Phương pháp phần tử hữu hạn trong tính toán nội lực hệ khung vòm cycloid phẳng

Trong bài báo này tác giả đã xây dựng ma trận độ cứng cho phần tử vòm cycloid từ phương trình trạng thái tại 2 đầu của thanh cong và là cơ sở để xây dựng ma trận độ cứng cho các loại vòm cong khác. Dùng phương pháp phần tử hữu hạn để tính nội lực cho hệ khung vòm cycloid phẳng chịu tải trọng tĩnh.

KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TỐN NỘI LỰC HỆ KHUNG VÒM CYCLOID PHẲNG ThS LÂM THANH QUANG KHẢI Trường Đại học Cửu Long Tóm tắt: Việc sử dụng mơ hình phần tử hữu hạn tính tốn hệ kết cấu khung (cột dầm ngang) trở nên đơn giản việc tính tốn nội lực chuyển vị hệ Tuy nhiên hệ khung vòm (cột vòm) trở nên phức tạp việc phải xây dựng ma trận độ cứng cho vòm Tuỳ thuộc vào vòm xét vòm tròn, vòm parabol, vòm cycloid, mà ta có ma trận độ cứng khác Trong báo tác giả xây dựng ma trận độ cứng cho phần tử vòm cycloid từ phương trình trạng thái đầu cong sở để xây dựng ma trận độ cứng cho loại vòm cong khác Dùng phương pháp phần tử hữu hạn để tính nội lực cho hệ khung vòm cycloid phẳng chịu tải trọng tĩnh Từ khố: Vòm cycloid, kết cấu khung, ma trận độ cứng, cong Abstract: Using the finite element modelling in the frame analysis (column and beam) is much easy normally But use the “exact” finite element method in the curve system (column and arch) possibly be more complicated due to establishment of the stiffness matrix for the curve (arches) elements Depending on the arch is considering: the circular arch, parabolic arch, cycloid arch but have different stiffness matrix In this paper the authors have built stiffness matrix for cycloid arch element Using finite element method for calculating flat cycloid arch by static loads Key words: cycloid arch, frame structure, stiffness matrix, curved bar Đặt vấn đề Kết cấu cong ngày sử dụng Trong tính tốn cong phương pháp phần tử hữu hạn, ta thường chia cong thành đoạn thẳng gãy khúc Tất nhiên chia cong thành đoạn thẳng gãy khúc dẫn đến độ xác hạn chế phụ thuộc vào số đoạn chia Mặt khác sử dụng phương trình giải tích trục cong để tính cong khắc phục nhược điểm Phương pháp cố GS.TSKH Nguyễn Trâm đề xuất luận án tiến sĩ khoa học Liên Xô (cũ) [5] tác giả nghiên cứu tiếp tục phát triển phương pháp để tính tốn nội lực chuyển vị cho hệ khung vòm phẳng khác Mặc dù độ xác mặt lý thuyết phương pháp cao chưa quan tâm mức phức tạp tính tốn Ngồi ra, sử dụng phần tử cong số phần tử so với phần tử “thanh-dầm” thông thường, với tốc độ phát triển mạnh phần cứng máy tính ngày vấn đề chia nhiều phần tử sử dụng phần tử thông thường dễ dàng giải mở rộng vượt bậc nhớ nhớ so với thập niên 80-90 kỷ trước Vì phần tử cong không sử dụng chương trình phần tử hữu hạn thương mại Mặc dù vậy, mặt lý thuyết việc xây dựng ma trận độ cứng phần tử cong xa lạ kỹ sư, chuyên gia lĩnh vực phần tử hữu hạn phương pháp số Do đó, vấn đề nghiên cứu có ý nghĩa khoa học thực tiễn định Vì tác giả kết hợp việc sử dụng phương trình giải tích trục cong để tính ma trận độ cứng cho vòm, từ dùng phương pháp phần tử hữu hạn để tính nội lực cho hệ khung vòm cycloid rộng rãi nhiều ngành: từ ngành xây dựng dân Nội dung nghiên cứu dụng như: mái vòm cổng chào, vòm Gọi vecto bao gồm thành phần lực chuyển vị tiết diện vecto E gọi vecto trạng thái tiết diện Như không gian chiều vecto E có tất 12 thành phần [1][4], là: cơng trình văn hóa nghệ thuật, cung điện, nhà thờ,… đến ngành giao thông như: loại cầu vòm, cầu dẫn cảng hàng không, bến tàu cầu vượt cạn,… 10 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2017 KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG E   U P T  U  P   u x u y u z  x  T M  z M x M z Px P z  T Trong đó: u x , u y , u z : thành phần vecto chuyển vị thẳng;  x ,  y ,  z : thành phần vecto chuyển vị xoay; M x , M y , M z : thành phần vecto mô men; Px , Py , Pz : thành phần vecto lực; U : vecto chuyển vị tổng quát; P : vecto lực tổng quát tải trọng ngồi Hình Phần tử vòm tổng qt Dưới dạng ma trận, ta có thành phần trạng thái đầu so với đầu cong: 1 M x   M  0  y 0  M z      0  Px  0  Py      Pz 2  0  z2  z1  0   z2  z1   y2  y1    x2  x1  0 0   y2  y1    M x   x2  x1    M y    M z      Px    Py      Pz 1 (1) Để đơn giản (1), ta dùng dạng ma trận chia khối: M2 13     P2  03 P2      Trong đó: A12 A12   M  P      A12 P1  13   P1  z  z1    y2  y1  x2  x1     x2  x1         z  z1    y  y1  13 , 03 : ma trận đơn vị ma trận kích thước 3x3 T  U1  U bd  A21 U       A12 U1  U bd  13  1   bd  U  1 Tương tự ta có: U         0   Cuối ta phương trình trạng thái đầu cong bất kỳ:  U U   A12    P2    Hay: E j  Tij Ei    A   BdsA   A  *T 1 1 P 12     Tuu U   Ej      P  j T pu Tup  U     Tij Ei  Tpp  P i       Với: Tuu   AUij   U  P     (2) T   A   BdsA  up *T 1 j 1 i T   pu T   A  pp p ij Trong đó: T: ma trận đặc trưng cho phần tử cong; Ei , E j : vec to trạng thái đầu i j Tuu , Tup , T pu , T pp : ma trận chia khối Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2017 11 KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Sau biến đổi (2) ta được:  Pi    Tup1Tuu   1 Pj  T pu  TppTup Tuu Tup1   U i    T ppTup1  U j   k11 Tóm lại ta có ma trận độ cứng K phần tử vòm sau biến đổi: K ij   k 21 k12   k 22  (3) Trong đó: k11   Tup 1 Tuu   Ai  B 1 dsA *jT AijU   Ai  B1 dsAi*T  k 22   Tpp Tup1   Aijp Ai  B1 dsA *jT   A j  B1 dsA *jT  k12   Tup 1  Ai  B1 dsA *jT  k 21   Tpu   Tpp Tup1 Tuu   k22 Tuu   A j  B1 dsAi*T  2.1 Phần tử vòm phẳng Cơng thức (3) cơng thức tính ma trận độ cứng phần tử vòm khơng gian Còn vòm phẳng có trục nằm mặt phẳng toạ độ 0xy nên toán phẳng số thành phần vecto trạng thái khơng, ma trận giảm kích thước từ 12x12 xuống 6x6 Các vecto P U vecto thành phần: P  M z Px Py U  u x  T uy z  T Trong đó: thành phần Pz , M x , M y , u z ,  x ,  y không có, hàng cột tương ứng ma trận đặc trưng loại bỏ yi 1 Ma trận dạng Ai   0 0  xi  1 Ai      với  Ai    yi 12     y2  y1  1 A   0 P 12  x2  x1    11  0    xi  i  1 2 T A12   y  y1   với A12   x  x  12   2   0 cos x ' x cos y ' x  H P    H M   cos z' z   cos x ' y cos y ' y    cos x' x cos y ' x   H P * Do đó: H      cos x ' y cos y ' y  HM   0 cos z ' z     dx   cos x'x  cos y'y  ds  dy  cos y'x  cos x'y  ds  cos z'z    Mặt khác ta có:   Ma trận H* biểu diễn thơng qua đạo hàm x' S   x'S H    y' * S  y'S x' S dx dy y 'S  ds ds 0 0 1  0 * Do ma trận H ma trận vuông phản xứng nên có tính chất sau:   H P  1 12  H P  T H M  1  H M  T    H   H * 1 * T  x'S   y ' S  y'S x'S 0 0 1 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2017 KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG       EA 0 M P       EA ds    0     12EI z   ds 2   0 Do    12EI z  M M      EI z  M P   H P M P H P   x ' S 2    EA  x 'S y ' S  EA M M   H M M M H M T      EI z  y  EI z T M M A    x 'S y ' S   EA   y'S   EA  x   EI z  Các ma trận B có dạng:  y2  AT M M A   EI z  xy  EI z   y    T A  M M    EIxz     EI z    x' S 2 y2   M P   AT M M A   EA EI z  x' S y ' S xy   EA EI z  Ghép vào, ta ma trận B : xy   EI z  x  EI z   x' S y ' S xy    EA EI z   y 'S   x   EA EI z   y   EI z  B   x  EI z   EI z  x ' S 2 x' S y ' S xy    EA EI z   y ' S 2  x   EA EI z  x    EI z  y2 EA EI z x' S y' S xy  EA EI z y EI z  (4) 2.2 Phần tử dầm chịu uốn Để kiểm tra độ xác việc xây dựng ma trận độ cứng cho phần tử vòm phẳng, ta sử dụng ma trận độ phần tử vòm phẳng để tính ma trận độ cứng cho phần tử thẳng mà ta biết ma trận độ cứng Xét phần tử thẳng (hình 2), phần tử có bậc tự đầu Hình Phần tử thẳng  a a2      1  a  a 6 Ta có : Tuu   Tup    a  EI  0    Vậy ma trận độ cứng K phần tử thẳng: 1 up k12  T  EI   a 12 EI   a 2EI  a  6EI   a2   Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2017 T pp  a   a    EI   a   6EI  k11  T Tuu   a 12 EI   a 1 up 4EI  a  EI   a2   13 KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 4EI   EI    a2 a  k 22  T pp T   12EI EI     a   a   2  1  a a  6    2 EI  a a a  a K  a  1   2  a a  6 3      a a a  a 1 up  EI  k 21  k 22 Tuu   a 12EI   a => Hoàn toàn giống tài liệu xuất Do ma trận độ cứng phần tử thẳng suy từ ma trận độ cứng phần tử vòm phẳng lập Mà ma trận độ cứng phần tử thẳng đứng, ma trận độ cứng phần tử vòm phẳng phải 2.3 Hệ khung vòm cycloid [3] EI  a  6EI    a   (5) Sau ta xây dựng ma trận B ma trận độ cứng cho phần tử vòm phẳng Ta xây dựng ma trận độ cứng cho vòm cycloid Xét hệ khung phẳng có dạng vòm cycloid, vòm có trục nằm mặt phẳng toạ độ oxy, chân cột đứng khung bị ngàm chặt, chịu tải trọng tác dụng hình vẽ (hình 3) Hình Hệ khung vòm cycloid  x  a  sin   Phương trình tắc vòm cycloid:   y  a1  cos      2  dx   dy  ds       2a sin   d  d   d  x' a1  cos   y '  a sin   x' S    sin y'S    cos   s ' s ' 2a sin 2a sin 2 Ma trận dạng B:  32a  16a 256a    32a          3EA 15EI   3EI       3EI  2  8a  32a  8a 16a  128     B    Bds        3EI  3EA EI  45   EI    8a  32a 8a    3EI EI  EI  Ta có: k Vậy ma trận độ cứng k phần tử vòm cycloid, với k ma trận 6x6: k   11 k 21 14 k12   k 22  Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2017 KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG yI 1 k11   A I  B1 dsA *IT    0 k22   A II  B1 dsA *IIT  k12   A I  B  1 k 21   A II  B 1   ds A   ds A *T I *T II 0 1   0 0 1  0 0 1  0 0 y II yI  xI  1 y I  1 1 B  0  x I   B  0    2a   1 1   B  0  2a 0    xI   1 y II  1 1  1    B  0  x II   B 0  2a  0 0     x II  1 y I  1  2a  1  1  B  0  x I   0 B  0   0  Ví dụ: Giả sử cho hệ khung vòm cycloid (hình 3) Cho a=1m, Px  Py  10kN , E  210x106 (kN/m2), A  0.02 (m ), I  5.105 (m ) Vẽ biểu đồ lực dọc, lực cắt, mô men uốn phần tử Giải: Ta có phương trình phần tử hữu hạn hệ: K U   F  U1x   F1x      U1 y   F1 y   1   M      U x   F2 x  U   F   2y   2y   M K      U x   F3 x  U y   F3 y       3   M  U   F   4x   4x  U y   F4 y     M     4    F1 x    F     1y     M1      U x   10  U y   10       2     K    U x    U y         3      F     4x     F4 y        M  U x  10     U y  10       106 6 x 6     U x    U y         3    Các điều kiện biên: U1x  U y  1  U x  U y  4  M  F3 x  F3 y  M  F2 y  F2 y  10 Vậy phản lực gối tựa nút 1, (ngàm):  F1x   - 1.0593 kN F    kN  1y  - 13.5973 M   4.3330  kN.m   1    F4x   - 1.6831 kN F4 y   3.5973  kN     M   3.8941  kN.m (sang trái) (hướng xuống) (ngược chiều kim đồng hồ) (sang trái) (hướng lên) (ngược chiều kim đồng hồ) Biểu đồ lực dọc, lực cắt mô men uốn hệ (hình 4): Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2017 15 KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Hình Biểu đồ nội lực hệ khung vòm cycloid Kết luận phân bố đều”, Tạp chí xây dựng (ISSN 0866-0762) - Trên sở ma trận B , xây dựng ma trận độ cứng cho phần tử vòm khác như: vòm tròn, vòm parabol Bộ xây dựng, số tháng 1/2013 Với cách xây dựng ma trận độ cứng phần tử vòm từ phương trình giải tích trục cong khắc phục sai số chia đoạn cong thành đoạn thẳng gãy khúc TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lâm Thanh Quang Khải, Nguyễn Trâm (2011), “Ma trận kết cấu dầm cong chịu lực phức tạp khơng gian chiều”, Tạp chí xây dựng (ISSN 0866- [3] Lâm Thanh Quang Khải (2013), “Xác định nội lực chuyển vị đứng vòm cycloid chịu nhiều tải trọng tập trung”, Tạp chí khoa học cơng nghệ xây dựng (ISSN 1859-1566) –Viện KHCN Xây dựng, số 1/2013 [4] Nguyễn Trâm (1995), “Kết cấu dầm cong phẳng chịu lực phức tạp không gian chiều”, Tuyển tập công trình khoa học Trường Đại Học Xây Dựng, số 3/1995, Tr 11-17 [5] Nguyễn Trâm, “Lý thuyết tính tốn khơng gian kết cấu nhịp cầu hệ tổng thể phức tạp”, Luận án tiến sỹ khoa học (bản dịch từ tiếng Nga) 0762) - Bộ xây dựng, số tháng 10/2011 Ngày nhận bài:04/6/2016 [2] Lâm Thanh Quang Khải (2013), “Xây dựng tốn dầm cong phẳng dạng vòm parabol chịu tải trọng 16 Ngày nhận sửa lần cuối:04/10/2016 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2017 ... Do ma trận độ cứng phần tử thẳng suy từ ma trận độ cứng phần tử vòm phẳng lập Mà ma trận độ cứng phần tử thẳng đứng, ma trận độ cứng phần tử vòm phẳng phải 2.3 Hệ khung vòm cycloid [3] EI  a... B1 dsAi*T  2.1 Phần tử vòm phẳng Cơng thức (3) cơng thức tính ma trận độ cứng phần tử vòm khơng gian Còn vòm phẳng có trục nằm mặt phẳng toạ độ 0xy nên toán phẳng số thành phần vecto trạng... ma trận độ cứng cho phần tử vòm phẳng Ta xây dựng ma trận độ cứng cho vòm cycloid Xét hệ khung phẳng có dạng vòm cycloid, vòm có trục nằm mặt phẳng toạ độ oxy, chân cột đứng khung bị ngàm chặt,