phương pháp phần tử hữu hạn lý thuyết và lập trình tập một

Trang 1

NGUYÊN QUỐC BẢO

= TRAN NHAT DUNG

Trang 2

Ve ye »

Phương pháp phần từ lu hạn (PP PTLIHH) là not phương pháp tính dd dược hình thành va phát triển trong vòng vài chục năm trở lại dây, nhưng do yêu cầu tính toán của một bài toán

thực tế thường đòi hoi một khốt lượng tính toán rat lon, do váy việc ứng dụng PP PTHH

trước day gấp không íL khó khăn Chỉ cho đến khi có sự xuất hiện của các máy tính cá nhân

(PC) cùng với những tiến bộ to lớn của công nghệ tin học trong những năm gần đáy mới thất sự cho phép phương pháp tính này được ứng dụng một cách phổ biến và rộng rấi Cùng với

việc tính giải các đại lượng cơ học của kết cấu nhì biến dạng; ứng suất; chuyển vị PP PTIHH còn là cơ xở của lĩnh vực mơ phong hố trong các bài tốn thiết kế Thơng qua xự phát triển của kỹ thuật đồ hoa trên máy tính người ta có thể mơ phịng hố các hoạt đông của kết cấu; giả dịnh vô số các phương án tính toán để từ dó chọn lựa giải pháp tối tu Điều này cho phép gidin chi phi va thoi gian thie hién các thí nghiệm theo phương pháp truyền thống

Chng với sư tiến bọ của khoa học Kỹ thuật máy tính dd trở thành một Bộ phản quen thuộc và không thể thiếu trong các hoạt động nghiên cứu cũng nh ứnự dụng thục tiên Theo đó, cũng ngày càng vuất hiện nhiều lon các chương trình tính toán xử dụng PP PTTHHH với pham

ví ứng dụng ngày càng phong phú và da dạng : tính toán kết cấu; tính tốn nhiệt; điện từ; mơ phỏng; tối ưu hoá v.V Đối với thực tế ở Viet Nam PP PTH cũng dã từng dược

nghiên cứu và ứng dụng khoảng lŠ dếu 2U năm trở lại dây với số lương người tháaun gia truhién cứu Hưày càng tạng thanh, phán ví ứng dụng ngày càng phong phú thêm

Để dáp ứng nhu cầu học tap và nghiên cứu PP PTHHH - nắm bắt các khía cạnh, cốt lõi của

trú theo tuột trình tự LOGIC và tạo điều kiện cho bạn dọc có thể vận dụng nó để lap trình tìm

lời gidi cho mot bai toda cu thé, chúng tôi đã cố gắng tìm hiểu và biên soạn tài liệu nay Day tà (ài Héu dược biến soạn chủ yến phục vú các đới tương nghiên cứu là sinh viên, Kỹ sư thuộc

các ngành cơ kỳ thuật, kết cấu công trình, cơ khí, giao thông, thuỷ loi, trở địa chát Ngoài

ra sách cũng ho trợ rát tốt cho các doi tượng là ngiien cứu xinh, học viên cao học, thước

Trang 3

4

vé ly thnyét ma tran, vé đại số tHyến tính va tin hoc dai cwong Day la mot cuédn sách được trình bày theo kiểu giáo trình với các diễn giải lý thuyết có dong va dé hiéu, cb phan vi du

mình hoa và giải thuật để người đọc có thể vận dung

Tuàn bộ nôi dụng sách được trìnE bày trong tổng số 12 chương, xuất bản thành 2 táp

Táp L: gầm 7 chương trong đó 5 chương dâu dành cho việc nghiên cứu các lý thuyết

chung cia PP PTH, Chuong 6 là cấu trúc và giải thuật của một chương trình tính minh hoa Chuoug 7 trinh bày các lý thuyết tính giải bài toán thanh phẳng (2D) và thanh khong gian (3D)

Táp 2 : gồm 5 chương trình bày các dang bai todn dién hình của PP PTHIH : bài toán

phẳng; bài toán ứng suất 3 chiêu; tấm chịu tốn; bài toán kết cấu vỏ v.v và cuối

cùng là phần mã nguồn của toàn bộ chương trình tính theo các lý thuyết dã trùnh bay

trong cae chuong trước

Dé tiéu cho ban doc trong quá trình tìm hiểu sách và liêu hệ vận dụng lập trùnh trén máy

tính, trong toàn bộ sách này hệ thống các ký hiệu, quy tóc về hệ toạ độ; về ma trận; về vect0

0 dược trình bày theo đáng "chuẩn" của cơ học kết cấu (v( dụ: { A } - là vectơ A; | K | - là má trận K) Riêng phần thể liện dấu phay dộng, thống nhé trong toàn bộ tài liệu dược thể hiện theo chuẩn Anh - Mỹ, nghĩa là sử dụng đấu chim ( ) thay cho đấu pháy (, ) Cách thể

hiện này chủ yếu tạo tính: tiện dụng khi lên hệ láp trình và doi chiếu kết quả trên PC, vì hiện

nay cách thể hiện số thực trên hầu liết các máy tính vẫn là lối thể liện kiểu Anh - Mỹ (ví dụ: viết theo kiểu Việt Nai thì số Pị có trị số nhu sau Pi=3,14159265; còn viết theo kiếu Anh - Mỹ thì Pi=3.14159265)

Tuy nhién do kiến thức hạn chế, nội dụng cầu trình bày quá rộng lớn và phúc tạp, thỏi gian

biên soạn ngắn chắc chắn trong lần xuất bẩn này không thể tránh khỏi các sai sót đáng tiếc,

xin được thông cá và rất trong nhân dược các ý kiến dóng góp xây dựng của bau doc gần

x4

Trang 4

PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH 5 MỤC LỤC Trang Lời nói đầu 3 Chương 1 : Nhập môn Mi 1.1 Điều kiện cân bằng 7

1.2 Điều kiện biên 9

1.3 Xấp xỉ nghiệm 10 1.3.1 Xấp xihàm 10

1.3.2 Phương pháp sai phân hữu hạn 14

1.3.3 Phương pháp phần tử hữu hạn 18 Chương 2 : Các nguyên lý cơ bản của cơ học kết cấu 21

2.1 Các điều kiện cân bằng 21

2.2 Quan hệ biến dạng và chuyển vi 25

2.3 Các quan hệ vật liệu tuyến tính 27 2.4 Nguyên lý công khả dĩ 33

2.5 Các nguyên lý năng lượng 41

2.6 Áp dụng cho phương pháp phần tử hữu hạn 54

Chương 3 : Tính chất phần tử 55

3.1 Mô hình chuyển vị 56

3.2 Quan hệ giữa bậc tự do nút và các tọa độ tổng quát 58 3.3 Yêu cầu hội tụ 59 3.4 Hé toa do "tự nhiên" 61 3.5 Ham dang 66 3.6 Ung suat và biến dạng phần tử 83 3.7 Ma trận độ cứng phần tử 85 3.8 Qui rut tinh hoc 91 Chương 4 : Phần tử đồng tham số 93 4.1 Phần tử đồng tham số hai chiều 94 4.2 Tính ma trận độ cứng phần tử đồng tham số 102 4.2.1 Tích phân số 103

4.2.2 Tính tích phân số trên máy 107 4.2.3 Tinh toan nhanh độ cứng phần tử 115 4,3 Tiêu chuẩn hội tụ cho phần tử đồng tham số 117

Chương 5 : Phương pháp độ cứng trực tiếp 119

5.1, Sắp xếp phần tử - phương pháp độ cứng trực tiếp 121 5.2 Khử Gauss và phép phân tích ma trận 129

Trang 5

6 MỤC LỤC

5.2.2 Các bước cơ bản trong phân tích PTHH 142

Chương 6 : Chương trình PASSFEM 147

6.1 _ Chương trình chính 147

6.2 Chuang trinh con PASSIN 148

6.3 Chương trình con FELIB 152

6.4 Chương trình con COLUMH 155

6.5 _ Chương trình con CADNUM 158

6,6 _ Chương trinh con PASSEM 159

67 _ Chương trình con PASOLV 161

6.8 Chương trình con PASLOD 162

6.9 Chương trình con DISP 163 6.10, Ghép các chương trình 164 6.11 Nhập số liệu 168 Chương 7 : Phân tích kết cấu khung 171 7.1 Phần tử dàn 2 chiều 172 7.2, Phần tử dàn 3 chiều 179 7.3 Phần tử dầm 2 chiều 181 7.4 Phần tử thanh 3 chiều 202 7.5 Biến dạng trượt trong dầm 215 7.6 Phần tử thanh bù BEAM2 227 7.7 Chương trình con cho phần tử dàn 3 chiều 231 7.8 Chương trình con cho phần tử thanh 3 chiều 233 7.9 Thủ tục cho các phần tử biên 237

Trang 6

Nhap mon

Đối tượng nghiên cứu của phương pháp phần tử hữu hạn là tìm lời giải số cho các bài toán của lý thuyết trường nói chung và của cơ học vật rắn biến dạng nói riêng Phương pháp phần tử hữu hạn được áp dụng đặc biệt thành công trong lĩnh vực cơ học vật rắn

biến dạng, trong đó các ẩn số cần tìm là chuyển vị, biến dạng, ứng suất tại mỗi điểm bất

kỳ trong Kết cấu

Trong Không gian 3 chiều tổng quát, các ẩn số trên tạo lên các trường chuyển vị, biến

dụng và ứng suất và bài toán đặt ra là các bài toán của lý thuyết trường, trong đó các ẩn số cần tìm trên được gọi chung là các biến trường Để có thể nhân lời piải, trước hết cần xúc định các quan hệ cơ học (các điều kiện ràng buộc) giữa chúng cùng với ngoại tải tác dụng lên cơ hệ Các điều kiện ràng buộc thường được phân thành :

- Điều kiện trường : điều kiện viết cho trường các thông số bên trong kết cấu

Điều Kiện biên viết cho trường các thông số trên biên của kết cấu (với các bài toán

động còn cần tới các điều kiện đầu)

1.4 DIEU KIEN CAN BẰNG

Điều kiện cân bằng, về toán, có thể hình thành theo các phương pháp của phương trình

vật lý - toán (phương trình đạo hàm riêng) Điều kiện cân bằng cũng có thể hình thành

bằng cách sử dụng phép tính biến phân

1.1.1 Phương trình đạo hàm riêng

Phương trình đạo hàm riêng mô tả điều kiện trường của cơ hệ thường được hình thành từ

các điều kiện cân bằng tĩnh học và điều kiện liên tục của chuyển vị

Trang 7

8 NHẬP MÔN Chẳng hạn trone sức bền vật liệu, bài toán uốn của đầm được mô tả bằng phương trình vi phân bậc 4 4 dw EI =P (1.1) dx?

trong đó W ¬ độ võng của đầm, là nghiệm cần tìm của phương trình trên

Trong trường hợp của tấm móng đẳng hướng, phương trình đạo hàm riêng viết cho biến W - chuyên vị đứng của tấm, có dạng : Otw Otw O'w P +2 2a = (1.2) Ox? 2x2p), ốp), D VoL: Eh? )— a 12(1— `) † - môđun đàn hồi: fi - hệ sỐ polsson; ˆ h - do day tam

1.1.2 Tiếp cận biến phân

Ở phương phấp tiếp cận này, việc giải bài toán dẫn tới tìm cực trị của các phiếm hầm mô

tú sự lâm việc của Kết cấu Phiếm hàm mô tả ở đây có thể là tổng thế năng hay năng lượng bù của cơ hệ, Trong biến phân, như ta đã biết để tìm cực trị phiếm hàm ta cho biến

phân bậc nhất bằng không Ấp dụng cho cơ hệ, điều này dẫn tới phương trình cân bằng

Trang 8

PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH 9

Nghiệm chuyển vị w, phải dẫn tới giá trị dừng (cực trị) của phiếm hàm thế năng 77, đồng thời phải thoả mãn các điều kiện biên động học Trong chương II trình bày ngắn gọn

việc áp dụng phép tính biến phân để hình thành các bài toán kết cấu Để xem xét đầy đủ

hơn vấn để áp dụng các nguyên lý năng lượng vào phân tích kết cấu đầm, khung, tấm chịu uốn bạn đọc có thể tham khảo các chương {2; 3; 4; 5] của sách này

1.2 ĐIỀU KIỆN BIÊN

đối với các bài toán cơ học vật rắn biến dạng, để giải được, bên cạnh các điều kiện

trường, phải kể đến các điều kiện biên Các điều kiện biên có thể là động học - nghĩa là chuyển vị và đạo hàm chuyển vị phải tuân thủ, hoặc tĩnh học nghĩa là nội lực hay ứng suất phải tuân thủ Khi giải các bài toán động còn cần thêm các điều kiện bạn đầu Trên hình 1.1 mình hoa đầm conson AB chịu tải phân bố đều Coi chuyển vị đứng w là biến trường Biến này phải thoả mãn phương trình ví phan cân bằng (điều kiện trường) diw EI ie =p ⁄ Zˆ ^Ä[LLILLLLEILT[L+B „, _ z Vv

Hình 1.1 - Dam conson chiu tai phan bé déu

Nghiệm của phương trình trên phải đồng thời thoả mãn điều kiện biên tại đầu mút A va

B như sau :

® - Điều kiện biên dong hoc tai A

Trang 9

10 NHẬP MÔN ee ged : dyp - Lực cắt tại điểm B bằng 0 EI—r|„,=0 dx wo gee ‘ dw - Mômen uốn tại điểm B bằng Ð EI hole =0 axe

Trong mục 2.3.2 dẫn ra phương pháp hình thành bài toán trên bằng phép tinh biến phan

và áp dụng phương trình Euler-Lagrange để nhận phương trình vi phân cân bằng

1.3 XẤP XỈ NGHIỆM

Trong các tính toán thực tế, nghiệm giải tích - nghiệm được biểu diễn bằng biểu thức

toán học xác định giá trị của biến trường tại vị trí bất kỳ trong vật thể, thường chỉ có thể

nhận được trong một số ít các trường hợp mà điều kiện hình học, vật liệu và tải trọng khá đơn giản Đối với những bài toán có hình dạng, tính chất vật liệu, điều kiện biên và tải trọng phức tạp thường khó hoặc không thể nhận được nghiệm giải tích Vì vậy trong tính toán thực tế thường sử dụng các phương pháp số cho lời giải xấp xi, trong đó ba phương pháp pần đúng sau là phổ biến :

1 Xap xt ham

1) - Phương pháp sai phần hữu hạn

3 Phương pháp phần tử hữu hạn

Dưới đây dẫn ra ngắn gọn tư tưởng hai phương pháp đầu Mỗi phương pháp có những ưu và nhược điểm riêng Phương pháp thứ ba - phương pháp phần tử hữu hạn được coi là sự

kế thừa tư tưởng của hai phương pháp trên và trở thành một trong các phương pháp số

mạnh nhất, vạn năng nhất và được ứng dụng trong thực tế ngày càng rộng rãi cùng với sự

phát triển của các thế hệ máy tính 1.3.1 Xấp xỉ hàm

Trong tư tưởng của phương pháp gần đúng này, các hàm cần tìm là các hàm thoả mãn

các điều kiện biên và xấp xỉ cho biến trường cần tìm tại điểm bất kỳ, là tổ hợp tuyến tính

của một số hữu hạn các hàm được chọn trước Tiếp đó vấn đề xác định biến trường

chuyển thành bài toán xác định các tham số tổ hợp của hàm xấp xỉ và các tham số này

được xác định từ điều kiện các nguyên lý biên phân Các phương pháp biến phân cổ

Trang 10

trên tư tưởng xấp xỉ hầm, tuy nhiên giữa các phương pháp này khác nhau về thủ tục ước lượng các tham số cần tìm Phương pháp Rayleigh-Ritz có thể xét ngắn gọn qua ví dụ

mình hoi sau

Xét đầm tựa khớp đơn giản, trên hình 1.2, chịu một tải trọng tập trung ? giữa nhịp và tải phân bố đều cường độ ø„ Ở bài toán này, nếu xác định được độ võng củu dầm thì đồng thời xác định được mômen uốn và lực cắt tại tiết điện bất kỳ Chọn hàm xấp xỉ cho độ võng w của đầm dưới dụng :

HX 37x

+a, sin

- -

w =a, sin (a)

Ó đó cả 2 hàm xấp xỉ đều thoả mãn các điều kiện biên còn a, va a, 1a céc tham số tổ hợp vần tìm TH HH

ˆ^ˆ Hình 1.2 - Dầm tựa khớp đơn giản

Trang 11

12 NHẬP MƠN L=-Ï[ pù»dx—Ph f — -Ƒ pPywe v— Pinax - x 3X = -[ pala sin n +a, sin 7 )a — Pla, — 4,) (d) ~ 2p L a 1 a, + — Pla, ~a;) 7 3 Tổng thế năng /7/của dầm là : ‘ 2 2 ~ | 2

Trang 12

Mômen uốn tại điểm bất kỳ dọc theo dầm là

P?

M, = El— dx” (1)

Thay gid Wi a, va a, theo phuong trinh (i) va G) vào phương trình (a) réi Lay dao ham cap 2 ta được Trị số mômen uốn tại giữa dầm xe //2 2 PL pụẹL = YH ¢ 4.44 8.05 Cần chú ý là sai số của thành phần 1 là 9.92% của thành phần 2 1a 0.62% Sai s6 nay có (m)

thể piảm bớt bằng cách tăng số lượng hàm cho xấp xI của biến trường W,

Thủ tục trên có thể mở rộng để phân tích cho vật thể ba chiều Nói chung vật thể biến

dang bao g6m v6 so các chất điểm, vì vậy bao pồm vô hạn bậc tự do Theo phương pháp Rayleigh-Ritz, các hệ liên tục được thay bằng các hệ hữu hạn bậc tự do Đối với trường

hợp các vật thể 3 chiều, các biến trường w, #, P có thể xấp xỉ bằng hàm 3 biến :

tI

HH = (NÓ, (X P22) + d,Ó, (X; Ƒs#) + + d0, (X: 3 Z)

»=j,Ø,(x,,Z)+,/,(X.,:z)+ + 5, 8B, (4592) (1.4) W = CW, (NK, PZ) +€¿U;(X: psZ)+ +c„W„(Xs y.Z)

trong d6 a,b,,¢; 1a cdc dn s6 doc lap tuyén tinh va (x,y,z), Ø;(x,y,z), W/(Œ,y,Z), Í= l+n là các ham liên tục của x,y,z đồng thời thoá mãn các điều kiện biên động học Theo xấp xỉ này vật thể liên tục được quy rút về hệ 3n bậc tự do Trong đó thế năng vật thể là phiếm hàm của các tham số tổ hợp này

IT = (tv, W) = [1 (X,Y, 25, old, 9D, 0D, oC, C, ) (1.5)

Như đã trình bày trên, đối với vật thể cân bằng bền, thé nang đạt tới giá trị dừng và khi

Trang 13

14 NHẬP MÔN

Từ (1.6), ta được hệ phương trình: đại số tuyến tính bậc 3ø để giải ra các ấn số tổ hợp đ;„ b,, €;

Khó khăn chủ yếu trong phương pháp xấp xỉ hàm là phải chọn họ hàm 3 biến xấp XỈ sao cho đảm bảo tính liên tục và thoá mãn mọi điều Kiện biên cho trước trên phạm vỉ toàn ket cau Do vay với các kết cấu có dạng hình học phức tạp, Khó khăn trên, vẻ thực tế là

không thể khác phục dược Vì vậy phương pháp cổ điển dẫn tới phương trình (1.6) ít

dược dùng trong các tính toán thực tế, Dầu sao các khái niệm được sử dụng trong phương pháp Rayleigh-RitZ như thay thế biến trường bằng tổ hợp tuyến tính các hàm 3

biến, tìm các ẩn số tổ hợp bằng cực tiểu hoá thế năng đã được triệt để áp dụng trong phương pháp phần tử hữu hạn để xây dựng tính chất phần tử

1.3.2 Phương pháp sai phân hữu hạn

Trước sự ra đời của phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn đã

được sử dụng để giải một số bài toán phức tạp của cơ học Kết cấu, Trong phường pháp này, vật thể huy hệ kết cấu được rời rạc bằng luới các điểm nút như trên hình 1.3 Biến trường được mô tả bởi các trị rời rạc của biến tại các điểm nút Như vậy phương phấp sai phân hữu hạn không cho phép tính biến trường tại các điểm bất kỳ trong kết cấu mà chỉ tính trên một số hữu hạn các điểm nút Tuy nhiên khi lưới sai phân đủ dày, kết qứa nhận được trên các nút của lưới sai phân cũng đủ để mô tả sự làm việc của Kết cấu

Hình 1.3 - Rời rạc hoá theo phương pháp sai phân hữu hạn

Vi du trong trường hợp của tấm chịu uốn, chuyển vị pháp tuyến w tại mỗi nút được xem

Trang 14

PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VẢ LẬP TRÌNH 15

chuyển về dạng sai phân hữu hạn Xét trường hợp tấm mỏng đẳng hướng, dạng sai phan hữu hạn của phương trình (1.2) viết cho mỗi nút của lưới hình vuông trên hình 1.4 là: 2011, —8x(1; +10, +19, ®10,)+ 2X(1U, +19; +10, +10) P, (1.7) +91, +10), 1, 1012 = ——,Â ° D Trong đó : Â - là chiều dài bước xấp xi va ) = Eh? 12(1- 2") - độ cứng của trục tấm

Ap dung lần lượt dạng sai phân hữu hạn của phương trình ví phân và điều kiện biên cho các nút, ta được hệ phương trình đại số tuyến tính với biến trường rời rạc w tại các nút là ấn số Thủ tục của phương pháp sai phân hữu hạn được mình hoa như sau

12

Hình 1.4 - Mẫu sai phân hữu hạn

Xét tấm vuông tựa khớp, kích thước 4m x 4m chịu áp lực 6kN/m” kể cả trọng lượng bản

thân Bé dày tấm 12cm Giả thiết E = 2.10”kN/m”, ¿= 0.15

+

lời rạc tấm bằng 25 nút như trên hình 1.5 Ngoài ra cần bổ sung các nat phụ 26 + 37

ngoài phạm ví tấm Điều đó là cần thiết như sẽ trình bày dưới đây

Do tải và điều kiện biên là đối xứng qua hai trục cho nên ta chỉ cần xót cho 1/4'tấm áp dụng các điều kiện biên :

(1) chuyển vị w = 0 dọc theo gối tựa

Wi = Wy, = Wy = Wy = We = We SW yy = Wy = Wig = Wi

(a)

Trang 15

16 NHẬP MƠN (1đ) mơmen uốn bằng không đọc theo gối tựa Z =0 hay Ễ ~ =0 (b) x 3%ˆ

áp dụng điều kiện (b) tại điểm 2, 3, 4, 6, 10, II, 15, 16, 20, 22, 23,24 ta nhận được các

điều kiện sau :

Wo = We Wa = —Wy Way = —Wy

Way = —W, W,,, =—Wy wy, =-W),

{c) Wyo = Wy Ws, = Wie Hy, — To

My; — —HIA; - Mạ = —MUN Ws, = Wry

Ap dung dang sai phan hitu hạn của phương trình (1.7) cho các điểm nút 8, 9, 13, sử

Trang 17

PHƯƠNG PHÁP PTHH - LY THUYET VA LAP TRINH 19

phát triển như vũ bão của công nghệ máy tính, một số lượng lớn các bộ chương trình đã ra đời để phân tích phần tử hữu hạn và ngày càng chiếm vị trí trọng yếu trong lĩnh vực kỹ thuật này Dưới đây trình bày ngắn gọn tư tưởng phương pháp

Phương pháp phần tử hữu hạn khái quát những đặc điểm tốt nhất của 2 phương pháp xấp xi đã nói trên Đặc biệt nội dụng phương phấp này được trình bày qua các khái niệm vật lý và vì thế nó hoàn toàn thích hợp với phương pháp tư duy của các kỹ sư xây dựng và kết cấu

Tư tưởng cơ bản của phương pháp là vật thể hoặc kết cấu có thể phân chia thành các

phần tử nhỏ hơn, có kích thước hữu hạn và được gọi là các "phần tử hữu hạn” Vật thể hay hệ kết cấu bạn đầu được coi là tập hợi› các phần tử được nối với nhau tại một số hữu

hạn các điểm - "điểm nút” Như vậy khái niệm rời rạc trong phương phái› phần tử hữu hạn cũng giống như trong phương phát? sai phân hữu hạn

Các tính chất của phần tử được xây dựng và tổ hợp lại để nhận nghiệm cho toàn bộ kết cấu Ví dụ trong mô hình chuyển vị, theo phân tích phần tử hữu hạn thường chọn một số hàm đơn giản - “ hàm dáng ” để xấp xÏ đường cong chuyển vị trong phần tử theo chuyển

vị tại nút của phần tử Thủ tục này tựa như thủ tục đã dùng trong phương pháp xấp xi hàm theo Raylecieht-Ri1z, điểm khác biệt là ở chỗ quá trình xấp xỉ các biến trường chỉ

nam ở mức phần tử Biến dạng và ứng suất bên trong phần tử cũng được biểu diễn theo

chuyển vị nút Vì vậy có thể dùng nguyên lý chuyển vị khả dĩ hay nguyên lý cực tiểu

thé nang để dẫn ra phương trình cân bằng chỉ cho phần tử với các chuyển vị nút là ẩn số

Phương trình cân bằng của toàn kết cấu được thành lập từ tổ hợp các phương trình cân bằng của từng phần tử sao cho bảo toàn tính liên tục của chuyển vị tại các nút, nơi các phần tử dược nối với nhau, Đưa vào các diều kiện biên cần thiết và giải phường trình cân

bảng đối với các chuyển vị nút Sau khi nhận giá trị chuyển vị nút của mỗi phần tử, có

thể tính ứng suất và biến dạng theo các tính chất phần tử đã biết trước

Nhu vay thay vì giải bài tốn cho tồn bộ kết cấu trong một thuật toán, trong phương

pháp phần hữu hạn, lưu ý chủ yếu tới hình thành các tính chất phần tử Các thủ tục tổ

hợp phần tử, giải phương trình, tính ứng suất, biến dạng phần tử là như nhau cho mọi

loại kết cấu Do đó phương pháp phần tử hữu hạn mở ra khả năng xây dựng các bộ

Trang 18

20 NHẬP MÔN

trình đã được áp dụng cho phần lớn các bộ chương trình phần tử hữu hạn đã và đang được sử dụng rộng rãi trên thế giới và Việt Nam Cách phân khối này cũng đặc biệt tiện lợi cho việc xây dựng các Module chương trình phục vụ cho các bài toán thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau, kể cả các bài toán ứng dụng thuộc kỹ thuật chuyên ngành, lẩn các

bài toán nghiên cứu phát triển lý thuyết

Trong các chương sau của sách này sẽ trình bày các tính chất của các loại phần tử khác nhau, các thủ tục liên kết phần tử, kỹ năng giải và phát triển các chương trình tính toán cho các lớp bải toán khác nhau

Trang 19

48 a NHAP MON Từ lý thuyết tấm ta nhận được nghiệm là : 4 v = 0.00406 pa* _ 0.00406 x6x4" _ 4 112, 10720) = 2.117 0n D 2946 3 Lấy 2 thành phần đầu của nghiệm dạng chuỗi cho M, (xem thêm chương [3|) và thay số VỚI li = 0.15 ta có :

_Af, = 0042192 x Pa? = 0.042192 x 6 x 4? = 4.0504kN in /in

So sánh giá trị nhận được bằng phương pháp sai phân hữu hạn với các tính toán chính xác, chuyển vị tấm là phù hợp với lý thuyết và sai số mômen max là 4.18% Rõ ràng là với bước rời rạc Â =1.0 thì sai số phạm phải là hoàn toàn chấp nhận được theo quan diểm

ấp dụng thực tế Dẫu sao, nói chung nên rời rạc hoá tốt hơn để nhận nghiệm chính xác

hơn

Ví dụ trên minh hoạ phương pháp giải bài toán khi dạng sai phân hữu hạn của phương trình ví phân mô tả sự làm việc của kết cấu là đã biết Trong trường hợp lưới rời rạc là

đều đặn thì dễ nhận được dạng sai phân hữu hạn, tuy nhiên điều đó càng phức tạp hơn với lưới rời rạc bất kỳ Đặc biệt khi vật liệu không đẳng hướng, hình dạng vật thể là tuỳ

tiện Nói chung phương pháp này ít được sử dụng trên máy để giải các lớp bài toán tổng quát Dầu sao những khái niệm rời rạc trong phương pháp này đã hình thành cơ sở của

phương pháp phần tử hữu hạn

1.3.3 Phương pháp phần tử hữu hạn

Argyris vii Kelsey là những tác giảc :ó đóng góp chủ đạo trong phát triển các phương pháp

ma tran cho phân: tích kết edu.” “Trong các công trình của mình, các tác giả trên đã đưa ra Cleat hae

các dạng ma trận chụ phương pháp lực và phương pháp chuyển vị trên cơ sở ứng dụng các nguyên lý- nàng- lượng của cơ học kết cấu Tiếp theo phải kể tới các công trình của Turner, Clough: Martin: vì Topp đã dẫn tới phát minh phương pháp phần tử hữu hạn Clough trong nhiều tác phẩm đã mô tả vật lý cho phương pháp và là người đầu tiên dùng thuật ngữ phần tử hữu hạn Từ đó hàng loạt các công trình đã ra đời trong 25 năm trở lại

đây cả về nền tảng toán học lẫn các thế hệ phương pháp để giải các bài toán trường của

Trang 20

ac nguyen ly co ban ctla co hoc ket cau

Việc nghiên cứu và áp dung phương pháp phần tử hữu hạn đòi hỏi những hiểu biết nhất định về các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi, nguyên lý công khả dĩ và các nguyên ly nang lượng Các vấn đề trên đã được trình bày trong nhiều tác phẩm Trong chương này chúng ta sẽ để cập ngắn gọn các nguyên lý cần thiết của cơ học kết cấu để hình thành các tính chất của phần tử hữu hạn

2.1 CÁC ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG

Xét trường hợp vật thể biến dạng trong trạng thái cân bằng Dưới tác dụng của ngoại

lực, bên trong vật thể nảy sinh trạng thái ứng suất và biến dạng Ngoại lực có thể là

vấc lực tập trung, lực diện hay lực khối gây ra từ trọng lượng bản thân kết cấu Các lực khối tác động bên trong vật thể (ï) và có thứ nguyên là lực/đơn vị thể tích lực trên biên

vật thể (1i) biểu diễn qua lực/đơn vị diện tích Ta thử xét điều kiện cân bằng tại một điểm bên trong vật thể

Trên hình 2.1 minh hoạ phân tố vi phân dx.dy.dz bén trong vật thể biến dạng, trạng

Trang 21

22 -_ CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CUA CƠ HỌC KẾT CẤU ỔT z TI + Cz dz 0, y Co 1 ————* ơ, + —dz x Cz ˆ dx : : ⁄ ¬ CT ry : - a ®—- Ø T ve T., +7 dz : r + ~y * Oz : : , '' ay ; dy ct oes ES : | p Oo, + CC» d " Ly Pes + ax dx ae cớ se Oy Co _ ” 7 : eh OT, : d a+ * Ix ” ‘ ‘ oe Ty + Ox Oo x ‘ ì ⁄ o : " ⁄ a “ oC y y + ¿ Ty v d “ ‹ * | Tv vy + Ox ~ x Ơz Hình 2.1a - Trạng thái ứng suất tổng quát phân tố Io OT OT, F * dxdydz + —* dxdydz + a dxdydz + X,dvdyds = 0 Ox 4

trong đó X; là thành phần của lực khối tác động lên vật thể theo hướng x Chia hai vẽ cho dx.dy.dz ta được điều kiện cân bằng

do, ti, Ôr, + +——~+xX,=0

Ox Oy O2

Trang 22

PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH 23 trong đó : Y, và Z„ là các thành phần lực khối tác dụng dọc theo hướng y và z tương ứng ơ,dydz 7# ~ v— Z7 OF x Z⁄ To + 2z dz, \dedy X lx dy dz OR | 7, dndz | ⁄ | 7„ FT mm, g4 +——tđ |vdz G + =: ts “Oy 3 ™ fe T.,dxdy

Hình 2.1b - Các lực tác dụng lên phân tổ theo hướng x

Phương trình cân bằng mômen đối với các trục x,y,z là :

25 M,=0,5.M,=0, Ð.M, =0 Ta dược:

Toy = Ty Te = Ty 3 Tụ =7, (2.2)

Như vậy trạng thái ứng suất tại điểm bất kỳ có thể xác định bởi 6 thành phần ứng suất Ơy,Ơyw Ø,„7„y,7y„7,„ Biểu diễn chúng dưới dạng vectơ :

fo\" =[o, O, GO, Ty Tụ, r.] (2.3)

Thay phương trình (2.2) vào (2.1) ta có :

Trang 23

24 CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC KẾT CẤU Xét phần tử có diện tích AS trên bể mặt (trên biên) của vật thể trong trạng thái cân

bằng, giả sử X„ Y„, Z, là các thành phần ngoại luc (tính trên một đơn vị diện tích) tác dụng trên bể mặt (hình 2.1.c) z ơ,lds z,ds d px y.ds TS) 24 o.nds „} x

Hình 2.1c - Hệ lực tác dụng lên phần tử trên biên Để phân tố cân bằng thì phải thoả mãn các phương trình sau:

Ơyl+TIn+T H= X,

Ty f+o,m+T, n= ¥, (2.4)

7Í +7 + Ơ,H= Z,

trong đó J, m, a la cdc cosin chỉ phương của pháp tuyến bề mặt tại điểm xét Phương trình (2.4) thường được gọi là các điều kiện biên tĩnh học

a Điều kiện cân bằng cho phân tố ứng suất hai chiều

Các điều kiện cân bằng tĩnh học trong và trên biên cho phân tố ứng suất hai chiều

Trang 24

PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VẢ LẬP- TRÌNH 25 o,f+t,,m=X, (2.6) T,f+o,m=Y, - a ` 2

2.2 QUAN HE BIEN DANG VA CHUYEN VI

Chuyển vị tại một điểm của vật thể biến dạng có thể mô tả bằng các thành phần #, v, w song song lần lượt với các trục X, Y, Z của hệ toạ độ Descartes Các thành phần của chuyển vị này nói chung là hàm của các toa độ X, Y, Z Biến dạng trong vat thể biến dạng chính là các đạo hàm riêng của chuyển vị w, v, w Mối quan hệ chuyển vị - biến đạng được cho bởi các hệ thức vi phân sau :

Các thành phần biến dạng #£, ,£y ,£; ;ƑŸ„y ›Ÿ⁄y; sŸV„„ xác định trang thái biến dạng trong

vật thể biến dạng được viết dưới dạng vecto

=È, 6, & y„ Yu Yul (2.8)

Các thành phần của biến dạng trong phương trình đạo hàm riêng (2.7) là phi tuyến đối với các thành phần chuyển vị chưa biết Trong nhiều bài toán phân tích ứng suất khi biến dạng là nhỏ ta có thể giả thiết tích và bình phương của các đạo hàm cấp một là

4 ^ ^ 4 4 # » 4* ⁄ 4 ` ` as Ẩ

Trang 25

26 CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC KẾT CẤU vị - biến dạng trong phương trình (2.7) được đơn giản hoá về quan hệ tuyến tính như sau: Ou ov ow E x? — £ =— é = — Ox * @ O2 (2.9) Ov Ou Ow Ov Ou Ow Ye =srty %e Fata 7Ƒƒx TT “ Ox Hp “ HDB OZ Oz Viết phương trình trên dưới dang ma trận ta có: - ¬ 2 0 0 Ox Z7] |0 2 0 é “ ậ 6 0 — H ‘belay sa Ôš | vậy (2.10) & 5 a «CO w y 3y Ox 4 0 oO Oo Vx dz ay O og 2 | az ax |

Nếu biến dạng không phải là nhỏ, giả thiết trên không chấp nhận được thì phải xét bai

toán như bài toán phi tuyến hình học

Trong mục 2.1 đã khẳng định các thành phần ứng suất phải thoả mãn các điều kiện cân

bằng tĩnh học bên trong và trên biên vật thể dưới dạng hệ các phương trình đạo hàm

riêng (2.1) và (2.4) Tương tự các thành phần chuyển vị , v, w phải liên tục và thoả mãn các điều kiện biên động học Bây giờ ta thử xét các yêu cầu cần thoả mãn cho các

thành phần biến dụng:

Từ phương trình (2.9) tạ thấy nếu đã biết các thành phần chuyển vị dưới dạng các hàm liên tục của toạ độ x, y, z (thoả mãn các điều kiện biên động học) thì

dễ dàng xác định được các thành phần biến dạng Ngược lại khi đã biết các

thành phần biến dạng thì chúng ta có 6 phương trình để xác định 3 thành phần

chuyển vị wở,y,w Điều đó có nghĩa là giữa các thành phần biến dạng phải thoả

mãn các điều kiện nhất định Các điều kiện này nhận được bằng cách khử ø, #, w ra khỏi phương trình (2.9) và được gọi là các điều kiện tương thích (hay còn

đ

C

Trang 26

PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH 27 Ore, Ô?z, 2y, 2) ae A@ Oe, + đe _ OY ve On Oz 2e, + Ore, Peg x? OO Xe x Ø1, 8, Vy, OF Og, px " / 1 Øy2Øz Ox Ox Oy Oz OE Oy, OY, ở , aye or a 8 (Ns _ ON as Me) (2.11) 0x Oy Ox oy Oz 2” oO OY vz OY x: OY x,

2x Oxdy ôi Ox t= Oy —— Ôi —} }

2.3 CAC QUAN HE VAT LIEU TUYEN TINH

Để xác định ứng suất trong các thành phần kết cấu, cần xác định được quan hệ giữa ứng suất và biến dạng Ta giả sử xét kết cấu chế tạo từ vật liệu đàn hồi, tuân theo định

luật Hooke Dưới dạng tổng quát, theo định luật Hooke thì sáu thành phần ứng suất được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của 6 thành phần biến dạng Như vậy đối

với vật liệu đồng chất, đẳng hướng và đàn hồi tuyến tính phải thoả mãn quan hệ

Hoặc {o}= [C]f{e}

ĩ (2.12a)

Trang 27

28 CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC KẾT CẤU #x đạp đụ dye Oo; fy dy, đị, dy, oy é cúi — messes xi: Oo, Y xy — ` Ty Y vs Hee TU Y x đại đạy dee T x Hoặc {e}=[D]{c} (2.12b)

Cac ma tran [C] va [D] la đối xứng và như vậy ta cần 21 hằng số đàn hồi để mô tả quan hệ vật liệu cho vat ran dan hồi tổng quát

Nếu vật liệu có 3 mặt đối xứng trực giao thì chỉ 9 hằng số đàn hồi là đủ mô tả quan hệ vật liệu Ơ, C, Cy, 0 0 0| |Ê, Ơ, C, 0 Oo 0| |£, 0.196) = x 2.b2e Y xy C,, 0 0 Y xy V ve D.X Œ, 0 Y ve Vox Cool |r

trong đó : x - y, y- Z, Z - x là các mặt vật liệu đối xứng

2.3.1 Biến dạng và ứng suất ban đầu, ảnh hưởng nhiệt độ

Z

Trong một số trường hợp, kết cấu có thể có ứng suất dư ban đầu trước khi biến dạng Các ứng suất trước{øơ,} này có thể tác động cùng với ứng suất do biến dạng sinh ra

Kết cấu cũng có thể chịu các biến dạng ban đầu {£¿} (chẳng hạn do biến thiên của nhiệt độ), ứng suất này sinh trong kết cấu là do sự sai khác giữa biến dạng thực và biến dang ban dau

Vẻ tính toán, như vậy khi kể tới ứng suất và biến dạng ban đầu, phương trinh (2.12a)

Trang 28

tơ}=|€Clf}- feo} + tou} (2.13)

Như đã chỉ ra trên, ảnh hưởng của nhiệt độ có thể xét như biến dạng ban đầu {e,

trong vật thể Ví dụ nếu 7 là lượng chênh nhiệt độ, biến dạng ban đầu trong vật liệu đẳng hướng là :

{c,}’=[c,7 oT aT 0 0 9| (2.14)

trong đó : @ la cic hé số dãn nở nhiệt theo các hướng cơ bản Dãn nở nhiệt không gây

biển dạng trượt trong kết cấu Cho nên khi tính toán ảnh hưởng nhiệt độ ta thế phương trình (2.14) vào (2.13) và đặt thành phần {o,}= 0

2.3.2 Vật liệu đàn hồi đẳng hướng tuyến tính

Với loại vật liệu này chỉ cần 2 hằng số vật liệu (Môđun đàn hồi E va hing s6 Poisson ¿) là đủ để mô tả mối quan hệ vật liệu Khi biểu diễn biến dạng qua ứng suất, quan hệ

Trang 29

30 CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC KẾT CẤU Tu 0 0 | Ox IlI-u gt 0 0 Ox 1 o » 1-4 0 0 ey 1 — _ 2 ^ + Oo = E 1 i 0 0 e: _ EaT I Tụ 2 Tà L-2y |0 : L~2/ 0 , Tụ 2 LỆ, 0 T 1-24 ||y, 0 L 2 | (2.16) , = E trong đó ; Ý= (t+z)q—2) œ - hệ số dãn nở nhiệt; 7' - chênh lệch nhiệt độ 2.3.3 Bài toán phẳng

Bằng phương pháp phần tử hữu hạn có thể giải bài toán 3 chiều tổng quát của cơ học

vật rắn biến dạng Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp thực tế khi mà dụng hình học và tải trọng cho phép đơn giản bài toán về hai chiều hoặc một chiều Ta nên lý tưởng hoá về bài toán phẳng theo một trong ba dạng sau:

s— Ứng xuất phẳng : Điều kiện ứng suất phẳng được đặc trưng bởi giá trị ứng suất rất nhỏ theo một trong các hướng phấp tuyến nào đó (chẳng hạn theo hướng trục OZ),

1

LH

pe '

tấm mỏng chịu tải tác dụng trong mặt phẳng tấm

Trang 30

Trong các trường hợp này các thành phần ứng suất ø,, 7„„ 7y; bằng không và không có

thành phần ứng suất nào thay đổi dọc theo chiều dầy tấm Nghĩa là các thành phần

ứng suất còn lại ơy, Øy, #¿y chỉ phụ thuộc vào x và y mà thôi Kết cấu ứng suất phẳng trong thực tế thường có dạng tấm hoặc thanh phẳng chịu tải trọng trong mặt phẳng của kết cấu Quan hệ vật liệu trong trạng thái ứng suất phẳng : kế E 1 nw 9 é EaT 1 Ơ , “TT “8 ] 0 |x4é, “7 x1 (2.17) —/ 1- — Tụ, 0 0 > Các thành phần biến dạng cũng biểu diễn được thông qua các thành phần ứng suất bằng quan hệ : &, ' 1 -4yu 0 Oo l 8, = E x}-uw | 0 x4ơ,¿+d.T$I (2.18) Y x 00 2(+z)| |r, 0 Đồng thời : - (£.+z,)+~*“aT “ l-w l—ju (2.19) và Y⁄„ =7 =0

°— Biển dạng phẳng : các bài toán khảo sát các vật thể dài trong đó dạng hình học và tải trọng không thay đổi theo hướng dọc trục thường qui về bài toán biến dạng

phẳng Trên hình 2.2b dẫn ra một số ví dụ điển hình Trong các trường hợp này chuyển vị dọc trục w không đổi, ứng với chuyển động tịnh tiến của vat ran tuyệt đối, còn các chuyển vị thẳng trong z ứng với các chuyển động xoay vật rắn, các

chuyển vị này không gây nên biến dạng Như vậy nếu ta xét tiết điện ngàng cách xa đầu mút, ta có thể giả thiết w = 0 còn các chuyển vị w và chỉ là hàm của các toa độ x và y chứ không phụ thuộc vào Z, từ đó suy ra:

6,=7 =z,:=0 (2.20)

Trang 31

32 CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC KẾT CẤU Oo E (i — 4) / / i 0 é Ạ EaT 1 Oo, ~ (+ w—2n) ye (1-4) 0 é, "(-23” 1 l +/0)(L—2 _ l —2ú T J 0 0 d=24) Y xy 2 J 0 (2.21) Đồng thời có thể chỉ ra quan hệ : Ơ = /(ƠØ, + ƠØ,) - Ea.T (2.22a) Ty, = 7= (2.22b) Giải phương trình (2.21) đối với biến dạng £,, £y Và 7„„ ta CÓ : éy (1 —#) ~# 0 Oo 1 +) 6, }= —E— (-z) 0l4,+(I+)đ.T4I (2.23) V ss 0 0 2j{z, 0

s Phân bố ứng suất đối xứng trục : Một số bài toán phân tích ứng suất, được quan tâm trong thực tế, là bài toán khảo sát vật thể đối xứng trục, chịu tải trọng đối xứng trục, Ví dụ tiêu biểu là ống trụ tròn chịu áp lực đều bên trong hoặc bên ngoài (hình 2.2c) Biến dạng trở nên đối xứng đối với trục y, các thành phần ứng suất là độc lập đối với góc đ, và toàn bộ các đạo hàm theo đ triệt tiêu Các thành phần w,

Trang 32

PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH 33 vv —_ _—_— ——> — `¬= x Py 4 v Hình 2.2c - Bài toán đối xứng trục Ou H ov Ou + Ov (2.24) - gees gs : y= 24 x Ox 0 x " "Oy ye ’ xr `" Oy @x

Như vậy chỉ cần 2 thành phần chuyển vị trong tiết diện phẳng bất kỳ dọc theo trục đối xứng là xác định hoàn toàn trạng thái biến dạng và kéo theo là trạng thái ứng suất Quan hệ vật liệu có dạng : a (l- 4) ưa ic ụ é, ae E HO Uw) K 0 é, (2.25) o,f (+n)0-2n)| 4 “.=#) q~ 2z) ey : ay 0 0 g SOTA, 2 ay"

2.4 NGUYEN LY CONG KHA Di

Một lực ? sinh công nếu nó gây ra chuyển vị r Công là tích của lực với chuyển vị

tương ứng: W = P.r Khi lực P và chuyển vị r không có liên hệ theo kiểu nhân quả thì cong We=P.r được gọi là công khả dĩ Do đó công khả dĩ có thể sinh ra bởi các lực thực qua các chuyển vị ảo hay ngược lại Tương ứng, nguyên lý công khả dĩ có thể phân thành nguyên lý chuyển vị khả dĩ và nguyên lý lực khả dĩ

Trang 33

34 CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC KẾT CẤU

Nguyên lý chuyển vị khả dĩ dựa trên cơ sở công khả dĩ sinh ra bởi các lực thực qua các

chuyển vị khả dĩ Như sẽ chỉ ra về sau, nguyên lý này dẫn tới điều kiện cân bằng và được sử dụng để hình thành mô hình chuyển vị của phương pháp phần tử hữu hạn Còn nguyên lý lực khả đĩ sử dụng công khả dĩ sinh ra bởi các lực khả dĩ trên các chuyển vi

thực Từ nguyên lý duc kha dĩ dẫn tới điều kiện liên tục và được đùng trong mô hình

cân bằng lực

2.4.1 Nguyên lý chuyển vị khả dĩ

Trong trường hợp vật rắn hay kết cấu 3 chiều, chuyển vị tại một điểm bất kỳ được xác

định bởi 3 thành phần wu, y, w song song với các truc cla hé toa do Descartes x, y, z

Các chuyển vị uv, w, w là các hàm liên tục của các toa do x, y, z Chuyển vị khả dĩ bất

kỳ cũng là các hàm liên tục hơn nữa cũng phải thoả mãn các điều kiện biên động học

Xét vật thể 2 chiều trên hình 2.2a Các điều kiện cân bằng viết cho ứng suất bên trong

và trên biên vật thể là các phương trình (2.5) và (2.6) được viết lại như sau: OT” oon, ay +X, =0 Tt w 20s +¥, =0 Ox oy o,l+t,,m=X, : (2.6) tT l+o,m =Y Nhân lần lượt phương trình cân bằng (2.5) với du va dv rdi lay tích phân theo diện tích vật thể OT Ot, @ [[ Oo, + By +X, Sut ty + oO, +¥, |dv |dxdy =0 (2.26) Ox Oy Ox oy

Để sáng tỏ ý nghĩa vật lý của phương trình ta quan niệm du và ổy là các chuyển vi kha dĩ, đồng thời khai triển mỗi thành phần nhờ công thức Green 2 chiều Nếu Ø(x,y) và

x,y) là các hàm liên tục cùng với đạo hàm riêng cấp I và 2, thì theo công thức Green

Trang 34

PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH 35 2 Í aD OF ——+—— ae OW ).dxdy = -ff os +2 oe ——).dx dy + 2x ôx ð y oy "2y (2.27) ov : + fort + ay ).dS Xét thành phần thứ nhất của tích phân trong (2.26) Giả sử Œ@= ơ, và giả sử WZ là hàm sao cho : ey =u va ov =0 Ox oy Khi đó : JÏ ed ~ duudxdy = -Í[z.= — dxúy + Jo, J OudS (2.28) Ox Tương tự có thể chỉ ra rằng : 28 , Is “hân dxdy = Í[ oa, J= dy + fo ym.dv.d§ (2.29) va 7 OT OT vy «OO [fev +S suyaxay = ff rà (22 S”” jwdy Ox Ấy *`Øx Oy (2.30) + Jt, m.dut Tt, L.dv)dS Như vậy phương trình (2.26) được chuyển thành : it a đây đây đổu ~ , +7 + ° 2y Ox oy

vile d+, ym) dur (ty lito ym).dv |dS = 0

} jas + |[(X,ðu+ V,ðy)dxáy 230

Mỗi tích phân trong phương trình trên đều có ý nghĩa riêng Tích phân thứ hai ở vế trái

(2.31) là công khả đĩ thực hiện bởi các lực khối trên các chuyển vị khả dĩ du vi dv Tích phân đường có thể đơn giản hoá nhờ phương trình (2.6) như sau :

[ke ltt, mjdut(t, ito, am) dv] dS = [(Xsdu +Y,dv)dS (2.32) Như vậy tổng công khả dĩ của ngoại luc dw, bang :

Trang 35

Để dẫn ra ý nghĩa của tích phân thứ nhất trong vế trái của phương trình (2.31), ta xét

phân tố ØxØy có chiều dày đơn vị, chịu ứng suất o, nhu trên hình 2.3: ye Jou , ou ut X v leo] Ox o, mm dy : ——> on dx x vy

Hình 2.3 - Phân tố vì phân chịu ứng suất

Giả sử phân tố được gán chuyển vị khả dĩ ổư và vị trí chuyển dịch như trên hình 2.3

Công khả dĩ của nội lực thực hiện bởi ứng suất o, la:

đổ đổu

ơ „tị Ou +—— dx \- a, dy du =o , —— dxdy (2.34)

Ox Ox

Như vậy tích phân thứ nhất của phương trình (2.31) là tổng công khả dĩ của nội lực do hệ ứng suất Ø,, Ø,, 7„„ sinh ra

Đồng thời chuyển vị khả dĩ ổw sinh ra biến thiên biến dạng :

c as) bu

ở

be, 8) 5, 2 980 2.35

* dk ~*~ Ox (

Biến dạng de, duge goi 1a bién dang kha đĩ theo phương x

Thế (2.35) vào (2.34) ta được công khả dĩ của nội lực thực hiện trên ứng suất :

Công khả dĩ của nội lực = o de, dxdy (2.36)

Như vậy ta có thể viết lại tổng công khả dĩ của nội lực cho bởi tích phân thứ nhất của

Trang 36

OU = ff (0,06, +0,08, +T,,.07,,) dxdy (2.37)

Các kết quả trên có thể mở rộng ra cho các hệ ứng suất 3 chiều (biểu thức 2.3a) Tổng công khả dĩ của nội và ngoại lực có thể biểu diễn bởi phương trình sau :

OW, = {ff xen +¥,dv+Z,0w) dV + ff, X sou + Y,6v+Z,dw) dS (2.38)

trong đó %7 : phần bề mặt chịu ngoại tải Phương trình trên có thể viết ngắn gọn dưới dang ma tran OW, = [ff {ous (x}av + [f {out (Phas (2.38a) trong do: {ou}" = {Su dv Sw (XJ =[X, VY, Z,] (2.38b) W} =|X, Y, Z,] và

dU = (ff (cde, +0,08, +0,08,+T,, 07, +T,OY , + r„ồy, )}dW (2.39)

hay dudi dang ma tran:

äU = ||[ „t6«} it (2.39a)

Theo trình bày trên phương trình (2.31) trở thành

-ôU +ôM, =0 (2.40)

Nghĩa là ðW,= dU (2.41)

Từ phương trình trên suy ra để vát thể cân bằng thì tổng công khả đĩ của nội lực phải

bằng tổng công khả đĩ của ngoại lực Biểu thức toán học trên là điều kiện cần để cân

bằng Nếu ta áp dụng công thức Green một lần nữa theo chiều nghịch ta có phương

trình :

Or Oo, Ot,,

JÏ l: 42's +x, ous[ Zee os +1, by chedy 2x Oy dy Ox (2.42)

=ÍjtcA +7„m„— X,)öw +(t „+ ,m— Ÿ, )5v} ds

Trang 37

Đối với giá trị bất kỳ của chuyển vi kha di du và ở, quan hệ trên chỉ đúng khi mọi

thành phần trong ngoặc triệt tiêu và điều đó một lần nữa dẫn về phương trình cân bằng (2.5) và (2.6)

Từ đó có thể kết luận là quan hệ ổWe = ðU là điều kiện cần và đủ để hệ cân bằng, và nguyên lý chuyển vị khả dĩ có thể phát biểu như sau: Hệ biến dạng là cân bằng khi tổng công khả dĩ của ngoại lực bằng tổng công khả dĩ của nội lực đối với mọi chuyển vị khả dĩ thoả niấn các điều kiện biên động học

2.4.2 Phương pháp chuyển vị đơn vị cưỡng bức

Xét vật thể hay hệ kết cấu trong trạng thái ứng suất o,, 0), Oy Tryy 7,„ Ty Giả sử cho chuyển vị khả di or tai diém đặt lực và theo hướng của ngoại lực P, đồng thời giữ nguyên vị trí của các tải trọng khác Nghĩa là chuyển vị khả dĩ của các ngoại tải còn

lại bằng không Khi đó công khả dĩ của các ngoại tải là P or Còn chuyển vi kha di or gây lên các biến dạng khả dĩ 6€, ,0€).,0€,07',,07, OY | Theo nguyên lý chuyển vị khả dĩ tạ có :

Pér= [ff (ode, +o 6, +0 680 + 7,57, + Tj + TOY) AV (2.43)

Giả sử ðr bằng đơn vị ta có :

P= ||] (ơ,ös, +ơ,ỗ£y+~.+r„ỗy„) đV (2.44)

trong do dé, OE, OY oy là các biến dạng khả dĩ do chuyển vị khả đi đơn vị tại điểm

đặt lực và hướng của P Biểu thức trên viết gọn thành :

P= II {6=} tø} da (2.44a)

Trong công thức trên {Ø} là vectơ chứa các thành phần ứng suất thực còn {ô£*} là

vectơ biến dạng khả dĩ do chuyển vị khả đĩ đơn vị gây nên

Về mặt vật lý, P có thể mô tả như thước đo độ cứng của kết cấu Nghĩa là P là lực gây

Trang 38

hoa ta xét hệ đàn 3 thanh chịu tải thắng đứng P = 50 kN (hình 2.4) Tiết diện các thanh Al=A2=A3=A; MOdun đàn hồi £

@® 2m P=50kN

|f———>|

(a) (b) (c)

Hinh 2.4 - Dan 3 thanh

Các thành phần của chuyển vị thực tại nút 1 là và # như trên hình 2.4 Từ các chuyển

Trang 39

40 CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC KẾT CẤU öU = EA.2/2 ~ + EAI = + EA.2V2 — = bash cal | 8 2 8 8 8 = can Bt 1 4 Còn công khả đi của ngoại lực : ow, =0x1=0 Ap dung nguyén ly chuyén vi kha di 6We = ổU tạ có: g4, [est =() 8 nehia la; tự = () (c)

Cũng theo các bước trên ta tính biến dạng khả dĩ, gây nên bởi chuyển vị khả dĩ ổy = 1

Se, == Se, =0 5e,=-— |

Tổng công khả dĩ của nội lực gây ra bởi chuyển vị khả dĩ ẩy = 1 là :

ðU = EA.J2 (2) EAz/zE-Đ[- 4) 4 4 T4 (4

Trang 40

PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH 41 Thay các biểu thức của œ và v vào phương trình (a) ta tính được biến dạng trong các thanh : ca 200 _ 50 T a2.AE V2.AE £, =0 (e) 6, = — 200 _ 7 50 442.AE— V2.AE Nội lực trong các thanh là : = AE Trae SS— 50 _ 50 2542 kN F, =0 = AB) Ví dụ trên mình hoa việc ấp dụng nguyên lý chuyển vị khả dĩ để phân tích kết cấu theo (1) = -25J2 kN mô hình chuyển vị Thứ tự các bước phân tích theo mô hình chuyển vị là : I Đặt các chuyển vị là ẩn số

2 Áp dụng nguyên lý chuyển vị khả dĩ xây dựng phương trình cân bằng 3 Giải phương trình cân bằng tìm chuyển vị thực

4 Tính biến dạng theo chuyển vị tìm được

5 Tính ứng suất (nội lực theo biến dạng tìm được)

Trình tự các bước trên cũng chính là trình tự phân tích phần tử hữu hạn theo mô hình

chuyển vị mà ta sẽ trình bày trong các chương tiếp theo

2.5 CÁC NGUYÊN LÝ NĂNG LƯỢNG

Trong cơ học kết cấu các nguyên lý dựa trên thế năng và năng lượng bù đã được sử dụng rộng rãi để giải các bài toán như dầm, dàn, khung, tấm chịu uốn Trong đó nổi

lên hai nguyên lý quan trọng là nguyên lý cực tiểu thế năng và nguyên lý cực tiểu năng

lượng bù Có thể chỉ ra rằng có thể xây dựng nguyên lý chuyển vị kha di bing cach str

dụng nguyên lý biến phân viết cho tổng thế năng và nguyên lý lực khả dĩ được hình

Định dạng
Số trang	241
Dung lượng	4 MB