LUẬN VĂN PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ EULER TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

LUẬN VĂN PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ EULER TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRẦN THỊ NGÂN PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ EULER TRONG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số:60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS LÊ HẢI TRUNG Đà Nẵng - Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố công trình khác Đà Nẵng, tháng 11 năm 2013 Tác giả luận văn Trần Thị Ngân MỤC LỤC MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Mục tiêu nghiên cứu đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu Ý nghĩa thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Nghiệm phương trình vi phân thường 1.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG BẬC NHẤT 1.2.1 Định nghĩa điều kiện Lipschitz 1.2.2 Định lý tồn nghiệm phương trình vi phân thường bậc 1.3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ THƯỜNG DÙNG 1.3.1 Phương pháp giải tích 1.3.2 Phương pháp số CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP EULER CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 2.1 GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP EULER 2.1.1 Nguồn gốc phương pháp Euler 2.1.2 Thành lập công thức phương pháp Euler 2.1.3 Thuật toán phương pháp euler 10 2.2 SAI SỐ TRONG PHƯƠNG PHÁP EULER 13 2.2.1 Sai số địa phương 13 2.2.2 Sai số tích lũy (sai số toàn phần) 14 2.3 PHƯƠNG PHÁP EULER TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 20 2.4 MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG VỚI PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ EULER TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 21 2.5 ƯU ĐIỂM VÀ HẠN CHẾ CỦA PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ EULER TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 29 2.5.1 Ưu điểm- tính ổn định phương pháp Euler 29 2.5.2 Hạn chế phương pháp Euler 30 2.6 PHÁT TRIỂN VÀ SO SÁNH PHƯƠNG PHÁP EULER VỚI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC 33 CHƯƠNG ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA CHO PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ EULER 37 3.1 GIỚI THIỆU VỀ PHẦN MỀM MATHEMATICA 37 3.2 ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA CHO PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ EULER 38 KẾT LUẬN 47 DANH MỤC TÀI TIỆU THAM KHẢO 48 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (bản sao) DANH MỤC CÁC BẢNG Số hiệu Tên bảng Trang Xấp xỉ Euler toán y = y + 1, y(0) = với h = 0.2, 13 bảng 2.1 h = giá trị nghiệm xác 17 2.3 Xấp xỉ Euler toán y = y − 1, y(0) = với bước lặp nhỏ dần Xấp xỉ Euler toán y = (y − 1)2 , y(0) = với h = 0.01, h = 0.005 giá trị nghiệm xác 2.4 Xấp xỉ Euler toán yy = 2x3 , y(1) = với h = 0.01, 25 2.2 23 h = 0.005 giá trị nghiệm xác 2.5 2.6 2.7 Xấp xỉ Euler toán y = 32 − 1.6v, y(0) = với h = 0.01, h = 0.005 giá trị nghiệm xác dy Xấp xỉ Euler toán = x2 + y , y(0) = dx So sánh phương pháp Euler Euler cải tiến với toán dy = x + y, y(0) = dx 26 31 36 DANH MỤC CÁC HÌNH Số hiệu Tên hình vẽ Trang 2.1 Ý nghĩa hình học phương pháp Euler 2.2 Bước thực từ (xn , yn ) đến (xn+1 , xn+1 ) 2.3 12 2.4 Đồ thị nghiệm xác nghiệm xấp xỉ toán f (x, y) = x + y; y(0) = −3 với h = 1, h = 0.2, h = 0.05 Sai số địa phương phương pháp Euler 2.5 Sai số tích lũy phương pháp Euler 15 2.6 Đồ thị nghiệm xác nghiệm xấp xỉ toán 19 hình 14 f (x, y) = ycosx; y(0) = với số bước lặp 50, 100, 200, 400 2.7 19 3.1 Đồ thị nghiệm xác nghiệm xấp xỉ toán f (x, y) = y(8 − y); y(0) = với số bước lặp 5, 10, 20 dy Nghiệm xác = x2 + y ; y(0) = dx dy Giá trị thực dự đoán toán = f (x, y); y(x0 ) = y0 dx Tìm nghiệm xác toán ví dụ 2.1 với Mathematica 3.2 Tìm nghiệm xác toán ví dụ 2.9 với Mathematica 40 3.3 Đồ thị nghiệm xác y(x) = − ex 40 2.8 2.9 3.4 3.5 Lập trình Mathematica tìm nghiệm xấp xỉ toán y = x + y y(0) = 3, h = 0.2 [0, 1] theo phương pháp Euler Lập trình Mathematica tìm nghiệm xấp xỉ toán ví dụ 2.9 32 33 39 41 41 theo phương pháp Euler 3.6 Giải ví dụ 2.5 (1) 42 3.7 Giải ví dụ 2.5 (2) 43 3.8 Giải ví dụ 2.5 (3) 43 Số hiệu Tên hình vẽ Trang hình 3.9 Giải ví dụ 2.5 (4) 44 3.10 Giải ví dụ 2.5 (5) 44 3.11 Giải ví dụ 2.5 (6) 45 3.12 Giải ví dụ 2.5 (7) 45 3.13 Giải ví dụ 2.5 (8) 45 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Trong khoa học kỹ thuật thường gặp nhiều toán liên quan tới phương trình vi phân thường, nhiên phương trình thường phức tạp mà số trường hợp tìm nghiệm tường minh Hơn nữa, công thức nghiệm thường phức tạp, cồng kềnh nên việc khảo sát tính chất gặp nhiều khó khăn Trong kỹ thuật, người ta sử dụng giá trị thu việc giải gần (hệ) phương trình vi phân thường Bởi vậy, việc nghiên cứu phương pháp giải gần để tìm nghiệm phương trình vi phân trở nên cấp thiết tự nhiên Ngay từ thời Archimedes phương pháp giải gần xây dựng thông qua việc nghiên cứu ước tính giá trị số π để xác định diện tích hình tròn Đến kỉ XVIII, vấn đề tìm nghiệm gần Loenhard Euler-nhà toán học người Thụy Sĩ phát triển thu nhiều thành tựu rực rỡ Cụ thể, ông biết đến nhiều với việc sáng tạo chuỗi phương pháp tính xấp xỉ, sử dụng nhiều tính toán, phương pháp tiếng phương pháp Euler Với mong muốn tìm hiểu nghiên cứu phương pháp xấp xỉ nhằm đáp ứng nguyện vọng nghiên cứu khoa học thân, đồng thời gợi ý động viên giáo viên hướng dẫn, mạnh dạn lựa chọn đề tài « Phương pháp xấp xỉ Euler phương trình vi phân thường » làm đề tài luận văn thạc sĩ cho Mục tiêu nghiên cứu đề tài Mục tiêu đề tài sử dụng phương pháp xấp xỉ Euler để xem xét tìm nghiệm gần phương trình vi phân thường, từ so sánh sai số với nghiệm xác phương trình vi phân Đồng thời, nghiên cứu ứng dụng phần mềm Mathematica để viết chương trình tìm nghiệm gần theo phương pháp xấp xỉ Euler mô tả nghiệm xác phương trình vi phân thường đồ thị thông qua gói câu lệnh lập trình Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu phương pháp Euler để tìm nghiệm gần cho phương trình vi phân thường lập trình phương pháp Euler Mathematica Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu phương pháp Euler cho toán lý thuyết phương trình vi phân thường Phương pháp nghiên cứu: Tìm đọc tài liệu phương pháp Euler phương pháp tính xấp xỉ khác; phân tích tài liệu; hệ thống hóa; khái quát hóa tài liệu kiểm chứng Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết, sử dụng tài liệu tham khảo dành cho sinh viên đối tượng có mối quan tâm đến phương pháp Euler cho phương trình vi phân thường Cấu trúc luận văn Ngoài phần Mở đầu Kết luận, luận văn gồm chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số khái niệm, định nghĩa, định lý tồn nghiệm phương trình vi phân thường số phương pháp tính xấp xỉ thường dùng Chương 2: Trình bày nội dung sai số phương pháp xấp xỉ Euler phương trình vi phân thường; đưa số toán phương trình vi phân tìm nghiệm xấp xỉ theo phương pháp Euler; ưu điểm hạn chế phương pháp Euler; đồng thời nêu bật lên việc phát triển so sánh phương pháp với số phương pháp xấp xỉ khác Chương 3: Giới thiệu phần mềm Mathematica trình bày ứng dụng phần mềm phương pháp xấp xỉ Euler CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 1.1.1 Định nghĩa Một phương trình vi phân thường có dạng tổng quát: F (x, y, y , y ” , , y (n) ) = (1.1) x biến độc lập phương trình (1.1), y ẩn hàm, y , y ” , đạo hàm hàm y Cấp phương trình vi phân thường cấp cao đạo hàm (hay vi phân) thực có mặt phương trình Phương trình vi phân thường cấp n có dạng tổng quát: F (x, y, y , , y (n) ) = (1.2) gọi phương trình vi phân cấp n Trong y = y(x) hàm cần tìm 1.1.2 Nghiệm phương trình vi phân thường Hàm y = y(x) gọi nghiệm phương trình vi phân (1.1) phương trình (1.1) thay y = y(x),y = y (x), , y (n) = y (n) (x) ta nhận được: F (x, y(x), y (x), , y (n) (x)) = 34 (không phải y(xn+1 )) giá trị nghiệm xn+1 = xn + (n + 1)h, un+1 = yn + hf (xn , yn ) = yn + hk1 x + xn tính toán Vậy ta không lấy giá trị trung bình hai độ dốc để có độ xác Ý tưởng tạo nên phương pháp Euler cải tiến với nội dung sau: dy = f (x, y), y(x0 ) = y0 Cho toán giá trị đầu: dx Phương pháp Euler cải tiến với bước h gồm công thức truy hồi: k1 = f (xn , yn ), (2.9a) un+1 = yn + hk1 , (2.9b) k2 = f (xn+1 , un+1 ), yn+1 = yn + h (k1 + k2 ) (2.9c) (2.9d) Các công thức dùng để tính giá trị xấp xỉ y1 , y2 , y3 , nghiệm xác y(x) điểm x1 , x2 , x3 , Công thức cuối (2.9d) viết dạng: yn+1 = yn + k với k = k1 + k2 Vậy phương pháp Euler cải tiến với bước h gồm việc sử dụng tiên đoán: un+1 = yn + hf (xn , yn ) (2.10) Sau hiệu chỉnh: yn+1 = yn + h [f (xn , yn ) + f (xn+1 , un+1 )], (2.11) tiếp tục phép lặp để tính giá trị gần y1 , y2 , y3 , tới giá trị y(x1 ), y(x2 ), , y(xn ) nghiệm thực toán ban đầu Cauchy Mỗi bước phương pháp Euler cải tiến cần tính hai giá trị hàm f (x, y), lúc phương pháp Euler thông thường cần tính giá trị, liệu cải tiến phương pháp Euler có phức tạp không hữu ích không ? Ta tìm câu trả lời thông qua ví dụ 2.12 35 Ví dụ 2.12 Tìm xấp xỉ nghiệm toán: dy = x + y; y(0) = 1, dx thông qua phương pháp Euler với h = 0.1, h = 0.005 thông qua phương pháp Euler cải tiến với h = 0.1 Lập bảng so sánh giá trị xấp xỉ giá trị xác [0, 1] với 10 khoảng nhỏ chia Sử dụng phần mềm Mathematica 4.2 toán cho ta tìm nghiệm xác y(x) = 2ex − x − Ứng với h = 0.1, ta có: y1 = 1.1000, y2 = 1.2200, y3 = 1.3620, Ứng với h = 0.005, ta có: y1 = 1.0050, y2 = 1.0101, y3 = 1.0152, Áp dụng phương pháp Euler cải tiến với công thức (2.10) (2.11) với f (x , y) = x + y, ta có: un+1 = yn + hf (xn , yn ), yn+1 = yn + h [(xn + yn ) + (xn+1 + un+1 )] Với h = 0.1 ta được: u1 = + 0.1(0 + 1) = 1.1, y1 = + 0.05 [(0 + 1) + (0.1 + 1.1)] = 1.11, u2 = 1.11 + 0.1(0.1 + 1.1) = 1.231, y2 = 1.11 + 0.05 [(0.1 + 1.1) + (0.2 + 1.231)] = 1.24205, Trong bảng (2.7), so sánh kết phương pháp Euler thông thường phương pháp Euler cải tiến với bước h = 0.1 sai số 36 Bảng 2.7: So x sánh phương pháp Euler Euler cải tiến với toán: Phương pháp Euler Phương pháp Euler dy = x+y; y(0) = dx Phương pháp Euler ứng với bước h = 0.1 ứng với bước h = 0.005 cải tiến với h = 0.01 Giá trị thực tế y 1 1 0.1 1.1000 1.1089 1.1100 1.1103 0.2 1.2200 1.2416 1.2421 1.2428 0.3 1.3620 1.3977 1.3985 1.3997 0.4 1.5282 1.5807 1.5818 1.5836 0.5 1.7210 1.7933 1.7949 1.7974 0.6 1.9431 2.0388 2.0409 2.0442 0.7 2.1974 2.3205 2.3231 2.3275 0.8 2.4872 2.6422 2.6456 2.6511 0.9 2.8159 3.0082 3.0124 3.0192 3.1875 3.4230 3.4282 3.4366 phương pháp Euler thông thường để tính y(1) 7.25% sai số phương pháp Euler cải tiến 0.24% Thực tế, ví dụ cho thấy phương pháp Euler cải tiến với h = 0.1 xác nhiều so với phương pháp Euler thông thường với h = 0.005, phương pháp Euler cải tiến cần 20 phép tính cần đến 200 phép tính loại phương pháp Euler thông thường Như phương pháp Euler cải tiến vừa xác khối lượng tính toán nhiều lại cần 10 Nói chung, với phương pháp Euler làm tảng ta xây dựng nên phương pháp Euler cải tiến- công cụ để giải phương trình vi phân xác 37 CHƯƠNG ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA CHO PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ EULER 3.1 GIỚI THIỆU VỀ PHẦN MỀM MATHEMATICA Trong ví dụ chương vừa rồi, có đề cập đến phần mềm Mathematica, Mathematica có công dụng đề tài nghiên cứu Mathematica lần hãng Wolfram Research phát hành vào năm 1988 hệ thống nhằm thực tính toán toán học máy tính điện tử Nó tổ hợp tính toán ký hiệu, tính toán số, vẽ đồ thị ngôn ngữ lập trình tinh vi Lần version Mathematica phát hành, mục đích phần mềm đưa vào sử dụng cho ngàng khoa học vật lý, công nghệ toán học Cùng với thời gian Mathematica trở thành phần mềm quan trọng nhiều lĩnh vực khoa học khác Ngày nay, Mathematica sử dụng ngành khoa học tự nhiên vật lý, sinh học, toán học, hóa học, công nghệ mà trở thành phần mềm quan trọng ngành khoa học xã hội kinh tế Trong công nghệ ngày người ta sử dụng Mathematica công tác thiết kế nhiều ứng dụng khác phần mềm Số người sử dụng Mathematica ngày tăng Theo số liệu gần đây, tất công ty có Fortune 50, hầu hết 15 chủ chốt phủ Hoa Kỳ 50 trường đại học lớn sử dụng Mathematica Tác giả Mathematica Stephen Wolfram, người xem nhà sáng tạo quan trọng lĩnh vực tính toán khoa học kỹ thuật ngày Ông sinh năm 1959 London học trường Eton, Oxford Caltech Ông bắt đầu phát triển Mathematica vào năm 38 1986 Version Mathematica công bố ngày 23 tháng năm 1988 Công trình xem thành tựu lĩnh vực khoa học tính toán phần mềm toán học tiếng vào bậc 3.2 ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA CHO PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ EULER Việc lập trình vi tính để thực thuật số làm cho kích thước thuật toán người lập thêm phần sắc sảo Tuy nhiên để giải toán phương trình vi phân phương pháp Euler thông qua lập trình máy tính chưa biết đến nhiều sinh viên khối đại học Vì luận văn này, nghiên cứu ứng dụng phần mềm Mathematica để tìm nghiệm xác phương trình vi phân thường viết chương trình tìm nghiệm gần theo phương pháp xấp xỉ Euler, đồng thời mô tả nghiệm xác nghiệm xấp xỉ phương trình vi phân thường đồ thị thông qua gói câu lệnh lập trình Quay trở lại với Ví dụ 2.1 Để tìm nghiệm xác toán dy = x + y; y(0) = −3, dx với cách giải tay thủ công thông thường ta làm sau: y =x+ y , y − y = x, P (x) = − x ⇒ P (x)dx = − , q(x) = x x I = q(x) · e P (x)dx dx = x · e− dx = x x = x · (−5) · e− − (−5) · e− dx = x x = (−5)x · e− + · (−5) · e− = 39 x x = (−5)x · e− − 25 · e− Nghiệm tổng quát phương trình cho là: y(x) = e− P (x)dx · ( q(x) · e P (x)dx dx + A) = x x x = e [(−5)x · e− − 25 · e− + A] = x = −5x − 25 + Ae Mà y(0) = −3 Thay x = y = −3 vào nghiệm tổng quát vừa tìm ta có: ⇒ (−5) · − 25 + A · e0 = −3 −25 + A = −3 A = 22 Vậy nghiệm xác toán cho là: x y(x) = 22e − 5x − 25 Nhưng với phần mềm Mathematica 4.2, ta mở file gõ câu lệnh: Clear[y, x]; DSolve [y [x] == x + y[x], y[0] == −3, y[x], x] nhấn tổ hợp phím shift enter ta kết hình (3.1) Hình 3.1: Tìm nghiệm xác toán Ví dụ 2.1 với Mathematica 4.2 Đồng thời ta tìm nghiệm xác hệ phương trình vi phân Ví dụ 2.9 hình (3.2) 40 Hình 3.2: Tìm nghiệm xác toán Ví dụ 2.9 với Mathematica 4.2 Thông qua phần mềm Mathematica ta vẽ đồ thị hàm nghiệm xác Ví dụ 2.3 với hình (3.3) Hình 3.3: Đồ thị nghiệm xác y(x) = − ex Khi thực giải phương trình vi phân thường phương pháp xấp xỉ Euler ta lập trình thuật toán để thực bước lặp cách nhanh chóng Ví dụ 2.1b hình (3.4) 41 Hình 3.4: Lập trình Mathematica tìm nghiệm xấp xỉ toán y = x + y, y(0) = 3, h = 0.2 trên[0, 1] theo phương pháp Euler Bên cạnh việc giải hệ phương trình vi phân theo phương pháp Euler thông qua phần mềm không phức tạp, ta xem hình (3.5) Hình 3.5: Lập trình Mathematica tìm nghiệm xấp xỉ hệ phương trình vi phân Ví dụ 2.9 theo phương pháp Euler 42 Bây ta xét thêm vài toán ví dụ luận văn để hiểu thêm phần mềm Mathematica Quay lại Ví dụ 2.5, để giải ví dụ vẽ đồ thị so sánh nghiệm xấp xỉ bước lặp nghiệm xác toán ta phải biết bước bản: Tìm nghiệm xác toán cho Vẽ đồ thị nghiệm xác toán Giải toán theo phương pháp Euler với 50 bước lặp vẽ đồ thị nghiệm xấp xỉ trường hợp Giải toán theo phương pháp Euler với 100 bước lặp vẽ đồ thị nghiệm xấp xỉ trường hợp Giải toán theo phương pháp Euler với 200 bước lặp vẽ đồ thị nghiệm xấp xỉ trường hợp Giải toán theo phương pháp Euler với 400 bước lặp vẽ đồ thị nghiệm xấp xỉ trường hợp Biểu diễn đồ thị nghiệm xác nghiệm xấp xỉ với bước lặp 50, 100, 200, 400 Từ ta thực viết chạy chương trình giải toán theo phương pháp Euler với Mathematica 4.2 hình ảnh cụ thể sau: Hình 3.6: Giải Ví dụ 2.5(1) 43 Hình 3.7: Giải Ví dụ 2.5(2) Hình 3.8: Giải Ví dụ 2.5(3) 44 Hình 3.9: Giải Ví dụ 2.5(4) Hình 3.10: Giải Ví dụ 2.5(5) 45 Hình 3.11: Giải Ví dụ 2.5(6) Hình 3.12: Giải Ví dụ 2.5(7) Hình 3.13: Giải Ví dụ 2.5(8) 46 Như việc am hiểu cách giải nghiệm phương trình vi phân thời đại công nghiệp hóa nay, sinh viên nên tìm hiểu thêm phần mềm toán học hỗ trợ việc thực tính toán cách nhanh chóng dễ dàng Điển phần mềm Mathematica mà sử dụng luận văn 47 KẾT LUẬN Đề tài "Phương pháp xấp xỉ Euler phương trình vi phân thường" đạt kết sau: Đề tài đưa kiến thức phương pháp Euler ứng dụng từ đưa hạn chế để khắc phục phát triển phương pháp Đề tài đưa số ví dụ tập để nêu bật lên ưu khuyết điểm phương pháp Euler Đề tài đưa phần mềm ứng dụng mang tên Mathematica có ý nghĩa hỗ trợ việc giải toán vi phân cách nhanh chóng dễ dàng Đề tài có ý nghĩa thực tiễn làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành Toán, sinh viên sư phạm, cử nhân Toán-Tin trình dạy học môn Phương trình vi phân giải tích số Phương trình vi phân môn học hay, phong phú, đa dạng với nhiều phương pháp tính; đề tài có khả mở rộng nghiên cứu thêm phương pháp khác, đặc biệt phương pháp tính xấp xỉ: phương pháp xấp xỉ bước phương pháp Euler cải tiến, phương pháp Runge-Kutta, hay phương pháp đa bước phương pháp Adams Do khả thân hạn chế, có nhiều cố gắng xong luận văn không tránh khỏi sai sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô bạn để đề tài phát triển 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Tôn Tích Ái (2001), Phương pháp số, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [2] Phạm Kỳ Anh (2008), Giải tích số, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [3] Trần Anh Bảo, Nguyễn Văn Khải, Phạm Văn Kiều, Ngô Xuân Sơn (2007), Giải tích số, NXB Đại học Sư phạm [4] Phan Đăng Cầu, Phan Thị Hà (2002), Giáo trình phương pháp số, Học viện công nghệ Bưu Viễn Thông [5] Tạ Văn Đỉnh (1997), Phương pháp tính, NXB Giáo dục Hà Nội [6] Nguyễn Hữu Điển, Nguyễn Minh Tuấn (2001), Tra cứu soạn thảo Latex, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Tiếng Anh [7] Edvards C.Hendry,david E.Penney ̣(2007), Elementary diferential equadtions with boundary value problems, Prentice Hall [8] N.Bacvalop (1976), Methodes Numberique [9] Roger Cooke (1984), The Mathematics of Sonya Kovalevskaya, Springer-Verlag Websites [10] www.maths.vn [11] www.mathscope.org [12] www.violet.vn [...]... các phương 5 trình vi phân mô tả hệ cơ, lý học, hóa học, sinh học nhìn chung rất phức tạp Chính vì vậy, các phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân rất được quan tâm, nghiên cứu Người ta phân biệt các phương pháp giải gần đúng thành hai loại: phương pháp giải tích và phương pháp số 1.3.1 Phương pháp giải tích - Phương pháp xấp xỉ Picard Xét bài toán (1.3) trong đó f xác định và liên tục trong. .. (1.4c) (1.4d) 7 CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP EULER CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 2.1 GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP EULER 2.1.1 Nguồn gốc phương pháp Euler Ta biết rằng không phải tất cả các phương trình vi phân dạng tổng dy quát = f (x, y) đều có thể giải được chính xác dưới dạng hiển bằng dx các phương pháp như giải tích Chẳng hạn, xét phương trình: dy 2 = e−x (2.1) dx 2 Nghiệm của phương trình (2.1) chỉ là một... lớn trong Ví dụ 2.5 mô tả ở hình (2.7) thì phương pháp Euler vẫn cho kết quả tốt khi tìm nghiệm gần đúng 20 2.3 PHƯƠNG PHÁP EULER TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Mở đầu nhiều bài toán khoa học kỹ thuật chủ đạo là (hệ) phương trình vi phân và điều kiện ban đầu Nghiệm đúng của chúng thường chỉ áp dụng cho một số lớp bài toán rất hạn chế, đa số các bài toán là phải tìm nghiệm gần đúng Trong phương pháp. .. ), để tính các giá trị nghiệm xấp xỉ trong khoảng [a, b] Xét bài toán: x = f(t, x), x(t0 ) = x0 x = (x1 , x2 , , xn+1 ), f = (f1 , f2 , , fn+1 ) (2.4) Đây là hệ gồm m phương trình vi phân cấp một Công thức lặp của phương pháp Euler ứng với hệ phương trình vi phân là: Xn+1 = Xn + hf (t1 , Xn ) (2.5) Ví dụ đối với hệ gồm m = 2 phương trình vi phân cấp một, chúng ta vi t : X= x f và f = y g 21 Khi... đúng Trong phương pháp số có phương pháp Euler- là phương pháp một bước tính nghiệm gần đúng yn+1 thông qua yn với f (xn , yn ) thường được dùng để giải các bài toán về phương trình vi phân cấp một và hệ phương trình vi phân thường Bây giờ chúng ta sẽ đi vào tìm hiểu cách giải các bài toán đó Xét bài toán Cauchy:   dy = f (x, y), dx  y(x ) = y 0 0 Áp dụng phương pháp Euler với bước lặp h, ta có công... nghiệm xấp xỉ (2.2) Dựa vào nghiệm chính xác ta đưa ra giá trị chính xác tại các giá trị x cần tìm với phương pháp Euler qua các bước nhảy ở bảng (2.2) Chúng ta thấy rằng với mỗi bước lặp h cố định thì sai số (ychính xác − yxấp xỉ ) sẽ tăng lên khi x càng xa điểm đầu x0 Nhưng khi xem các hàng 17 Bảng 2.2: x Xấp xỉ Euler bài toán y xấp xỉ y xấp xỉ dy = y − 2; y(0) = 1 với bước lặp nhỏ dần dx y xấp xỉ y xấp. .. NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG BẬC NHẤT 1.2.1 Định nghĩa về điều kiện Lipschitz Hàm f (x, y) thỏa mãn điều kiện Lipschitz trong miền D của mặt phẳng Oxy theo biến y nếu tồn tại L > 0 (hằng số Lipschitz) sao cho với ∀(x, y1 ), (x, y2 ) ∈ D: |f (x, y1 ) − f (x, y2 )| ≤ L|y1 − y2 | 1.2.2 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân thường bậc nhất Cho phương trình vi phân thường. .. điểm của phương pháp Euler Để hiểu rõ phương pháp và tiện so sánh các giá trị xấp xỉ và giá trị nghiệm chính xác, ta xét Ví dụ 2.1 Ví dụ 2.1 Dùng phương pháp Euler tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán giá trị ban đầu dy 1 = x + y; y(0) = −3 dx 5 cho từng trường hợp sau: a h = 1 trên [0, 5] b h = 0.2 trên [0, 1] 1 Ở bài toán này f (x, y) = x + y với x0 = 0; y(0) = −3 Áp dụng 5 công thức của phương pháp Euler. .. số 2.4 MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG VỚI PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ EULER TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Ví dụ 2.6 Hãy dùng phương pháp Euler hai lần để tìm nghiệm gần 1 đúng trên [0, ] , lần đầu với bước lặp h = 0.25 và lần sau với bước lặp 2 h = 0.1 của bài toán giá trị đầu: y = −y; y(0) = 2 Hãy so sánh các kết quả nghiệm gần đúng (lấy 3 chữ số thập phân) với 1 giá trị nghiệm chính xác y(x) = 2e−x... dạng một hàm sơ cấp Mọi cố gắng sử dụng các phương pháp như phương pháp chuỗi nguyên để tìm ra một công thức nghiệm dạng hiển của phương trình (2.1) đều thất bại Vấn đề trên đã được giải quyết trong thế kỉ XVIII bằng phương pháp mang tên nhà toán học vĩ đại Euler Bài toán được lập để vẽ đường cong nghiệm từ điểm đầu (x0 , y0 ) của phương trình y = f (x, y) Quá trình này được tiến hành như sau: • Bút vẽ