Ứng dụng phương pháp Proper Generalized Decomposition và phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán lưu chất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ NGUYỄN THỊ QUỲNH TRÂM ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION VÀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN CHO BÀI TOÁN LƯU CHẤT NGÀNH: CÔNG NGHỆ CHẾ TẠO MÁY - 605204 S KC 0 4 Tp Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ NGUYỄN THỊ QUỲNH TRÂM ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION VÀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN CHO BÀI TOÁN LƯU CHẤT NGÀNH: CÔNG NGHỆ CHẾ TẠO MÁY – 605204 Hướng dẫn khoa học: TS PHAN ĐỨC HUYNH Tp Hồ Chí Minh, tháng 09 / 2013 LÝ LỊCH KHOA HỌC I LÝ LỊCH SƠ LƢỢC Họ & tên: NGUYỄN THỊ QUỲNH TRÂM Giới tính: Nữ Ngày, tháng, năm sinh: 08/10/1984 Nơi sinh: T-T-Huế Quê quán: Xuân Thủy, Lệ Thủy, Quảng Bình Dân tộc: Kinh Chỗ riêng địa liên lạc: 41A Chu Văn An, Hiệp Phú, Q.9, tp.HCM Điện thoại: 016 587 787 08 Email: lovelytram84@gmail.com II.QUÁ TRÌNH ĐẠO TẠO 1.Đại học: Hệ đào tạo: Chính quy Thời gian đào tạo: từ 09/2003 đến 02/2008 Nơi học ( trường, thành phố): trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật tp.HCM Ngành học: Kỹ thuật công nghiệp Tên đồ án, luận án môn thi tốt nghiệp:Công nghệ gia công gỗ máy cưa Ngày & nơi bảo vệ đồ án, luận án hay thi tốt nghiệp: ĐH Sư phạm Kỹ thuật tp.HCM Người hướng dẫn: Th.S Thái Th 2.Thạc sĩ: Hệ đào tạo: Chính quy Thời gian đạo tạo: từ 02/2011 đến 02/2013 Nơi học ( trường, thành phố): trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật tp.HCM Ngành học: Công nghệ chế tạo máy i Tên đồ án, luận án môn thi tốt nghiệp:Ứng dụng phương pháp Proper Generalized Decomposition phương pháp phần tử hữu hạn cho toán lưu chất Ngày & nơi bảo vệ đồ án, luận án hay thi tốt nghiệp: trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật tp.HCM Người hướng dẫn: TS Phan Đức Huynh Ngày 18 tháng 09 năm 2013 Người khai ký tên ii LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan công trình nghiên cứu Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố công trình khác Tp Hồ Chí Minh, ngày 18 tháng 09 năm 2013 NGUYỄN THỊ QUỲNH TRÂM iii CẢM TẠ Trong suốt trình nghiên cứu đề tài hướng dẫn cua thấy Phan Đức Huynh, nhận hướng dẫn chu đáo từ phía thầy đặc biệt quan tâm tận tình vô chân quý từ phía anh Lê Quốc Cường thông qua giới thiệu thầy Phan Đức Huynh, theo nghiên cứu bậc Tiến sĩ trường Đai học Sư phạm Kỹ thuật Tôi xin chuyển đến dòng biết ơn chân thành lòng kính trọng sâu sắc đến thầy Phan Đức Huynh anh Lê Quốc Cường Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn đến trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật mà gắn bó suốt quãng đời sinh viên học viên, với đội ngũ giảng viên-giáo viên-nhân viên Trường mà theo học hỗ trợ nhiệt tình,cuối gửi lời thân thương đến người anh chị,người bạn mà quen biết, trao đổi giúp đỡ iv ABSTRACT Nowadays, numerical techniques become the effective tools to solve the problems in science and engineering Eventhough the impressive recent progresses attained in computer technologies and computational simulation techniques, numerous models intractable when the usual and well-experienced discretization techniques are applied for their numerical simulation due to their high complexity and requirements One of the typical difficulties is highly multi-dimensional models arising from quantum mechanics or kinetic theory descriptions of solids and complex fluids,… When one applies standard mesh based discretization techniques the number of degrees of freedom involved scales exponentially with the dimension of the space concerned In order to overcome the drawbacks above, one lastest technique in recent years proposed to support, activate in using the mesh-based discretization techniques -FEM -is called Proper Generalized Decomposition (PGD) This is a powerful model reduction technique by means of successive enrichment a separated representation of the unknown field, so the computational complexity of the PGD scales linearly with the dimension of the space And a coupling Proper Generalized Decomposition and Finite Element Method – PGD-FEM briefly – will open a new approach in searching a powerful kind of simulation techinique in both terms of computing time and accuracy Therefore, the topic “ Coupling Proper Generalized Decomposition and Finite Element Method for fluid problem” was born here Eventhough the topic just started to invest PGD-FEM for fluid problem in a small term of the pressure Poisson equation from 2D unsteady imcompressive Navier-Stokes flow, the comparative results speaked out the outstanding innovative property of PGD-FEM in both computing time and accuracy from the traditional v discretization technique (FEM) Moreover, in order to overcome its remaining drawbacks and enlarge, develop further research trends, I also provided to solve unsteady imcompressive Navier-Stokes equations by FEM based on the ChorinTemam projection method vi TÓM TẮT Ngày phương pháp số công cụ đắc lực giúp giải hầu hết toán khoa học kỹ thuật Mặc dù với tiến bộ, phát triển vượt bậc đạt công nghệ máy tính, kỹ thuật t nh toán khó khăn để giải nhiều toán bị thách thức mà phương pháp rời rạc truyền thống bị hạn chế tính phức tạp mức độ yêu cầu đòi hỏi ngày cao toán Có thể nêu khó khăn điển hình, cộm toán có số chiều không gian lớn thường gặp lượng tử, thuyết động học lưu chất phức tạp,…Khi sử dụng phương pháp rời rạc thông thường độ phức tạp toán tăng theo tỉ lệ hàm mũ với số chiều không gian toán Để nhằm khắc phục tính hạn chế trên, phương pháp đời vài năm gần góp phần bổ trợ, thúc đẩy trình phối hợp với phương pháp rời rạc, cụ thể phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) mà nghiên cứu đây, với tên gọi phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD) Đây công cụ giảm bậc mô hình toán dựa sở tách biến giúp độ phức tạp toán giảm xuống với tỉ lệ tuyến tính theo số chiều toán Vì kết hợp phương pháp PGD FEM (gọi tắt PGD-FEM) bước đầu mở hướng tiếp cận việc tìm kiếm loại hình phương pháp số với tính ưu việt mặt thời gian xử lí mà đảm bảo độ xác so với phương pháp rời rạc truyền thống có Và “ứng dụng phương pháp PGD-FEM cho toán lưu chất” đời đề tài nghiên cứu Mặc dù đề tài bước đầu khái thác phương pháp PGD-FEM cho lĩnh vực toán lưu chất khía cạnh hẹp giải phương trình Poisson áp suất 2D cho toán Navier-Stokes dòng chảy nhớt không nén phụ thuộc vào thời gian hai trường hợp điều kiên biên Dirichlet đồng điều kiện biên vii hỗn hợp ( Dirchlet-Neumann) kết đạt cho thấy ưu việt giải phương pháp PGD-FEM mặt thời gian t nh toán độ xác so với phương pháp rời rạc truyền thống (FEM) Đồng thời với mong muốn tạo thuận lợi việc hoàn thiện mở rộng, phát triển cho đề tài tương lại, tác giả đề cập đến việc giải phương trình Navier-Stokes cho dòng chảy nhớt không nén phụ thuộc thời gian với điều kiện biên lid-driven cavity phương pháp FEM dựa kỹ thuật tham chiếu Chorin-Temam viii MỤC LỤC TRANG Trang tựa Quyết định giao đề tài Lý lịch cá nhân i Lời cam đoan iii Cảm tạ iv Tóm tắt v Mục lục ix Danh mục kí hiệu-từ viết tắt xi Danh mục hình vẽ xii Chƣơng TỔNG QUAN 1.1 Tổng quan hướng nghiên cứu 1.2 Mục đ ch nghiên cứu, khách thể đối tượng nghiên cứu 1.3 Xác định nhiệm vụ phạm vi nghiên cứu đề tài 1.4 Phương pháp nghiên cứu Chƣơng CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2.1 Phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD) 2.2 Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) 11 ix Chƣơng ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP PGD FEM CHO BÀI TOÁN LƢU CHẤT 16 3.1 Giới thiệu phương trình Navier-Stokes 16 3.2 Giải phương trình Poisson phương pháp PGD-FEM 18 3.2.1 Trường hợp điều kiên biên Dirichlet đồng 18 3.2.1.1 Tiến trình giải toán phương pháp PGD-FEM 19 3.2.1.2 Sơ đồ giải thuật tổng quát 22 3.2.1.3 Kết - nhận xét 23 3.2.2 Trường hợp điều kiên biên hỗn hợp 26 3.2.2.1 Tiến trình giải toán phương pháp PGD-FEM 26 3.2.2.2 Kết - nhận xét 30 3.3 Phƣơng trình Navier-Stokes không nén phụ thuộc vào thời gian 32 3.3.1 Mô hình toán 32 3.3.2 Điều kiên biên toán 33 3.3.3 Tiến trình bước giải phương pháp FEM 33 3.3.4 Sơ đồ giải thuật tổng quát 42 3.3.5 Kết - nhận xét 44 Chƣơng KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 PHỤ LỤC 51 x DANH MỤC KÍ HIỆU, TỪ VIẾT TẮT L2(Ω) Tích hai hàm L2 miền Ω || ||2 Chuẩn vec-tơ L2 hay chuẩn Euclide Resn Phần sai số nghiệm xác nghiệm xấp xỉ Ω Miền khảo sát toán Ωx Miền khảo sát theo phương x Ωy Miền khảo sát theo phương y ∂Ω Biên miền Ω ∂Ω D Biên Dirichlet ∂Ω ∂Ω N Biên Neumann ∂Ω H1 Không gian hàm Sobolev mà có giá trị triệt tiêu ∂Ω D n Vec-tơ pháp tuyến (hướng ngoài) biên ∂Ω N V Vec-tơ hàm dạng nút miền Ω M Vec-tơ hàm dạng nút miền Ωx N Vec-tơ hàm dạng nút miền Ωy Nnod Tổng số nút miền Ω Nnod_x Tổng số nút miền Ωx Nnod_y_ Tổng số nút miền Ωy X,R,F Hàm phụ thuộc miền Ωx Y,S,G Hàm phụ thuộc miền Ωy X,R,F Vec-tơ giá trị hàm X,R,F nút miền Ωx xi Y,S,G Vec-tơ giá trị hàm Y,S,G nút miền Ωy p Toán tử gradient  ,   x y  .u Toán tử divergence  2 u  p p   u u    y   x   2u  2u  Toán tử Laplace    y   x FEM Finite Element Method PGD Proper Generalized Decoposition PGD-FEM coupling Proper Generalized Decomposition and Finite Element Method MBS Multi-Bead Spring ROM Reduced-Order Model LATIN LArger Time INcremential POD Proper Orthogonal Decomposition SVD Singular Value Decomposition PDE Partial Differential Equations xii DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 2.1 Miền khảo sát điều kiện biên phương trình Poisson Hình 3.1 Miền khảo sát điều kiên biên Dirichlet đồng phương trình Poisson Hình 3.2 Đồ thị phương trình Poisson với f(x,y)=1000 cho ba phương pháp: giải tích, FEM, PGD-FEM tương ứng kiểu lưới 30 x 30 80 x 80 Hình 3.3 Đồ thị phương trình Poisson với f(x,y)=x2-y2 cho hai phương pháp: FEM, PGD-FEM tương ứng kiểu lưới 30 x 30 80 x 80 Hình 3.4 Đồ thị lưới phương trình Poisson cho điều kiên biên Dirichlet đồng với hai trường hợp: f(x,y)=1000 f(x,y)=x2-y2 Hình 3.5 Miền khảo sát điều kiện biên hỗn hợp Dirichlet Neumann phương trình Poisson Hình 3.6 Đồ thị phương trình Poisson với f(x,y)=1000 cho hai phương pháp: FEM, PGD-FEM tương ứng kiểu lưới 30 x 30 80 x 80 Hình 3.7 Miền khảo sát điều kiện biên dòng chảy lid-driven cavity Hình 3.8 Đồ thị đường dòng (bên trái) trường áp suất (bên phải) Re=400 với thời gian khác (1.5s, 3s , 4.5s) Hình 3.9 Đồ thị đường dòng (bên trái) trường áp suất(bên phải) Re=1500 với thời gian khác ( 1.5s, 3s, 4.5s) Hình 3.10 Đồ thị đường dòng(bên trái) trường áp suất(bên phải) Re=3000 với thời gian khác ( 1.5s, 3s, 4.5s) xiii CHƢƠNG Chƣơng NG Q N 1.1 Tổng quan hƣớng nghiên cứu Ngày phương pháp số tên gọi trở nên quen thuộc trở thành công cụ đắc lực cho toán khoa học kỹ thuật Mặc dù có tiến bộ, phát triển vượt bậc công nghệ máy tính kỹ thuật tính toán số nhiều toán bị hạn chế đặc biệt mặt thời gian tính toán mà phương pháp số rời rạc khó giải tính phức tạp mức độ yêu cầu ngày cao toán Có thể nêu số vấn đề khó khăn gặp phải là: (i)bài toán có số chiều không gian khảo sát lớn mà thường gặp lĩnh vực lượng tử, thuyết động học lưu chất phức tạp [8], hay sinh học, hóa học [16] Với khó khăn này, áp dụng phương pháp rời rạc độ phức tạp toán tăng theo tỉ lệ hàm mũ với số chiều không gian toán.(ii)bài toán liên quan đến khảo sát miền thời gian thực khảo sát giàn khoan phụ thuộc vào thời gian thực [13].(iii) toán có miền khảo sát suy biến xuất thanh, tấm, vỏ.(iv) toán liên quan đến thông số, tham số khác (ngoài yếu tố không gian-thời gian vật lý thông thường) ví dụ khảo sát hệ số truyền nhiệt vật liệu toán truyền nhiệt Để khắc phục vấn đề trên, phương pháp đời vài năm gần góp phần bổ trợ, thúc đẩy việc phối hợp với phương pháp rời rạc truyền thống Đó phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD), mô hình giảm bậc toán dựa cở sở tách biến giúp giảm cách hiệu độ phức tạp toán với tỉ lệ tuyến tính theo số chiều không gian so với tỉ lệ hàm mũ phương pháp rời rạc truyền thống nên mang lại tính vượt trội thời gian xử lý đảm bảo độ xác so với phương pháp rời rạc truyền thống Một số công trình nghiên cứu quốc tế bật quan trọng liên quan trực tiếp đến trình nghiên cứu đề tài là: CHƢƠNG [4]: sử dụng phương pháp PGD để giải vấn đề nhiều chiều cho toán Poisson với điều kiện đồng mà thường gặp thuyết động học lưu chất phức tạp mở rộng cho toán MBS (multi-bead-spring) không gian hai, ba chiều [13]: ứng dụng phương pháp PGD để giải toán Navier-Stokes cho trường hợp lid-driven cavity với hệ số Reynolds khác so sánh kết với phương pháp giải tích dựa hai tiêu chí: thời gian tính toán độ xác Vì kết hợp phương pháp PGD FEM (gọi tắt PGD-FEM) bước đầu tiếp cận cho toán lưu chất để tìm qui luật ứng xử dòng chảy lưu chất thông qua trường vận tốc, áp suất,… 1.2 Mục đích nghiên cứu, khách thể đối tƣợng nghiên cứu Mục đích nghiên cứu: Việc nghiên cứu phương pháp PGD-FEM bước đầu mở hướng tiếp cận kỹ thuật tính toán số giúp giải toán cách hiệu quả, ưu việt mặt thời gian xử lý mà đảm bảo độ xác so với phương pháp rời rạc truyền thống (FEM) Khách thể nghiên cứu: Với toán lưu chất phương trình Navier-Stokes cho dòng chảy nhớt không nén, phụ thuộc thời gian trường hợp lid-driven cavity, tác giả khảo sát khía cạnh phương trình Navier-Stokes việc giải phương trình Poisson áp suất 2D với điều kiện biên khác phương pháp PGD-FEM Đồng thời, tác giả trình bày lại phương pháp FEM dựa kỹ thuật tham chiếu Chorin-Temam cho phương trình Navier-Stokes dòng chảy nhớt không nén phụ thuộc thời gian trường hợp lid-driven cavity tạo sở thuận lợi để hoàn thiện mở rộng, phát triển hướng nghiên cứu liên quan đến đề tài sau Đối tượng nghiên cứu: Tìm qui luật ứng xử, phân bố dòng chảy lưu chất thông qua trường vận tốc, áp suất,…trong miền khảo sát toán CHƢƠNG 1.3 Xác định nhiệm vụ phạm vi nghiên cứu đề tài Nhiệm vụ nghiên cứu:  Tìm kiếm, thu thập nghiên cứu tài liệu nước liên quan đến đề tài  Tiến hành xây dựng sở lý thuyết cần thiết cho phương pháp PGD-FEM  Xây dựng tiến trình giải sơ đồ giải thuật phương pháp PGD-FEM để giải toán lưu chất  Lập trình tính toán mô kết ngôn ngữ lâp trình kỹ thuật Matlab máy tính  So sánh kết phương pháp PGD-FEM với phương pháp tham chiếu khác Phạm vi nghiên cứu: Do hạn chế định qúa trình nghiên cứu từ phía tác giả, xuất phương pháp PGD vài năm trở lại nên tác giả giới hạn nghiên cứu phần nhỏ phương trình Navier-Stokes áp dụng cho dòng chảy nhớt không nén phụ thuộc thời gian không gian 2D việc giải phương trình Poisson áp suất với trường hợp khác điều kiện biên phương pháp PGDFEM Đồng thời với phương trình Navier-Stokes cho dòng chảy nhớt không nén phụ thuộc thời gian không gian 2D, tác giả tiếp cận đến mô hình giải phương pháp FEM dựa phương pháp tham chiếu Chorin-Temam, tạo điều kiện để hoàn thiện, phát triển cho đề tài nghiên cứu tương lai 1.4 Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phần mềm Matlab hỗ trợ việc lập trình tính toán mô máy tính laptop có cấu hình trung bình Thực phép so sánh kết phương pháp PGD-FEM với phương pháp tham chiếu khác theo tiêu chí thời gian tính toán độ xác CHƢƠNG Chƣơng CƠ SƠ LÝ H YẾT 2.1 Phƣơng pháp P ope Gene a i ed Decomposition (PGD)[5,6,7,9] 2.1.1 Định nghĩa Ngày việc mô số hóa cho hệ thống lưu chất phức tạp đòi hỏi ngày cao khó giải cách dễ dàng phương pháp số rời rạc thông thường Với đề tài nghiên cứu đây, loại hình phương pháp số quan tâm, ý đề xuất để khắc phục khó khăn tồn phương pháp số rời rạc phương pháp số dựa mô hình giảm bậc toán (ROM-reduced-order model) mà giúp hạn chế thời gian tính toán cách hiệu Mô hình giảm bậc nguyên thủy đời tác giả Pierre Ladaveza cách nhiều năm hóa lượng tử với tên gọi phương pháp LATIN (LArger Time INcremential) Giả sử gọi u đại lượng cần tìm toán vật lý xấp xỉ sau: n u(x, t )  a (t ). (x) i 1 i i (2.1) Trong đó, x vec-tơ tọa độ không gian 2D,3D ; i(x) hàm giảm bậc thứ i; n kích thước i(x), thông thường nhỏ nhiều so với kích thước lưới chia phương pháp rời rạc Cùng với phát triển phương pháp dựa ROM, ta nhắc đến phương pháp phổ biến dựa mô hình giảm bậc trước POD (Proper Orthogonal Decomposition)- mô hình tách biến dựa sở trực giao- hình thành dựa việc thiết lập ma trận tương ứng với điểm thời gian tiến hành tìm trị riêng vec-tơ riêng (λ ,Φi), i=1,…,Nn cho toán (Q QT)Φ =λΦ Có thể hình dung phương pháp POD sau: CHƢƠNG Giả sử u(x,t) hàm thỏa mãn yêu cầu toán với x  IR D (D=1,2,3) t  IR+ nút lưới xi , ta có biến thời gian tương ứng t p=p x Δt với i=1: Nn p =1:P Gọi uPI ≡ u(xi , ) lập ma trận tương ứng Q đây: u11 u 21 u P1    P u1 u u  Q    u1Nn u Nn u P Nn  Tuy nhiên,hạn chế kỹ thuật đòi hỏi bước đầu phải xác định ma trận Q nên thời gian tính toán dài Đây lí mà cần phải không ngừng tiếp tục cải tiến, phát triển để tìm phương pháp ưu việt Vì mô hình giảm bậc tổng quát đời vài năm trở lại đây, phát triển tác giả A.Ammar F.Chinesta nhằm giải phương trình Fokker-Plank cho toán MBS (multi-bead-spring) để tìm hàm phân bố xác suất không gian nhiều chiều, phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD) Phương pháp giúp tìm nghiệm xấp xỉ toán PDE (Partial Differential Equations) biểu diễn dạng tổng tích hàm phụ thuộc biến số (2.2), ví dụ giả sử u trường biến cần tìm phụ thuộc N biến số sau: Q u( x1 ,x2 , ,x N )   Fi ( x1 ) Fi ( x2 ) Fi ( xN ) (2.2) i 1 Trong đó, xi biến không gian, thời gian tham số toán thuộc miền khảo sát Ω  IRd, thông thường với d ≤ Công thức (2.2) minh chứng cho tính vượt trội thời gian xử lý, cụ thể biến xi rời rạc thành M bậc tự tổng số biến cần tìm Q x N x CHƢƠNG M, thay MN bậc tự áp dụng phương pháp rời rạc theo lưới, cụ thể phương pháp FEM nghiên cứu 2.2 Tiến t ình bƣớc giải Để mô tả trình thực phương pháp PGD cách dễ dàng, rõ ràng, toán khảo sát trường hợp không gian 2D, đảm bảo tính tổng quát phương pháp PGD Xét toán: L(U)  g miền khảo sát Ω=Ωx x Ωy=IR2 với điều kiện biên ∂Ω toán (2.3) Tìm U(x,y) Trong đó: L toán tử vi phân, g thành phần thứ hai toán Như biết, PGD phương pháp giải lặp có điểm cố định (fixed interation method)dùng để tìm nghiệm xấp xỉ U(x,y) với: U( x, y)   X  Y  IR , x  X  IR , y  Y  IR Giả sử, bước lặp thứ n, hàm Fi Gi biết Bây ta muốn tìm hàm Fn, Gn Gọi U(x,y) biểu diễn bước lặp thứ n sau: n 1 U ( x, y )   Fi ( x)G i ( y)  Fn ( x)G n ( y) n (2.4) i 1 Thay (2.4) vào (2.3):  n1  L   Fi ( x)G i ( y)  Fn ( x)G n ( y)   g  R es n  i 1  (2.5) Trong Resn phần sai số (2.4) nghiệm xấp xỉ toán Để xác định hàm Fn, Gn, ta thực phép tham chiếu cho biến Fn,Gn vào (2.5), ta có: [...]... cứu, khách thể và đối tượng nghiên cứu 2 1.3 Xác định nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu của đề tài 3 1.4 Phương pháp nghiên cứu 3 Chƣơng 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 4 2.1 Phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD) 4 2.2 Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) 11 ix Chƣơng 3 ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP PGD và FEM CHO BÀI TOÁN LƢU CHẤT 16 3.1 Giới thiệu phương trình Navier-Stokes... chiều [13]: ứng dụng phương pháp PGD để giải quyết bài toán Navier-Stokes cho trường hợp lid-driven cavity với các hệ số Reynolds khác nhau và so sánh kết quả với phương pháp giải tích dựa trên hai tiêu chí: thời gian tính toán và độ chính xác Vì thế sự kết hợp giữa phương pháp PGD và FEM (gọi tắt PGD-FEM) đã được bước đầu tiếp cận cho bài toán lưu chất để tìm qui luật ứng xử của dòng chảy lưu chất thông... quá trình thực hiện phương pháp PGD một cách dễ dàng, rõ ràng, bài toán sẽ được khảo sát trong trường hợp không gian 2D, nhưng vẫn đảm bảo tính tổng quát của phương pháp PGD Xét bài toán: L(U)  g trong miền khảo sát Ω=Ωx x Ωy=IR2 với điều kiện biên ∂Ω của bài toán (2.3) Tìm U(x,y) Trong đó: L là toán tử vi phân, g là thành phần thứ hai của bài toán Như đã biết, PGD là một phương pháp giải lặp có điểm... ngày càng cao của bài toán Có thể nêu ra một số vấn đề khó khăn đang gặp phải là: (i )bài toán có số chiều không gian khảo sát lớn mà thường gặp ở lĩnh vực cơ lượng tử, thuyết động học của lưu chất phức tạp [8], hay sinh học, hóa học [16] Với khó khăn này, khi áp dụng phương pháp rời rạc thì độ phức tạp của bài toán tăng theo tỉ lệ hàm mũ với số chiều không gian của bài toán. (ii )bài toán liên quan đến... f(x,y)=x2-y2 cho hai phương pháp: FEM, PGD-FEM tương ứng kiểu lưới 30 x 30 và 80 x 80 Hình 3.4 Đồ thị lưới của phương trình Poisson cho điều kiên biên Dirichlet đồng nhất với hai trường hợp: f(x,y)=1000 và f(x,y)=x2-y2 Hình 3.5 Miền khảo sát và điều kiện biên hỗn hợp Dirichlet và Neumann của phương trình Poisson Hình 3.6 Đồ thị của phương trình Poisson với f(x,y)=1000 cho hai phương pháp: FEM, PGD-FEM tương ứng. .. đồ giải thuật của phương pháp PGD-FEM để giải bài toán lưu chất  Lập trình tính toán và mô phỏng kết quả bằng ngôn ngữ lâp trình kỹ thuật Matlab trên máy tính  So sánh kết quả giữa phương pháp PGD-FEM với phương pháp tham chiếu khác Phạm vi nghiên cứu: Do còn những hạn chế nhất định trong qúa trình nghiên cứu từ phía tác giả, cũng như sự xuất hiện rất mới của phương pháp PGD trong vài năm trở lại đây... cứu Ngày này phương pháp số là một tên gọi đã trở nên quen thuộc và trở thành công cụ đắc lực cho các bài toán trong khoa học và kỹ thuật Mặc dù đã có những tiến bộ, phát triển vượt bậc trong công nghệ máy tính và những kỹ thuật tính toán số nhưng nhiều bài toán vẫn còn bị hạn chế đặc biệt về mặt thời gian tính toán khi mà các phương pháp số rời rạc khó có thể giải quyết bởi tính phức tạp và mức độ yêu... giảm bậc tổng quát hơn đã ra đời trong vài năm trở lại đây, được phát triển đầu tiên bởi tác giả A.Ammar và F.Chinesta nhằm giải quyết phương trình Fokker-Plank cho bài toán MBS (multi-bead-spring) để tìm hàm phân bố xác suất ở không gian nhiều chiều, đó chính là phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD) Phương pháp này giúp tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán PDE (Partial Differential Equations)... cận đến mô hình giải bằng phương pháp FEM dựa trên phương pháp tham chiếu Chorin-Temam, tạo điều kiện để hoàn thiện, phát triển cho đề tài đang nghiên cứu trong tương lai 1.4 Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phần mềm Matlab hỗ trợ việc lập trình tính toán và mô phỏng trên máy tính laptop có cấu hình trung bình Thực hiện phép so sánh kết quả giữa phương pháp PGD-FEM với phương pháp tham chiếu khác theo... với phương pháp rời rạc truyền thống Đó là phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD), một mô hình giảm bậc bài toán dựa trên cở sở tách biến giúp giảm một cách hiệu quả độ phức tạp của bài toán với tỉ lệ tuyến tính theo số chiều không gian so với tỉ lệ hàm mũ của phương pháp rời rạc truyền thống nên nó mang lại tính năng vượt trội trong thời gian xử lý cũng như đảm bảo độ chính xác so với phương