PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

i PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Lý thuyết Bài tập Chương trình MATLAB HÀ NỘI 2007 TRẦN ÍCH THỊNH – NGÔ NHƯ KHOA TRẦN ÍCH THỊNH NGÔ NHƯ KHOA HÀ NỘI 2007 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Pp  Lý thuyết  Bài tập  Chương trình MATLAB GS, TS Trần Ích Thịnh TS. Ngô Như Khoa PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Lý thuyết Bài tập Chương trình MATLAB HÀ NỘI 2007 MỞ ĐẦU Giáo trình Phương pháp Phần tử hữu hạn (PP PTHH) được biên soạn dựa trên nội dung các bài giảng và kinh nghiệm giảng dạy môn học cùng tên trong những năm gần đây cho sinh viên khoa Cơ khí, trường Đại học Bách khoa Hà Nội và học viên cao học ngành Cơ học Kỹ thuật, trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - Đại học Thái Nguyên. Nội dung giáo trình có mục đích trang bị cho sinh viên các ngành kỹ thuật: Công nghệ chế tạo máy, Cơ tin kỹ thuật, Kỹ thuật hàng không, Kỹ thuật tàu thuỷ, Máy thuỷ khí, Ô tô, Động cơ, Tạo hình biến dạng, Công nghệ chất dẻo & composite, Công nghệ & kết cấu hàn v.v.: - Những kiến thức cơ bản nhất của PP PTHH ứng dụng, - Áp dụng phương pháp để giải quyết một số bài toán kỹ thuật khác nhau, - Nâng cao kỹ năng lập trình Matlab trên cơ sở thuật toán PTHH. Giáo trình biên soạn gồm 13 chương. Sau phần giới thiệu phương pháp PTHH, một số loại phần tử thực và phần tử qui chiếu hay gặp (Chương 1), giáo trình đề cập đến một số phép tính ma trận, phương pháp khử Gauss (Chương 2) và thuật toán xây dựng ma trận độ cứng và véctơ lực nút chung cho kết cấu (Chương 3). Phương pháp Phần tử hữu hạn trong bài toán một chiều chịu kéo (nén) được giới thiệu trong Chương 4 và ứng dụng vào tính toán hệ thanh phẳng (Chương 5). Tiếp theo, giáo trình tập trung vào mô tả phần tử hữu hạn tam giác biến dạng hằng số trong bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi (Chương 6) và ứng dụng vào tính toán kết cấu đối xứng trục (Chương 7). Chương 8 giới thiệu phần tử tứ giác kèm theo khái niệm tích phân số. Chương 9 mô tả phần tử Hermite trong bài toán tính dầm và khung. Chương 10 trình bày phần tử hữu hạn trong bài toán dẫn nhiệt một và hai chiều. Chương 11 xây dựng thuật toán PTHH tính tấm-vỏ chịu uốn. Phần áp dụng phần tử hữu hạn trong tính toán vật liệu và kết cấu composite được giới thiệu trong chương 12. Chương 13 mô tả phần tử hữu hạn trong tính toán động lực học một số kết cấu. i Cuối mỗi chương (từ chương 4 đến chương 13) đều có chương trình Matlab kèm theo và một lượng bài tập thích đáng để người đọc tự kiểm tra kiến thức của mình. Giáo trình được biên soạn bởi: - GS. TS Trần Ích Thịnh (chủ biên): Chương 1, 3, 4, 5, 6, 8 và 9. - TS Ngô Như Khoa: Chương 2, 7, 10, 11, 12, 13 và các chương trình Matlab. Giáo trình được trình bày một cách hệ thống và nhất quán từ đầu đến cuối nhờ Nguyên lý cực tiểu hoá thế năng toàn phần. Các quan hệ được xây dựng trong "không gian qui chiếu", do đó rất thuận lợi trong tính toán và lập trình. Có thể dùng giáo trình này làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên Cao học và nghiên cứu sinh các ngành kỹ thuật liên quan. Rất mong nhận được những góp ý xây dựng của bạn đọc. Tập thể tác giả ii MỤC LỤC Chương 1 GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Chương 1 1 GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 1 5.1. GIỚI THIỆU CHUNG 1 5.2. XẤP XỈ BẰNG PHẦN TỬ HỮU HẠN 1 5.3. ĐỊNH NGHĨA HÌNH HỌC CÁC PHẦN TỬ HỮU HẠN 2 3.1. Nút hình học 2 3.2. Qui tắc chia miền thành các phần tử 2 5.4. CÁC DẠNG PHẦN TỬ HỮU HẠN 2 5.5. PHẦN TỬ QUY CHIẾU, PHẦN TỬ THỰC 4 5.6. MỘT SỐ DẠNG PHẦN TỬ QUI CHIẾU 5 5.7. LỰC, CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG VÀ ỨNG SUẤT 6 5.8. NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU HOÁ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN 7 5.9. SƠ ĐỒ TÍNH TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 8 Chương 2 12 ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSSIAN 12 1. ĐẠI SỐ MA TRẬN 12 1.1. Véctơ 13 1.2. Ma trận đơn vị 13 1.3. Phép cộng và phép trừ ma trận 13 1.4. Nhân ma trận với hằng số 13 1.5. Nhân hai ma trận 14 1.6. Chuyển vị ma trận 14 1.7. Đạo hàm và tích phân ma trận 15 1.8. Định thức của ma trận 15 1.9. Nghịch đảo ma trận 16 1.10. Ma trận đường chéo 17 1.11. Ma trận đối xứng 17 1.12. Ma trận tam giác 17 2. PHÉP KHỬ GAUSS 18 2.1. Mô tả 18 2.2. Giải thuật khử Gauss tổng quát 19 Chương 3 22 THUẬT TOÁN XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG CHUNG 22 VÀ VÉCTƠ LỰC NÚT CHUNG 22 1. CÁC VÍ DỤ 22 iii 1.1. Ví dụ 1 22 1.2. Ví dụ 2 24 2. THUẬT TOÁN GHÉP K VÀ F 28 2.1. Nguyên tắc chung 28 2.2. Thuật toán ghép nối phần tử: 29 Chương 4 31 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN MỘT CHIỀU 31 1. MỞ ĐẦU 31 2. MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN 31 3. CÁC HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ VÀ HÀM DẠNG 32 4. THẾ NĂNG TOÀN PHẦN 36 5. MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ 37 6. QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT 38 7. ĐIỀU KIỆN BIÊN, HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN 39 8. VÍ DỤ 41 9. CHƯƠNG TRÌNH TÍNH KẾT CẤU MỘT CHIỀU - 1D 47 10. BÀI TẬP 51 Chương 5 53 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN HỆ THANH PHẲNG 53 1. MỞ ĐẦU 53 2. HỆ TOẠ ĐỘ ĐỊA PHƯƠNG, HỆ TOẠ ĐỘ CHUNG 53 3. MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ 55 4. ỨNG SUẤT 56 5. VÍ DỤ 56 6. CHƯƠNG TRÌNH TÍNH HỆ THANH PHẲNG 58 7. BÀI TẬP 68 Chương 6 72 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN HAI CHIỀU 72 1. MỞ ĐẦU 72 1.1. Trường hợp ứng suất phẳng 73 1.2. Trường hợp biến dạng phẳng 73 2. RỜI RẠC KẾT CẤU HOÁ BẰNG PHẦN TỬ TAM GIÁC 74 3. BIỂU DIỄN ĐẲNG THAM SỐ 77 4. THẾ NĂNG 81 5. MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ TAM GIÁC 81 6. QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT 82 7. VÍ DỤ 85 5.1. CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TẤM CHỊU TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG 90 8. BÀI TẬP 101 iv Chương 7 105 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN ĐỐI XỨNG TRỤC CHỊU TẢI TRỌNG ĐỐI XỨNG 105 1. MỞ ĐẦU 105 2. MÔ TẢ ĐỐI XỨNG TRỤC 105 3. PHẦN TỬ TAM GIÁC 107 4. CHƯƠNG TRÌNH TÍNH KẾT CẤU ĐỐI XỨNG TRỤC 116 5. BÀI TẬP 125 Chương 8 129 PHẦN TỬ TỨ GIÁC 129 1. MỞ ĐẦU 129 5.1. PHẦN TỬ TỨ GIÁC 129 5.2. HÀM DẠNG 130 5.3. MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ 132 5.4. QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT 134 5.7. TÍCH PHÂN SỐ 135 5.8. TÍNH ỨNG SUẤT 139 5.9. VÍ DỤ 140 5.10. CHƯƠNG TRÌNH 142 5.11. BÀI TẬP 154 Chương 9 156 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU DẦM VÀ KHUNG 156 1. GIỚI THIỆU 156 5.12. THẾ NĂNG 157 5.13. HÀM DẠNG HERMITE 157 5.14. MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ DẦM 159 5.15. QUY ĐỔI LỰC NÚT 161 5.16. TÍNH MÔMEN UỐN VÀ LỰC CẮT 163 5.17. KHUNG PHẲNG 163 5.18. VÍ DỤ 166 5.19. CHƯƠNG TRÌNH TÍNH DẦM CHỊU UỐN 171 5.20. BÀI TẬP 180 Chương 10 183 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN DẪN NHIỆT 183 1. GIỚI THIỆU 183 2. BÀI TOÁN DẪN NHIỆT MỘT CHIỀU 183 2.1. Mô tả bài toán 183 2.2. Phần tử một chiều 183 2.3. Ví dụ 185 3. BÀI TOÁN DẪN NHIỆT HAI CHIỀU 187 3.1. Phương trình vi phân quá trình dẫn nhiệt hai chiều 187 v 3.2. Điều kiện biên 188 3.3. Phần tử tam giác 189 3.4. Xây dựng phiếm hàm 191 3.5. Ví dụ 195 4. CÁC CHƯƠNG TRÌNH TÍNH BÀI TOÁN DẪN NHIỆT. .197 4.1. Ví dụ 10.1 197 4.2. Ví dụ 10.2 202 5. BÀI TẬP 208 Chương 11 212 PHẦN TỬ HỮU HẠN 212 TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TẤM - VỎ CHỊU UỐN 212 1. GIỚI THIỆU 212 2. LÝ THUYẾT TẤM KIRCHOFF 212 3. PHẦN TỬ TẤM KIRCHOFF CHỊU UỐN 215 1. PHẦN TỬ TẤM MINDLIN CHỊU UỐN 222 2. PHẦN TỬ VỎ 225 4. CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TẤM CHỊU UỐN 228 5. BÀI TẬP 237 Chương 12 240 PHẦN TỬ HỮU HẠN 240 TRONG TÍNH TOÁN VẬT LIỆU, KẾT CẤU COMPOSITE 240 1. GIỚI THIỆU 240 2. PHÂN LOẠI VẬT LIỆU COMPOSITE 240 3. MÔ TẢ PTHH BÀI TOÁN TRONG TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG 242 3.1. Ma trận D đối với trạng thái ứng suất phẳng 242 3.2. Ví dụ 244 4. BÀI TOÁN UỐN TẤM COMPOSITE LỚP THEO LÝ THUYẾT MINDLIN 247 4.1. Mô hình hóa vật liệu composite nhiều lớp theo lý thuyết Mindlin 247 4.2. Mô hình hóa PTHH bài toán tấm composite lớp chịu uốn. 252 5.21. CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TẤM COMPOSITE LỚP CHỊU UỐN 256 2. BÀI TẬP 274 Chương 13 275 PHẦN TỬ HỮU HẠN 275 TRONG BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU 275 1. GIỚI THIỆU 275 2. MÔ TẢ BÀI TOÁN 275 3. VẬT RẮN CÓ KHỐI LƯỢNG PHÂN BỐ 277 vi [...]... gặp Phần tử một chiều Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba Phần tử hai chiều Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba Phần tử ba chiều Phần tử tứ diện Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba Phần tử lăng trụ 3 Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba 5.5 PHẦN TỬ QUY CHIẾU, PHẦN TỬ THỰC Với mục đích đơn giản hoá việc xác định giải tích các phần tử có dạng phức tạp, chúng... các phần tử v1 v2 biên giới v2 v1 biên giới v1 v2 biên giới Hình 1.1 Các dạng biên chung giữa các phần tử 5.4 CÁC DẠNG PHẦN TỬ HỮU HẠN Có nhiều dạng phần tử hữu hạn: phần tử một chiều, hai chiều và ba chiều Trong mỗi dạng đó, đại lượng khảo sát có thể biến thiên bậc nhất (gọi là phần 2 tử bậc nhất), bậc hai hoặc bậc ba v.v Dưới đây, chúng ta làm quen với một số dạng phần tử hữu hạn hay gặp Phần tử một... tử 5.6 MỘT SỐ DẠNG PHẦN TỬ QUI CHIẾU Phần tử qui chiếu một chiều -1 1 ξ 0 -1 1 ξ 0 /2 Phần tử bậc hai Phần tử bậc nhất 0 1/2 -1 -1 ξ 1 Phần tử bậc ba Phần tử qui chiếu hai chiều η η η 1 1 1 1 /2 r v 0,0 1 Phần tử bậc nhất ξ 1 ,1 / / 2 2 r v 0,0 1 / 2 1 ,2 / / 3 3 2 1 /3 / 1 Phần tử bậc hai ξ 2 ,1 / / 3 3 vr 3 0,0 1 / 2 3 / 3 1 ξ Phần tử bậc ba 5 Phần tử qui chiếu ba chiều Phần tử tứ diện ζ ζ 0,0,1 0,0,1... khái niệm phần tử qui chiếu, hay phần tử chuẩn hoá, ký hiệu là vr Phần tử qui chiếu thường là phần tử đơn giản, được xác định trong không gian qui chiếu mà từ đó, ta có thể biến đổi nó thành từng phần tử thực ve nhờ một phép biến đổi hình học re Ví dụ trong trường hợp phần tử tam giác (Hình 1.2) (5) y (4) η r3 0,1 vr 0,0 1,0 (3) v2 r2 r1 v3 (1) v1 (2) ξ x Hình 1.2 Phần tử quy chiếu và các phần tử thực...4 MA TRẬN KHỐI LƯỢNG CỦA PHẦN TỬ CÓ KHỐI LƯỢNG PHÂN BỐ 279 4.1 Phần tử một chiều .279 4.2 Phần tử trong hệ thanh phẳng 279 4.3 Phần tử tam giác .280 4.4 Phần tử tam giác đối xứng trục 281 4.5 Phần tử tứ giác 283 4.6 Phần tử dầm 283 4.7 Phần tử khung 284 5.1 VÍ DỤ 284 5 CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TẦN... với phần biên của phần tử thực được xác định bởi các nút tương ứng Chú ý: - Một phần tử qui chiếu vr được biến đổi thành tất cả các phần tử thực ve cùng loại nhờ các phép biến đổi khác nhau Vì vậy, phần tử qui chiếu còn được gọi là phần tử bố-mẹ - Có thể coi phép biến đổi hình học nói trên như một phép đổi biến đơn giản - ζ (ξ, η) được xem như hệ toạ độ địa phương gắn với mỗi phần tử 5.6 MỘT SỐ DẠNG PHẦN... .295 TÀI LIỆU THAM KHẢO 297 vii Chương 1 GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 5.1 GIỚI THIỆU CHUNG Sự tiến bộ của khoa học, kỹ thuật đòi hỏi người kỹ sư thực hiện những đề án ngày càng phức tạp, đắt tiền và đòi hỏi độ chính xác, an toàn cao Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một phương pháp rất tổng quát và hữu hiệu cho lời giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau Từ việc... Phần tử qui chiếu ba chiều Phần tử tứ diện ζ ζ 0,0,1 0,0,1 ζ 0,0,1 η vr 0,0,0 η vr 0,1,0 0,1,0 1,0,0 1,0,0 ξ Phần tử bậc nhất η vr 0,1,0 1,0,0 ξ Phần tử bậc hai ξ Phần tử bậc ba Phần tử sáu mặt ζ ζ 0,1,1 vr vr η η 1,1,0 ξ Phần tử bậc nhất 0,1,1 vr η ξ ζ 0,1,1 1,1,0 Phần tử bậc hai ξ 1,1,0 Phần tử bậc ba 5.7 LỰC, CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG VÀ ỨNG SUẤT Có thể chia lực tác dụng ra ba loại và ta biểu diễn chúng... miền con ve được gọi là các phần tử 5.3 ĐỊNH NGHĨA HÌNH HỌC CÁC PHẦN TỬ HỮU HẠN 3.1 Nút hình học Nút hình học là tập hợp n điểm trên miền V để xác định hình học các PTHH Chia miền V theo các nút trên, rồi thay miền V bằng một tập hợp các phần tử ve có dạng đơn giản hơn Mỗi phần tử ve cần chọn sao cho nó được xác định giải tích duy nhất theo các toạ độ nút hình học của phần tử đó, có nghĩa là các toạ... trên biên của nó 3.2 Qui tắc chia miền thành các phần tử Việc chia miền V thành các phần tử ve phải thoả mãn hai qui tắc sau: - Hai phần tử khác nhau chỉ có thể có những điểm chung nằm trên biên của chúng Điều này loại trừ khả năng giao nhau giữa hai phần tử Biên giới giữa các phần tử có thể là các điểm, đường hay mặt (Hình 1.1) - Tập hợp tất cả các phần tử ve phải tạo thành một miền càng gần với miền . diện Phần tử lăng trụ 3 Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba 5.5.PHẦN TỬ QUY CHIẾU, PHẦN TỬ. THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Chương 1 1 GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 1 5.1. GIỚI THIỆU CHUNG 1 5.2. XẤP XỈ BẰNG PHẦN TỬ HỮU HẠN 1 5.3. ĐỊNH NGHĨA HÌNH HỌC CÁC PHẦN TỬ HỮU HẠN 2 3.1 các phần tử tử bậc nhất), bậc hai hoặc bậc ba v.v. Dưới đây, chúng ta làm quen với một số dạng phần tử hữu hạn hay gặp. Phần tử một chiều Phần tử hai chiều Phần tử ba chiều Phần tử tứ diện Phần