Bài tập tính tấm phẳng phương pháp phần tử hữu hạn

Bài tập 49I- Tính tấm phẳng.. + Tính chuyển vị các nút.. + Xác định vectơ ứng suất trong các phần tử.. Bài làm a t Hình vẽ đề bài Chọn hệ trục toạ độ nh hình vẽ.. Chia kết cấu thành 8 ph

Bài tập 49

I- Tính tấm phẳng.

- Số liệu:

+ Kích thớc hình học: a = 3m

+ Bề dày tấm: t = 10 cm = 0,1 m

+ Vật liệu: E = 1,2.106 N/cm2 = 1,2.107 kN/m2,

ν = 0,18

+ Tải trọng: P = 20 kN/m,

q = 5 kN/m2 Vậy tải trọng tác dụng lên toàn bộ bề dày tấm:

P = 2 kN,

q = 0,5 kN/m

- Yêu cầu:

+ Chia kết cấu thành ít nhất 8 phần tử tam giác

+ Tính chuyển vị các nút

+ Xác định vectơ ứng suất trong các phần tử

Bài làm

a

t

Hình vẽ đề bài

Chọn hệ trục toạ độ nh hình vẽ Chia kết cấu thành 8 phần tử tam giác, nh vậy kết cấu có 9 nút Lực phân bố q đợc phân tích thành 2 thành phần qx và qy

với giá trị:

qx = qy = q.sin450 Rời tải trọng trên biên các phần tử về các nút

Các phần tử đều thuộc 1 trong 3 loại sau đây:

- Loại I (phần tử 1, 4), có ma trận độ cứng:

[k]I =

437164.1 -182927 182926.8 -71310.5 -620091 254237.3 -182927 437164.1 71310.46 -182927 111616.4 -254237 182926.8 71310.46 437164.1 182926.8 -620091 -254237 -71310.5 -182927 182926.8 437164.1 -111616 -254237 -620091 111616.4 -620091 -111616 1240182 0 254237.3 -254237 -254237 -254237 0 508474.6

- Loại II (phần tử 2, 5, 6, 8), có ma trận độ cứng:

[k]II =

508474.6 0 -254237 -254237 -254237 254237.3

0 1240182 -111616 -620091 111616.4 -620091 -254237 -111616 437164.1 182926.8 -182927 -71310.5 -254237 -620091 182926.8 437164.1 71310.46 182926.8 -254237 111616.4 -182927 71310.46 437164.1 -182927 254237.3 -620091 -71310.5 182926.8 -182927 437164.1

- Loại III (phần tử 3, 7), có ma trận độ cứng:

[k]III =

437164.1 -182927 -254237 111616.4 -182927 71310.46 -182927 437164.1 254237.3 -620091 -71310.5 182926.8 -254237 254237.3 508474.6 0 -254237 -254237 111616.4 -620091 0 1240182 -111616 -620091 -182927 -71310.5 -254237 -111616 437164.1 182926.8 71310.46 182926.8 -254237 -620091 182926.8 437164.1

Ma trận độ cứng tổng thể: [K]tt =

437164.12 -182926.83 182926.83 -71310.46 -620090.95 254237.29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -182926.83 437164.12 71310.46 -182926.83 111616.37 -254237.29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 182926.83 71310.46 1748656.47 0 -874328.23 -365853.66 -365853.66 0 -874328.23 365853.66 182926.83 -71310.46 0 0 0 0 0 0 -71310.46 -182926.83 0 1748656.47 -365853.66 -874328.23 0 365853.66 365853.66 -874328.23 71310.46 -182926.83 0 0 0 0 0 0 -620090.95 111616.37 -874328.23 -365853.66 1748656.47 0 -254237.29 254237.29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 254237.29 -254237.29 -365853.66 -874328.23 0 1748656.47 111616.37 -620090.95 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 -365853.66 0 -254237.29 111616.37 1382802.81 0 -508474.58 -365853.66 0 0 0 0 -254237.29 254237.29 0 0

0 0 0 365853.66 254237.29 -620090.95 0 2114510.13 -365853.66 -1240181.89 0 0 0 0 111616.37 -620090.95 0 0

0 0 -874328.23 365853.66 0 0 -508474.58 -365853.66 3131459.28 0 -874328.23 -365853.66 -508474.58 365853.66 -365853.66 0 0 0

0 0 365853.66 -874328.23 0 0 -365853.66 -1240181.89 0 3863166.6 -365853.66 -874328.23 365853.66 -1240181.89 0 365853.66 0 0

0 0 182926.83 71310.46 0 0 0 0 -874328.23 -365853.66 874328.23 365853.66 -182926.83 -71310.46 0 0 0 0

0 0 -71310.46 -182926.83 0 0 0 0 -365853.66 -874328.23 365853.66 874328.23 71310.46 182926.83 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 -508474.58 365853.66 -182926.83 71310.46 1382802.81 0 -508474.58 -365853.66 -182926.83 -71310.46

0 0 0 0 0 0 0 0 365853.66 -1240181.89 -71310.46 182926.83 0 2114510.13 -365853.66 -1240181.89 71310.46 182926.83

0 0 0 0 0 0 -254237.29 111616.37 -365853.66 0 0 0 -508474.58 -365853.66 1382802.81 0 -254237.29 254237.29

0 0 0 0 0 0 254237.29 -620090.95 0 365853.66 0 0 -365853.66 -1240181.89 0 2114510.13 111616.37 -620090.95

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -182926.83 71310.46 -254237.29 111616.37 437164.12 -182926.83

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -71310.46 182926.83 254237.29 -620090.95 -182926.83 437164.12

Ma trận độ cứng rút gọn: [K] =

Vectơ tải trọng nút:

P1x

=

0.1875

Giải hệ phơng trình:

[K]{∆} = {P} + {R}

trong đó [K], {∆}, {P} và {R} đã đợc rút gọn, ta đợc:

Vectơ chuyển vị nút:

u1

=

0

Thay các chuyển vị nút vào hệ phơng trình sau để xác định các phản lực:

{P} + {R} = [K]pl.{∆} trong đó {P}, {R}, {∆} đã đợc rút gọn, [K]pl đợc lấy từ [K]tt:

[K]pl =

Giải hệ phơng trình này ta đợc:

Rx1 = -2.2700988302 Ry1 = 1.2796430733 Rx2 = -2.4598023396 Ry2 = 1.6219884682 Rx6 = 3.2299011698 Ry6 = 0.5983684586 (kN)

Để tính ứng suất trong phần tử ta sử dụng công thức sau:

{σ} = [S].{δ}e

Trong đó: {δ}e - vectơ chuyển vị nút của phần tử,

[S] - ma trận tính ứng suất

Ma trận tính ứng suất của phần tử loại I:

[S]I = -8267879-1488218 1488218 -8267879 -1488218 165357598267879 -1488218 -8267879 2976437 00

3389831 -3389831 -3389831 -3389831 0 6779661

Ma trận tính ứng suất của phần tử loại II:

[S]II = 00 16535759 -1488218 -8267879 1488218 -82678792976437 -8267879 -1488218 8267879 -1488218

6779661 0 -3389831 -3389831 -3389831 3389831

Ma trận tính ứng suất của phần tử loại III:

[S]III = -8267879 1488218-1488218 8267879 0 -2976436.54 8267879 14882180 -16535758.6 1488218 8267879

3389831 -3389831 -6779661 0 3389831 3389831

Vect¬ øng suÊt trong phÇn tö 1:

σx

= 32.2099433156

σy 5.7977897968

τxy -23.32602549 Vect¬ øng suÊt trong phÇn tö 2:

30.8598125840

18.3260254900

-27.2099433156

Vect¬ øng suÊt trong phÇn tö 3:

24.5835743096

-16.5419649232

-14.6063971576

Vect¬ øng suÊt trong phÇn tö 4:

-5.9822799645

-1.0768103936

-19.8532504587

Vect¬ øng suÊt trong phÇn tö 5:

-50.1862588980

15.0824771640

-10.1089085399

Vect¬ øng suÊt trong phÇn tö 6:

16.1924728564

33.3421654432

-29.0234665258

Vect¬ øng suÊt trong phÇn tö 7:

6.0433730729

-23.0417222426

-3.8180379031

Vect¬ øng suÊt trong phÇn tö 8:

-13.7206372760

39.6126960574

-18.7206372760