Luận văn phương pháp xấp xỉ gắn kết cho bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ====== NGUYỄN THỊ THÚY MÙI PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ GẮN KẾT CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ====== NGUYỄN THỊ THÚY MÙI PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ GẮN KẾT CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Quang Thủy HÀ NỘI, 2018 LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Quang Thuỷ Thầy tận tình hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Qua đây, xin chân thành cảm ơn tới thầy giáo phòng Sau đại học, thầy giáo khoa Tốn thầy giáo giảng dạy lớp thạc sĩ K18 chun ngành Tốn giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp quan tâm, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hồn thành luận văn Mặc dù cố gắng, điều kiện thời gian khả thân có hạn nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tác giả mong nhận đóng góp ý kiến thầy để luận văn hồn thiện Hà Nội, tháng năm 2018 Nguyễn Thị Thuý Mùi LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Số liệu kết nghiên cứu luận văn hoàn toàn trung thực, tham khảo từ tài liệu chun khảo cơng trình khoa học công bố nhà xuất tạp chí chun ngành có uy tín ngồi nước Hà Nội, tháng năm 2018 Nguyễn Thị Thuý Mùi Mục lục Một số kiến thức kết chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức 1.1.1 Không gian Hilbert 1.1.2 Tập lồi 1.1.3 Phép chiếu Bài toán qui hoạch lồi 1.2.1 Hàm lồi 1.2.2 Dưới vi phân hàm lồi 1.2.3 Cực trị hàm lồi 1.3 Ánh xạ co 1.4 Ánh xạ không giãn 10 1.2 Bài toán cân 2.1 16 Bài toán cân trường hợp riêng 16 2.1.1 Bài toán cân 16 2.1.2 Bài toán tối ưu 16 2.1.3 Bài toán điểm bất động Kakutani 17 2.1.4 Bài toán bù phi tuyến 18 2.1.5 Bài toán bất đẳng thức biến phân 19 2.1.6 Bài tốn cân Nash trò chơi không hợp tác 19 2.2 Sự tồn nghiệm toán cân 21 2.3 Phương pháp toán cân phụ 26 2.3.1 Bài toán cân phụ 28 2.3.2 Phương pháp toán cân phụ 29 Phương pháp xấp xỉ gắn kết cho toán cân toán điểm bất động 35 i 3.1 3.2 Phương pháp xấp xỉ gắn kết cho toán cân toán điểm bất động 35 3.1.1 Thuật toán 37 3.1.2 Định lý hội tụ 37 Áp dụng 43 ii MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Sự đời Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) ánh xạ co Banach (1922) hình thành hướng lý thuyết điểm bất động: tồn điểm bất động ánh xạ liên tục tồn điểm bất động dạng co Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng như: chứng minh tồn nghiệm phương trình vi phân phương trình tích phân (định lý Picard định lý Peano), chứng minh nguyên lý biến phân Ekeland, chứng minh tồn điểm cân mơ hình kinh tế, tồn nghiệm tối ưu nhiều toán lý thuyết tối ưu Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) kết khởi đầu cho lý thuyết điểm bất động dạng co Một mở rộng tự nhiên quan trọng ánh xạ co ánh xạ không giãn Các nghiên cứu ánh xạ không giãn năm 1965 cơng trình Browder, Goebel, Kirk tiếp tục Lý thuyết điểm bất động cho phép ta xây dựng thuật tốn tìm nghiệm nhiều toán khác Một toán nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà tốn học ngồi nước tốn tìm điểm chung tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn tập nghiệm tốn cân Bài toán cân lần đưa vào năm 1955 H Nikaido, K Isoda nhằm tổng qt hóa tốn cân Nash trò chơi khơng hợp tác Đến năm 1972 tốn xét đến dạng bất đẳng thức minimax tác giả Ky Fan, người có nhiều đóng góp quan trọng cho tốn, nên tốn gọi bất đẳng thức Ky Fan (Ky Fan inequality) Bài tốn sử dụng để thiết lập điểm cân lý thuyết trò chơi (Game theory), có tên gọi khác Bài toán cân (Equilibrium problem) theo cách gọi tác giả L D Muu, W Oettli [7] năm 1992 E Blum, W Oettli [3] năm 1994 iii Cho tới nay, vấn đề nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học ngồi nước đề xuất phương pháp, thuật tốn giải cho tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn.Vì vậy, việc tìm hiểu thuật tốn có, xây dựng thuật tốn hữu hiệu cho việc giải tốn ln vấn đề cần tiếp tục quan tâm nghiên cứu, lý nghiên cứu luận văn "Phương pháp xấp xỉ gắn kết cho toán cân tốn điểm bất động" Ngồi phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, cấu trúc luận văn gồm ba chương sau: Chương “Ánh xạ khơng giãn” trình bày ánh xạ không giãn số kết tồn điểm bất động ánh xạ khơng giãn Chương “Bài tốn cân bằng” trình bày toán cân số kết tồn nghiệm toán cân phương pháp toán phụ cho toán cân Chương “Phương pháp xấp xỉ gắn kết cho tốn cân tốn điểm bất động” trình bày phương pháp xấp xỉ gắn kết cho tốn tìm điểm chung tập nghiệm tốn cân với song hàm cân đơn điệu tập điểm bất động ánh xạ không giãn Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn giới thiệu ánh xạ khơng giãn tốn cân bằng; số kết tồn nghiệm phương pháp toán cân phụ giải toán cân phương pháp xấp xỉ gắn kết cho tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động ánh xạ không giãn Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số kết điểm bất động ánh xạ khơng giãn, tốn cân phương pháp xấp xỉ gắn kết cho toán cân toán điểm bất động ánh xạ không giãn Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Ánh xạ không giãn, toán cân iv - Phạm vi nghiên cứu: Một số kết tồn điểm bất động ánh xạ không giãn tồn nghiệm toán cân bằng, phương pháp xấp xỉ gắn kết cho tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Hilbert Đóng góp luận văn Luận văn tổng quan phương pháp xấp xỉ gắn kết cho toán cân toán điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Hilbert Phương pháp nghiên cứu - Dịch, đọc nghiên cứu tài liệu - Tổng hợp, phân tích, sử dụng kiến thức giải tích hàm, giải tích lồi lý thuyết tối ưu nghiên cứu toán cân toán điểm bất động ánh xạ khơng giãn v Các kí hiệu chữ viết tắt R Tập số thực ∅ Tập rỗng H Không gian Hillbert thực x, y Tích vơ hướng hai véc tơ x, y x Chuẩn véc tơ x A∩B Giao tập A B A∪B Hợp tập A B B Tích Descartes A B A+B Tổng hai tập A B T :C→H Ánh xạ T từ tập C ⊂ H vào H F ix(T ) Tập điểm bất động ánh xạ T domf Miền xác định hữu hiệu hàm f domf = {x ∈ C : f (x) < +∞} ∇f (x∗ ) Vecto Gradient hàm f x∗ ∇2 f (x∗ ) Ma trận Hessen hàm f x∗ (EP ) Bài toán cân (AuxEP ) Bài toán cân phụ Sol(C, f ) Tập nghiệm toán cân [a, b] Đoạn thẳng nối hai điểm a, b ∈ H, tức [a, b] = {x ∈ H : x = λa + (1 − λ)b, ≤ λ ≤ 1} vi Sử dụng bất đẳng thức (2.14) giả thiết (iii), (v) Định lý 2.5 ta có l(xk ) − l(xk+1 ) ≥ β xk+1 − xk +ε f (x∗ , xk ) + f (xk , xk+1 ) − f (x∗ , xk ) + f (xk , x∗ ) ≥ β xk+1 − xk 2 + ε f (x∗ , xk+1 ) − c xk − x∗ = β − εd xk+1 − xk 2 − d xk+1 − xk + ε (α − c) xk − x∗ + εα xk − x∗ 2 + εf (x∗ , xk+1 ) Do x∗ nghiệm toán cân (EP ) nên f (x∗ , y) ≥ với y ∈ C Do f (x∗ , xk+1 ) ≥ Suy l(xk ) − l(xk+1 ) ≥ β − εd xk+1 − xk 2 + ε (α − c) xk − x∗ Bất đẳng thức (2.15) giả thiết Định lý 2.5 chứng tỏ dãy l(xk ) (2.15) k∈N dãy số thực không tăng bị chặn nên tồn l∗ ∈ R cho l(xk ) → l∗ k → +∞ Kết hợp điều giả thiết Định lý 2.5 bất đẳng thức (2.15) ta suy xk → x∗ k → +∞ 33 Kết luận chương Những nội dung trình bày chương bao gồm: - Giới thiệu mơ hình tốn học toán cân tương đương toán cân với toán quen thuộc toán tối ưu, toán điểm bất động, toán bù phi tuyến, toán bất đẳng thức biến phân, tốn cân Nash trò chơi không hợp tác - Một số kết tồn nghiệm toán cân - Trình bày phương pháp tốn cân phụ cho việc giải toán cân 34 Chương Phương pháp xấp xỉ gắn kết cho toán cân tốn điểm bất động Chương trình bày phương pháp xấp xỉ gắn kết cho tốn tìm điểm chung tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn tập nghiệm tốn cân với song hàm cân đơn điệu Nội dung chương tham khảo tài liệu [4], [10] 3.1 Phương pháp xấp xỉ gắn kết cho toán cân tốn điểm bất động Kí hiệu Sol(C, f ) tập nghiệm toán cân (EP ) F ix(S) tập điểm bất động ánh xạ không giãn S : C → C Trong phần ta xét tốn tìm điểm chung hai tập hợp Sol(C, f ) F ix(S), song hàm cân f thoả mãn giả thiết sau: A1 f (x, x) = với x ∈ C; A2 f đơn điệu C, tức f (x, y) + f (y, x) ≤ ∀x, y ∈ C; A3 Với x, y, z ∈ C, ta có lim f (tz + (1 − t)x, y) ≤ f (x, y); t→0 35 A4 Với x ∈ C, hàm f (x, ·) lồi, nửa liên tục C Bổ đề 3.1 Giả sử C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert H F : C × C → R song hàm thỏa mãn giả thiết A1 − A4 Cho số thực r > x ∈ H Khi đó, tồn z ∈ C cho F (z, y) + y − z, z − x ≥ ∀y ∈ C r Bổ đề 3.2 Cho số thực r > x ∈ H, C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert H Giả sử song hàm cân f : C × C → R thỏa mãn giả thiết A1 − A4 Ta định nghĩa ánh xạ Tr : H → C xác định Tr (x) = z ∈ C : f (z, y) + y − z, z − x ≥ ∀y ∈ C r với z ∈ H Khi i) Tr ánh xạ đơn trị; ii) Tr không giãn vững, tức với x, y ∈ H, ta có Tr x − Tr y ≤ Tr x − Tr y, x − y ; iii) F ix(Tr ) = So(C, f ), F ix(Tr ) tập điểm bất động ánh xạ Tr ; iv) Sol(C, f ) tập lồi đóng Chứng minh i) Lấy x, x ∈ H đặt z ∈ Tr (x), z ∈ Tr (x ) Theo định nghĩa Tr , ta có f (z, z ) ≥ x − z, z − z f (z , z) ≥ x − z , z − z Cộng vế hai bất đẳng thức sử dụng giả thiết đơn điệu song hàm f , ta nhận ≥ f (z, z ) + f (z, z ) ≥ (x − x ) − (z − z ), z − z Do z−z ≤ x − x ,z − z (3.1) Như vậy, x = x kéo theo z = z , tức Tr đơn trị ii) Từ bất đẳng thức (3.1) ta suy Tr không giãn vững iii) Lấy x ∈ C Giả sử x ∈ F ix(Tr ), tức Tr (x) = x Theo định nghĩa Tr , ta có f (x, y) + x − x, y − x ≥ y ∈ C 36 Do f (x, y) ≥ y ∈ C Suy x ∈ Sol(C, f ) iv) Từ ii), ta suy Tr ánh xạ không giãn tập C lồi đóng Do đó, theo Định lý 1.10, tập F ix(Tr ) tập lồi đóng Từ điều iii) kéo theo Sol(C, f ) tập lồi đóng Thuật tốn xấp xỉ gắn kết cho tốn tìm điểm chung tập nghiệm tốn cân tập điểm bất động ánh xạ không giãn mô tả cụ thể sau 3.1.1 Thuật tốn Thuật tốn 3.1 • Bước 1: Đặt k = Lấy x0 ∈ C {αn } ⊂ [0, 1]; {rn } ⊂ (0, ∞) • Bước 2: Tìm un thoả mãn f (un , y) + y − un , un − xn ≥ 0, rn ∀y ∈ C (3.2) • Bước 3: Tính xn+1 = αn g(xn ) + (1 − αn )Sun , (3.3) g : H → H ánh xạ co • Bước 4: Đặt n = n + 1và quay lại Bước 3.1.2 Định lý hội tụ Định lý 3.1 Cho C tập lồi đóng, khác rỗng H, f : C × C → R song hàm thỏa mãn điều kiện A1 − A4 , g : H → H ánh xạ co S : C → H ánh xạ không giãn cho F ix(S) ∩ Sol(C, f ) = ∅ Giả sử dãy số {αn }, {rn } thỏa mãn: ∞ ∞ αn = ∞, i) lim αn = 0, n→∞ n=1 |αn+1 − αn | < ∞; n=1 ∞ |rn+1 − rn | < ∞ ii) lim inf rn > 0, n→∞ n=1 Khi dãy {xn }, {un } sinh Thuật toán 3.1 hội tụ mạnh tới z ∈ F ix(S) ∩ Sol(C, f ), với z = PF ix(S)∩Sol(C,f ) g(z) Chứng minh Việc chứng minh định lý sử dụng bổ đề sau hội tụ dãy số 37 Bổ đề 3.3 Giả sử dãy số thực {an } ⊂ [0, ∞), {bn } ⊂ [0, ∞) {cn } ⊂ [0, 1) thoả mãn điều kiện: i) an+1 ≤ (1 − cn )an + bn ∀n ∈ N; ∞ cn = ∞; ii) n=1 ∞ bn < ∞ iii) n=1 Khi lim an = n→∞ Đặt Q = PF ix(S)∩Sol(C,f ) Theo mệnh đề 1.1, Q ánh xạ không giãn Ta chứng minh Qg : H → H ánh xạ co Thật vậy, theo giả thiết g ánh xạ co, tức tồn a ∈ [0, 1) cho g(x) − g(y) ≤ a x − y ∀x, y ∈ H Do đó, ta có Qg(x) − Qg(y) ≤ g(x) − g(y) ≤ a x − y ∀x, y ∈ H Suy Qg ánh xạ co Vì khơng gian H đầy đủ, nên tồn phần tử z ∈ H cho z = Qg(z) Do z ∈ C Giả sử v ∈ F ix(S) ∩ Sol(C, f ) Khi đó, từ un = Trn xn , ta có un − v = Trn xn − Trn v ≤ xn − v g(v) − v 1−a Giả sử x1 − v ≤ M Khi đó, ta có Đặt M = max x1 − v , ∀n ∈ N Ta có x1 − v ≤ M xn+1 − v = αn g(xn ) + (1 − αn )Sun − v ≤ αn g(xn ) − v + (1 − αn ) Sun − v ≤ αn ( g(xn ) − g(v) + g(v) − v ) + (1 − αn ) un − v ≤ αn (a xn − v + g(v) − v ) + (1 − αn ) un − v ≤ αn (a xn − v + g(v) − v ) + (1 − αn ) xn − v = (1 − αn (1 − a)) xn − v + αn (1 − a) g(v) − v 1−a ≤ (1 − αn (1 − a)) M + αn (1 − a)M = M Mặt khác xn − v ≤ M với n ∈ N nên dãy {xn } dãy bị chặn Do dãy {un } , {Sxn } {g(xn )} bị chặn 38 Tiếp theo, ta xn+1 − xn → Thật vậy, ta có xn+1 − xn = αn f (xn ) + (1 − αn )Sun − αn−1 f (xn−1 ) − (1 − αn−1 )Sun−1 = αn f (xn ) − αn f (xn−1 ) + αn f (xn−1 ) − αn−1 f (xn−1 ) + +(1 − αn )Sun − (1 − αn )Sun−1 + (1 − αn )Sun−1 − −(1 − αn−1 )Sun−1 , ≤ αn a xn − xn−1 + |αn − αn−1 | K + (1 − αn ) un − un−1 + + |αn − αn−1 | K, (3.4) K = sup { f (xn ) + Sun : n ∈ N} Mặt khác, từ un = Trn xn un+1 = Trn+1 xn+1 , ta có f (un , y) + y − un , un − xn ≥ ∀y ∈ C rn (3.5) f (un+1 , y) + y − un+1 , un+1 − xn+1 ≥ ∀y ∈ C rn (3.6) Trong (3.5) lấy y = un+1 (3.6) lấy y = un , ta nhận f (un , un+1 ) + un+1 − un , un − xn ≥ 0, rn f (un+1 , un ) + rn+1 un − un+1 , un+1 − xn+1 ≥ Do theo giả thiết A2 , ta có un+1 − un , un − xn un+1 − xn+1 − rn rn+1 ≥ Suy un+1 − un , un − un+1 + un+1 − xn − rn rn+1 (un+1 − xn+1 ) ≥ Khơng tính tổng qt, giả sử tồn số thực b cho rn > b > với n ∈ N Khi đó, ta có un+1 − un ≤ un+1 − un , xn+1 − xn + − ≤ un+1 − un rn (un+1 − xn+1 ) rn+1 xn+1 − xn + − rn rn+1 un+1 − xn+1 Suy un+1 − un ≤ xn+1 − xn + ≤ xn+1 − xn |rn+1 − rn | un+1 − xn+1 rn+1 + |rn+1 − rn | L, b 39 (3.7) L = sup { un − xn : n ∈ N } Kết hợp bất đẳng thức (3.4) ta nhận xn+1 − xn ≤ αn a xn − xn−1 + |αn − αn−1 | K + (1 − αn ) xn − xn−1 + |rn − rn−1 | L b = (1 − αn + αn a) xn − xn−1 + |αn − αn−1 | K + (1 − αn ) |rn − rn−1 | L b = (1 − αn (1 − a)) xn − xn−1 + 2K |αn − αn−1 | + L |rn − rn−1 | b Áp dụng Bổ đề 3.3 ta suy lim xn+1 − xn = n→∞ Kết hợp giả thiết |rn+1 − rn | → (3.7), ta nhận lim un+1 − un = (3.8) n→∞ Vì xn = αn−1 g(xn−1 ) + (1 − αn−1 )Sun−1 , nên ta có xn − Sun ≤ xn − Sun−1 + Sun−1 − Sun ≤ αn−1 g(xn−1 ) − Sun−1 + un−1 − un Sử dụng bất đẳng thức giả thiết αn → 0, ta suy lim xn − Sun = (3.9) n→∞ Với v ∈ F ix(S) ∩ Sol(C, f ), ta có un − v = Trn xn − Trn v ≤ Trn xn − Trn v, xn − v = un − v, xn − v un − v + xn − v 2 ≤ xn − v − xn − un = Do un − v 2 − xn − v n Hơn nữa, từ tính chất lồi , ta có xn+1 − v = αn g(xn ) + (1 − αn )Sun − v ≤ αn g(xn ) − v + (1 − αn ) Sun − v ≤ αn g(xn ) − v + (1 − αn ) un − v ≤ αn g(xn ) − v + (1 − αn ) ≤ αn g(xn ) − v + xn − v 40 xn − v 2 − xn − un − (1 − αn ) xn − un Bất đẳng thức kéo theo (1 − αn ) xn − un ≤ αn f (xn ) − v + xn − v ≤ αn g(xn ) − v + xn − xn+1 ( xn − v + xn+1 − v ) − xn+1 − v Kết hợp bất đẳng thức giả thiết αn → (3.8), ta lim xn − un = n→∞ (3.10) Từ Sun − un ≤ Sun − xn + xn − un , (3.9), (3.10) ta suy Sun − un → Tiếp theo, ta lim g(z) − z, xn − z ≤ 0, n→∞ z = PF ix(S)∩Sol(C,f ) g(z) Để có điều này, ta chọn dãy {uni } {un } cho lim g(z) − z, xni − z = lim sup g(z) − z, xn − z n→∞ i→∞ Do dãy {uni } bị chặn nên tồn dãy {unij } {uni } hội tụ yếu tới w Khơng tính tổng qt, ta giả sử uni → w Từ Sun − un → kéo theo Suni → w Ta chứng tỏ w ∈ Sol(C, f ) Thật vậy, un = Trn xn , nên ta có f (un , y) + y − un , un − xn ≥ ∀y ∈ C rn Kết hợp bất đẳng thức giả thiết A2 tính đơn điệu song hàm f , ta nhận y − un , un − xn ≥ f (y, un ) rn Do y − uni , uni − xni rni ≥ f (y, uni ) uni − xni → uni → w giả thiết A4 ta có f (y, w) ≤ rni Với t ∈ R, < t ≤ y ∈ C, đặt yt = ty + (1 − t)w Do C tập lồi y, w ∈ C, Từ nên ta có yt ∈ C Mặt khác f(yt , w) ≤ Do đó, theo giả thiết A1 A4 , ta có = f (yt , yt ) ≤ tf (yt , y) + (1 − t)f (yt , w) ≤ tf (yt , y) ∀y ∈ C 41 Suy f (yt , y) ≥ ∀y ∈ C Áp dụng giả thiết A3 , ta thu f (w, y) ≥ ∀y ∈ C, tức w ∈ Sol(C, f ) Ta chứng tỏ w ∈ F ix(S) Thật vậy, giả sử w ∈ / F ix(S), tức Sw = w Khi đó, từ uni → w Định lý Opial ([8]), ta có lim uni − w < lim uni − Sw i→∞ i→∞ ≤ lim inf { uni − Suni + Suni − Sw } i→∞ ≤ lim inf uni − w i→∞ Mâu thuẫn chứng tỏ w ∈ F ix(S) Do w ∈ F ix(S) ∩ Sol(C, f ) Vì z = PF ix(S)∩Sol(C,f ) g(z), nên ta có lim g(z) − z, xn − z = lim g(z) − z, xni − z n→∞ i→∞ = g(z) − z, w − z ≤ (3.11) Từ xn+1 − z = αn [g(xn ) − z] + (1 − αn )(Sun − z), ta có (1 − αn )2 Sun − z ≥ xn+1 − z − 2αn g(xn ) − z, xn+1 − z Vì ta có xn+1 − z ≤ (1 − αn )2 Sun − z ≤ (1 − αn )2 un − z 2 + 2αn f (xn ) − z, xn+1 − z + 2αn g(xn ) − g(z), xn+1 − z + 2αn g(xn ) − z, xn+1 − z ≤ (1 − αn )2 xn − z + 2αn a xn − z xn+1 − z + 2αn g(xn ) − z, xn+1 − z ≤ (1 − αn )2 xn − z + αn a xn − z + 2αn g(xn ) − z, xn+1 − z 42 + xn+1 − z Do xn+1 − z (1 − αn )2 + αn a 2αn ≤ xn − z + f (xn ) − z, xn+1 − z − αn a − αn a αn2 − 2αn + αn a xn − z + xn − z = − αn a − αn a 2αn + f (xn ) − z, xn+1 − z − αn a 2(1 − a)αn ≤ 1− xn − z − αn a 2(1 − a)αn αn M + + g(z) − z, xn+1 − z , − αn a 2(1 − a) − a xn − z M = sup : n ∈ N Đặt βn = 2(1 − a)αn Ta có − αn a ∞ βn = ∞ lim βn = n→∞ n=1 Mặt khác, từ (3.11), với ε > tồn m ∈ N cho αn M ε ε ≤ g(z) − z, xn+1 − z ≤ 2(1 − a) 1−a ∀n ≥ m Do đó, ta có |xn+1 − z|2 ≤ (1 − βn ) |xn − z|2 + [1 − (1 − βn )]ε Tương tự, ta có m+n−1 m+n−1 xn+1 − z (1 − βk ) xm − z ≤ + (1 − βn ) ε 1− k=m k=m ∞ ∞ (1 − βn ) = Do đó, ta có βn = ∞ , ta biết Từ k=m k=m lim sup xn − z n→∞ = lim sup xm+n − z n→∞ ≤ ε Vì ε > tùy ý, nên ta có lim sup xn − z n→∞ ≤ Điều chứng tỏ dãy {xn } hội tụ mạnh tới z ∈ F ix(S) ∩ Sol(C, f ), với z = PF ix(S)∩Sol(C,f ) g(z) 3.2 Áp dụng Mục trình bày hệ hai ứng dụng Thuật tốn 3.1 cho tốn tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn tìm nghiệm toán cân đơn điệu 43 Hệ 3.1 Giả sử C tập lồi đóng, khác rỗng không gian Hilbert H S : C → C ánh xạ không giãn cho F ix(S) = ∅ Cho g : H → H ánh xạ co dãy {xn } sinh x1 ∈ H xn+1 = αn g(xn ) + (1 − αn )SPC xn ∀n ∈ N, {αn } ⊂ [0, 1] {rn } ⊂ (0, ∞) dãy số thỏa mãn ∞ αn = ∞, lim αn = 0, n→∞ ∞ |αn+1 − αn | < ∞ n=1 n=1 Khi đó, dãy {xn } hội tụ mạnh tới z ∈ F ix(S), với z = PF ix(S) g(z) Chứng minh Đặt f (x, y) = với x, y ∈ C rn = với n ∈ N Áp dụng Định lý 3.1, ta có un = PC xn Vì vậy, theo Định lý 3.1 dãy {xn } sinh x1 ∈ H xn+1 = αn g(xn ) + (1 − αn )SPC xn ∀n ∈ N hội tụ mạnh tới z ∈ F ix(S), với z = PF ix(S) g(z) Hệ 3.2 Giả sử C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert H f : C × C → R song hàm thỏa mãn điều kiện A1 − A4 cho Sol(C, f ) = ∅ Cho g : H → H ánh xạ co {xn } {un } dãy sinh x1 ∈ H   f (un , y) + y − un , un − xn ≥ ∀y ∈ C rn  xn+1 = αn g(xn )(1 − αn )un ∀n ∈ N, {αn } ⊂ [0, ∞] {rn } ⊂ (0, ∞) dãy số thỏa mãn ∞ n→∞ ∞ αn = ∞, lim αn = 0, n=1 |αn+1 − αn | < ∞ n=1 ∞ |rn+1 − rn | < ∞ lim inf rn > n→∞ n=1 Khi đó, dãy {xn } {un } hội tụ mạnh tới z ∈ Sol(C, f ), với z = PSol(C,f ) g(z) Chứng minh Đặt Sx = x với x ∈ C rn = Áp dụng Định lý 3.1, ta có dãy {xn } {un } sinh x1 ∈ H   f (un , y) + y − un , un − xn ≥ ∀y ∈ C rn  xn+1 = αn g(xn )(1 − αn )un ∀n ∈ N, hội tụ mạnh tới z ∈ Sol(C, f ), với z = PSol(C,f ) g(z) 44 Kết luận chương Những nội dung trình bày chương bao gồm: - Thuật tốn xấp xỉ gắn kết giải tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán cân với song hàm cân đơn điệu, tập điểm bất động ánh xạ không giãn với chứng minh chi tiết hội tụ thuật toán - Một số ứng dụng thuật toán 45 Kết luận Nội dung luận văn trình bày điểm bất động ánh xạ khơng giãn, tốn cân bằng, tốn tìm điểm chung tập nghiệm tốn cân tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn Cụ thể luận văn trình bày vấn đề sau: - Giới thiệu ánh xạ không giãn số kết tồn điểm bất động ánh xạ không giãn - Giới thiệu mô hình tốn học tốn cân trường hợp đặc biệt toán cân như: tối ưu, toán điểm bất động, toán bù phi tuyến, toán bất đẳng thức biến phân, tốn cân Nash trò chơi khơng hợp tác - Trình bày số kết tồn nghiệm tốn cân - Trình bày thuật toán xấp xỉ gắn kết giải toán tìm điểm chung tập nghiệm tốn cân với song hàm cân đơn điệu, tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn Cùng với chứng minh chi tiết hội tụ thuật toán số ứng dụng thuật toán 46 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Hiền, Lê Dũng Mưu, Nguyễn Hữu Điển (2015), Giáo trình giải tích lồi ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Đõ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2011), Giải tích lồi, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [3] E Blum, W Oettli (1994), "From optimization and variational inequalities to equilibrium problems", Mathematics Student, 63, pp 123-145 [4] P L Combettes, S A Hirstoaga (2005), "Equilibrium programming in Hilbert spaces"", Journal Nonlinear Convex Analysis, 6, pp 117-136 [5] A Genel, J Lindenstrass (1975), "An example concerning fixed points", Israel Journal of Mathematics, 22, pp 81-86 [6] I V Konnov (2007), Equilibrium Models and Variational Inequalities, Elsevier Amsterdam, Netherlands [7] L D Muu, W Oettli (1992), "Convergence of an Adaptive Penalty Scheme for Finding Constrained Equilibria", Nonlinear Analysis, 18, pp 1159-1166 [8] Z Opial (1967), "Weak convergence of the sequence of successive approximation for nonexpansive mappings", Bulletin of the American Mathematical Society, 73, pp, 561-597 [9] R Wittmann (1992), "Approximation of fixed points of nonexpansive mappings", Archiv der Mathematik, 58, pp 486-491 [10] S Takahashi, W Takahashi (2007), "Viscosity approximation methods for equilibrium problems and fixed point problems in Hilbert spaces", Journal Mathmatical Analysis Applications, 331, pp 506-515 47 ... toán cân phương pháp toán phụ cho toán cân Chương Phương pháp xấp xỉ gắn kết cho toán cân tốn điểm bất động trình bày phương pháp xấp xỉ gắn kết cho tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán cân với... Phương pháp xấp xỉ gắn kết cho toán cân toán điểm bất động 35 i 3.1 3.2 Phương pháp xấp xỉ gắn kết cho toán cân toán điểm bất động 35 3.1.1 Thuật toán ... phương pháp xấp xỉ gắn kết cho tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động ánh xạ không giãn Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số kết điểm bất động ánh xạ không giãn, toán cân phương pháp