lời giải bài tóan sóng nước dùng phép biến đổi miền và phương pháp phần tử hữu hạn

lời giải bài tóan sóng nước dùng phép biến đổi miền và phương pháp phần tử hữu hạn tài liệu, giáo án, bài giảng , luận v...

TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 14, SỐ T5 2011 Trang 5 LI GII S BÀI TỐN SĨNG NƯC DÙNG PHÉP BIN ĐI MIN VÀ PHƯƠNG PHÁP PHN T HU HN Trnh Anh Ngc, Huỳnh Thân Phúc Trưng Đi hc Khoa hc T nhiên, ĐHQG-HCM (Bài nhn ngày 21 tháng 03 năm 2011, hồn chnh sa cha ngày 03 tháng 04 năm 2012) TĨM TT: Trong bài này, phương pháp bin đi min kt hp vi phương pháp phn t hu hn đ gii s bài tốn sóng nưc. Mt thí d s đưc trình bày đ minh chng hiu qu ca phương pháp. T khóa : phương pháp phn t hu hn, gii s bài tốn sóng nưc. M ĐU Bài tốn sóng nưc có nhiu ng dng quan trng trong nhiu ngành k thut và trong đi sng. Vì th, vic mơ hình hóa và gii s cho bài tốn này đã và đang đưc quan tâm, nghiên cu rng rãi. Đã có nhiu gii pháp đưc đ ngh nhm gii quyt bài tốn này. Có th k ra đây hai trong s các đ ngh đó: - Phương pháp Lagrange-Euler tùy ý [1,2,4]). - Phương pháp bin đi min, min vt lý đưc đưa v min tính tốn c đnh. Trong [6], A. Pawell và các đng s đã dùng phương pháp bin đi min, áp dng phương pháp sai phân hu hn và phương pháp s cho phương trình vi phân đ gii quyt bài tốn sóng mt t do. Trong bài báo này, cũng da trên phương pháp bin đi min, nhưng áp dng phương pháp phn t hu hn và các phương pháp Euler đ gii s. Cũng cn nhn mnh đây, trong [6], các tác gi ch! bin đi ta đ theo phương X, còn phương Y v"n gi ngun. Như vy, min c#a bài tốn v"n b thay đi theo thi gian do s chuyn đng c#a mt t do. Trong bài này, chúng tơi bin đi min theo c hai phương X và Y. PHƯƠNG PHÁP Bài báo đưc t chc như sau Mc 2 gii thiu mơ hình bài tốn, và cách bin đi bài tốn v bài tốn có min xác đnh c đnh. Mc 3 trình bày lưc đ tính tốn, gii bài tốn bng phương pháp lp theo bưc thi gian. $ m%i bưc lp, gii tun t hai bài tốn: (1) bài tốn biên cho phương trình đo hàm riêng cp 2 theo hai bin khơng gian (x, y); (2) bài tốn biên-giá tr đu cho phương trình đo hàm riêng phi tuyn cp 1 theo mt bin khơng và thi gian (x, t). Tip theo, gii thiu phương pháp ri rc hóa cho hai bài tốn, bài tốn (1) dùng phương pháp phn t hu hn (phn t t giác 4-nút), bài tốn (2) dùng phương pháp đưng (line method) d"n v bài tốn Cauchy cho h phương trình vi phân vectơ cp 1, có th gii bng các phương pháp s thơng dng như phương pháp Euler, phương pháp Euler ci tin. Mc 4 cho mt thí d s đ minh chng Science & Technology Development, Vol 14, No.T5 2011 Trang 6 tính hiu qu c#a phương pháp. Cui cùng là kt lun và hưng phát trin. KT QU Bài toán Thùng hình hp ch nht cha ñy cht l&ng (nưc), ñáy nm ngang, mt trên là mt thoáng, các mt bên vuông góc vi ñáy. Mt mt bên có th chuyn ñng tnh tin song song vi mt ñi din. $ trng thái tĩnh khi cht l&ng có ñ sâu h (Hình 1). Bài toán ñt ra là tìm chuyn ñng c#a khi cht l&ng, ñc bit, chuyn ñng c#a mt thoáng khi bit chuyn ñng c#a mt bên. Gi thit chuyn ñng c#a cht l&ng không thay ñi theo phương Z. Mt bên chuyn ñng theo phương OX, phương trình: ( ) X a t = . Mt thoáng có phương trình: ( , ) Y X t η = . Min vt lý c#a bài toán ti thi ñim t (Hình 2): ( ) { } , ( ) , ( , ) t X Y a t X K h Y X t η Ω = ≤ ≤ − ≤ ≤ , vi biên: : ( ) , b a t X K Y h Γ ≤ ≤ = − ; : ( ) , ( , ) f a t X K Y X t η Γ ≤ ≤ = ; : ( ), ( ( ), ) l X a t h Y a t t η Γ = − ≤ ≤ ; : , ( , ) r X K h Y K t η Γ = − ≤ ≤ . Hình 1. Mô hình bài toán sóng nưc 2-chiu Hình 2. Min vt lý Phương trình ch ño Gi thit: cht l&ng không nén ñưc, không nht, không xoáy, nên tn ti hàm th vn tc ( , , ) X Y t Φ = Φ . Phương trình không nén ñưc cho phương trình xác ñnh hàm th: 0 ∆Φ = . (1) Điu kin biên Dùng gi thit không thm trên hai biên cng c ñnh , b r Γ Γ và biên cng di ñng l Γ vi vn tc ( ) ( ),0 a t & , ta có: 0 Y ∂Φ = ∂ trên b Γ , (2) 0 X ∂Φ = ∂ trên r Γ , (3) TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 14, SỐ T5 2011 Trang 7 ( ) a t X ∂Φ = ∂ & trên l Γ . (4) Trên mt thống f Γ s dng hai điu kin: - Điu kin đng hc liên quan đn hình hc c#a biên, ; η η ∂ ∂Φ ∂Φ ∂ = − ∂ ∂ ∂ ∂ t Y X X (5) - Điu kin đng lc hc mơ t chuyn đng c#a mt thống, thu đưc t( phương trình Bernoulli, 2 ( , ) 0, 2 η ∇Φ ∂Φ + + = ∂ g X t t (6) Trong đó g là gia tc trng trưng. Như [6], đưa vào hàm ( , ) ( , ( , ), ) W X t X X t t η = Φ là hình chiu c#a hàm th vn tc lên mt thống c#a cht l&ng. T( (5), (6) ta thu đưc: 2 1 , η η η   ∂ ∂ ∂ ∂Φ ∂   = − + +     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂       W t X X Y X (7) 2 2 2 1 1 1 . 2 2 η η   ∂ ∂ ∂Φ ∂       = − + + −         ∂ ∂ ∂ ∂           W W g t X Y X (8) Như vy, điu kin biên c#a hàm Φ trên f Γ có th ly là W Φ = trên . Γ f (9) Điu kin đu Lúc đu cht l&ng đng n, nên điu kin đu cho hàm W: ( ,0) 0. = W X (10) Mt thống nm ngang nên ( ,0) 0. η = X (11) Bin đi bài tốn Dùng phép bin đi ta đ ( , ) ( , ) X Y x y a , ( ) , ( ) − = − X a t x K a t . ( , ) η + = + Y h y X t h (12) Khi đó, min t Ω thành min c đnh [0,1] [0,1] Q = × . Các biên , , , b r f l Γ Γ Γ Γ ln lưt thành 1 2 3 4 , , , C C C C c#a Q (Hình 3). Hình 3. Phép bin đi min Ký hiu: ( , , ) ( , , ), ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) x y t X Y t wxt W X t s x t X t ϕ η =Φ = = Ma trn Jacobi c#a phép bin đi: 1 ( ) 11 12 1 21 22 [ ( , ) ][ ( )] ( , ) 0 . − − ∂ + − ∂ +     = =           K a t y s s x t h K a t x s x t h G G G G G (13) Bin đi phương trình và điu kin Phương trình (1) thành 2 2 2 2 2 2 0. ϕ ϕ ϕ ϕ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ A B C D x x y y y (14) trong đó Science & Technology Development, Vol 14, No.T5 2011 Trang 8 2 2 2 21 21 11 11 21 21 22 11 21 , , , . ∂ ∂ = = = + = + ∂ ∂ G G A G B G G C G G D G G x y (15) Phương trình (7)-(8) thành: 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 ( )(1 ) 1 , ϕ   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   = − + + −     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂       & s s s w s a t x G G G G t x y x x x (16) 2 2 2 2 2 2 11 22 11 11 ( )(1 ) 1 . 2 2 ϕ     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     = − − + + −         ∂ ∂ ∂ ∂ ∂           & G Gw w w s a t x G G gs t x x y x (17) Điu kin biên: ( ,0, ) 0 ϕ ∂ = ∂ x t y trên 1 C , (18) 11 21 (1, , ) (1, , ) 0 ϕ ϕ ∂ ∂ + = ∂ ∂ G y t G y t x y trên 2 C ,(19) ( ,1, ) ( , ) ϕ = x t w x t trên 3 C , (20) 11 21 (0, , ) (0, , ) ( ) ϕ ϕ ∂ ∂ + = ∂ ∂ & G y t G y t a t x y trên 4 C .(21) Điu kin ñu: ( ,0) 0, ( ,0) 0 w x s x = = . (22) Phương pháp tính Lưc ñ tính toán Bài toán bin ñi cha hai bài toán con: (a) bài toán gm phương trình (14) vi ñiu kin biên (18)-(21), và (b) bài toán gm h phương trình (16)-(17) vi ñiu kin ñu (22). Vic gii ñng thi hai bài toán này gp rt nhiu khó khăn do các h s c#a phương trình ño hàm riêng (14) không phi là hng s mà ph thuc vào các d liu cho trưc , , ( ) K h a t và hàm ( , ) s x t chưa bit. Cũng vy, phương trình xác ñnh ( , ) s x t có mt hàm cn tìm ( , , ) x y t ϕ và mt d"n xut c#a nó, ( , ) w x t . Đ vưt qua khó khăn này ta dùng phương pháp lp gii liên tip (a) và (b). Phân hoch khong thi gian kho sát [0, ] T thành N khong con 1 [ , ] m m t t − , vi 0 1 2 1 0 N N t t t t t T − = < < < < < = L . Kh i ñu, bit 0 0 ( ) : ( ,0) 0, ( ) : ( ,0) 0 w x w x s x s x = ≡ = ≡ Bưc th m ( 1 m ≥ ), ñã bit 1 1 1 1 ( ) : ( , ), ( ): ( , ) m m m m w x w x t s x s x t − − − − = = (*) TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 14, SỐ T5 2011 Trang 9 (1) Gii bài tốn ( ) m a Tìm 1 1 ( , ): ( , , ) m m x y x y t ϕ ϕ − − = nghim bài tốn (a), trong đó các h s A, B, C, D trong phương trình (14), các điu kin biên (18)-(21) đưc tính vi ( ), ( , ) a t s x t đưc thay bng 1 1 ( ), ( ) m m a t s x − − . (2) Gii bài tốn ( ) m b Tìm ( , ), ( , ) w x t s x t nghim bài tốn (b) trong min 1 [0,1] [ , ] m m t t − × , vi điu kin đu 1 1 1 1 ( , ) ( ), ( , ) ( ) m m m m w x t w x s x t s x − − − − = = $ đây các thành phn ma trn Jacobi, 11 22 , , G G y ϕ ∂ ∂ đưc tính vi ( ), ( , ) a t s x t đưc thay bng 1 1 ( ), ( ) m m a t s x − − và ϕ đưc thay bng 1 ( , ) m x y ϕ − . (3)Tính ( ): ( , ), ( ): ( , ) m m m m w x w x t s x s x t = = . Nu 1 + < m N tr li (1), ngưc li thì d(ng. Lưu ý, t( nay v sau khi thit lp các cơng thc liên quan đn các bài tốn bên trong vòng lp: các h s A, B, C, D, các điu kin biên c#a bài tốn ( ) m a ; các thành phn ma trn Jacobi, 11 22 , , G G y ϕ ∂ ∂ c#a bài tốn ( ) m b s* đưc tính theo các qui đnh k trên dù v"n gi ngun ký hiu cũ. Ri rc hóa bài tốn ( ) m a Cơng thc bin phân na yu Đưa vào khơng gian hàm { } 1 ( ) ( ,1) 0 V H Q x ψ ψ = ∈ = Ly V ψ ∈ tùy ý, tích vơ hưng vi hai v phương trình (14), ta đưc sau mt s bin đi ( ) ( ) ( ) 21 21 11 Q Q Q C G G A dQ dQ G dQ x x y y x y y x ψ ψ ψ ψ ϕ ϕ ϕ ϕ   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − − − +   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   ∫ ∫ ∫ 1 1 11 11 21 0 0 0 ( ) (0, ) 0 Q y D dQ a t G y dy G G dx y x ϕ ϕ ψ ψ ψ = ∂ ∂ + + − = ∂ ∂ ∫ ∫ ∫ & . (23) Lưu ý đn nhn xét v các h s A, B, C, D và các điu kin biên. Gi 1 ( ) H Q ϕ ∈ % là hàm th&a điu kin biên khơng thun nht trên 3 , ( ,1, ) ( , ) C x t w x t ϕ = % . Đt φ ϕ ϕ = − % thì V φ ∈ th&a (rút ra t( phương trình (23)) ( ) ( ) ( ) 21 21 11 Q Q Q Q G G C A dQ G dQ dQ D dQ x x x y y x y y y ψ ψ ψ ψ φ φ φ φ φ ψ   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + −   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 1 11 21 11 11 21 0 0 0 0 0 ( ) (0, ) y y G G dx a t G y dy G G dx F x x φ ϕ ψ ψ = = ∂ ∂ + = − + ∂ ∂ ∫ ∫ ∫ % & , (24) trong đó Science & Technology Development, Vol 14, No.T5 2011 Trang 10 ( ) ( ) 21 21 11 Q Q G G F A dQ G dQ x x x y y x ψ ψ ψ ϕ ϕ ϕ   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − − +   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   ∫ ∫ % % % ( ) Q Q C dQ D dQ y y y ψ ϕ ϕ ψ ∂ ∂ ∂ − + ∂ ∂ ∂ ∫ ∫ % % . Ký hiu v trái và v phi (24) ln lưt là ( , ) a φ ψ và ( ) l ψ . Bài toán bin phân: vi 0 t > (c ñnh), tìm V φ ∈ th&a ( , ) ( ) a l φ ψ ψ = vi mi V ψ ∈ . Công thc phn t hu hn Dùng phn t 4 Q t giác 4-nút. Trong phn t e bt kỳ, xp x! 4 1 N d e e e e e k k k N φ φ = = = ∑ , trong ñó 1 2 3 4 [ , , , ] N e e e e e N N N N = là ma trn hàm dng, 1 2 3 4 [ , , , ] d e e e e e T φ φ φ φ = là vectơ chuyn dch phn t. Các hàm 21 , , C D G cũng ñưc xp x! bng cùng mt cách như hàm φ : 4 4 4 21 1 1 1 , , e e e e e e e e e k k k k k k k k k C C N D D N G G N = = = = = = ∑ ∑ ∑ trong ñó , , e e e k k k C D G ln lưt là giá tr c#a 21 , , C D G ti nút th k c#a phn t e. + Ma trn ñ cng phn t: [ ] k e e ij k = , trong ñó ( ) e e e e e i j j e i ij e e C N N N N k A dxdy dxdy x x y y ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∫ ∫ ( ) ( ) 21 21 11 e e e e e e e i i j j j e e i e e G N G N N N N G dxdy D N dxdy x y y x y   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     ∫ ∫ (25) nu phn t không có cnh nm trên biên 1 C . Nu có thì phi thêm vào t( liên quan ñn ñiu kin biên, 1 11 21 0 0y G G dx x ϕ ψ = ∂ ∂ ∫ % . Trong thc hành, vic thêm vào này ñưc thc hin giai ñon áp ñt ñiu kin biên. + Vector ti phn t gm ba t(. T( liên quan ñn hàm ϕ % ñưc tính vi ϕ % ñưc xp x! như hàm ϕ , 4 1 e e e k k k N ϕ ϕ = = ∑ % % . Trong thc hành, ta chn hàm ϕ % ch! khác không trong các phn t có mt cnh nm trên 3 C nên TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 14, SỐ T5 2011 Trang 11 1 11 21 0 0 y G G dx y ϕ ψ = ∂ = ∂ ∫ % 0, T( liên quan đn F có dng ging như ( , ) a ϕ ψ % nhưng sai khác du tr( nên 1 2 3 4 [ , , , ] p k e e T ϕ ϕ ϕ ϕ = − % % % % T( còn li liên h đn 1 11 0 ( ) (0, ) a t G y dy ψ ∫ & ch! đưc thêm khi phn t có cnh nm trên 4 C . Vic thêm vào này cũng đưc thc hin giai đon áp đt điu kin biên. Sau khi l,p ghép ta nhn đưc phương trình phn t hu hn. KD P = , (26) trong đó K, P, D ln lưt là ma trn đ cng, vector ti và chuyn dch tồn cc. Ri rc hóa bài tốn ( ) m b Khong thi gian 1 [ , ] m m t t − . Chn các đim i x trên đon [0,1] trùng vi các nút trên trc x . Dùng phương pháp đng v (collocation) ri rc hóa theo bin khơng gian. Các phương trình c#a bài tốn ( ) m b ri rc thành: ( ) 2 2 1 11 1 1 22 1 1 11 1 1 ( , ) ( )(1 ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 ( ) ( , ) i m i m i i m i m m i s x t a t x G t s x t G x t x t G t s x t t y ϕ − − − − − ∂ ∂   = − Σ + + Σ   ∂ ∂ & 2 11 1 1 1 ( ) ( , ) ( , ) m i i G t w x t s x t − − Σ Σ , (27) ( ) 2 2 11 1 1 11 1 1 1 ( ) ( , ) ( )(1 ) ( ) ( , ) ( , ) 2 m i m i m i i G tw x t a t x G t w x t w x t t − − − ∂ = − Σ − Σ ∂ & ( ) 2 2 2 2 22 1 1 11 1 1 ( , ) ( , ) 1 ( ) ( , ) ( , ) 2 i m i m m i i G x t x t G t s x t gs x t y ϕ − − −   ∂   + + Σ −     ∂   , (28) trong đó 1 Σ là tốn t sai phân hu hn, xp x! đa hàm cp mt theo bin x. Ngồi ra, khi gii bài tốn ( ) m a , ta còn dùng đn sai phân hu hn đ xp x! đo hàm cp hai, ký hiu 2 Σ . Vi bưc thi gian chn đ# bé phép xp x! dùng đây là chp nhn đưc. Điu kin đu: 1 1 ( , ) ( ), ( , ) ( ) i m b i i m b i s x t s x w x t w x − − = = (29) trong đó ( ), ( ) b i b i s x w x là giá tr đu hoc giá tr nhn đưc t( bưc tính trưc. Ký hiu: 1 2 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) n n s x t s x t s x t S t w x t w x t w x t   =     L L trong đó n là s nút trên đon [0,1] . Bài tốn ri rc (27)-(28) vi điu kin đu (29) có th vit dưi dng vector: ( , ) dS S t dt = Η , (30) Science & Technology Development, Vol 14, No.T5 2011 Trang 12 1 2 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b n m b b b n s x s x s x S t w x w x w x −   =     L L (31) trong ñó 1 2 [ , ] H H Η = vi 1 2 , H H ln lưt là v phi c#a (27), (28). Bài toán (30)-(31) có th gii xp x! bng các phương pháp s quen thuc như phương pháp Euler, phương pháp Euler ci tin. Áp dng s Mt chương trình tính ñưc vit bng Matlab ñ gii s bài toán vi d liu ñưc cho như sau: 2 9.81 ( / ) g m s = , 10 ( ) K m = , 2 ( ) T s = , 2 0.25 ( 0.5) 0 0.5 ( ) ( ) 0.25 t t a t s  − − < < =  ≥  neáu neáu t 0.5 Th nghim cho thy chương trình tính toán n ñnh vi bưc thi gian dt dưc chn ñ# bé so vi dx, dy. Kt qu tính toán vi: 0.1 ( ) dx dy m = = , 0.05 ( ) dt s = , ñưc cho trên hình 4. Ta thy có s di chuyn c#a sóng t( mt kích ñng v phía b bên trái cũng như s phn x sóng b này. Vic b& qua hiu ng c#a sc căng b mt cùng vi th# tc làm trơn nghim nh hư ng không nh& ñn nghim vùng k sát hai b. Kt qu tính toán thu ñưc có th d- dàng x lý bng các th# tc hu nghim cho phép xác ñnh vn tc truyn kích ñng trên b mt. KT LUN Trong bài này, phương pháp bin ñi min ñưc áp dng ñ ñưa bài toán xác ñnh trên min thay ñi (theo thi gian) v bài toán xác ñnh trên min c ñnh. Phương trình ño hàm riêng c#a bài toán d"n xut, vì th, không còn có dng ñi xng ñơn gin như phương trình gc. Tuy nhiên, vì min c ñnh nên lưi phn t hu hn ch! cn chn mt ln cho tt c; ñiu này cho phép tit kim ñáng k thi gian tính toán so vi phương pháp Lagrange – Euler tùy ý. Kt qu tính thu ñưc trong bài này ñã ñưc so sánh (phù hp) vi kt qu tính bng phương pháp Lagrange – Euler tùy ý c#a tác gi ñu và L.T. Khuyên [5]. V mt ñnh tính kt qu cũng cho thy phù hp vi kt qu c#a Goring tìm ñưc da trên mô hình nưc nông [3], c#a A. Huerta và W.K. Liu [4] bng phương pháp Lagrange – Euler tùy ý. Trưng hp bài toán vi ñáy di ñng có th thit lp hoàn toàn tương t. Như ñã bit hin tưng sóng thn di-n ra trong t nhiên thưng là do ñáy ñi dương bin ñi ñt ngt, do ñó, vic ñt bài toán như vy rt có ý nghĩa. Tt nhiên, vic m rng phương pháp ñây nhm mô ph&ng s hin tưng sóng thn ñòi h&i phi nghiên cu thêm v nh hư ng c#a phép bin ñi min lên ñ chính xác c#a phương pháp tính do mt kích thưc (phương ngang) ln so vi kích thưc còn li (ñ sâu). TAẽP CH PHAT TRIEN KH&CN, TAP 14, SO T5 2011 Trang 13 (a) Biờn t do lỳc t=0s (b) Biờn t do lỳc t=0.2s (c) Biờn t do lỳc t=0.4s (d) Biờn t do lỳc t=0.6s (e) Biờn t do lỳc t=0.8s (f) Biờn t do lỳc t=1s Science & Technology Development, Vol 14, No.T5 2011 Trang 14 (g) Biên t do lúc t=1.2s (h) Biên t do lúc t=1.4s (i) Biên t do lúc t=1.6s (j) Biên t do lúc t=1.8s (k) Biên t do lúc t=2s Hình 4. Kt qu bng hình nh sau khi chy chương trình. [...]... show the effect of method Key words: finite element method, water wave problems [5] T A Ng c, L T Khun, Tính tốn dòng TÀI LI U THAM KH O [1] K J Bai, S.M Choo, S.K Chung, D.Y ch y có m t t do b ng phương pháp ph n Kim, Numerical slutions for nonlinear free t h u h n Lagrange – Euler tùy ý (báo cáo surface flows by finite element methods, t i H i ngh khoa h c l n th 7, 26/11/2010, Appl Math Comput, . phương pháp s cho phương trình vi phân đ gii quyt bài tốn sóng mt t do. Trong bài báo này, cũng da trên phương pháp bin đi min, nhưng áp dng phương pháp phn t hu hn và các phương. - Phương pháp bin đi min, min vt lý đưc đưa v min tính tốn c đnh. Trong [6], A. Pawell và các đng s đã dùng phương pháp bin đi min, áp dng phương pháp sai phân hu hn và phương. Trong bài này, phương pháp bin đi min kt hp vi phương pháp phn t hu hn đ gii s bài tốn sóng nưc. Mt thí d s đưc trình bày đ minh chng hiu qu ca phương pháp. T khóa : phương