minh tứ giác BIMK nội tiếp
c Gọi P giao điểm MB IK; Q giao điểm MC IH Chứng minh PQ⊥MI
Bài tập 81
Cho DABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng trịn tâm O, bán kính R Hạ đờng cao AD, BE tam giác Các tia AD, BE lần lợt cắt (O) điểm thứ hai M, N Chứng minh rằng:
1 Bốn điểm A,E,D,B nằm đờng trịn Tìm tâm I đờng trịn MN// DE
3 Cho (O) dây AB cố định, điểm C di chuyển cung lớn AB Chứng
minh độ dài bán kính đờng trịn ngoại tiếp DCDE khơng đổi
Bài tập 82
Cho điểm A ngồi đờng trịn tâm O Kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với đờng tròn (B , C tiếp điểm ) M điểm cung nhỏ BC ( M B ; M C ) Gọi D , E , F tơng ứng hình chiếu vng góc M đờng thẳng AB , AC , BC ; H giao điểm MB DF ; K giao điểm MC EF
(23)a) MECF tứ giác nội tiếp b) MF vng góc với HK
2) Tìm vị trí M cung nhỏ BC để tích MD ME lớn
Bài tập 83
Cho ∆ABC vuụng cõn A AD trung tuyến thuộc cạnh BC Lấy M bất kỡ thuộc đoạn AD (M không trùng A, D) Gọi I, K hỡnh chiếu vuụng gúc M trờn AB, AC H hỡnh chiếu vuụng gúc I trờn đoạn DK
a/Tứ giỏc AIMK hỡnh gỡ?
b/ A, I, M, H, K thuộc đường trũn Tỡm tõm đường trũn c/ B, M, H thẳng hàng
Bài tập 84
Cho tam giác ABC (có ba góc nhọn) Hai đờng cao AD BF gặp H a/ Chứng minh tứ giác DHFC nội tiếp đợc đờng tròn Xác định tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác
b/ Gọi CK đờng cao lại tam giác ABC; KD cắt đờng tròn ngoại tiếp tứ giác DHCF E Chứng minh gócEFH = góc KBH
c/ Giả sử CH = AB Tính số đo góc ACB
Bài tập 85
Cho tứ giác ABCD (AB // CD) nội tiếp đờng tròn (O) Tiếp tuyến A tiếp tuyến D đờng tròn (O) cắt E Gọi I giao điểm AC BD Chứng minh:
a
1
2
CAB AOD
∠ = ∠
b Tứ giác AEDO nội tiếp c EI // AB
Bài tập 86
Cho đường trũn tõm O đường kính AC Trên AC lấy điểm B , vẽ đường trũn tõm O’ đường kính BC Gọi M trung điểm AB Từ M kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt đường trũn tõm O D E Nối DC cắt đường trũn tõm O’ I Chứng minh:
a/ AD // BI
(24)d/ DM2 = AM.MC
e/ Tứ giỏc DMBI nội tiếp
Bài tập 87
Cho tam giác ABC vuông A Trên AC lấy điểm D, dựng CE vuông góc với BD
a Chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp đờng tròn b Chứng minh AD.CD = ED.BD
c Từ D kẻ DK vng góc với BC Chứng minh AB, DK, EC đồng quy điểm ∠DKE= ∠ABE
Bài tập 88
Từ điểm A ngồi đờng trịn(O), ta kẻ tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (O) (B, C tiếp điểm) M điểm cung nhỏ BC, (M ≠B M; ≠C) Từ M hạ đờng vng góc MI, MH, MK tơng ứng xuống BC, AC, AB Gọi P giao MB IK; Q giao MC IH
a Chứng minh tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc đờng tròn b Chứng minh tia đối tia MI phân giác góc KMH c Chứng minh PQ // BC
Bài tập 89
Cho đờng trịn tâm O, bán kính R hai đờng kính vng góc AB CD Trên
AO lấy điểm E mà OE =
1
3AO, CE cắt (O) M
a Tính CE theo R
b Chứng minh tứ giác MEOD nội tiếp đựơc Xác định tâm bán kính đ-ờng trịn ngoại tiếp tứ giác
c Chứng minh hai tam giác CEO CDM đồng dạng Tính độ dài đờng cao MH tam giác CDM
Bài tập 90
Cho hai đờng tròn (O1) (O2) cắt A B, tiếp tuyến chung với hai đờng
trịn (O1) (O2) phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa điểm B, có tiếp điểm thứ
tự E F Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đờng tròn (O1), (O2) thứ tự
tại C, D Đờng thẳng CE đờng thẳng DF cắt I a Chứng minh IA vng góc với CD
b Chúng minh tứ giác IEBF tứ giác nội tiếp
(25)Bài tập 91
Cho đường trũn tõm O cỏt tuyến CAB (C đường trũn) Từ điểm cung lớn AB kẻ đường kính MN cắt AB I, CM cắt đường trũn E, EN cắt đường thẳng AB F
4) Chứng minh tứ giỏc MEFI tứ giỏc nội tiếp
5) Chứng minh gúc CAE gúc MEB
6) Chứng minh: CE.CM = CF.CI = CA.CB
Bài tập 92
Cho tam giác ABC vng A có AB > AC, đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đờng trịn đờng kính BH cắt AB E, vẽ nửa đờng trịn đờng kính HC cắt AC F
a Chứng minh tứ giác AEHF hình chữ nhật b Chứng minh AE.AB = AF.AC
c Chứng minh BEFC tứ giác nội tiếp
Bài tập 93
Cho đờng tròn (O) đờng kính BC Điểm A thuộc đoạn OB (A khơng trùng với O B), vẽ đờng trịn (O') đờng kính AC Đờng tròn qua trung điểm M đoạn thẳng AB vng góc với AB cắt đờng trịn (O) D E Gọi F giao điểm thứ hai CD với đờng tròn (O'), K giao điểm thứ hai CE với đờng tròn (O') Chứng minh:
a Tứ giác ADBE hình thoi b AF // BD
c Ba điểm E, A, F thẳng hàng
d Bốn điểm M, F, C E thuộc đờng tròn e Ba đờng thẳng CM, DK, EF đồng quy
Bài tập 94
Cho hai đờng tròn (O) (O') cắt A B Đờng tiếp tuyến với (O') vẽ từ A cắt (O) điểm M; đờng tiếp tuyến với (O) vẽ từ A cắt (O') N Đờng tròn tâm I ngoại tiếp tam giác MAN cắt AB kéo dài P
a Chứng minh tứ giác OAO'I hình bình hành
b Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' nằm đờng tròn c Chứng minh rằng: BP = BA
(26)Từ điểm P nằm đờng tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PM PN với đờng tròn (O) (M, N tiếp điểm) Đờng thẳng qua điểm P cắt đờng tròn (O) hai điểm E F Đờng thẳng qua O song song với PM cắt PN Q Gọi H trung điểm đoạn EF Chứng minh rằng:
a Tứ giác PMON nội tiếp đờng tròn
b Các điểm P, N, O, H nằm đờng tròn c Tam giác PQO cân
d PM2 = PE.PF
e ∠PHM = ∠PHN
TÌM ĐỌC BỘ SÁCH THAM KHẢO TUYỂN SINH 10
(27)+ Cập nhật dạng toán Phương pháp + Cập nhật đề thi toàn quốc
+ Viết chi tiết dễ hiểu
* Trọn gồm quyển, Giá 480.000 đồng => Free Ship, toán nhà.
Bộ phận bán Sách: 0918.972.605(Zalo)
Đặt trực tiếp tại:
https://forms.gle/ooudANrTUQE1Yeyk6