Phương pháp phần tử hữu hạn lý thuyết và lập trình tập 1 nguyễn quốc bảo, trần nhất dũng

Trong chương 3 cũng đã dẫn ra phần tử tam giác biến dạng không đổi tam giác 3 nút, phẩn tử chữ nhật 4 nút nhàm phân tích các loại kết cấu phẳng này.. Trong chương này chúng ta sẽ nhắc lạ

NGUYỄN QUỐC BẢO TRẦN NHẤT DŨNG

NGUYỄN QUỐC BẢO - TRẤN NHÂT DŨNG

Biên soạn

TẬP HAI (In lần thứ hai có điếu chỉnh và bổ sung)

ar Dùng cho sinh viên, học vién cao học, nghiên cứu sinh chuyên ngành cơ, kỹ

thuật thuộc khối ngành xây dựng, kiên trúc, giao thông, thuỷ lợi, mỏ địa chất Thích họp cho mọi doi tuợng quan tám đèn lý thuyết và kỹ thuật lập trình với phấn tử hữu hạn.

NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC VÀ KỸ THUẬT

HÀ NỘI

phát triển trong vòng vài chục năm trở lại dãy, nhưng do yêu cấu tính toán của một bài toán thực tế thường dõi hỏi một khôi lượng tính toán rất lớn, do vậy việc ứng dụng pp PTHH trước đày gặp không ít khó khăn Chỉ cho đến khi có sự xuất hiện cùa các máy tính cá nhãn (PC) cùng vói những tiến bộ to lớn của cóng nghệ thông tin trong những năm gần dãy mới thật sự cho phép phương pháp tính này được ứng dụng một cách phổ biến và rộng rãi Cùng với việc tính giải các dại lượng cơ học của két Cấu như biên dạng; ứng suất; chuyên v ị pp PTHH còn là cơ sở của lỉnh vực mò phỏng hoá trong các bài toán thiết kế Thòng qua sự phát triến cùa kỹ thuật đố hoạ trẽn máy tính người ta có thế mó phỏng hoá các hoạt dộng của két cấu; giá định vô sô các phương án tính toán dể từ dó chọn lựa giải pháp tối ưu Điéu này cho phép giám chi phí và thòi gian thực hiện các thí nghiệm theo phương pháp truyền thống Cùng với sụ tiến bộ cùa khoa học kỹ thuật máy tính dã trở thành một bộ phận quen thuộc và không thể thiêu trong các hoạt dộng nghiên cứu cũng như ứng dụng thực tiễn Theo dó, cũng ngày càng xuất hiện nhiều hơn các chương trình tính toán sử dụng p p PTHH với phạm

vi ứng dung ngày càng phong phú và da dọng : tính toán kết cấu; tính toán nhiệt; tính

tuổi thọ công trình; m ô phỏng; tối Uli hoá v.v Đối với thục té ở Việt Nam pp PTHH cũng đã từng được nghiên cứu và ứng dụng khoảng vài chục năm trở lại đày với sô lượng người tham gia nghiên cứu ngày càng tăng nhanh, phạm vi ứng dụng ngày càng phong phú,

da dạng.

Đế dáp ứng nhu cầu học tập và nghiên cứu pp PTHH - nắm bắt các khía cạnh, cót lõi cùa

nó theo một trình tự LOGIC và tạo diều kiện cho bạn dọc có the vận dụng nó dể lập trình tìm lời giải cho một bài toán cụ thè, chúng tói dã cô gắng tìm hiểu và biên soạn tài liệu này Đáy

là tài liệu được biên soạn chủ yếu phục vụ các đỏi tượng nghiên cứu là sinh viên, kỹ su thuộc các ngành cơ kỹ thuật, kết càu công trình, cơ khí, giao thõng, thuỷ lợi, mỏ địa chát Ngoài ra sách cũng hỗ trợ rất tốt cho các dối tượng là nghiên cứu sinh, học viên cao học, thuộc khói Kỹ thuật công trình và Cơ kỹ thuật - Là các dối tượng dã dược trang bị tốt các

4 MỤC LỤC

kiến thức vé lý thuyết ma trận, vê đại sô tuyến tính và tin học đại cương Đày là một cuốn sách được trình bày theo kiêu giáo trình với các diẻn giải lý thuyết cô dọng vò dẻ hiểu, có phần ví dụ minh hoạ và giải thuật dê người dọc có thè vận dụng.

Toàn bộ nội dung sách dược trình bày trong tông so 12 chương, xuất bản thành 2 tập.

Táo 1 : gôm 7 chương trong đó 5 chương đáu dành cho việc nghiên cứu các lý thuyết chung của p p PTHH Chương 6 là cấu trúc và giãi thuật của một chương trình tính minh hoạ Chương 7 trình bày các lý thuyết tính giải bài toán thanh phắng (2D) và thanh không gian (3D).

Táp 2 : gồm 5 chương trình bày các dạng bài toán diến hình của p p PTHH : bài toán phẳng; bài toán ứng suất 3 chiểu; tấm chịu uốn; bài toán két cấu vỏ V.V VÀ cuối cùng là phần mã nguồn của toàn bộ chương trình tính theo các lý thuyết đã trình bày trong các chương trước.

Đẻ tiện cho bạn đạc trong quá trình tìm hiểu sách và liên hệ vận dụng lập trình trên máy tính, trong toàn bộ sách này hệ thống các ký hiệu, quy ước vê hệ toạ độ; vé ma trận; vế vectơ

V.V dược trình bày theo đúng "chuẩn" của cơ học kết cấu (ví dụ: { A } - là vectơA; Ị K ] - là

ma trận K) Riêng phần thè hiện dấu phảy động, thống nhất trong toàn bộ tài liệu được thể hiện theo chuẩn Anh - Mỹ, nghĩa là sử dụng dấu chấm ( ) thay cho dâu phảy ( , ) Cách thê hiện này chủ yếu tạo tính tiện dụng khi liên hệ lập trình và đói chiếu kết quá trên PC, vì hiện nay cách thê hiện sô thực trẽn hầu hết các máy tính vẩn là lôi thê hiện kiêu Anh - Mỹ (ví dụ: viết theo kiêu Việt Nam thi sô Pi có trị số như sau Pi=3,14159265; còn viết theo kiểu Anh -

Mỹ thì Pi=3.14159265).

Sau lấn xuất bàn thứ nhất, năm 2003, sách dã dược dộc già gần xa nống nhiệt dốn nhận và

cổ vũ Sách cũng dã chính thức dược nhiêu trương dại học trong cà nước chọn làm tài liệu giảng dạy môn học PTHH Đáp lại sự yêu mến và động viên cùa dọc giả, chúng tôi cho tái bản 02 tập sách này Trong lần xuất bán này chúng tôi có hiệu chỉnh và bổ sung một sô thông tin cho phù hợp với sự phát triển cùa cóng nghệ thông tin những năm gấn đáy Hy vọng là các nội dung thông tin trong 02 tập sách này vẩn là món quà hữu ích cho các dọc giả.

Tuy nhiên do kiến thức có hạn, nội dung cấn trình bày quá rộng lớn và phức tạp, chắc chắn ngay cả lấn xuất bàn này cũng sẽ không thé tránh khỏi các thiếu sót đáng tiếc, xin dược thông cảm và rất mong nhặn dược các ý kiến đóng góp xáy dựng của bạn đọc gán xa.

NGƯỜI BIÊN SOẠN

MỤC LỤC

Trang

toán phân tích kết cấu 3 chiều tổng quát có thể quy về bài toán phảng như bài toán ứng suất phảng, biến dạng phăng v.v Trong chương 3 cũng đã dẫn ra phần tử tam giác biến dạng không đổi (tam giác 3 nút), phẩn tử chữ nhật 4 nút nhàm phân tích các loại kết cấu phẳng này Trong chương này chúng ta sẽ nhắc lại ngắn gọn các phần tử đã trình bày trên, đồng thời dẫn ra công thức phần tử hữu hạn cho các phần tứ tam giác bậc cao và phần tử đồng tham sô.

Các bước xây dựng công thức phần tử hữu hạn đê phàn tích bài toán ứng suất phảng và biến dạng phăng có thê dược mớ rộng dễ dàng đê phân tích bài toán vật thê đỏi xứng chịu tải trong đôi xứng Điều đó đươc minh hoa qua các bước xây dưng tính chất phần tử cho phần tử đồng tham số 4 nút Ngoài những nội dung cơ bản bàn về xây dựng tính chất phần tử để giải các bài toán phảng, trong chương này còn đề cập đến kiểm định Patch và phần tử bétông cốt thép Kết quả phân tích lý thuyết được thê hiện lập trinh trong hai chương trình con Chương trình con CST cho phần tứ tam giác phảng 3 nút và chương trình con PSQR4 cho phần tứ tứ giác đồng tham sô' 4 nút Cà hai chương trình con trên đều được đưa vào trong thư viện phần

tử của PASSFEM

8.1 CÁC PHẦN TỬ TAM GIÁC

Các phẩn tử tam giác có ưu điểm là đơn giản trong quá trình xây dựng tính chất phần tử và thê hiện trong lập trình, v ề sứ dụng, loại phần tứ này cũng tỏ ra thích hợp khi nghiên cứu

8 BÀI TOÁN PHẲNG

các vùng tập trung ứng suất và các bài toán có biên phức tạp Dưới đây ta xét hai loại phần

từ tam giác là tam giác biến dạng không đổi và tam giác biến dạng tuyến tính

8.1.1 Tam giác biến dạng không dổi (CST)

Trên hình 8.1 minh hoạ phần tử tam giác 3 nút Đặt mặt phảng phần từ vào hộ toạ độ

Descartes tổng quát Oxy Phần tử có 3 nút, mỗi nút có hai thông số chuyển vị Chuyển vị u

dọc trục X và chuyển vị V dọc trục y Hàm dáng của phần tử trong hệ toạ độ tự nhiên đ ã được dẫn ra theo công thức (3.39) Tính chất phần từ cũng nhận được theo các cỏng thức (3.85), (3.90) và (3.105) trong chương 3 Do hàm dáng được xây dựng từ nội suy tuyến tính chuyển

vị cùa điểm bất kỳ trong phần tử theo toạ độ nên biến dạng và ứng suất là khống đổi trong toàn phần tử và phần tử tam giác 3 nút còn được gọi là phần tứ tam giác biến dạng không đổi Đây là phần tử đơn giản nhất trong xây dựng tính chất phần tử cũng như trong thể hiện lập trình

8.1.2 Phẩn tử tam giác biến dạng tuyến tính ( LST)

Phần từ tam giác biến dạng tuyến tính là phần từ tam giác 6 nút, 3 nút chính đặt tại 3 đỉnh cùa tam giác và 3 nút phụ đạt tại 3 điểm giữa của 3 cạnh như chi ra trên hình 8.2 Chuyên vị tại mỗi diêm bất kỳ trong phần tử được xấp xí bậc hai theo toạ độ Từ xấp xỉ trên dẫn ra được hàm dáng theo các công thức (3.46) và (3.47)

Ạy

u 2

->

Hình 8.1 - Phần tửCST Hình 8.2 - Phần tử LST.

sô tương ứng tại 3 nút chính Đạt biểu thức nội suy cho biến dạng và ứng suất dưới dạng:

Trong hai công thức trên chí số n chi các thông số tại nút Nếu vật liệu là đồng nhất và đẳng hướng trong toàn phần tử thì hai hàm dáng lA^] và INcl sẽ dồng nhất với nhau Mạt khác như đã biết trong chương 3, các giá trị biến dạng tại nút có thể biêu diễn thông qua các

thông số chuyển vị nút nhờ ma trận chuyên vị nút - biến dạng [B„] theo công thức (3.9).

Quan hệ chuyển vị nút-biến dạng đối với phần tử LST được dẫn ra tương tự như đối với phần

tử CST ở mục (3.6) Quan hệ này có thê biểu diễn như sau:

Vectơ biến dạng nút bao gồm 9 thành phần là:

u „ } r = [£„ el2 £z, £„ £,2 £,, ỵxy, ỵXf2 Yx,y\

(8.8a)

(8.8b)

(8.9)

> , r {«tr W '

k l = K ] = í »ì r k , r ì »ì r

> r ( o r k rtrong đó : (V, )r = [í., L t L ,

Đôi với bài toán hai chiểu, ma trận vật liệu [C] có dạng :

12 BÀI TOÁN PHÀNG

Trong trường hợp chiểu dày phần tử là khỏng đổi và có giá trị h Tích phân khối tính ma

trận ỊD] trong công thức (8.6b) có thể chuyên về tích phân diện và công thức tính ma trận [D] có thể tính theo trình tự sau:

[ k j = [fln] ' Ị D U C n).[fln]

Ma trận [fln| được tính bằng cách thay các giá trị cùa | f inl| và |fin2) từ (8.1 1 a) và (8.1 1 b) vào (8.10) Ma trận [ C J được tính theo (8.14) Đế tính ma trận [D], trước hết ta tính ma trận [D|l theo (8.16) sau đó thay vào (8.15a) Cuối cùng nhan liên tiếp 4 ma trân trên đê tính

[AJ.

8.1.3 Tính vectơ tải nút

Tải trọng nút nảy sinh từ các thành phần lực khối và lực diện cho phần tử tam giác biến dạng không đổi đã được dẫn ra trong mục 3.7.1 Dưới đay ta xét tài trọng nút cho phần từ LST

Hình 8.3 • Tính vectơ tải nút cho phấn tử LST.

Xét phần tử LST chịu lực diện tác dụng lên cạnh chứa các nút 1-4-2 theo phương trục X như minh hoạ trên hình 8.3 Biến thiên của tải trọng giả sử là bậc hai và được xấp xỉ bằng hàm nội suy sau :

p , = [ i , ( 2 A , - 1 ) L ,{ 2 L , - 1 )

Xi

o xl

Trong ví dụ minh hoạ này, áp lực diện chỉ tác dụng theo hướng trục X, nghĩa là thành.phần

{Qy\ - 0- Ký hiệu p x là lực trên một đơn vị dài ta có:

Tích phân diện trên chuyển thành tích phân dường lấy dọc theo cạnh 3, cạnh chứa các nút (1-4-2) của tam giác Ta có:

Các thành phần khác của {(?,} nghĩa là Qxĩ QxS Qr6 bằng 0 khi không có ngoại lực tác

dụng trên hai cạnh còn lại

xem xét phần tử này như quá trình chuẩn bị kiến thức để xem xét các phần tử phức tạp hơn Dưới đây ta xét phần tử chữ nhật 4 nút ( ký hiệu PSR4) và phần tử chữ nhật 8 nút ( PSR8).

1 6 BÀI TOÁN PHĂNG

trong đó: ( l - r ) ( l - s )

4_ ( 1 + ' • ) ( ! - * )

8.2.2 Tính vectơ tải nút

Vectơ tải nút tính cho các thành phần lực diện tác dụng trên các cạnh của phần tử có thể tính theo các biểu thức tổng quát đã trinh bày trong mục 8.1 cho phần tử LST Hình 8.5 minh hoạ phần tử chữ nhật chịu lực diện biến thiên tuyến tính riêng trên cạnh 2.3 với cường độ trên

đơn vị dài px2 và p x, tại các nút 2 và 3 tương ứng.

sau :

y

> x

Hình 8.5 - Phẩn tử PSR4 chịu lực diện.

Tại mồi diếnl bất kỳ trên cạnh 2.3 , cường độ lực diện có thể biểu diẻn t I C O ham nôi su> như

Yeutơ tai nong nút dược tính theo công thức chung :

dọc theo cạnh 2.3 X - I do đó :

0

( 1 - 5 )

(1 + * ) 0

tự nút, với nút lần lượt theo các thông sô' chuyển vị UịVị (i = l 4- 8), ta có hàm dáng và quan

hệ chuyển vị nút - chuyển vị:

o : •

(8.30a)

troiig dó: mỗi thành phần của hàm dáng iY,(i = l 4 8) được xác định theo cỏng thức (3.59a)

Ma trận [5] trong quan hệ chuyển vị nút - biên dạng:

{*} = \B).{d)

đưcrc tính theo các đạo hàm hàm dáng:

2 0 BÀI TOÁN PHANG

Trong trường hợp phần từ có chiểu dày hkhông đổi, ma trận độ cứng phần tử được tính theo công thức chung:

8 3.1 Phần tử đổng tham Số 4 nút PSQ4

VỚI phán tử này, lý thuyết tiếp cận và thù tục cầu phương Gauss tính

dã dược tnnh bày trong chương 4 Cả hai nội dung trên đếu thíchiiợp VỚI lập trình nén

không cần b a i ^ n ẻ m nữa Trong mục n a ỹ t ã x e t t h ẻ m c a c n

ra do các lực diện tác dụng lên cạnh phần tử

ma trận độ cứng [/c,„]

tải nút {Q„,} sinh

Hình 8.7 - Phẩn tử đông tham sô' PSQ4

2 2 BÀI TOÁN PHĂNG

Trong trường hợp này [An và {p} được tính lần lượt theo các công thức (8.35) và (8.34) tương ứng Nếu chiều dày phần từ tại điểm r bất kỳ được ký hiệu là h'r, ds = hr.dl Trong đó

dl là vi phân chiều dài Có thê chỉ ra là:

âr âr là các phần tử của ma trận Jacobian được cho theo công thức

(4.6) Thay s = -1 vào ta được :

ớ x x ĩ - Xị à y y 1 - y t

trong đó / là chiểu dài cạnh 1.2

Bằng phép đổi biến trên, tích phân (3.18) chuyển thành :

-1Tích phân trên là tích phân đường, sau khi thay tất cả các thành phần từ các công thức (8.32) (8.35) và (8 38), tích phan trẽn có thể tính tưởng minh Tuy nhiên ngay cà trong trưởng hợp này, đê tiện lợi lập trình vẫn nên sử dụng tích phân số Thù tục tích phủn sô được trình bày ngắn gọn theo các bước sau:

Sừ dụng cđu phương Gauss trong mục 4.2.1 Ta có :

Sau khi chọn hai điểm mẫu, tích phân được tính như sau :

1_VI

0000

(8.42a)Kết quả tính cho biểu thức (8.42b) dưới đây:

2 4 BÀI TOÁN PHANG

theo biêi

l.t \ccto cac ih.iidi phần toạ độ nút.

( u thành phán v,(/ 8) được định nghĩa theo công thức (3.9a).

1 liêng I ư hion Ihicii chuyển vị cũng được mô tả bằng cùng một hàm dáng :

I.I Via te I -K thanh plìẩn chuyển vị nút.

Các tlianli phan ham dáng Nị(i =1+ 8) được xác đinh theo công thức (3.59a)! Ma trân d(> cưng phan tưdưiK tiihbằngcầu phương Gauss như dã trinh bày trong chương 4.

8 4 MÒ HÌNH C H U Y Ể N VỊ KH Ô N G TƯƠNG THÍCH

! liên cả hai phương pháp trên đẻu đẫn tới tăng thời gian tín 1 va đòi hoi

đòi hỏi quá nhiều về thời gian tính và dung lượng bộ nhớ? Một hướng suy nghĩ khác đã đươc

Willson phát triển là khả năng sứ dụng mode chuyển vị không tương thích Chúng ta sẽ khảo sát nội dung này thỏng qua phần tử PSQ4

2 6 BÀI TOÁN PHẲNG

8.4.1 Nguổn gốc sai số

Một trong các nguyên nhân dẫn đến sai số khi sử dụng phần tử đồng tham số 4 nút PSQ4 là

ờ chỗ phần tử này khỏng thê mô tả gradien ứng suất Hàm chuyển vị được cho theo cổng thức (3.52) là không đầy dù do không chứa các thành phần bậc hai trong biểu thức hàm dáng Vì vậy hàm chuyển vị này không có khả năng mô tả trạng thái uốn cùa hệ Điều dó được minh hoạ rõ ràng khi xét phần từ chữ nhật đơn giản chịu uốn như trên hình 8.10 Đặt gốc toạ độ tại tâm phần tử, các thành phần ứng suất theo lý thuyết uốn cơ bản gồm:

trong đó : E - mồđun đàn hổi;

y - khoảng cách từ điểm tính đến trục trung hoà;

< 2 a >

y

a ứng suất uốn đơn giản.

b Chuyển vị chính xác c Chuyển vị của phần tử hữu hạn.

2 8 BÀI TOÁN PHĂNG

Theo phương trình (8.47a) và (8.47b), chuyên vị V có thê biểu diễn như sau:

.2 \

1

-(8.48)

(8.49a,b)

I/ - /v ,u , + jVjIIj + N j U j + A\ u Ậ + p , a , + P1a 1

V - NịVị + jVjVj + N 3V3 + Ar4v4 + PịCCy + P 2a 4

t rong dó : / ’, = ( 1 - r 2) và Pỵ = (1-s2)

(8.50)

Đi ểm càn lưu ý là các hàm Pị và p2 được chọn sao cho chúng phải triệt tiêu tại 4 nút dế duy

trì tính tương thícM M ^huvẻn vi tai các nút này và để bảo đàm cùng U N I khi xét biến

dạng uốn Biên độ chuyển vị a , là các bậc tự do phụ, do đó kích thước ma trận độ cứng sẽ là

(12 X 12) Tuy nhiên nếu năng lượng biến dạng bên trong phần tứ là cực tiểu đôi với các a, thì 4 phương trình bổ sung nhằm tính các a, này sẽ được khử ra khỏi ma trận độ cứng và

kích thước ma trận độ cứng trở lại kích thước 8x8 ban đầu Thủ tục này tương tự như thủ tục quy rút tình học đã xét ở trên.

Chúng ta đã xét phần tứ tứ giác không tương thích PSQ4 Tuy nhiên độ chính xác đạt được còn phụ thuộc cách rời rạc phần tử Nếu phần tử được chọn là chữ nhật thì sẽ đạt được kết quả tốt như đã khảo sát trên

3 0 BÀI TOÁN PHĂNG

trong đó: {Qa} là vectơ lực nút, {da} là chuyển vị nút \kaa] là ma trận độ cứng tương ứng với

các thành phần chuyển vị {dcù^kga] là ma trận độ cứng tương ứng với các chuyển vị phụ {«} và [ k ^ ] = [*aơ]r

Trong sô' ba tiêu chuẩn hội tụ đã xét trong mục 3.3 chương 3, hai tiêu chuẩn đầu đã thoả mãn cho phần tử đang xét Bây giờ ta xét điểu kiện mô tả trạng thái biến dạng không dổi của hàm xấp xí

Giả sử {dca) là vectơ chuyển vị cho trạng thái biến dạng không đổi Dưới điéu kiện này,

vectơ chuyển vị bổ sung {a} phải bằng khỏng đê sao cho các mode tương thích không phải

là tích cực Phương trình thứ hai của (8.55) có thể biếu diễn như sau:

Bây giờ [C] là hằng sô' và [B]{dcpị = { £ a\ cũng là hẳng sô' (theo giả thiết trạng thái biến

dạng khổng đổi) Như vây phương trình (8.58) được đơn giản thành :

Với bài toán hai chiều, phương trình (8.59) trò thành:

Vectơ chuyển vị phụ {a}, như vậy buộc phải bằng khổng để bảo đảm điểu kiện biến dạng không đổi, nghĩa là bảo đảm mọi điểu kiện hội tụ

Ma trận Jacobian [7] được tính tại tâm phần từ là :

3 2 BÀI TOÁN PHANG

các hệ sỏ cùa ma trận Jacobian nghịch đào 7 ‘ ij tương ứng vói mỗi thành phun < hu\cn VỊ nút

i ong tliưc (8.64a).

Ma trân \li\ đươc tính t heo c o n e thức (X.(Ư)I

M

(*.65)

Chọn kết cấu đơn giản, chọn tải trọng sao cho biến dạng trong kết cấu là không đổi Chia kết cấu thành một sở nhó tối thiêu các phần tử mà ta cầq kiếm tra tính chất đúng đắn của quá trình xây dựng và lập trình tính chất phđn tử Cách chia sao cho có ít nhất một nút nầm bên trong kết cấu Sau đó ta đặt các tải trọng lên nút trên biên tương ứng với trạng thái biến dạng không đổi, dồng thời đạt lên kết kấu đù các liên kết trên biên đê kết cấu không thể dịch chuyển như một vật rắn tuyệt đối Một kết cấu kiêm định như vậy được gọi là một

Patch Thực hiện tính kết cấu cho Patch theo mô hình PTHH đã rời rạc Nếu biến dạng trong các phần tử là như nhau, thì ta nói phần tử đã qua được kiểm định Patch.

3 4 BÀI TOÁN PHANGBạn đọc có thể thực kiểm định Patch qua các bài tập thực hành, tuy nhiên hoàn toàn có thể

sử dụng phép kiểm định trên cho các loại phần tử tấm, vỏ, vật khôi 3 chiểu

Kiểm định Patch do Irons đề suất, về sau cơ sở cơ học và toán học của phép kiểm định này

đã được phát triển khá mạnh, cho tới nay, phép kiểm định Patch đạt được các vai trò sau:

1) Kiểm định Patch được coi lấ điếu kiện cần và đù để hội tụ

2) Kiểm tra tính chất đúng đắn của quá trình xây dựng và lập trình tính chất phần tử.3) Kiểm tra tính chất đúng đắn của cả các phần tử hữu hạn có sử dụng các mode

không tương thích để tăng cường hiệu quả tính toán trong một số trường hợp

Khi rời rạc hoá kết cấu bêtông cốt thép, nhất thiết phải tính tới đặc điểm bố trí thép trong kết cấu Thông thường, vể lý thuyết ta có thể xem cốt thép như phần tử thanh, còn bêtông được rời rạc theo các phần tử chữ nhật hay các phần tử tứ giác đổng tham số Trong trường hợp này, việc chọn lưới phần tử phụ thuộc nhiều vào khoảng cách của cốt thép và định hướng của cốt thép trong kết cấu Điều đó, trong nhiều trường hợp dẫn tới lưới phần tử hữu hạn đặc biệt dày v ề phương diện thực hành tính toán, nếu một lưới quá dày mà chí cho kết quả với cùng độ chính xác với một lưới khác thưa hơn thì bao giờ cũng phải ưu tiên sử dụng lưới thưa để tiết kiệm thời gian và bộ nhớ của máy tính Với kết cấu bêtông cốt thép, muốn

sử dụng lưới thưa để đạt được độ chính xác xấp xi lưới dày hơn thì việc rời rạc phải không phụ thuộc vào khoảng cách giữa các cốt thép Trong các chuyên khảo chương [11,12] đã đề cập tới phương pháp rời rạc kết cấu bêtông cốt thép độc lập với khoảng cách cốt thép này Kết quả dẫn tới chương trình kinh tê hơn về phương diện tính toán do giảm được sô lượng nút và phần tử mà vẫn giữ được độ chính xác mong muôn Trong mục này trình bày phần tử bêtông cốt thép, bằng phần tử này cho phép rời rạc kết cấu độc lập với khoảng cách và định hướng của cốt thép

8.6.1 Phần tử bêtông Cốt thép

Trên hình 8.1 1 minh hoạ phần tử bêtổng cốt thép, trong đó cốt thép có định hướng bất kỳ

Hình 8.11 - Phần tửbêtông cốt thép.

Tổng thê năng trong phẩn tử được tính như sau:

trong đó : Uc - thế năng biến dạng cùa bêtông;

u,- thế năng biến dạng cùa thép;

w - thế năng của ngoại lực.

Theo mô hình chuyển vị của phương pháp PTHH, tổng thế năng trên được tính như sau:

BÀI TOÁN PHĂNG

trong đó: ỊCJ, là ma trận vật liệu của thanh cốt thép thứ i, trong đó môđun đàn hồi có thể

thay đổi để tính tới phần chiếm chỗ cùa thép trong bêtống Tích phân khối tính ma trận độ cứng của cốt thép được chuyên vể tích phân đường Như minh hoạ trên hình 8.1 1 ta có:

dọc trục (hướng trục y) Vì vây bài toán 3 chiều của vật thể tròn xoay quy về được bài toán

hai chiểu đã xét trong mục trước Điểm khác nhau giữa bài toán phẳng và bài toán đối xứng trục là ở chỗ trong kết cấu đối xứng trục phải xét đến thành phần biến dạng £g khác không

do chuyên vị hướng tâm khác không sinh ra

Hình 8.12 • Vật thê tròn xoay và phấn từ khối đối xứng trục.

8.7.1 Phấn tử tròn xoay chịu tải đối xứng

Xét vật thê tròn xoay được rời rạc thành các phán tử đói xứng trục đồng tham số 4 nút, như minh hoạ trên hình 8.12 Phần tứ tròn xoay có dạng vành khuyên với tiết diện khống đổi Mồi nút của phần tứ xác định một dường tròn đồng tâm trên trục y

Gọi u là chuyên vị dọc trục hướng tâm X, gọi V là chuyển vị theo hướng dọc trục y Do tải trọng được giả thiết là đối xứng, nên thành phần chuyến vị theo hướng chu vi ớ bằng khỏng mọi nơi Chọn phán từ dông tham sô 4 nút PSQ4, các thành phần chuyên vị được xác định theo công thức (8.23)

Quan hệ giữa biến dạng và ứng suất trong trường hợp chịu tải đôi xứng đã được cho theo công thức (2.25)

(8.75)ỔJC

dv

dy u

Để nhận ma trận độ cứng cho phẩn từ đổng tham số, như thường lệ ta cán xác định môi quan

hệ giữa các thành phần dạo hàm trong hệ trục X- / v à hệ trục tự nhiên r-s. Quan hệ trên được

(8.76)

trong đó: 7*|J là các phần từ cùa ma trận Jacobian [7] nghịch đào và đã được cho theo các công thức (4.6) và (4.7) Thế phương trình (8.76) và (4.12) vào (8.75) ta nhận được các công thức tổng quát tính biến dạng :

Hơn nữa cần chú ý là {</} là vectơ chuyển vị nút, phương trình (8.25b) và N t N 4 là các

thành phán hàm dáng được cho theo cóng thức (8.23b) Ma trận độ cứng phần từ vẫ dược xác định theo tích phân tổng quát :

I I

-1 -1trong đó: X là toạ độ cùa điểm cầu phương Gauss Vectơ tải nút được tính như trong mục

8.3 Cường độ tải trọng tại nút i được tính bằng cách nhân cường độ của áp lực diện với hệ

số 2jtjr,, trong đó Xị là toạ độ nút i.

Trường hợp rải không đôi xứng : Trong nhiều trường hợp tính toán thực tế, kết cấu đối xứng

trục có thể chịu tải không đối xứng Trong trường hợp này, một cách nghiêm túc phải giải bài toán như kết cấu 3 chiếu tổng quát, vì các thông số chuyển vị là không đối xứng qua trục kết cấu Tuy nhiên đê tận dụng tính chất đối xứng trục của dạng hình học, có thể khai triển tải trọng thành tổ hợp các thành phần đối xứng và các thành phần phản đối xứng Với mỗi

4 0 BÀI TOÁN PHẢNG

thành phần tải trên có thê chuyển lời giải bài toán 3 chiều về 2 chiểu, sau đó xếp chồng kết quả nhận được

8.8 THỦ TỤC PLANE

Chương trình con Plane có nhiệm vụ điều khiển gọi các chương trình con tính tính chất phần

tử của kết cấu phăng, bao gồm kết cấu ứng suất phẳng, biến dạng phảng và kết cấu đối xứng trục Chương trình PASFFEM cho phép thiết kế 3 chương trình con phẩn tử đê giải các bài toán phảng Tuy nhiên trong chương trình mới chi đưa vào 2 phần tứ là phần tử tam giác biến dạng khống đổi và phần tử tứ giác đổng tham sỏ 4 nút

Hình 8.13 - Chương trình con PLANE