TÓM TẮT PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ EULER TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
1.2 Sự tồn nghiệm phương trình vi phân thường bậc 1.2.1 Định nghĩa điều kiện Lipschitz Hàm f (x, y) thỏa mãn điều kiện Lipschitz miền D mặt phẳng Oxy theo biến y tồn L > (hằng số Lipschitz) cho với ∀(x, y1 ), (x, y2 ) ∈ D : |f (x, y1 ) − f (x, y2 )| ≤ L|y1 − y2 | 1.2.2 Định lý tồn nghiệm phương trình vi phân thường bậc Cho phương trình vi phân thường bậc y = f (x, y) y(x0 ) = y0 , (1.3) hàm f (x, y) có tính chất sau đây: Hàm f (x, y) xác định liên tục miền D mặt Oxy có chứa điểm (x0 , y0 ) Hàm f (x, y) miền D thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến y với số L > 0: |f (x, y1 ) − f (x, y2 )| ≤ L|y1 − y2 |với ∀(x, y1 ), (x, y2 ) ∈ D Khi tồn nghiệm y = y(x) thỏa mãn điều kiện đoạn [x0 − h, x0 + h], h > 1.3 1.3.1 1.3.2 Một số phương pháp xấp xỉ thường dùng Phương pháp giải tích Phương pháp số Hình 2.1: Ý nghĩa hình học phương pháp Euler Hình (2.1) mô tả kết trình nói trên: đường gấp khúc nối điểm (x0 , y0 ), (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), Tuy nhiên giả sử "đoạn nhỏ" bút vẽ di chuyển dọc theo đoạn dốc tiếp tuyến nhỏ, nhỏ đến mức mắt thường nhận Khi đường gấp khúc xem đường cong trơn nghiệm toán, ý nghĩa hình học phương pháp Euler 2.1.2 Thành lập công thức phương pháp Euler Giải toán Cauchy: dy = f (x, y), dx y(x ) = y (2.2) Vấn đề đặt toán tìm gần hàm nghiệm y(x) số điểm x1 , x2 , x3 , , tức tính giá trị xấp xỉ y1 , y2 , y3 , (giá trị xác y(x1 ), y(x2 ), y(x3 ), điểm x1 , x2 , x3 , ) Nếu điểm chia xn , n = 0, 1, 2, nhiều ta có hình ảnh gần hàm nghiệm y(x) Xét trường hợp bước cách đều, tức xn+1 − xn = h, n = 0, 1, 2, Từ khai triển Taylor, giữ lại hai số hạng đầu ta có: y (x0 ) y (ξ) y(x1 ) = y(x0 ) + (x1 − x0 ) + (x1 − x0 )2 1! 2! hf (x0 , y0 ) y(x1 ) = y0 + + 0(h2 ) 1! hf (x0 , y0 ) Vậy ta có :yn+1 ≈ yn + 1! Ta nhận công thức phương pháp Euler sau: yn+1 = yn + hf (xn , yn ) (2.3) Phương pháp Euler (ở kỉ XVIII ) chưa có ý tưởng sử dụng máy tính để dy vẽ nên Euler tìm nghiệm số Trong phương trình vi phân = f (x, y) với dx điều kiện y(x0 ) = y0 trước hết ta chọn bước lặp h để sử dụng vẽ bước từ điểm đến điểm Giả sử, bắt đầu với điểm đầu (x0 , y0 ), sau n bước có điểm (xn , yn ) Việc thực vẽ từ điểm (xn , yn ) sang điểm (xn+1 , yn+1 ) xác định qua công thức thành lập (2.3) mô tả hình (2.2) Hình 2.2: Bước thực từ (xn , yn ) đến (xn+1 , yn+1 ) Độ dốc đoạn qua điểm (xn , yn ) m = f (xn , yn ) Vì thay đổi h từ xn đến xn+1 tương ứng với thay đổi mh = hf (xn , yn ) từ yn đến yn+1 nên tọa độ điểm (xn+1 , yn+1 ) cho công thức hệ tọa độ cho: xn+1 = xn + h; yn+1 = yn + hf (xn , yn ) Với toán (2.2) phương pháp Euler với bước lặp h điểm ban đầu (x0 , y0 ) ta tính (x1 , y1 ),(x2 , y2 ), Tuy nhiên người ta không vẽ đường gấp khúc xấp xỉ, kết phương pháp Euler dãy xấp xỉ y1 , y2 , y3 , với giá trị y(x1 ), y(x2 ), y(x3 ), điểm x1 , x2 , x3 , nghiệm xác y(x) Các giá trị tìm thể qua bảng giá trị xấp xỉ 2.1.3 Thuật toán phương pháp Euler Xét phương trình vi phân (2.2) Để áp dụng phương pháp Euler với bước lặp h ta áp dụng công thức: yn+1 = yn + hf (xn , yn ); (n ≥ 0), để tính giá trị xấp xỉ y1 , y2 , y3 , (giá trị xác y(x1 ), y(x2 ), y(x3 ), nghiệm xác y = y(x) điểm x1 , x2 , x3 , ) Công thức truy hồi (2.3) nói cho ta biết cách tạo bước điển hình từ yn đến yn+1 tâm điểm phương pháp Euler Để hiểu rõ phương pháp tiện so sánh giá trị xấp xỉ giá trị nghiệm xác, ta xét ví dụ 2.1 Ví dụ 2.1 Dùng phương pháp Euler tìm nghiệm xấp xỉ toán giá trị ban đầu dy = x + y; y(0) = −3 dx cho trường hợp sau: a h = [0, 5] b h = 0.2 [0, 1] Ở toán f (x, y) = x + y với x0 = 0; y(0) = −3 Áp dụng công thức phương pháp Euler (2.3) ta có: yn+1 = yn + h(xn + 51 yn ) a.Với h = ta tính giá trị xấp xỉ điểm x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4, x5 = thể qua bảng dưới: x Giá trị xấp xỉ y -3.000 -3.600 -3.320 -1.984 0.6192 4.7430 b.Với h = 0.2: Tại điểm x0 = 0, x1 = 0.2, x2 = 0.4, x3 = 0.6, x4 = 0.8, x5 = ta có giá trị xấp xỉ thể qua bảng dưới: x 0.2 0.4 0.6 0.8 Giá trị xấp xỉ y -3.000 -3.120 -3.025 -3.253 -3.263 -3.234 Sử dụng phần mềm Mathematica 4.2 ta xác định nghiệm xác x toán ví dụ 2.1 y(x) = 22e − 5x − 25 Từ ta biểu diễn đồ thị nghiệm xấp xỉ ứng với h = 1, h = 0.2, h = 0.05 đồ thị nghiệm xác vừa tìm hình (2.3) thông qua phần mềm Mathematica Ta thấy bước h giảm độ xác tăng, đường cong xấp xỉ nghiệm ứng với bước h giảm gần với đường cong nghiệm xác 9 Hình 2.3: Đồ thị nghiệm xác nghiệm xấp xỉ toán f (x, y) = x + y; y(0) = −3 với h = 1, h = 0.2, h = 0.05 Ví dụ 2.2 Xét phương trình chuyển động sau: y = y + 1; y(0) = Hãy dùng phương pháp Euler hai lần để tìm nghiệm gần [0, 1], lần đầu với bước h = 0.1 lần sau với bước h = 0.2 So sánh kết nghiệm gần giá trị nghiệm xác Sử dụng phần mềm Mathematica 4.2 ta xác định nghiệm xác toán y = y + 1; y(0) = y(x) = −1 + 2ex , nghiệm xấp xỉ theo phương pháp xấp xỉ Euler từ đưa bảng giá trị nghiệm xấp xỉ (2.1) x Giá trị xấp xỉ Giá trị xấp xỉ Giá trị thực tế y ứng với h = 0.2 y ứng với h = 0.1 y 1 0.2 1.400 1.420 1.443 0.4 1.880 1.928 1.984 0.6 2.456 2.543 2.644 0.8 3.147 3.287 3.451 3.977 4.187 4.437 Bảng 2.1: Xấp xỉ Euler toán y = y + 1; y(0) = với h = 0.2, h = giá trị nghiệm xác Qua bảng (2.1), ta nhận thấy với phương pháp Euler để giá trị nghiệm có độ xác cao cần có bước lặp h nhỏ số bước lặp lớn Sử dụng phần mềm Mathematica 4.2 ta tính giá trị nghiệm xác nghiệm xấp xỉ nhanh chóng qua bảng (2.1) 10 2.2 Sai số phương pháp Euler 2.2.1 Sai số địa phương Xét sai số mắc phải bước lặp với giả thiết bước trước tính Ta xét hàm y(x) nghiệm xác toán: dy = f (x, y), dx y(x ) = y , 0 với h = xn+1 − xn , n ≥ Sai số công thức xấp xỉ tuyến tính yn+1 ≈ yn + h.f (xn , yn ) = yn+1 , độ chênh lệch tiếp tuyến (xn , yn ) với đường cong nghiệm qua (xn , yn ) mô tả hình (2.4) Sai số sinh lần lặp trình, gọi sai số địa phương phương pháp Euler Hình 2.4: Sai số địa phương phương pháp Euler 2.2.2 Sai số tích lũy(sai số toàn phần) Nếu điểm xuất phát yn (2.3) giá trị xác sai số địa phương hình (2.4) tổng sai số bước yn+1 Nhưng thân yn lại nhận sai số tích lũy sai số địa phương Đường tiếp tuyến hình (2.5) thể sai số tích lũy phương pháp Euler- độ sai khác đường gấp khúc qua (x0 , y0 ) với đường cong qua (x0 , y0 ) 11 Hình 2.5: Sai số tích lũy phương pháp Euler Khi h → 0, yn → y(xn ) Vì cách thường làm để giảm sai số tích lũy phương pháp Euler giảm bước h Ví dụ 2.3 Tính xấp xỉ nghiệm toán giá trị ban đầu: dy = y − 2; y(0) = 1, dx với bước lặp h = 0.1 bước lặp nhỏ h = 0.01, h = 0.005, h = 0.001 đoạn [0, 1] với x = 0.1 Chẳng hạn với bước lặp h = 0.01 cần 100 bước lặp Euler, ta tìm số bước lặp bước lặp nhỏ x Giá trị y xấp xỉ Giá trị y xấp xỉ Giá trị y xấp xỉ Giá trị y xấp xỉ Giá trị thực với h = 0.1 với h = 0.01 với h = 0.005 với h = 0.001 tế y 1 1 0.1 0.9000 0.8954 0.8951 0.8949 0.8948 0.2 0.7900 0.7798 0.7792 0.7787 0.7786 0.3 0.6690 0.6522 0.6511 0.6503 0.6501 0.4 0.5359 0.5111 0.5097 0.5085 0.5082 0.5 0.3895 0.3554 0.3533 0.3517 0.3513 0.6 0.2284 0.1833 0.1806 0.1784 0.1779 0.7 0.0513 -0.0068 -0.0102 -0.0130 -0.0138 0.8 -0.1436 -0.2167 -0.2211 -0.2247 -0.2255 0.9 -0.3570 -0.4486 -0.4541 -0.4585 -0.4596 -0.5937 -0.7048 -0.7115 -0.7169 -0.7183 Bảng 2.2: Xấp xỉ Euler toán dy = y − 2; y(0) = với bước lặp nhỏ dần dx Sử dụng phần mềm Mathematica 4.2 ta tìm nghiệm xác dy toán = y − với y(0) = y = − ex đưa bảng giá trị nghiệm xấp dx xỉ (2.2) 12 Chúng ta thấy với bước lặp h cố định sai số (ychính xác − yxấp xỉ ) tăng lên x xa điểm đầu x0 Nhưng xem hàng bảng (2.2), thấy với x cố định sai số giảm h nhỏ dần Như vậy, bước lặp nhỏ sai số tăng chậm xa dần điểm đầu Với bước lặp yêu cầu số bước nhảy khác Để có độ xác cao người ta thường giảm bước nhảy Nhưng ta không nên làm điều với hai lý Trước hết thời gian để làm điều Lý thứ hai liệt kê nghiệm xấp xỉ tỉ mỉ Ngoài hai loại sai số nêu (sai số địa phương sai số tích lũy), bước máy tính có thêm sai số làm tròn Trên thực tế lý thuyết, khó chọn bước h "tốt nhất", việc chọn phụ thuộc vào chất hàm f (x, y) phương trình (2.2), phụ thuộc vào mã hiệu mà chương trình viết phụ thuộc vào máy tính sử dụng Với bước h lớn kết xấp xỉ phương pháp Euler không đủ độ xác, h bé sai số làm tròn bị tích lũy làm cho thời gian chạy máy lâu Kết bảng (2.2) mô tả chiến lược chung thuật toán số phương pháp Euler Bắt đầu với số n nhỏ, sau tằng gấp đôi n cho lần áp dụng sau Việc so sánh kết liên tiếp thường đưa đến "suy nghĩ trực giác" tính xác Trong ví dụ 2.1, ta xem thể kết phép tính gần theo phương pháp Euler đồ thị Ta thấy với x cố định, giá trị xấp xỉ dần tới giá trị xác y(x) bước h nhỏ hay số bước nhảy tăng lên 2.3 Phương pháp Euler phương trình vi phân thường Xét toán Cauchy: dy = f (x, y), dx y(x ) = y 0 13 Áp dụng phương pháp Euler với bước lặp h, ta có công thức: yn+1 = yn + hf (xn , yn ), để tính giá trị nghiệm xấp xỉ khoảng [a, b] Xét toán: x = f(t, x), x(t0 ) = x0 (2.4) x = (x1 , x2 , , xn+1 ), f = (f1 , f2 , , fn+1 ) Đây hệ gồm m phương trình vi phân cấp Công thức lặp phương pháp Euler ứng với hệ phương trình vi phân là: Xn+1 = Xn + hf (t1 , Xn ) (2.5) Ví dụ hệ gồm m = phương trình vi phân cấp một, viết : x f X = f = y g Khi toán giá trị đầu (2.4)được viết sau: x = f (t, x, y), x(t0 ) = x0 ; (2.6) y = g(t, x, y), y(t0 ) = y0 thành phần vô hướng công thức (2.5) thể dạng: xn+1 = xn + hf (tn , xn , yn ); (2.7) yn+1 = yn + hg(tn , xn , yn ) 2.4 Một số toán tìm nghiệm gần với phương pháp xấp xỉ Euler phương trình vi phân thường Ví dụ 2.6 Hãy dùng phương pháp Euler hai lần để tìm nghiệm gần [0, ] , lần đầu với bước lặp h = 0.25 lần sau với bước lặp h = 0.1 toán giá trị đầu: y = −y; y(0) = Hãy so sánh kết nghiệm gần (lấy chữ số thập phân) với giá trị 14 nghiệm xác y(x) = 2e−x x = Ta có f (x, y) = −y, nên áp dụng công thức phương pháp Euler là: yn+1 = yn + h(−yn ) Với h = 0.25, có: y1 = y0 + 0.25 · (−y0 ) = + 0.25 · (−2) = 1.5, y2 = y1 + 0.25 · (−y1 ) = 1.5 + 0.25 · (−1.5) = 1.125, 1 Tại x = , với h = 0.25 y = 1.125 < y( ) = 1.213 2 1 Tương tự, x = , với h = 0.1 y = 1.181 ≈ y( ) = 1.213 2 Ví dụ 2.7 Xét hệ phương trình vi phân thường: x = 3x − 2y; x(0) = 3, y = 5x − 4y; y(0) = Với bước h = 0.1, tính xấp xỉ nghiệm x, y t = 0.2, 0.4 So sánh với nghiệm xác Sử dụng phần mềm Mathematica 4.2 ta tìm nghiệm xác toán cho ta có: x(t) = 2e−2t + et , y(t) = 5e−2t + et (2.8) Các giá trị xác t = 0.2 cho (2.8) là: x(0.2) ≈ 2.562; x(0.4) ≈ 4.573 2.5 Ưu điểm hạn chế phương pháp xấp xỉ Euler phương trình vi phân thường 2.5.1 Ưu điểm - tính ổn định phương pháp Euler Xét toán: dy = f (x, y); y(x0 ) = y0 dx 15 Giả sử giá trị ban đầu y0đ giá trị gần y0g cho |y0đ − y0g | ≤ δ Ta xét xem sai số ban đầu có bị khuếch đại sau n bước hay không Ta có đ yi+1 = yiđ + hf (xi , yiđ ), g yi+1 = yig + hf (xi , yig ), g đ ⇒ |yi+1 − yi+1 | ≤ |yiđ − yig | + h|f (xi , yiđ ) − f (xi , yig )| ≤ ≤ (1 + Lh)|yiđ − yig | đ − y g | ≤ (1 + Lh)|y đ − y g |, với i Vậy |yi+1 i i+1 i Từ suy g đ |ynđ − yng | ≤ (1 + Lh)|yn−1 − yn−1 |≤ g đ ≤ (1 + Lh)2 |yn−2 |≤ − yn−2 ≤ ≤ (1 + Lh)n |y0đ − y0g | ≤ ≤ (1 + Lh)n δ ≤ ≤ enLh δ = = eL(xn −x0 ) δ Như giá trị ban đầu mắc sai số sai số không tăng lên sau n bước Nói cách khác phương pháp Euler ổn định, ưu điểm trội phương pháp Euler 2.5.2 Hạn chế phương pháp Euler Chúng ta xét tính ổn định phương pháp Euler mục 2.5.1, ta thấy phương pháp Euler ổn định Tuy nhiên có số toán giá trị đầu lại không giải tốt Ta xét ví dụ 2.11 sau để tìm hiểu thêm Ví dụ 2.11 Dùng phương pháp xấp xỉ Euler để tìm nghiệm gần 16 dy = x2 + y ; y(0) = 1, đoạn [0, 1] dx Bảng (2.3) thể kết nghiệm xấp xỉ toán cho với toán giá trị ban đầu: bước h = 0.1, h = 0.02, h = 0.005 x Giá trị xấp xỉ Giá trị xấp xỉ Giá trị xấp xỉ y ứng với h = 0.1 y ứng với h = 0.02 y ứng với h = 0.005 1 0.1 1.1000 1.1088 1.1108 0.2 1.2220 1.2458 1.2512 0.3 1.3753 1.4243 1.4357 0.4 1.5735 1.6658 1.6882 0.5 1.8371 2.0074 2.0512 0.6 2.1995 2.5201 2.6104 0.7 2.7193 3.3612 3.5706 0.8 3.5078 4.9601 5.5763 0.9 4.8023 9.0000 12.2061 7.1895 309167 1502.2090 Bảng 2.3: Xấp xỉ Euler toán dy = x2 + y ; y(0) = dx Xem bảng (2.3) ta thấy "ổn định" trình ví dụ trước không Rõ ràng có bất ổn gần x = 1, ta tìm miền nghiệm toán đưa Sử dụng phần mềm Mathematica 4.2 ta dy vẽ miền nghiệm toán = x2 + y với đường cong nghiệm dx xác qua điểm (0, 1) Hình 2.6: Nghiệm xác dy = x2 + y ; y(0) = dx 17 dy = x2 + y với dx đường cong nghiệm xác qua điểm (0, 1).Từ hình vẽ ta thấy đường cong Hình (2.6) thể miền chứa nghiệm toán có tiệm cận đứng gần x = 0.97 Mặc dù phương pháp Euler cho giá trị nghiệm gần x = 1, nghiệm xác lại không tồn đoạn [0, 1] Hơn nữa, phương pháp Euler theo kịp độ biến thiên nhanh y(x) x dần đến giá trị tiệm cận đứng Qua ví dụ 2.11 chứng tỏ có cạm bẫy việc giải phương trình vi phân phương pháp Euler Rõ ràng tìm nghiệm xấp xỉ đoạn mà đoạn nghiệm không tồn (hoặc đoạn nghiệm không nhất) Người ta chấp nhận kết áp dụng phương pháp Euler với số bước lặp cố định kết xác Bên cạnh đó, sai số mắc phải phương pháp Euler lớn Vì cần tìm cách để nâng độ xác lên thông qua phương pháp khác 2.6 Phát triển so sánh phương pháp Euler với số phương pháp khác Với hạn chế mặt sai số lớn, phương pháp Euler có ưu điểm đơn giản, dễ lập trình dùng để tìm lời giải thô toán Cauchy Từ phương pháp Euler ta phát triển thành phương pháp Euler cải tiến Phương pháp sử dụng đơn giản có thêm thuận lợi kiểm tra hệ thống vốn có trình thu để cải thiện ước lượng cho y Xét toán Cauchy: dy = f (x, y), y(x0 ) = y0 dx Giả sử sau n lần lặp với bước h, tính giá trị xấp xỉ yn giá trị y(xn ) nghiệm, xn = xn +nh Gọi un+1 (không phải y(xn+1 )) giá trị nghiệm xn+1 = xn + (n + 1)h 18 Khi đó: un+1 = yn + hf (xn , yn ) = yn + hk1 x + xn tính toán Vậy ta không lấy giá trị trung bình hai độ dốc để có độ xác Ý tưởng tạo nên phương pháp Euler cải tiến với nội dung sau: dy Cho toán giá trị đầu: = f (x, y), y(x0 ) = y0 dx Phương pháp Euler cải tiến với bước h gồm công thức truy hồi: k1 = f (xn , yn ), (2.9a) un+1 = yn + hk1 , (2.9b) k2 = f (xn+1 , un+1 ), yn+1 = yn + h (k1 + k2 ) (2.9c) (2.9d) Các công thức dùng để tính giá trị xấp xỉ y1 , y2 , y3 , nghiệm xác y(x) điểm x1 , x2 , x3 , Công thức cuối (2.9d) viết dạng: yn+1 = yn + hk với k = k1 + k2 Vậy phương pháp Euler cải tiến với bước h gồm việc sử dụng tiên đoán: un+1 = yn + hf (xn , yn ) (2.10) yn+1 = yn + h [f (xn , yn ) + f (xn+1 , un+1 )], (2.11) Sau hiệu chỉnh: tiếp tục phép lặp để tính giá trị gần y1 , y2 , y3 , tới giá trị y(x1 ), y(x2 ), , y(xn ) nghiệm thực toán ban đầu Cauchy Mỗi bước phương pháp Euler cải tiến cần tính hai giá trị hàm f (x, y), lúc phương pháp Euler thông thường cần tính giá trị, liệu cải tiến phương pháp Euler có phức tạp không hữu ích không ? Ta tìm câu trả lời thông qua ví dụ 2.12 21 Fortune 50, hầu hết 15 chủ chốt phủ Hoa Kỳ 50 trường đại học lớn sử dụng Mathematica Tác giả Mathematica Stephen Wolfram Ông sinh năm 1959 London Ông bắt đầu phát triển Mathematica vào năm 1986 Version Mathematica công bố ngày 23 tháng năm 1988 Công trình xem thành tựu lĩnh vực khoa học tính toán phần mềm toán học tiếng vào bậc 3.2 Ứng dụng phần mềm Mathematica cho phương pháp xấp xỉ Euler Việc lập trình vi tính để thực thuật số làm cho kích thước thuật toán người lập thêm phần sắc sảo Tuy nhiên để giải toán phương trình vi phân phương pháp Euler thông qua lập trình máy tính chưa biết đến nhiều sinh viên khối đại học Vì luận văn này, nghiên cứu ứng dụng phần mềm Mathematica để tìm nghiệm xác phương trình vi phân thường viết chương trình tìm nghiệm gần theo phương pháp xấp xỉ Euler, đồng thời mô tả nghiệm xác nghiệm xấp xỉ phương trình vi phân thường đồ thị thông qua gói câu lệnh lập trình Quay trở lại với ví dụ 2.1 Để tìm nghiệm xác toán dy = x + y; y(0) = −3, dx với cách giải tay thủ công thông thường ta tìm nghiệm xác toán cho là: x y(x) = 22e − 5x − 25 Nhưng với phần mềm Mathematica 4.2, ta mở file gõ câu lệnh: Clear[y, x]; DSolve [y [x] == x + y[x], y[0] == −3, y[x], x] nhấn tổ hợp phím shift enter ta kết hình (3.1) 22 Hình 3.1: Tìm nghiệm xác toán ví dụ 2.1 với Mathematica 4.2 Đồng thời ta tìm nghiệm xác hệ phương trình vi phân ví dụ 2.9 hình (3.2) Hình 3.2: Tìm nghiệm xác toán ví dụ 2.9 với Mathematica 4.2 Thông qua phần mềm Mathematica ta vẽ đồ thị hàm nghiệm xác ví dụ 2.3 với hình (3.3) Hình 3.3: Đồ thị nghiệm xác y(x) = − ex Khi thực giải phương trình vi phân thường phương pháp xấp xỉ Euler ta lập trình thuật toán để thực bước lặp cách nhanh chóng ví dụ 2.1b hình (3.4) 23 Hình 3.4: Lập trình Mathematica tìm nghiệm xấp xỉ toán y = x + y, y(0) = −3, h = 0.2 trên[0, 1] theo phương pháp Euler Bên cạnh việc giải hệ phương trình vi phân theo phương pháp Euler thông qua phần mềm không phức tạp, ta xem hình (3.5) Hình 3.5: Lập trình Mathematica tìm nghiệm xấp xỉ hệ phương trình vi phân ví dụ 2.9 theo phương pháp Euler Như việc am hiểu cách giải nghiệm phương trình vi phân thời đại công nghiệp hóa nay, sinh viên nên tìm hiểu thêm phần mềm toán học hỗ trợ việc thực tính toán cách nhanh chóng dễ dàng Điển phần mềm Mathematica mà sử dụng luận văn 24 KẾT LUẬN Đề tài "Phương pháp xấp xỉ Euler phương trình vi phân thường" đạt kết sau: Đề tài đưa kiến thức phương pháp Euler ứng dụng từ đưa hạn chế để khắc phục phát triển phương pháp Đề tài đưa số ví dụ tập để nêu bật lên ưu khuyết điểm phương pháp Euler Đề tài đưa phần mềm ứng dụng mang tên Mathematica có ý nghĩa hỗ trợ việc giải toán vi phân cách nhanh chóng dễ dàng Đề tài có ý nghĩa thực tiễn làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành Toán, sinh viên sư phạm, cử nhân Toán-Tin trình dạy học môn Phương trình vi phân giải tích số Phương trình vi phân môn học hay, phong phú, đa dạng với nhiều phương pháp tính; đề tài có khả mở rộng nghiên cứu thêm phương pháp khác, đặc biệt phương pháp tính xấp xỉ: phương pháp xấp xỉ bước phương pháp Euler cải tiến, phương pháp Runge-Kutta, hay phương pháp đa bước phương pháp Adams Do khả thân hạn chế, có nhiều cố gắng xong luận văn không tránh khỏi sai sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô bạn để đề tài phát triển Một lần xin cảm ơn chân thành thầy Lê Hải Trung tạo điều kiện để hoàn thành tốt đề tài [...]... thực hiện giải phương trình vi phân thường bằng phương pháp xấp xỉ Euler ta có thể lập trình một thuật toán để thực hiện các bước lặp một cách nhanh chóng trong ví dụ 2.1b như trong hình (3.4) 23 1 Hình 3.4: Lập trình Mathematica tìm nghiệm xấp xỉ bài toán y = x + y, y(0) = −3, h = 0.2 trên[0, 1] theo 5 phương pháp Euler Bên cạnh đó vi c giải hệ phương trình vi phân theo phương pháp Euler thông qua... pháp Euler thông qua lập trình máy tính vẫn chưa được biết đến nhiều trong sinh vi n các khối đại học Vì thế trong luận văn này, tôi nghiên cứu ứng dụng phần mềm Mathematica để tìm nghiệm chính xác của phương trình vi phân thường và vi t chương trình tìm nghiệm gần đúng theo phương pháp xấp xỉ Euler, đồng thời mô tả nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ của phương trình vi phân thường bằng đồ thị thông... cách khác phương pháp Euler là ổn định, đây là ưu điểm nổi trội của phương pháp Euler 2.5.2 Hạn chế trong phương pháp Euler Chúng ta đã xét tính ổn định của phương pháp Euler trong mục 2.5.1, ta thấy rằng phương pháp Euler là ổn định Tuy nhiên có một số bài toán giá trị đầu lại không được giải quyết tốt như thế Ta xét ví dụ 2.11 sau đây để tìm hiểu thêm Ví dụ 2.11 Dùng phương pháp xấp xỉ Euler để tìm... 3.5: Lập trình Mathematica tìm nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình vi phân trong ví dụ 2.9 theo phương pháp Euler Như vậy ngoài vi c am hiểu về các cách giải nghiệm phương trình vi phân thì trong thời đại công nghiệp hóa hiện nay, sinh vi n nên tìm hiểu thêm các phần mềm toán học hỗ trợ vi c thực hiện tính toán một cách nhanh chóng và dễ dàng hơn Điển hình như phần mềm Mathematica mà tôi đã sử dụng trong. .. luận văn này 24 KẾT LUẬN Đề tài "Phương pháp xấp xỉ Euler trong phương trình vi phân thường" đã đạt được những kết quả sau: 1 Đề tài đưa ra những kiến thức cơ bản về phương pháp Euler cũng như ứng dụng từ đó đưa ra những hạn chế để khắc phục và phát triển phương pháp này 2 Đề tài đã đưa ra một số các ví dụ cũng như bài tập để nêu bật lên ưu khuyết điểm của phương pháp Euler 3 Đề tài đã đưa ra một phần... trợ vi c giải toán vi phân một cách nhanh chóng dễ dàng 4 Đề tài có ý nghĩa thực tiễn là có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh vi n các ngành Toán, sinh vi n sư phạm, cử nhân Toán-Tin trong quá trình dạy và học môn Phương trình vi phân và giải tích số Phương trình vi phân là một bộ môn học rất hay, phong phú, đa dạng với nhiều phương pháp tính; do vậy đề tài có khả năng mở rộng nghiên cứu thêm các phương. .. hay, phong phú, đa dạng với nhiều phương pháp tính; do vậy đề tài có khả năng mở rộng nghiên cứu thêm các phương pháp khác, đặc biệt là các phương pháp tính xấp xỉ: phương pháp xấp xỉ một bước như phương pháp Euler cải tiến, phương pháp Runge-Kutta, hay các phương pháp đa bước như phương pháp Adams Do khả năng của bản thân còn hạn chế, mặc dù đã có nhiều cố gắng xong luận văn không tránh khỏi những... mỗi lần áp dụng sau Vi c so sánh các kết quả liên tiếp thường đưa đến "suy nghĩ trực giác" về tính chính xác Trong ví dụ 2.1, ta có thể xem thể hiện kết quả phép tính gần đúng theo phương pháp Euler bằng đồ thị Ta thấy rằng với mỗi x cố định, giá trị xấp xỉ dần tới giá trị chính xác y(x) khi bước h càng nhỏ hay số bước nhảy tăng lên 2.3 Phương pháp Euler trong phương trình vi phân thường Xét bài toán... gần x = 0.97 Mặc dù phương pháp Euler cho các giá trị nghiệm gần x = 1, nhưng nghiệm chính xác lại không tồn tại trên cả đoạn [0, 1] Hơn nữa, phương pháp Euler không thể theo kịp độ biến thiên nhanh của y(x) khi x dần đến giá trị tiệm cận đứng Qua ví dụ 2.11 chứng tỏ vẫn có những cạm bẫy trong vi c giải phương trình vi phân bằng phương pháp Euler Rõ ràng không thể tìm nghiệm xấp xỉ trên một đoạn mà... dụng phương pháp Euler với một số bước lặp cố định như trên là các kết quả chính xác Bên cạnh đó, sai số mắc phải của phương pháp Euler là khá lớn Vì thế chúng ta cần tìm cách để nâng độ chính xác lên thông qua các phương pháp khác 2.6 Phát triển và so sánh phương pháp Euler với một số phương pháp khác Với những hạn chế về mặt sai số lớn, phương pháp Euler tuy có ưu điểm là rất đơn giản, dễ lập trình