Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán đàn nhớt tuyến tính tựa tĩnh

Bài viết trình bày một cách rời rạc hóa phần tử hữu hạn theo biến không gian và cầu phương theo biến thời gian cho bài toán đàn nhớt tuyến tính tựa tĩnh. Một thí dụ số được cho để minh họa cách áp dụng và thể hiện tính hiệu quả của phương pháp.

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Trịnh Anh Ngọc PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN CHO BÀI TOÁN ĐÀN NHỚT TUYẾN TÍNH TỰA TĨNH Trịnh Anh Ngọc1 Giới thiệu Bài toán tựa tĩnh lý thuyết đàn nhớt tương tự toán trường hợp đàn hồi ngoại trừ quan hệ ứng suất – biến dạng thay z t  ij  C ijkl ( )  kl ( u ( t ))   C ijkl ( t  s ) s  kl ( u ( s )) ds , (1) u  (ui (x, t )) trường chuyển dịch,   ( ij (x, t )) trường tenxơ ứng suất,   ( ij (x, t )) tenxơ biến dạng, xác định từ chuyển dịch nhờ hệ thức  ij  (ui , j  u j ,i ) , (2) C  (Cijkl (x, t )) tenxơ chùng ứng suất thỏa điều kiện đối xứng Cijkl  C jikl , Cijkl  Cijlk , Cijkl  Cklij (3) Với vật liệu đàn nhớt ứng xử tức thời đàn hồi [3], nghĩa tồn số c0  cho Cijkl (0) ij  kl  c0 ij  ij (4) Để đơn giản cách viết, phương trình (1), thường ta khơng ghi rõ phụ thuộc đại lượng vào biến không gian x biến thời gian t không gây ngộ nhận Trong khoảng thời gian I  0, T , xét vật thể đàn nhớt tuyến tính chiếm miền   R d (d=1,2,3) tập mở bị chặn với biên   D  N quy, giả thiết meas(D )  Lực tác dụng lên vật gồm: lực thể tích f  ( f i (x, t )) x  , t [0, T ] ; lực mặt g  ( gi (x, t )) , x N , t [0, T ] Trên phần biên D vật giữ cố định Bài tốn tựa tĩnh lý thuyết đàn nhớt tuyến tính phát biểu sau: Tìm hàm u  u(x, t ) thỏa  ij , j  f i  I , (5) u0 D  I , (6) TS – Trường ĐH KHTN TP HCM 36 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 14 năm 2008  ij n j  gi N  I , (7) u(0)  u , (8) ứng suất  liên hệ với chuyển dịch u thơng qua (1) (2) Có nhiều phương pháp giải số toán biên tựa tĩnh Một phương pháp thông dụng phương pháp đặt sở phép biến đổi Laplace nguyên lý tương ứng lý thuyết đàn nhớt tuyến tính [5] Trong số trường hợp đặc biệt toán nhận phương pháp có dạng tương tự tốn lý thuyết đàn hồi cổ điển, điều thu hút ý nhiều nhà tính tốn số Tuy nhiên, biết, toán biến đổi ngược Laplace tốn khơng chỉnh độ xác kết phụ thuộc vào nhiều yếu tố Một cách tiếp cận khác áp dụng phép rời rạc hóa theo biến khơng gian dựa phát biểu biến phân “nửa yếu”, cách tốn dẫn hệ phương trình tích phân Volterra loại hai Sau áp dụng phương pháp chọn điểm (collocation method) giải hệ phương trình tích phân S Shawetal., [6], áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để xấp xỉ tốn theo biến khơng gian, với thời gian tác giả xấp xỉ số hạng tích phân phép cầu phương Vấn đề sai số tác giả dẫn theo [1] Gần hơn, [7], S Shaw đưa cách tiếp cận rời rạc không gian lẫn thời gian phương pháp phần tử hữu hạn sở công thức biến phân đầy đủ Cách làm dẫn đến công thức xấp xỉ khác (với quy tắc cầu phương cổ điển) số hạng tích phân Trong chúng tơi áp dụng cách tiếp cận thứ hai để giải gần toán (5)-(7) kếp hợp với (1), (2) Cách rời rạc hóa theo biến khơng gian tương tự [6,7], đây, đặc biệt quan tâm đến cách xấp xỉ theo biến thời gian Phép cầu phương thực cơng thức khác nhau, có ý đến sai số công thức tiện lợi cài đặt máy tính Phần lại tổ chức sau: Mục trình bày cơng thức biến phân nửa yếu tốn xấp xỉ phần tử hữu hạn theo biến không gian Mục giới thiệu cơng thức tích phân số để xấp xỉ toán Mục theo biến thời gian Một thí số cho mục để minh họa cách áp dụng đánh giá (theo quan điểm thực hành) phương pháp Rời rạc hóa theo biến không gian 2.1 Phát biểu biến phân nửa yếu Ký hiệu H1 ()  ( H ())d khơng gian Hilbert với tích ( w , v )  ( wi , vi ) H (  ) chuẩn tương ứng   (,) 37 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Trịnh Anh Ngọc Đưa vào không gian hàm thử H  {v  H1 ( ) v  treân D} Cố định t  I , nhân phương trình (5) với v  H bất kỳ, nhờ quan hệ ứng suất – biến dạng (1), sau số biến đổi ta tốn phân nửa yếu: Tìm hàm u(t )  L (0, T ; H ) thỏa z t A(u(t ), v )  L(t ; v )  B(t , s; u( s), v )ds (9) với v  H , z z z z A( w , v )  Cijkl ( 0)  kl ( w ) ij ( v ) d , (10)  Cijkl (t  s) B(t , s; w , v )   s  kl ( w ) ij ( v )d , L( t ; v )  v  fd  v  gd  (11) (12) N Như hệ định lý 7.2, [2], tr 189, ta có định lý sau Định lý Dưới giả thiết: (i) Các thành phần tenxơ chùng ứng suất Cijkl (t ) hàm đơn điệu giảm theo t ( t  I ), có đạo hàm theo cấp theo t thuộc L1 (0, T , L ()) ; nữa, tồn số c1 cho (13) Cijkl ( t ) ij  kl  c1Cijkl ( 0) ij  kl với tenxơ đối xứng ( ij ) ; (ii) f  L1 (0, T ; L2 ()) g  L1 (0, T ; L2 ( N )) Thì tốn (10) tồn nghiệm 2.2 Bài toán xấp xỉ phần tử hữu hạn – Hệ phương trình tích phân Volterra loại hai Phân hoạch miền  thành ne phần tử hữu hạn tuyến tính (n-đơn hình) Rd Mỗi phần tử hữu hạn có d  nút Chuyển dịch nút  q  {q1 , , qd }T (   1, , d  ) Vectơ chuyển dịch phần tử 38 (14) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 14 năm 2008 {q}  {q1 , , q }T (15) N    I n , (16) Các hàm dạng   tọa độ trọng tâm, I d ma trận đơn vị cấp d Ma trận hàm dạng phần tử: [N ]  [N1 , , N d 1 ] (17) Trong phần tử tương ứng, vectơ chuyển dịch u xấp xỉ u  [N]{q} (18) Vectơ biến dạng phần tử e  [ 11 ,  22 ,  33 ,  23 ,  13 ,  12 ]T , e  D u  [E]{q} , (19) [E]  D [N] với D toán tử đạo hàm  L M M M M M M  M  N D O 0P P  P P  P  P P 0Q 2 3 1 (20) Vectơ ứng suất phần tử s  [ 11 ,  22 , 33 ,  23 ,  13 ,  12 ]T , z t s [D(t  s)] e( s)ds s t [D(t  s)]  [D(0)][E]{q(t )}  [E]{q( s)}ds s  [D(0)]e(t )  z (21) [ D] ma trận hàm chùng ứng suất suy từ tenxơ C Từ công thức ta đưa vào ma trận độ cứng phần tử e z [K (t )]e  [E]eT [D(t )][E]e d (22) e Ma trận [G(t  s)]e  [K (t  s)]e s (23) 39 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Trịnh Anh Ngọc liên quan đến ảnh hưởng lịch sử biến dạng, gọi ma trận di truyền phần tử Vectơ tải phần tử: z z {p}e  [N]eT f e d  [N]eT g e d  e (24) Ne Bằng cách “lắp ghép” từ (10) ta tốn xấp xỉ phần tử hữu hạn: Tìm hàm vectơ t  {q(t )} thỏa phương trình tích phân Volterra loại hai z t [K (0)]{q(t )}  {p (t )}  [G (t  s)]{q( s)}ds , (25) [K (t )],[G(t )],{q},{p} ma trận vectơ toàn cục Định lý Dưới giả thiết định lý 1, toán nửa rời rạc (25) tồn nghiệm Rời rạc hóa theo biến thời gian 3.1 Các cơng thức cầu phương Để giải phương trình (25) ta tính xấp xỉ tích phân vế phải phương trình z t [G (t  s)]{q( s)}ds , nghĩa là, rời rạc hóa phương trình theo biến thời gian Chia khoảng thời gian I thành nt khoảng lưới   {0  t1  t   t n  tn 1   t nt 1  T} , ti  ti 1  ti (26) Có nhiều phương pháp xấp xỉ đơn giản quy tắc cầu phương z t j 1 [G(t  s)]{q( s)}ds  t j ((1   )[G(t  t j )]{q(t j )}   [G(t  t j 1 )]{q(t j 1 )}) , tj  [0,1] , trường hợp đặc biệt: quy tắc Euler (   ), quy tắc Euler lùi (   ), quy tắc hình thang (   / ) Theo [4], cấp sai số quy tắc cầu phương với     t , t   / 3.2 Bài toán xấp xỉ khơng-thời gian Từ cơng thức (27), phương trình (25) rời rạc thành tốn: Tìm dãy vectơ {q(t j )} , j  1,2,, nt  cho, với n {1,2, , nt  1} 40 (27) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM n 1 Số 14 năm 2008 n s [K ( n) ]{q(t n1 )}  {p(tn 1 )}   t j (1   )[G(t n1  t j )]{q(t j )}   [G(t n 1  t j 1 )]{q(t j 1 )} j 1 (28) [ K ( n ) ]  [ K ( 0)]  tn [ G( 0)] (29) Định lý Dưới giả thiết định lý 1, với t  max ti đủ bé, hệ phương trình (28) có nghiệm Cơng thức cầu phương (27) với   / có sai số bé hai cơng thức lại Tuy nhiên, phương diện tính tốn cơng thức (27) với   lại có lợi [ K ( n ) ]  [K (0)] với n Khi việc tính nghịch đảo (giải phương trình) thực lần đủ, với hai công thức lại bước tính (xác định {q( t j )} ) ta phải tính ma trận nghịch đảo [ K ( n ) ]1 Có thể khỏi khó khăn bước thời gian 3.3 Áp dụng Phương pháp xấp xỉ trình bày mục áp dụng cho toán phẳng đối xứng trục Bài toán - Nghiệm giải tích Cho ống trụ đàn nhớt đẳng hướng tiết diện ngang hình vành khăn bán kính a , b ( a  b ) Hệ tọa độ trụ có trục z trùng với trục ống Dưới áp suất p (t ) thành trong,  rr (a , t )  p(t ) , ống biến dạng theo hướng kính ur ( r , t )  u ( r , t ), u  Thành giữ cố định u (b , t )  Trạng thái biến dạng:  rr (r , t )  u u ,   (r , t )  Giả thiết vật liệu đồng r r đẳng hướng, quan hệ ứng suất – biến dạng cho u u  ( (0)   (0)) r r t  (t  s) u( s) ( (t  s)   (t  s)) u( s)   ds,  s r  s  r u u   (r , t )   (0)  ( (0)   (0)) r r t  (t  s) u( s) ( (t  s)   (t  s)) u( s)   ds, s r s r  rr (r , t )   (0) zLM N O P Q zLM N O P Q 41 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Trịnh Anh Ngọc F I G H JK F I G H JK t t  (t )  K  exp  ,  (t )  G0 exp    Phương trình chuyển động tựa tĩnh:  rr  rr      r r Bằng phương pháp biến đổi Laplace ta có nghiệm giải tích tốn (trường chuyển dịch): u(r , t )  R S T L M N p (b  r ) G0 (c  3) K t 1 exp  2 Ka K  G0 (c  3) K  G0 (c  3)  U O , V P Q W c  b a Tính tốn trực tiếp ta thu ứng suất vòng   (b, t ) r b R L G (1  c ) K exp M S |T K  G (c  3) NK  G (c   (b , t )   p  0 t  3)  U O V P |W Q Các kết dùng để so sánh với giá trị xấp xỉ tìm phương pháp trình bày 4.1 Áp dụng phương pháp xấp xỉ Đưa vào không gian hàm thử: H  {v v  H (a , b), v(b)  0} với tích vơ hướng z b ( w, v )  w(r )v (r )rdr , a ta có tốn biến phân: tìm hàm u(t )  H thỏa z t A( u( t ), v)  L( t ; v )  B ( t , s; u( s), v ) ds với v  H Ở F zLM H NG b A( w , v )   ( 0) u a 42 IJ K F G H v u u v uv v  (  ( 0)   ( 0)) r  r r r r r IJO dr , KP Q Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 14 năm 2008 F G zLM H N IJ K b v u ( s) v r r a ( (t  s)   (t  s)) u( s) v u( s)v  r  s r r r B(t , s; w, v)  u( s) F G H IJO dr , KP Q L(t ; v)  av (a ) p(t ) Công thức phần tử hữu hạn tuyến tính Phần tử [r1 , r2 ] L O L M P NQ M N O P Q  r 1 1 [ N]  [ r2  r , r  r1 ] , l  r2  r1 , [E]  [ N]  , 1r l l (r2  r ) r (r  r1 ) r [D(t )]   (t )  2 (t ) L M N  (t ) O P Q  (t ) ,  (t )   (t ) z r2 [K (t )]  [E]T [D(t )][E]rdr , r1 z r [G (t  s)]  {p( t )}   [E]T [D(t  s)][E]rdr , s r1 ap( t ) U R R0U, khác , r  a , {p (t )}  SV S V T0 W T0W 4.2 Kết số – đánh giá Tính tốn số thực với liệu cụ thể: a  1, b  2, c  F I G H JK b  2; a F I G H JKtrong t t  (t )  K  exp  ,  (t )  G0 exp    K  2.3333, G0  10769 ,  Tính tốn số theo quy tắc hình thang,   / , cho kết tốt Với bước lưới không gian h  01 , bước thời gian t  01 sai số nghiệm xấp xỉ 4 nghiệm xác cỡ 10 Trên hình đường cong chuyển dịch (c.x.) nghiệm xấp xỉ (x.x.) với t   0;10;20 Kết tính tốn dùng quy tắc Euler lùi,   1, ổn định sai số thời điểm lâu dài lớn (cỡ 10 1 ) tích tụ sai số làm tròn (hình 2) Với quy tắc Euler,   , kết không ổn định Dùng cơng thức (21) nhận ứng suất xấp xỉ Hình cho kết xấp xỉ (theo quy tắc hình thang) ứng suất vòng r  b ,   (b, t ) , so với ứng suất xác Sai số cực đại cỡ 10 1 43 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Trịnh Anh Ngọc Hình 1: kết tính so với nghiệm xác theo quy tắc hình thang Hình 2: Kết tính so với nghiệm xác theo quy tắc Euler lùi Hình 3: Kết tính ứng suất   (b, t ) so với giá trị xác theo quy tắc hình thang 44 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 14 năm 2008 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] D.M Bedivan and G.J Fix (1997), Analysis of finite element approximation and quadrature of Volterra integral equations, Numer Methods Partial Differential Equations, 13, pp 663-672 [2] G Duvaut, J.L Lions (1972), Les inéquations en mécanique et en physique, Dunod, Paris [3] Pipkin, A.C (1972), Lectures on viscoelasticity theory, Springer – Verlag New York Inc [4] Mario G Salvadori and Melvin L Baron (1961), Numerical Methods in Engineering, Prentice-Hall International, London [5] Schapery, R.A (1968), Stress analysis of viscoelastic composite materials, Composite Material Workshop, Technomic Publishing Co., Inc., pp.153-191 [6] S Shaw, M.K Warby, J.R Whiteman, C Dawson, and M.F Wheeler (1994), Numerical techniques for the treatment of quasistatic viscoelastic stress problems in linear isotropic solids, Comput Methods Appl Mech Engrg., 118, pp 211-237 [7] S Shaw and J.R Whiteman (1999), Numerical solution of linear quasistatic hereditary viscoelasticity problems I: A priori estimates, BICOM: http://www.brunel.ac.uk/~icsrbicm Tóm tắt Bài trình bày cách rời rạc hóa phần tử hữu hạn theo biến không gian cầu phương theo biến thời gian cho toán đàn nhớt tuyến tính tựa tĩnh Một thí dụ số cho để minh họa cách áp dụng thể tính hiệu phương pháp Abstract Finite element method for quasistatic linear viscoelasticity problems In this paper, we consider a finite-element-in-space, and quadrature-intime-discretization of a linear quasistatic viscoelasticity problem A numerical application is presented in order to show validity of this discretization 45 ... tồn nghiệm 2.2 Bài toán xấp xỉ phần tử hữu hạn – Hệ phương trình tích phân Volterra loại hai Phân hoạch miền  thành ne phần tử hữu hạn tuyến tính (n-đơn hình) Rd Mỗi phần tử hữu hạn có d  nút... tắt Bài trình bày cách rời rạc hóa phần tử hữu hạn theo biến không gian cầu phương theo biến thời gian cho tốn đàn nhớt tuyến tính tựa tĩnh Một thí dụ số cho để minh họa cách áp dụng thể tính. .. phương pháp giải số toán biên tựa tĩnh Một phương pháp thông dụng phương pháp đặt sở phép biến đổi Laplace nguyên lý tương ứng lý thuyết đàn nhớt tuyến tính [5] Trong số trường hợp đặc biệt toán