HH9 chuyen de tu giac noi tiep day du phuong phap va giai chi tiet kem hinh ve cu the

Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT CHUYÊN ĐỀ TỨ GIÁC NỘI TIẾP I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Để giải toán liên quan đến tứ giác nội tiếp học sinh cần nắm kiến thức sau: Định nghĩa tứ giác nội tiếp: HS nắm định nghĩa số 6, phần ơn tập chương III, SGK Tốn 9, tập 2-Trang 101 Tính chất tứ giác nội tiếp: HS nắm định lý 14, phần ôn tập chương III, SGK Toán 9, tập 2-Trang 103 Các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: HS nắm định lý 15 SGK Tốn 9, tập 2-Trang 103 (phần ơn tập chương) Các định lý khác thường áp dụng: 4-1: Hình thang nội tiếp đường trịn hình thang cân ngược lại 4-2: Hình bình hành nội tiếp đường trịn hình chữ nhật ngược lại 4-3: Tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính tiếp điểm 4-4: Đường kính qua trung điểm dây cung khơng qua tâm vng góc với dây cung 4-5: Đường kính qua điểm cung vng góc với dây căng cung 4-6: Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn có số đo 1v II BÀI TẬP ÁP DỤNG: Dạng 1: CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP: Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem tốn nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT Để chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn ta phải áp dụng linh hoạt dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp, phương pháp chứng minh  Phương pháp 1: Sử dụng tính chất: Nếu tổng số đo hai góc đối diện tứ giác nội tiếp 1800 tứ giác nội tiếp đường tròn Bài tập mẫu 1: Cho đường trịn đường kính AB D điểm thuộc đường tròn Trên tia đối tia BA lấy điểm C Đường thẳng vng góc với BC C cắt đường thẳng AD M Chứng minh tứ giác MCBD nội tiếp Hướng dẫn: �  MDB �  1800 Hãy MCB M (Chú ý: Góc nội tiếp chắn nửa D đường trịn có số đo C B O A 1v) Bài tập mẫu 2:Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính AB Đường thẳng vng góc với AO trung điểm I AO cắt AC M cắt tiếp tuyến C đường tròn E a Chứng minh tứ giác OCEI nội tiếp đường tròn b Chứng minh tứ giác IMCB nội tiếp đường tròn Hướng dẫn giải Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem tốn nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT �  OCE �  1800 a Chỉ EIO S �  BCM �  1800 b Chỉ MIB E (Chú ý: Tiếp tuyến đường trịn C vng góc với bán kính qua tiếp M A I điểm) B O Bài tập mẫu 3: Cho hai đường tròn (O) (O’)tiếp xúc A Đường nối tâm cắt (O) (O’)tại điểm thứ hai tương ứng B C Gọi EF tiếp tuyến trung ngoài( F thuộc (O) E thuộc (O’)) a Chứng minh tam giác FAE vuông A b Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp Hướng dẫn: a Cách 1: Kẻ tiếp tuyến chung A chứng minh tam giác FAE vng A dựa vào tính chất trung tuyến thuộc cạnh huyền tam giác vng Cách 2:Tính tổng sđ hai góc F tam giác FAE biến đổi E 900 B A 0' C 1� � AFE  FOA ; � AEF  � AO ' E � �  (� AEF  AFE AOO  � AO ' E )  1800  900 b Tính tổng sđ hai góc đối diện tứ giác: �  FEC � � �  1800 ( � FBC AFE  � AEF  AEC AEC  900 ) Bài tập mẫu 4: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt Avà B Qua A vẽ hai cát tuyến CAD EAF (C,E  (O); D,F  (O’)) Đường thẳng CE cắt đường thẳng DF P Chứng minh tứ giác BEPF nội tiếp Hướng dẫn giải Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem toán nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT �  ECB �  EBC � �  BAF � (góc ngồi Cách 1: Ta có BEP (góc ngồi ) mà ECB tứ giác ABCE nội tiếp) �  EAC �  DAF � EBC P �  BAF �  DAF �  BAD � nên BEP Mà tứ giác ABFD nội tiếp nên E A C �  BFD �  1800 BAD D �  BFP �  1800  BEP O O' F  BEPF tứ giác nội tiếp B �  PFB �  PEF � � �  ABC � � �  1800 Cách 2: Có PEB AEB  PFB ACB  CAB (Tổng góc tam giác ABC) Nhận xét:Để chứng minh tổng hai góc đối tứ giác có số đo 1800 ta nghĩ tới tổng ba góc tam giác  Phương pháp 2: Nếu tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện tứ giác nội tiếp đường tròn (Phương pháp coi hệ phương pháp 1) Bài tập mẫu 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O); I điểm cung AB ( Không chứa C D) IC, ID cắt AB tương ứng E F Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp Hướng dẫn giải Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem toán nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT A F �C �: Hãy F 1 I B E   �  sdAD �  sdIB � F �  sdIA �  sdID � C �  sdAD 2  C  D Bài tập mẫu 2:Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Kẻ HD vng góc với AB D; HE vng góc với AC E Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp Hướng dẫn giải � Hãy ra: � ADE  � AHE  ECB A � � hoặc: � ADE  BAH  ECB E D H B C Bài tập mẫu 3:Cho tam giác ABC vuông A; đường cao AH Trên AC lấy điểm D BD cắt AH M Qua A vẽ đường thẳng vuông góc BD N cắt BC P Chứng minh rằng: A a Tứ giác MNPH nội tiếp b Tứ giác NDCH nội tiếp Hướng dẫn: M B a Sử dụng phương pháp 1, tính tổng số đo hai góc: � � MNP MHD � góc C � b Chỉ góc ngồi N 1 � � � N � P �C � ( PM // AC, vng góc AB) N A1  C 1 1 Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem tốn nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) H N D 1 P C Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT *Phương pháp 3: Nếu tứ giác có hai đỉnh kề nhìn đoạn thẳng nối hai đỉnh cịn lại góc  tứ giác nội tiếp đường tròn Bài tập mẫu 1: Cho bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự nằm đường trịn (O); I điểm cung AB( Không chứa C D) IC kéo dài cắt AD kéo dài E; ID kéo dài cắt BC kéo dài F Chứng minh a.Tứ giác CDEF nội tiếp, b AB//EF E Hướng dẫn: F a Để chứng minh tứ giác CDEF nội phương pháp ta chọn cạnh A I tứ giác chứng minh đỉnh khơng thuộc cạnh B nhìn cạnh chọn góc Chẳng hạn ta chọn cạnh DC, hai đỉnh E F nhìn đoạn DC hai góc có số đo D Trong toán ta chọn cạnh EF chứng C �  ECF �  sdAI �  sdBI � Là phù hợp minh EDF 2 �  DEF � (Cùng bù với BCD � ) b Chứng minh: DAB Bài tập mẫu 2: �  450 cho tia Ax cắt BD, Cho hình vng ABCD; dựng góc xAy BC P Q; Tia Ay cắt BD, CD F E Chứng minh rằng: a Tứ giác ABQF nội tiếp A B P b Tứ giác APED nội tiếp Q Hướng dẫn: F Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem tốn nhàD ĐT: E 0918.972.605(Zalo) C Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT a Hãy hai đỉnh A B nhìn đoạn QF hai góc 450 b Hãy hai đỉnh A D nhìn đoạn EP hai góc 450 Bài tập mẫu 3: A Cho tam giác ABC cân A Các trung tuyến AH, BE, CF cắt G Gọi M trung điểm BG; N trung điểm FG Chứng minh tứ giác CMNE nội tiếp F E N Hướng dẫn: G Hãy hai đỉnh M C nhìn đoạn NE M B �  NME �  NCE � ) góc.( ABE C H  Phương pháp 4: Chứng minh đỉnh tứ giác cách điểm cố định Bài tập mẫu 1: B Cho hình thoi ABCD cạnh có độ dài a Gọi M, M N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh MNPQ tứ giác nội tiếp O A Hướng dẫn: N P Q Gọi O giao điểm hai đường chéo, theo tính D chất hình thoi trung tuyến thuộc cạnh huyền tam giác vuông ta có OM = ON = OP = OQ  tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn (O;OM) Nhận xét: Đối với tốn ta hồn tồn chứng minh theo phương pháp khác Nhìn chung, ta chứng minh tứ giác nội tiếp phương pháp chứng minh Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem toán nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) C Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT phương pháp kia, điều quan trọng cần hướng dẫn học sinh tìm phương pháp ngắn gọn, dễ hiểu Qua Bài tập mẫu chứng minh tứ giác nội tiếp ta thấy nhiều trường hợp tứ giác cần chứng minh nội tiếp thuộc hai dạng sau đây: D A N M B P Q C Đối với hình ta chứng minh tứ giác ABCD nội phương pháp tức có � ABC  � ADC  90o  90o  1800 Đối với hình ta chứng minh tứ giác MNPQ nội phương pháp hai đỉnh M,N nhìn PQ góc có số đo 90 Dạng 2: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐỂ CHỨNG MINH CÁC QUAN HỆ HÌNH HỌC Ghi nhớ: Khi tứ giác nội tiếp ta suy được: - Hai góc đối bù - Góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện - Các góc nt chắn cung Bài tập mẫu 1: N Cho đường tròn tâm (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD Gọi I điểm cung AB( Không I A P M D Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem tốn nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) 1 C B Q Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT chứa C D) IC cắt AB M cắt AD kéo dài N ID cắt AB P cắt BC kéo dài Q Chứng minh rằng: a Tứ giác PMCD nội tiếp b AB // NQ c IA2 = IB2 = IP.ID = IM.IC Hướng dẫn: � góc C � a Chỉ góc ngồi P 1 � Q � cách dựa b Chỉ cặp góc sole P 1 vào hai tứ giác nội tiếp: DNQC DPMC ( Hoặc xem cách chứng minh Bài tập mẫu - phương pháp dạng toán này) c Dựa vào cặp tam giác đồng dạng( Trường hợp góc - góc) AID : PIA � AI ID BI IC  ; BIC : MBI �   IA2 =IB2 = IP.ID = IM.IC PI IA MI IB *Bài tập mẫu 2:Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên AB lấy điểm C đường tròn (O) lấy điểm D ( D khác A B ) Gọi I điểm cung nhỏ BD IC cắt đường tròn điểm thứ hai E DE cắt AI K cắt đường thẳng qua C song song với AD F Chứng minh rằng: a Tứ giác AKCE nội tiếp D b CK  AD c CF = CB K 1 Hướng dẫn: �  KEC � a Chỉ KAC b Hãy chứng tỏ CK // BD cách �  DBA � ( � KCA AED ) A E 12 F � D � F �  Tứ giác BCEF nội tiếp c Ta có: CBE 1 Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem tốn nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) I C B Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT � E � êvav  CBF �E � Hơn F �F �  CBF � F �  CBF cân C  CF = CB a F 2 2 Bài tập mẫu 3: Cho đường trịn (O) M điểm nằm bên ngồi đường tròn Từ M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn( A, B tiếp điểm) Gọi C điểm cung nhỏ AB Từ C kẻ CD  AB D; CE  MA E CF  MB F Gọi I giao điểm CA DE; K giao điểm BC DF Chứng minh rằng: a Các tứ giác ADCE, DCFB nội A tiếp E b DC2 = CE.CF c IK // AB I O C D Hướng dẫn: a Tính tổng số đo hai góc đối M K F B diện b Chỉ hai tam giác: EDC  DFC theo trường hợp góc – góc: �  CAB �  CBF �  CDF � CED �  CAE �  CBA �  CFD � CDE c Chỉ hai cặp góc đồng vị nhau: + Chứng minh tứ giác ICKD nội tiếp �  CDK �  CED �  CAD �  CIK Bài tập mẫu : Cho đường tròn (O) M điểm nằm bên ngồi đường trịn Từ M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn( A, B hai tiếp điểm).Qua M vẽ cát tuyến MCD với đưòng tròn Gọi I trung điểm CD a Chứng minh tứ giác AIOB nội tiếp đường trịn Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem tốn nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT b Gọi K trung điểm AM Tia BK cắt đường tròn điểm thứ hai P Tia MP cắt đường tròn điểm thứ hai N Chứng minh rằng: AK2 = KP KB c Chứng minh AM // BN M K Hướng dẫn: A C a Chứng minh điểm M, A, I, O, B I nhìn đoạn OM góc D P O vuông  Tứ giác AIOB nội tiếp B b Chứng minh hai tam giác đồng N dạng: AKB   PKA �  KMN � c Chứng minh hai góc: MNB Từ hai tam giác AKB PKA đồng dạng suy hai tam giác BKM MKP đồng dạng theo trường hợp c.g.c Nhận xét: Để chứng minh tứ giác nội tiếp phần a/ người ta chọn thêm điểm với điểm đỉnh tứ giác sau chứng minh điểm thuộc đường tròn Bài tập mẫu : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O) đường kính AD Gọi I giao điểm AC BD H chân đường vng góc hạ từ I xuống AD M trung điểm ID Chứng minh rằng: a Các tứ giác ABIH, HICD nội tiếp b Tia CA tia phân giác góc BCH suy I tâm đường tròn nội tiếp BCH c Tứ giác BCMH nội tiếp Hướng dẫn: a Sử dụng phương pháp “tổng C hai góc đối 1800 ” B I Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem tốn nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) A H M D Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT � � b Chỉ BCA ACH cách: �  BDA � (hai góc nội tiếp chắn cung AB) � � (do BCA ACH  BDA tứ giác CDHI nội tiếp) �  Điểm I tâm đường Tương tự chứng minh BI phân giác CBH tròn nội tiếp tam giác BCH c Sử dụng phương pháp 3: x �  BMH � Chỉ BCH cách: �  ICH � �  IDH � BMH BCH A Bài tập mẫu : D Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao BD, CE tam giác ABC cắt H cắt đường tròn (O) M N Chứng minh: M N E B a Các tứ giác ADHE, BEDC nội tiếp b DE//MN c OA  DE Hướng dẫn: a.Chứng minh tứ giác nội tiếp dựa vào hai trường hợp đặc biệt nêu �  DBC �  MNC � � DE // MN b.Chứng minh DEC c.Chứng minh Cách 1: � ACN  � ABM � � AM  � AN  A điểm cung MN  OA  MN  OA  DE � � Cách 2: Kẻ tiếp tuyến Ax, chứng minh xAB ACB  � AED  Ax//DE, mà OA  Ax nên OA  DE Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem tốn nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) O C Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT III MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO: Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A điểm D nằm A B Đường trịn đường kính BD cắt BC E Các đường thẳng CD; AE cắt đường tròn điểm thứ hai F G Chứng minh rằng: a Tứ giác ADEC , AFBC nội tiếp b BE.BC = BD.BA c AC // FG d Các đường thẳng CA, FB, ED đồng quy e AF kéo dài cắt đường trịn đường kính BD điểm thứ hai S Chứng minh DE = DS Bài 2: Cho đường trịn (O), dây AB điểm C ngồi đường trịn nằm tia AB Từ điểm P cung lớn AB kẻ đường kính PQ cắt dây AB D Tia CP cắt đường tròn điểm thứ hai I AB cắt QI K Chứng minh rằng: a Tứ giác PDKI nội tiếp b CI.CP = CK.CD c IC phân giác góc ngồi đỉnh I tam giác AIB Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A Từ điểm D cạnh BC kẻ đường thẳng vng góc với BC Đường thẳng cắt AC F tia đối tia AB E Gọi H giao điểm BF CE Chứng minh rằng: a BH CE b Tứ giác EADC nội tiếp đường trịn Xác định tâm O bán kính đường tròn c Tia DH cắt đường tròn (O) K Chứng minh AK // BH d Chứng minh D di chuyển cạnh BC H di chuyển đường trịn cố định Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem tốn nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo môn Toán THCS-THPT Bài 4: � < 900 Các Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (0; R), A đường cao BH, CK cắt (O) D E Chứng minh điểm B, C, H, K nằm đường tròn Chứng minh DE // HK Chứng minh OA  HK Bài 5: Cho năm điểm thẳng hàng theo thứ tự A, B, C, D, E cho AB = BC = CD = DE = R Vẽ đường tròn ( C; 2R) ( B; R) Dây MN đường trịn ( B) Dây MN (C) vng góc với AD D AM cắt ( B) điểm thứ hai K a Chứng minh DK tiếp tuyến (B) b Tam giác DKM AMN tam giác ? giải thích ? c Chứng minh tứ giác KMDC nội tiếp đường trịn d Tìm diện tích hình giới hạn ba đường tròn (C; 2R) ; ( B; R) đường tròn ngoại tiếp tứ giác KMDC Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) đường kính AA’ Trên cạnh AB lấy điểm M cạnh AC kéo dài phía C lấy điểm N cho BM = CN Chứng minh tam giác MA’N cân Chứng minh tứ giác AMA’N nội tiếp Gọi I giao điểm MN BC Chứng minh I trung điểm MN Bài 7: Cho đường trịn (O) đường kính BC Dây AD không qua tâm cắt BC M Gọi E, F chân đường vng góc hạ từ B, C tới AD I, K chân đường vng góc hạ từ A, D tới BC Chứng minh: Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem toán nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT a Các tứ giác ABIE, CDFK, EKFI nội tiếp b EK//AC Bài 8: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB = 2R Gọi I trung điểm AO, đường thẳng vng góc với AB I cắt nửa đường trịn (O) K C điểm chạy đoạn IK, đường thẳng AC cắt nửa đường tròn điểm thứ hai M; BM cắt đường thẳng IK D Tiếp tuyến M nửa đường tròn cắt CD N a/ Chứng minh tứ giác MBIC nội tiếp đường tròn b/ Chứng minh tam giác NCM tam giác cân c/ Chứng minh AI.BI = CI.DI Bài 9: Cho đoạn thẳng AB điểm C nằm A B Trên nửa mặt phẳng bờ AB Vẽ hai tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I, tia vng góc với CI C cắt tia By K Đường trịn đường kính IC cắt IK P Chứng minh CPKB tứ giác nội tiếp Chứng minh AI.BK= AC.CB Chứng minh APB vuông Bài 10: Trên hai cạnh góc vng xOy lấy hai điểm A B cho OA = OB Một đường thẳng qua A cắt OB M (M nằm O B) Từ B hạ đường vuông góc với AM H cắt tia AO I Chứng minh tứ giác AOHB nội tiếp Chứng minh OI = OM Từ O kẻ đường vuông góc với BI K Chứng minh OK = KH Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem toán nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT VI HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BÀI TẬP THAM KHẢO: Bài A c Chỉ hai góc sole nhau: F S D � � �  GED � GFD ACD  GED e Chứng minh  BED = BSD ( c - g- c) G C B E E Bài K � �  PAB � c � BIC AIP  PAB A H Bài d H nhìn BC góc khơng đổi = 90 F B D Bài 6: C A Chỉ tứ giác A’ICN nội tiếp  � A ' IN  900 M  A’I  MN j O  I trung điểm MN I B Bài 7: Q �  BAE � �KIE � �� �  BCD a Ta có: �BAE  Tứ giác FIEK nội tiếp �� � BCD  EFK � � �  ICA � (1) b Tứ giác AIFC nội tiếp  IFA D A' I N F I B M K E �  IKE � (2) Tứ giác EIFK nội tiếp  IFA �  IKE � EK // AC Từ (1) (2)  ICA C A Bài 8: �  MBI � �  MCN � ( Cùng phụ với MDC � ) b NMC MBI Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem tốn nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) O C Xuctu.com – Chuyên cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT �  NCM �  NMC c ACI : DBI x A Bài 9: � � ) 2, AIC  BCK ( � phụ với ICK AIC  BCK 3, APB  ICK M Bài 10: B H Chỉ IOM vuông cân O �  OHI �  OAB �  450 OMI K I �  450 ) Chỉ OKH vuông cân K ( OHK TÌM ĐỌC BỘ SACH THAM KHAO TUYỂN SINH 10 NH: 2020-2021-MỚI NHẤT Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem toán nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo) y Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT + Cập nhật dạng toán Phương pháp + Cập nhật đề thi toàn quốc + Viết chi tiết dễ hiểu * Trọn gồm quyển, Giá 480.000 đồng => Free Ship, toán nhà Bộ phận bán hàng: 0918.972.605(Zalo) Đặt trực tiếp tại: https://forms.gle/ooudANrTUQE1Yeyk6 FB: facebook.com/xuctu.book/ Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem tốn nhà- ĐT: 0918.972.605(Zalo)