PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG KỲ THI TSĐH

2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG KỲ THI TSĐH Phần một: Các bài toán liên quan đến điểm c ực đại cực tiểu A) Cực đại c ực tiểu h à m s ố bậc 3: 3 2 axy bx cx d    * ) Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu là: y’=0 có 2 nghiệm phân biệt * ) Hoành độ điểm cực đại cực tiểu kí hiệu là 1 2 , x x khi đó 1 2 , x x l à 2 n g h i ệm của phương trì n h y ’ = 0 * ) Để tính tung độ điểm cực đại cực tiểu ta nên dùng phương pháp tách đạo hàm để tính phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu + Cơ sở của phương pháp này là: nếu hàm số bậc 3 đạt cực đại c ực tiểu tại 1 2 , x x t hì 1 2 ' ( ) ' ( ) 0f x f x  + Phân tích ' ( ) . ( ) ( )y f x p x h x  . Từ đ ó ta suy ra tại 1 2 , x x t hì 1 1 2 2 ( ); ( ) ( )y h x y h x y h x    l à đường thẳng đi q u a đi ểm c ực đại c ực tiểu + Kí hiệu k là hệ số góc của đường thẳng đi q u a điểm c ực đại cực tiểu * ) Các câu hỏi t h ường gặp liên quan đến đi ểm c ực đại c ực tiểu hàm số bậc 3 là: 1) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu của hà m s ố song song vớ i đường thẳng y=ax+b + Đi ều kiện l à : y ’ = 0 c ó 2 n g h i ê m p h â n b i ệt + Viết phương trì n h đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu + Giải đi ều kiện k = a 2) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu vuông góc với đường thẳng y=ax+b + Đi ều kiện l à : y ’ = 0 c ó 2 n g h i ê m p h â n b i ệt + Viết phương trì n h đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu + Giải đi ều kiện k = 1 a  Ví dụ 1) Tìm m để   3 2 7 3f x x mx x    có đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y=3x-7. Giải: h à m s ố có cực đại, cực tiểu  2 ' ( ) 3 2 7 0f x x mx    có 2 nghiệm p h â n b i ệt 2 21 0 21m m         . Thực hiện p h é p c h i a f ( x ) c h o f ’ (x) ta có:     2 1 1 2 7 . 21 3 3 9 9 9 m f x x m f x m x                 . Với 21m  t hì f ’ (x)=0 có 2 nghiệm x 1, x 2 phân biệt và hàm số f(x) đạt cực trị t ại x 1 ,x 2 . 3 Do 1 2 ( ) 0 ( ) 0 f x f x        nên     2 1 1 2 2 2 2 7 (21 ) 3 9 9 2 7 (21 ) 3 9 9 m f x m x m f x m x                . Suy ra đường thẳng đi q u a C Đ, CT có phươn g t r ì n h     2 2 7 : 21 3 9 9 m y m x     Ta có     2 2 2 21 21 21 3 7 2 3 45 21 .3 1 21 9 2 2 m m m y x m m m                                3 10 2 m   3) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điể m c ự c đ ạ i c ự c t i ể u t ạ o v ớ i t r ụ c O x m ộ t g ó c  + Đi ều kiện l à : y ’ = 0 c ó 2 n g h i ê m p h â n b i ệt + Viết phương trì n h đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu + Giải đi ều kiện tank   Ví dụ 1) Cho hàm số 23 23  mxxxy (1) với m là tham số thực Tìm m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân. Giải: Hàm số có cực trị khi và chỉ k h i y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ' 9 3 0 3m m        3 2 1 2 3 2 ( 1 ) . ' ( 2) 2 3 3 3 m m y x x mx x y x           Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trì n h 3 2)2 3 2 ( m x m y  Đường thẳng này cắt 2 trục Ox và Oy lần lượt tai                  3 6 ;0,0; )3(2 6 m B m m A Tam giác OAB cân khi và chỉ k h i OA OB 6 6 2( 3 ) 3 9 3 6 ; ; 2 2 m m m m m m            Với m = 6 thì OBA  so với điều kiện ta nhận 2 3 m Chú ý: Ta có thể giải bài toán theo cách: Đường thẳng qua CĐ, CT tạo với 2 trục tọa độ tam giác cân nên hệ số góc của đường thẳng là 9 ( ) 2 2 tan45 1 2 1 3 3 ( ) 2 m L m k m TM                     4 4) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu tạo với đường thẳng y=ax+b một góc  + Đi ều kiện l à : y ’ = 0 c ó 2 n g h i ê m p h â n b i ệt + Viết phương trì n h đường thẳng đi qua điểm cực đại cực ti ểu + Giải đi ều kiện tan 1 k a ka     Ví dụ ) Tìm m để   3 2 2 3 ( 1 ) (2 3 2) ( 1 )f x x m x m m x m m        có đường thẳng đi qua CĐ, CT tạo với 1 5 4 y x    một góc 45 0 . Giải: G ọi h ệ số góc của đường thẳng đi q u a C Đ, CT là k, khi đó từ đi ê u k i ện b à i t o á n s u y r a : 0 1 1 5 3 1 1 4 4 4 4 4 45 1 1 1 1 3 5 4 4 1 . 1 4 4 4 4 4 k k k k k tg k k k k k                                             3 5 5 3 k k           Hàm số có CĐ, CT 2 2 ( ) 3 6( 1 ) (2 3 2) 0f x x m x m m          có 2 nghiệm p h â n b i ệt 2 3 5 3 5 3 ( 3 1 ) 0 2 2 m m m m                              (*) Thực hiện p h é p c h i a f ( x ) c h o ) f ’ ( x t a c ó       2 1 2 ( ) ( 1 ) . ( ) 3 1 ( 1 ) 3 3 f x x m f x m m x m          v ới m t h o ả mãn đi ều kiện ( * ) t h ì f ’ ( x ) = 0 c ó 2 n g h i ệm p h â n b i ệt x 1 , x 2 và hàm số đạt ccực trị t ại x 1, x 2 . Do 1 2 ( ) 0 ( ) 0 f x f x        nên           2 1 1 2 2 2 2 ( 3 1 ) 1 3 2 3 1 1 3 f x m m x m f x m m x m                           Suy ra đường thẳng đi q u a C Đ, CT có phươn g t r ì n h       2 2 : 3 1 1 3 y m m x m            Ta có    tạ o với 1 5 4 y x    góc 45 0   2 2 3 1 1 3 m   m    kết hợp với đi ều kiện ( * ) t a c ó 3 15 2 m   5) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy tại A,B sao cho tam giác OAB có diện tích cho trước + Đi ều kiện l à : y ’ = 0 c ó 2 n g h i ê m p h â n b i ệt + Viết phương trì n h đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu + Tìm các giao đi ểm với c á c t r ục toạ đ ộ : Với t r ục Ox:Giải y = 0 t ì m x . V ới t r ục Oy giải x = 0 t ì m y . + / 1 . 2 MAB M AB S d AB Từ đ ó tính toạ đ ộ A, B sau đ ó giải đi ều kiện t h e o g i ả thiết 5 Ví dụ 1) Tìm m để đường thẳng qua cực đại cực tiểu của đồ thị hàm số 3 3 2y x mx   cắt đường tròn tâm I(1;1) bán kính bằng 1 tại A,B mà diện tích tam giác IAB lớn nhât. Giải: C ó : 2 ' 3 3y x m  có 2 nghiệm phân biệt khi 0m  . Khi đó tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị h àm số là     ;22 , ;22M m m x N m m x   - Phương trì n h đường thẳng MN là: 2 2 0mx y   - Đường thẳng MN cắt đường tròn tâm I tại A,B mà tam giác IAB có ˆ 2. . .sin 1 IAB S IAI B AIB  , dấu bằng xảy ra khi 0 ˆ 90A I B  , lúc đó khoảng cách từ I đến MN bằng 1 2 Do vậy ta có pt:   2 2 1 1 1 3 3 , 1 ; 1 2 2 2 2 4 1 m d I MN m m m           Ví dụ 2 ) Cho hàm số 3 3 2y x mx   Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A, B sao cho tam giác IAB có diện tích bằng 18 , trong đó   1 ; 1 I Lời giải: Ta có   2 2 ' 3 3 3y x m x m    . Để hàm số có CĐ và CT 0m  Gọi A, B là 2 cực trị thì     ;22 ; ;22A m m m B m m m   PT đường thẳng đi qua AB là:     4 2 2 2 2 2 m m y m m x m y mx m         Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB là   2 2 1 ; 4 1 m d I AB m    độ dài đoạn 3 4 16AB m m  Mà diện tích tam giác IAB là 3 2 2 1 1 18 4 16 18 2 4 1 m S m m m                   2 2 3 2 3 2 2 4 16 2 1 4 1 4.18 2 1 18 4 4 18 0 2 4 4 9 0 2 m m m m m m m m m m m m m                     6) Tìm điều kiện để điểm cực đại cực tiểu cách đều điểm M cho trước: + Đi ều kiện l à : y ’ = 0 c ó 2 n g h i ê m p h â n b i ệt + Viết phương trì n h đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trì n h để tính giá trị 1 2 ;y y ) + Giả sử đi ểm đi ểm c ực đại cực tiểu là A, B thì đi ều kiện l à M A = M B 7) Điều kiện để điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y=ax+b + Đi ều kiện l à : y ’ = 0 c ó 2 n g h i ê m p h â n b i ệt + Viết phương trì n h đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trì n h để tính giá trị 1 2 ;y y ) + Giả sử đi ểm đi ểm c ực đại cực tiểu là A, B thì đi ều kiện l à : Đường thẳng đi q u a đi ểm c ực đại cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = a x + b v à t r u n g đi ểm c ủa AB thuộc đường thẳng y=ax+b 6 Ví dụ 1) Tìm m để hàm số 3 2 2 ( ) 3f x x x m x m    có CĐ và CT đối xứng nhau qua   1 5 : 2 2 y x  . Giải: Hàm số có CĐ, CT   3 2 6 0f x x x m       có 2 nghiệm p h â n b i ệt 2 2 9 3 0 3 3m m m           . thực hiện p h é p c h i a f ( x ) c h o f ’ ( x ) t a c ó :     2 2 1 2 ( ) 1 ( ) 3 3 3 3 m f x x f x m x m        v ới 3m  t hì f’ (x) =0 có 2 nghiệm p h â n b i ệt x 1 , x 2 và hàm số f (x) đạt cực trị t ại x 1 , x 2 . Do     1 2 0 0 f x f x          nên         2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 3 3 3 m y f x m x m m y f x m x m                  . Suy ra đường thẳng đi q u a C Đ, CT có phươn g t r ì n h     2 2 2 : 3 3 3 m d y m x m    Các đi ểm c ực trị     1 1 2 2 ; , ;A x y B x y đ ố i x ứng nhau qua    1 5 : 2 2 y x d      và trung đi ểm I c ủa AB phải t h u ộc (d)     2 2 2 2 3 2 ; 1 0 3 0 ( 1 ) 0 2 1 5 3 .1 .1 3 3 2 2 I m x m m m m m m m                           Ví dụ 2 ) Cho hàm số   3 2 3 2 m y x x mx C    Tìm m để hàm số(C m ) có cực đại và c ực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều đường thẳng : 1 0d x y   Giải: Ta có 2 2 ' 3 6 ; ' 0 3 6 0y x x m y x x m        (1) Hàm số (C m ) có cực đại, cực tiểu khi và chỉ k h i p h ư ơ n g t r ì n h ( 1 ) c ó 2 n g h i ệm phân biệt 3m  Giả sử     1 1 2 2 ; , ;A x y B x y là hai điểm cực trị của hàm số (C m ), ( 1 2 , x x là 2 nghiệm của (1)). Vì 1 '. 2 1 2 3 3 3 3 x m m y y x                   và     1 2 ' ' 0y x y x  nên phương trì n h đường thẳng đi qua A,B là   2 1 2 ' 3 3 m m y x d           . Do đó các điểm A,B cách đều đường thẳng (d) trong 2 trường hợp sau: TH1: (d’) cùng phương với (d) 9 2 1 1 3 2 m  m           (không thỏa mãn) TH2: Trung điểm I của AB nằm trên (d). Do I là trung điểm của AB nên tọa độ I là: 7 1 2 1 2 1 2 2 x x x y y y m             . Vì I nằm trên (d) nên ta có 1 1 0 0m m     (thỏa mãn). Chú ý: Cần phân biệt rõ 2 khái niệm cách đều và đối xứng qua một đường thẳng. 8) Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu và k h o ảng cách giữa điểm cực đại cực tiểu max, min + Đi ều kiện l à : y ’ = 0 c ó 2 n g h i ê m p h â n b i ệt + Viết phương trì n h đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trì n h để tính giá trị 1 2 ;y y ) + Giả sử đi ểm đi ểm c ực đại c ực tiểu là A, B. Tính độ dài AB theo tham số. Dùng phươn g p h á p đạo hàm để tìm max, min Ví dụ 1) Tìm m để hàm số 3 2 1 ( ) 1 3 f x x mx x m     có khoảng cách giữa các điểm CĐ, CT là nhỏ nhất. Giải: D o   2 2 1 0f x x mx      có 2 1 0m      nên f’ (x) =0 có 2 nghiệm phân b i ệt x 1 , x 2 và h à m s ố đạt cực trị t ại x 1 , x 2 với c á c đi ểm c ực trị l à .     1 1 2 2 ; , ;A x y B x y Thực hiện p h é p c h i a f ( x ) cho f’(x) ta có:     2 1 2 2 ( ) . ( ) 1 1 3 3 3 f x x m f x m x m              Do 1 2 ( ) 0 ( ) 0 f x f x        nên     2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 1 3 3 2 2 ( ) 1 1 3 3 y f x m x m y f x m x m                                Ta có           2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 9 AB x x y y x x m x x               2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 4 4 1 1 9 4 4 2 13 4 4 1 1 4 1 9 9 3 x x x x m m m AB                                        Min AB= 2 13 3 xảy r a  m = 0 9) Tìm điều kiện để hoành độ điểm cực đại cực tiểu thoả mã n m ột hệ thức cho trước + Đi ều kiện l à : y ’ = 0 c ó 2 n g h i ê m p h â n b i ệt + Phân tích hệ rhức để áp dụng định l ý v i é t ( 1 2 , x x là hai nghiệm c ủa phương trình y’=0 Ví dụ 1) Tìm m để hàm số 3 2 1 ( ) 1 3 f x x mx mx    đạt cực trị tại x 1 , x 2 thoả mãn 1 2 8x x  8 Giải: Hàm số có CĐ, CT 2 ( ) 2 0f x x mx m       có 2 nghiệm p h â n b i ệt     2 0 0 1m m m m          v ới đi ều kiện n à y t h ì f ’ ( x ) = 0 c ó 2 n g h i ệm p h â n b i ệt x 1, x 2 và hàm số đạt cực trị t ại x 1 , x 2 với x 1 +x 2 =2m và x 1 x 2 =m. Ta có BPT: 2 1 2 1 2 8 64x x x x       2 2 2 1 2 1 2 4 4 4 64 16 0 1 65 1 65 2 2 x x x x m m m m m m                                 thoả mãn đi ều kiện     0 1m m  Ví dụ 2) Cho hàm số 13 23  mxxxy Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và k h o ảng cách từ điểm ) 4 11 ; 2 1 (I đến đường thẳng nối điểm cực đại và cực tiểu là lớn nhất Giải: Ta có mxxy  63' 2 . Hàm số có cực đại cực tiểu khi y’=0 có 2 nghiệm phân biệt 30'  m (0,25 điểm) - Chia đa thức y cho y’ ta có 1 3 )2 3 2 () 3 1 3 ('  m x mx yy . Lập luận suy ra đường thẳng đi qua cực đại cực tiểu là  1 3 )2 3 2 (  m x m y . Dễ dàng tìm được điểm cố định mà đường thẳng cực đại cực tiểu luôn đi qua là )2; 2 1 (A (0,25 điểm) - Hệ số góc của đường thẳng IA là 4 3 k . Hạ IH vuông góc với  ta có 4 5 /   IAdIH I Đẳng thức xảy ra khi IA (0,25 điểm) - Suy ra 3 41 2 3 2  k m 1 m (0,25 điểm) Ví dụ 3 ) C h o h à m s ố 3 2 2 3 3 3 ( 1 ) 4 1y x mx m x m m       (C) Tìm m để hàm số có hai cực trị là A, B cùng với gốc O tạo thành tam giác vuông tại O Giải:Điều kiện để hàm số có 2 cực trị là y’=0 có hai nghiệm phân biệt: 2 2 1 ' 3 6 3 ( 1 ) ' 9 0 1 x m y x mx m x m                 (0,25 điểm) Ta có 1 1 ' ( ) 2 3 1 3 3 y y x m x m     Gọi A, B là 2 điểm cực trị thì ( 1 ; 3 ) ; ( 1 ; 1 )A m m B m m    (0,25 điểm) Suy ra 2 1 ( 1 ; 3 ) ; ( 1 ; 1 ) 2 2 4 0 2 m OA m m OB m m m m m                       (0, 25 điểm) K ết luận: Có hai giá trị của m cần tì m l à m = - 1 h o ặc m=2 9 Ví dụ 4 ) T ì m c á c g i á t r ị của m để hàm số   3 2 2 1 1 . 3 3 y x m x m x 2     có cự c đ ạ i 1 x , cực tiểu 2 x đồng thời 1 2 ; x x là độ dài các cạnh góc vuông của 1 tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5 2 . Giải: Cách 1: Miền xác định: D R có 2 2 2 2 ' 3 ; ' 0 3 0y x mx m y x mx m          Hàm số có cực đại 1 x , cực tiểu 2 x thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ k h i P T ' 0y  có 2 n g h i ệm dương phân biệt, triệt tiêu và đổi dấu qua 2 nghiệm đó. 2 2 0 4 0 2 2 0 0 0 3 2 0 3 3 3 0 m m S m m m P m m m                                       (*) Theo Viet ta có: 1 2 2 1 2 3 x x m x x m          . Mà     2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 5 14 2 4 5 2 4 3 5 2 2 x x x x x x m m m             Đối chiếu ĐK(*) ta có giá trị 14 2 m  t hỏa yêu cầu bài toán. B) Cực đại c ực tiểu h à m s ố bậc b ốn: 4 2 axy bx c   . *) Đi ều kiện để hàm số bậc bốn c ó 3 c ực đại cực tiểu là y’=0 có 3 nghiệm p h â n b i ệt + Ta thấy h à m s ố bậc bốn t h ì y ’ = 0 l u ô n c ó m ột nghiệm x = 0 , để y’=0 có 3 nghiệm p h â n b i ệt sau khi tính đạo hàm ta cần t ì m đi ều kiện để phần phương trì n h b ậc 2 còn lại c ó 2 n g h i ệm p h â n b i ệt khác không. VD: 4 2 2 2 2y x mx   thì 3 2 ' 4 4 ' 0 0y x mx y x x m          đi ều kiện l à m < 0 *) Khi hàm số bậc bốn c ó 3 c ực trị l à A ( 0 ; c ) , 1 1 2 1 ( ; ); ( ; )B x y C x y thì đi ều đặc biệt là tam giác A B C l u ô n c â n t ại A ( H ọc sinh cần n ắm c h ắc đi ều này để vận d ụng trong giải t o á n ) *) Các câu hỏi t h ườn g g ặp trong phần n à y l à : 1) Tìm đi ều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân, hoặc đều + Tìm đi ều kiện để y’=0 có 3 nghiệm p h â n b i ệt + Tính toạ đ ộ 3 đi ểm c ực đại cực tiểu A, B,C. Lập luận c h ỉ r a t a m g i á c A B C l u ô n c â n t ại A . T í n h các véc tơ: , ,            AB AC BC + Tam giác ABC vuông cân . 0 AB AC          + Tam giác ABC đều AB BC 2) Tìm đi ều kiện để hàm số có 3 đi ểm c ực đại cực tiểu tạo thành tam giác có diện t í c h c h o t r ước + Tìm đi ều kiện để y’=0 có 3 nghiệm p h â n b i ệt + Tính toạ đ ộ 3 đi ểm c ực đại cực tiểu A, B,C. Lập luận c h ỉ r a t a m g i á c A B C l u ô n c â n t ại A . Tính các véc tơ: , ,AB AC BC            10 + Kẻ đường cao AH. + 1 . 2 AB C S AH BC   + Giải đi ều kiện Ví dụ 1) Tìm m để f(x)= 4 2 4 2 2 x mx m m    có CĐ, CT lập thành tam giác đều Giải: f ’ ( x ) =   2 2 4 0 0 x x m x x m       Hàm số có CĐ, CT  f’(x )=0 có 3 ng hiệm p h â n b i ệt  m > 0 Với m > 0 t h ì f ’ ( x ) = 0       4 2 1 4 2 4 2 3 ; 2 0 0 ; 2 ; 2 x m B m m m m x A m m x m C m m m m                      Suy ra BBT của hàm số y=f(x)  A B C đều 2 2 2 2 0 0 m m AB A C A B AC AB BC A B BC                     4 4 3 3 4 0 0 3 3 0 4 m m m m m m m m m m m m                       Ví dụ 2) Cho hàm số 4 2 2 2 2 4y x mx m    , m là tham số thực. Xác định m để hàm số có 3 cực trị tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng 1. Giải: Mxđ: D R . Có 3 ' 4 4y x mx  3 2 ' 0 4 4 0 0y x mx x x m        . Hàm số có 3 cực trị 0m  (*) Gọi       2 2 2 0 ; 2 4 , ; 4 , ; 4A m B m m C m m    là 3 điểm cực trị Nhận x é t t h ấy B,C đối xứng qua Oy và A thuộc Oy nên tam giác ABC cân tại A K ẻ AH BC có 2 1 . 2 2 2 2 . 1 2 A B C B A B S AH BC y y x m m m          . Đối chiếu v ới điều kiện (*) có 1m  là giá trị c ầ n t ì m . Ví dụ 3) Cho hàm số   4 2 2 2 1 1.y x m x m     Tìm m để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị và ba điểm cực trị này tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất. Giải:   3 2 2 2 ' 4 4 1 0 0, 1y x x m x x m        h à m s ố có 3 cực trị 1 1m    . Khi đó tọa độ điểm cực đại là   0 ; 1A m , tọa độ hai điểm cực tiểu là     2 2 2 2 1 ; 1 , 1 ; 1B m m C m m     diện tích tam giác ABC là     2 2 1 ; . 1 1 2 ABC S d A BC BC m    . Dấu “=” xày ra khi 0m  ĐS: 0m  11 Ví dụ 4) Cho hàm số 4 2 2 2y x mx   có đồ thị (C m ). Tìm tấ t c ả c á c g i á t r ị c ủ a t h a m s ố m để đồ thị (C m ) có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua 5 5 3 9 ;D       Giải: C ó   3 ' 4 4 0 0 ; 0y x mx x x m m        . Vậy các điểm thuộc đường tròn (P) n g o ại tiếp các điểm cực trị là       2 2 3 9 0 ; 2 , ; 2 , ; 2 , ; 5 5 A B m m C m m D            . Gọi   ;I x y là tâm đường tròn (P)       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 0 2 2 0 ; 1 ; 0( ), 1 2 2 x y IA ID IB IC x y x m x y m L m IB IA x m y m x y                                    Vậy 1m  là giá trị c ầ n t ì m . Phần hai: Các bài toán liên quan đến tiếp tuyến v à c á c đường tiệm c ận *) Xét hàm số ( )y f x .Giả sử 0 0 ( ; )M x y là tiếp đi ểm k h i đó tiếp tuyến t ại M c ó d ạng 0 0 0 ' ( )( )y f x x x y   (1) ( Chú ý rằng trong trường hợp tổng quát ta thường biểu diễn 0 y theo dạng 0 ( )f x ) Ví dụ: Xét đi ểm M b ất kỳ t h u ộc đ ồ thị h à m s ố 2 1 1 x y x    khi đ ó đi ểm M c ó t o ạ đ ộ là 0 0 0 2 1 ( ; ) 1 x M x x   *) Ta gọi h ệ số góc của tiếp tuyến t ại t i ếp đi ểm M l à 0 ' ( )k f x *) Đường thẳng  bất kỳ c ó h ệ số góc k đi q u a 0 0 ( ; )M x y có dạ n g 0 0 ( )y k x x y   . Đi ều kiện để  là tiếp tuyến c ủa hàm số y=f(x) là hệ phương trì n h s a u c ó n g h i ệm 0 0 ( ) ( ) ' ( ) k x x y f x k f x        Khi đó số nghiệm của hệ cũng chính là số tiếp tuyến kẻ được từ đi ểm M đến đồ thị h à m s ố y = f ( x ) *) Mọi b à i t o á n v i ết phương trì n h t i ếp tuyến đều quy về việc tìm tiếp đi ểm s a u đó viết phương trình theo (1) *) Các dạng câu hỏi t h ường gặp trong phần n à y l à 1) Viết phương trình tiếp tuyến biết t i ếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b: + Xét hàm số y=f(x). Gọi 0 0 ( ; )M x y là tiếp đi ểm, suy ra tiếp tuyến tại M c ó d ạng 0 0 0 ' ( )( )y f x x x y   (1). Tiếp tuyến tại M c ó h ệ số góc là 0 ' ( )k f x + Tiếp tuy ến song song với đường thẳng y=ax+b nên 0 ' ( )k f x a  . Giải phương trì n h t ì m 0 x sau đó viết phương trì n h t i ếp tuyến theo (1) [...]... nhẩm nghiệm tách phương trình tạo dạng tích: ( x  x0 ).G ( x)  0 trong đó G(x) là tam thức bậc 2 theo x Từ đó ta biện luận theo pt G(x)=0 Tuy nhiên trong một số bài toán ta không thể nhẩm được nghiệm Khi đó ta cần sử dụng các điều kiệ tương giao sau để giải toán + Hàm số : y=ax3+bx2+cx+d cắt trục Ox tại đúng một điểm khi và chỉ khi hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến hoặc hàm số có cực đại và... kiện để hàm số y=f(x) tiếp xúc với đồ thị y=g(x) là hệ phương trình sau có nghiệm  f ( x)  g ( x )   f '( x)  g '( x ) + Điều kiện để hàm số y=f(x) tiếp xúc với trục Ox là hệ sau có nghiệm  f ( x)  0   f '( x)  0 26 3) Điều kiện tương giao của hàm số bậc 3: y=ax3+bx2+cx+d * Khi giải các bài tập về tương giao đường thẳng y=mx+n và đồ thị hàm số y=ax3+bx2+cx+d ta thường sử dụng phương pháp nhẩm... hà số y  Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận Tìm m để tiếp tuyến xm bất kỳ của hàm số cắt hai tiệm cận tại A,B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 64 Giải: Dễ thấy đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x  m và đường tiệm cận ngang là y  2m Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là: I  m, 2m   2mx0  3  Gọi M  x0 ;  (với x 0  m ) là điểm bất kỳ thuộc đồ thị hàm số. .. 32  12    4)Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc  16 + Xét hàm số y=f(x) Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng y  f '( x0 )( x  x0 )  y0 (1) Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là k  f '( x0 )  f '( x0 )  tan  + Tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc   f '( x0 )  tan    Giải tìm x0 sau  f '( x0 )   tan  đó viết phương trình tiếp tuyến...  0  x0  0 x  0   0 2 2  x0  2  y0  1  M  2;1 8) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang tại A, B mà chu vi tam giác IAB nhỏ nhất *) Để giải quyết dạng bài tập này học sinh cần nắm được một kết quả quan trọng sau: (Trong hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất tiếp tuyến bất kỳ cắt 2 tiệm cận tại A,B thì diện tích tam giác IAB không đổi) Vận dụng... 1)  0    Vậy với mọi m phương trình luôn có nghiêm duy nhất Ví dụ 3) Giả sử đồ thị hàm số y  x3  6 x 2  9 x  d cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt x1  x2  x3 Chứng minh 0  x1  1  x2  3  x3  4 Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số với trục Ox là : x3  6 x 2  9 x  d  0 (*) Điều kiện (*) có 3 nghiệm phân biệt là đường thẳng y=d cắt đồ thị hàm số y   x3  6 x 2  9 x Tại... Cho hàm số y  x3  2mx 2  3(m  1) x  2 (1), m là tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng  : y   x  2 tại 3 điểm phân biệt A(0;2) ; B; C sao cho tam giác MBC có diện tích 2 2 , với M (3;1) Giải: 30 Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với () là: x 3  2mx 2  3(m  1) x  2   x  2 x  0  y  2  2  g ( x )  x  2mx  3m  2  0(2) Đường thẳng () cắt đồ thị hàm số (1)... x3  4 Kết luận: Đáp số m=2 6) Điều kiện để hàm số bậc bốn có 4 nghiệm lập thành cấp số cộng Xét phương trình ax 4  bx 2  c  0 (1) Đặt t  x 2 (t  0) để phương trình (1)có 4 nghiệm lập thành cấp số cộng thì phương trình at 2  bt  c  0 (2) phải có 2 nghiệm dương phân biệt t1 , t2 Giả sử ( t1  t2 ) khi đó 4 nghiệm của (1) là  t2 ,  t1 , t1 , t2 vì 4 nghiệm lập thành cấp số cộng nên   t2 ... Cùng với (1)  m  0 2) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b + Xét hàm số y=f(x) Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng y  f '( x0 )( x  x0 )  y0 (1) Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là k  f '( x0 ) 1 + Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b nên k  f '( x0 )   Giải phương trình tìm a x0 sau đó viết phương trình tiếp tuyến theo... x  và y   x  2 2 của phương trình y ( x)  1  1 2 5) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng y=ax+b một góc  + Xét hàm số y=f(x) Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng y  f '( x0 )( x  x0 )  y0 (1) Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là k  f '( x0 )  k a 1  ka  tan  k a + Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y=ax+b một góc    tan    1