Ứng dụng phương pháp proper generaieid decomposition và phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán lưu chất

v ABSTRACT Nowadays, numerical techniques become the effective tools to solve the problems in science and engineering. Eventhough the impressive recent progresses attained in computer technologies and computational simulation techniques, numerous models intractable when the usual and well-experienced discretization techniques are applied for their numerical simulation due to their high complexity and requirements. One of the typical difficulties is highly multi-dimensional models arising from quantum mechanics or kinetic theory descriptions of solids and  the number of degrees of freedom involved scales exponentially with the dimension of the space concerned. In order to overcome the drawbacks above, one lastest technique in recent years proposed to support, activate in using the mesh-based discretization techniques -FEM -is called Proper Generalized Decomposition (PGD). This is a powerful model reduction technique by means of successive enrichment a separated representation of the unknown field, so the computational complexity of the PGD scales linearly with the dimension of the space. And a coupling Proper Generalized Decomposition and Finite Element Method  PGD-FEM briefly  will open a new approach in searching a powerful kind of simulation techinique in both terms of computing time and accuracy. ized Decomposition and Finite  Eventhough the topic just started to invest PGD-FEM for fluid problem in a small term of the pressure Poisson equation from 2D unsteady imcompressive Navier-Stokes flow, the comparative results speaked out the outstanding innovative property of PGD-FEM in both computing time and accuracy from the traditional vi discretization technique (FEM). Moreover, in order to overcome its remaining drawbacks and enlarge, develop further research trends, I also provided to solve unsteady imcompressive Navier-Stokes equations by FEM based on the Chorin- Temam projection method. vii TÓM TT  là mt công c c lc giúp gii quyt hu ht các bài toán trong khoa hc và k thut. Mc dù vi nhng tin b, phát trin t bc c trong công ngh máy tính, k thu gii quyt nhiu bài toán vn còn b thách thi rc truyn thg b hn ch do tính phc tp và m yêu ci ngày càng cao ca bài toán. Có th nêu mt trong nhn hình, ni cm là bài toán có s chiu không gian lng gng t, thuyng hc c t phc t di r phc tp ca bài toán tng theo t l i s chiu không gian ca bài toán.  nhm khc phc tính hn ch trên, m   t m   i n b try trong quá trình phi hp vi   i rc, c th    n t hu h   c nghiên cu  , vi tên g t công c gim bc mô hình bài toán d tách bin giúp  phc tp ca bài toán gim xung vi t l tuyn tính theo s chiu ca bài toán. Vì th s kt hp gii tt PGD-FEM) s c u m ra mng tip cn mi trong vic tìm kim mt lo s mi vi tính n mt thi gian x lí mà vm b chính xác so vi rc truyn th ng d-i trong  tài nghiên cu   M tài ch mng pháp PGD- vt  mt khía cnh hp là gii quy sut 2D cho bài toán Navier-Stokes ca dòng chy nht không nén ph thuc vào thng hng nhu kin biên viii hn hp ( Dirchlet-ng kt qu c y s t khi gii quyt b-FEM v mt th chính xác so vi rc truyn thng thi vi mong mun to mt s thun li trong vic hoàn thi rng, phát trin  tài i, tác gi  c n vic gi-Stokes cho dòng chy nht không nén ph thuc thi gian v u kin biên lid-driven cavity ba trên k thut tham chiu Chorin-Temam. ix MC LC TRANG Trang ta Quy tài Lý lch cá nhân i L iii Cm t iv Tóm tt v Mc lc ix Danh mc kí hiu-t vit tt xi Danh mc hình v xii NG QUAN 1 1.1 Tng quan v ng nghiên cu 1 1.2 Mu, khách th ng nghiên cu 2 1.3 nh nhim v và phm vi nghiên cu c tài 3 1.4 u 3  LÝ THUYT 4 2.1 Generalized Decomposition (PGD) 4 2.2 phn t hu hn (FEM) 11 x NG DPGD và FEM CHO BÀI TOÁN T 16 3.1 Gii thi-Stokes 16 3.2 Gi-FEM. 18 3.2.1 ng hu kiên biên ng nht. 18 3.2.1.1 -FEM 19 3.2.1.2  gii thut tng quát 22 3.2.1.3 Kt qu - nhn xét 23 3.2.2 ng hu kiên biên hn hp. 26 3.2.2.1 -FEM 26 3.2.2.2 Kt qu - nhn xét 30 3.3 -Stokes không nén ph thuc vào thi gian 32 3.3.1 Mô hình bài toán 32 3.3.2 u kiên biên ca bài toán 33 3.3.3 Tic gii b 33 3.3.4  gii thut tng quát 42 3.3.5 Kt qu - nhn xét 44 4. KT LUNG PHÁT TRIN 48 TÀI LIU THAM KHO 49 PH LC 51 xi DANH MC KÍ HIU, T VIT TT <.,.> L 2  || . || 2 Res n   x  y   D  N H 1 n V M N N nod N nod_x N nod_y_ X,R,F Y,S,G X,R,F Tích trong ca hai hàm trên L 2 trong mi Chun vec- 2 hay chun Euclide Phn sai s gia nghim chính xác và nghim xp x Min kho sát ca bài toán Min kh Min kh Biên ca mi Biên Dirichlet ca  Biên Neumann ca  Không gian hàm Sobolev mà có giá tr trit tiêu trên  D Vec-n ng ra ngoài)  N Vec-ng ti các nút trên mi Vec-ng ti các nút trên mi x Vec-ng ti các nút trên mi y Tng s nút trên min  Tng s nút trên mi x Tng s nút trên mi y Hàm ph thuc trên mi x Hàm ph thuc trên mi y Vec- hàm X,R,F ti các nút trên mi x xii Y,S,G p .u 2 u FEM PGD PGD-FEM MBS ROM LATIN POD SVD PDE Vec- hàm Y,S,G ti các nút trên mi y Toán t gradient , pp xy      Toán t divergence uu xy       Toán t Laplace 22 22 uu xy       Finite Element Method Proper Generalized Decoposition coupling Proper Generalized Decomposition and Finite Element Method Multi-Bead Spring Reduced-Order Model LArger Time INcremential Proper Orthogonal Decomposition Singular Value Decomposition Partial Differential Equations xiii DANH MC HÌNH V Hình 2.1 Min khu kin biên ca  Hình 3.1 Min khng nht c Poisson Hình 3.2  th c gii tích, FEM, PGD-ng kiu i 30 x 30 và 80 x 80. Hình 3.3  th cson vi f(x,y)=x 2 -y 2  FEM, PGD-ng kiu i 30 x 30 và 80 x 80. Hình 3.4  th i cng nht vng hp: f(x,y)=1000 và f(x,y)=x 2 -y 2 . Hình 3.5 Min khu kin biên hn hp Dirichlet và Neumann ca  Hình 3.6  th c FEM, PGD-ng kiu i 30 x 30 và 80 x 80. Hình 3.7 Min khu kin biên ca dòng chy lid-driven cavity Hình 3.8  th ng dòng (bên trái) ng áp sut (bên phi) ti Re=400 vi thi gian khác nhau (1.5s, 3s , 4.5s). Hình 3.9  th ng dòng (bên trái) ng áp sut(bên phi) ti Re=1500 vi thi gian khác nhau ( 1.5s, 3s, 4.5s). Hình 3.10  th ng dòng(bên trái) ng áp sut(bên phi) ti Re=3000 vi thi gian khác nhau ( 1.5s, 3s, 4.5s)  1 1  1.1 Tng quan v ng nghiên cu  là mt tên gi  nên quen thuc và tr thành công c c lc cho các bài toán trong khoa hc và k thut. Mng tin b, phát trin t bc trong công ngh máy tính và nhng k thut tính toán s u bài toán vn còn b hn ch c bit v mt thi gian tính toán khi  ri rc khó có th gii quyt bi tính phc tp và m yêu cu ngày càng cao ca bài toán. Có th nêu ra mt s v p phi là: (i)bài toán có s chiu không gian kho sát lng gp  ng t, thuyng hc ct phc tp [8], hay sinh hc, hóa hc [16]. V khi áp di r phc tp ca bài toán  t l i s chiu không gian cn kho sát min thi gian th kho sát giàn khoan ph thuc vào thi gian thc [13].(iii) bài toán có min kho sát suy bin xut hin trong thanh, tm, vn nhng thông s, tham s khác (ngoài yu t không gian-thi gian vt lý ng) ví d kho sát h s truyn nhit ca vt liu trong bài toán truyn nhit.  khc phc nhng v trên, mi i n n b try trong vic phi hp vi rc truyn th pháp Proper Generalized Decomposition (PGD), mt mô hình gim bc bài toán da trên c s tách bin giúp gim mt cách hiu qu  phc tp ca bài toán vi t l tuyn tính theo s chiu không gian so vi t l i rc truyn thng nên nó mang lt tri trong thi gian x m b chính xác so vi rc truyn thng. Mt s công trình nghiên cu quc t ni bt quan trng liên quan trc tip n quá trình nghiên c tài là: [...]... sử dụng phương pháp PGD để giải quyết vấn đề nhiều chiều cho bài toán Poisson với điều kiện đồng nhất mà thường gặp trong thuyết động học của lưu chất phức tạp và cũng mở rộng cho bài toán MBS (multi-bead-spring) của không gian hai, ba chiều [13]: ứng dụng phương pháp PGD để giải quyết bài toán Navier-Stokes cho trường hợp lid-driven cavity với các hệ số Reynolds khác nhau và so sánh kết quả với phương. .. tích các bài toán tuyến tính, phi tuyến, phân tích mode, động lực học,… Và cũng không qúa khó để tìm thông tin về phương pháp FEM trên các kênh phương tiện hiện nay Như đã trình bày ở nội dung lý thuyết phương pháp PGD, phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) được tích hợp khi tính toán giải Fk,Gk ở lưu đồ giải thuật của phương pháp PGD Vì thế nội dung cơ sở lý thuyết của phương pháp FEM sẽ tập trung vào qui... đây, bài toán lưu chất là những vấn đề thuộc lĩnh vực cơ học lưu chất nghiên cứu đến dòng chảy của lưu chất ( chất lỏng, khí và plasma) nhằm tính toán các đặc tính khác nhau của lưu chất như vận tốc, áp suất, khối lượng riêng và nhiệt độ mà được biểu diễn dưới dạng hàm của không gian và thời gian Và hầu hết các hiện tượng của dòng chảy lưu chất đều đặc trưng bởi hệ phương trình Navier-Stokes và được... =1,3150e-13 Phương pháp PGD - FEM so với phương pháp giải tích: Thời gian xử lý =1,21 (s);Độ sai số =1,3840e-7 ờng h p f(x,y)=x2-y2  trường hợp này, do bài toán không có nghiệm chính xác nên ta sẽ lấy phương pháp FEM làm phương pháp tham chiếu để so sánh phương pháp PGD-FEM  Kiểu phần tử 30x30 (hình 3.3 a) Phương pháp FEM: Thời gian xử lý =4,95 (s) Phương pháp PGD -FEM so với phương pháp FEM: Thời... (2.6) Và  n1 i  L   F ( x)G i ( y)  Fn ( x)G n ( y)  ,G n  i 1   g,G n L2 (Y) L2 (Y) (2.7) Để giải được hàm Fn, Gn ta sẽ phải tính toán cùng lúc công thức (2.6) và (2.7) đây, phương pháp để tính Fn ,Gn có thể dựa trên giải thuật lặp có điểm cố định được sử dụng bởi hoặc phương pháp sai phân (FDM) hoặc phần tử hữu hạn (FEM) .Và trong đề tài nghiên cứu này, tác giả sẽ sử dụng phương pháp FEM cho. .. dài theo trục x và y của miền khảo sát; x, y : kích thước ô lưới trong miền khảo sát  Kiểu phần tử 30x30 (hình 3.2a) 23 CH NG 3 Phương pháp FEM so với phương pháp giải tích: Thời gian xử lý =4,93 (s); Độ sai số =1,4577e-14 Phương pháp PGD - FEM so với phương pháp giải tích: Thời gian xử lý =1,14 (s);Độ sai số =3,1199e-11  Kiểu phần tử 80x80 (hình 3.2b) Phương pháp FEM so với phương pháp giải tích:... quá trình thực hiện phương pháp PGD một cách dễ dàng, rõ ràng, bài toán sẽ được khảo sát trong trường hợp không gian 2D, nhưng vẫn đảm bảo tính tổng quát của phương pháp PGD Xét bài toán: L(U)  g trong miền khảo sát Ω=Ωx x Ωy=IR2 với điều kiện biên ∂Ω của bài toán (2.3) Tìm U(x,y) Trong đó: L là toán tử vi phân, g là thành phần thứ hai của bài toán Như đã biết, PGD là một phương pháp giải lặp có điểm... phương pháp FEM dựa trên phương pháp tham chiếu Chorin-Temam, tạo điều kiện để hoàn thiện, phát triển cho đề tài đang nghiên cứu trong tương lai 1.4 Ph ng pháp nghiên c u Sử dụng phần mềm Matlab hỗ trợ việc lập trình tính toán và mô phỏng trên máy tính laptop có cấu hình trung bình Thực hiện phép so sánh kết quả giữa phương pháp PGD-FEM với phương pháp tham chiếu khác theo tiêu chí thời gian tính toán. .. nhanh hơn so với phương pháp FEM .Và tính ưu việt này của phương pháp PGD-FEM càng thể hiện rõ hơn khi tăng số nút lưới trong khi phương pháp FEM tốn mất rất nhiều thời gian Đồng thời độ sai số của phương pháp PGD-FEM so với phương pháp FEM được thể hiện ở kết quả đồ thị cho thấy độ chính xác của phương pháp này có được ờng h p f(x,y)=1000  trường hợp này, do có nghiệm chính xác của phương pháp giải tích... tính toán Fn ,Gn Đây chính là điểm mấu chốt để thể hiện tính kết hợp giữa phương pháp Proper Generalized Decomposition và phương pháp phần tử hữu hạn ( tạm gọi tắt PGD-FEM) mà đề tài đang nghiên cứu 2.1.3 S đồ gi i thu t tổng quát c a ph ng pháp PGD 7 CH NG 2 Cho n=1 Khởi tạo G(0) Cho k=1 Tính Fk: Tính Gk: k=k+1 Điều kiện hội tụ của ( Fk Gk) Sai Đúng n=n+1 Điều kiện hội tụ của Un Sai Đúng Nghiệm của bài . quen thuc và tr thành công c c lc cho các bài toán trong khoa hc và k thut. Mng tin b, phát trin t bc trong công ngh máy tính và nhng k thut tính toán s u. th  pháp Proper Generalized Decomposition (PGD), mt mô hình gim bc bài toán da trên c s tách bin giúp gim mt cách hiu qu  phc tp ca bài toán vi t l tuyn. u bài toán vn còn b hn ch c bit v mt thi gian tính toán khi  ri rc khó có th gii quyt bi tính phc tp và m yêu cu ngày càng cao ca bài toán.