PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

MỞ ĐẦUGiáo trình Phương pháp Phần tử hữu hạn PP PTHH được biên soạn dựa trên nội dung các bài giảng và kinh nghiệm giảng dạy môn học cùng tên trong những năm gần đây cho sinh viên khoa

TRẦN ÍCH THỊNH NGÔ NHƯ KHOA

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

P p

GS, TS Trần Ích Thịnh

TS Ngô Như Khoa

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

Lý thuyết Bài tập Chương trình MATLAB

HÀ NỘI 2007

MỞ ĐẦU

Giáo trình Phương pháp Phần tử hữu hạn (PP PTHH) được biên soạn

dựa trên nội dung các bài giảng và kinh nghiệm giảng dạy môn học cùng tên trong những năm gần đây cho sinh viên khoa Cơ khí, trường Đại học Bách khoa Hà Nội và học viên cao học ngành Cơ học Kỹ thuật, trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - Đại học Thái Nguyên Nội dung giáo trình có mục đích trang bị cho sinh viên các ngành kỹ thuật: Công nghệ chế tạo máy, Cơ tin kỹ thuật, Kỹ thuật hàng không, Kỹ thuật tàu thuỷ, Máy thuỷ khí, Ô tô, Động cơ, Tạo hình biến dạng, Công nghệ chất dẻo & composite, Công nghệ & kết cấu hàn v.v.:

- Những kiến thức cơ bản nhất của PP PTHH ứng dụng,

- Áp dụng phương pháp để giải quyết một số bài toán kỹ thuật khác nhau,

- Nâng cao kỹ năng lập trình Matlab trên cơ sở thuật toán PTHH

Giáo trình biên soạn gồm 13 chương

Sau phần giới thiệu phương pháp PTHH, một số loại phần tử thực và phần

tử qui chiếu hay gặp (Chương 1), giáo trình đề cập đến một số phép tính ma trận, phương pháp khử Gauss (Chương 2) và thuật toán xây dựng ma trận độ cứng và véctơ lực nút chung cho kết cấu (Chương 3) Phương pháp Phần tử hữu hạn trong bài toán một chiều chịu kéo (nén) được giới thiệu trong Chương

4 và ứng dụng vào tính toán hệ thanh phẳng (Chương 5) Tiếp theo, giáo trình tập trung vào mô tả phần tử hữu hạn tam giác biến dạng hằng số trong bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi (Chương 6) và ứng dụng vào tính toán kết cấu đối xứng trục (Chương 7) Chương 8 giới thiệu phần tử tứ giác kèm theo khái niệm tích phân số Chương 9 mô tả phần tử Hermite trong bài toán tính dầm và khung Chương 10 trình bày phần tử hữu hạn trong bài toán dẫn nhiệt một và hai chiều Chương 11 xây dựng thuật toán PTHH tính tấm-vỏ chịu uốn Phần

áp dụng phần tử hữu hạn trong tính toán vật liệu và kết cấu composite được giới thiệu trong chương 12 Chương 13 mô tả phần tử hữu hạn trong tính toán động lực học một số kết cấu

Cuối mỗi chương (từ chương 4 đến chương 13) đều có chương trình Matlab kèm theo và một lượng bài tập thích đáng để người đọc tự kiểm tra kiến thức của mình.

Giáo trình được biên soạn bởi:

trong "không gian qui chiếu", do đó rất thuận lợi trong tính toán và lập trình.

Có thể dùng giáo trình này làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên Cao học và nghiên cứu sinh các ngành kỹ thuật liên quan

Rất mong nhận được những góp ý xây dựng của bạn đọc

Tập thể tác giả

MỤC LỤC Chương 1 GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

Chương 1 1

GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 1

5.1 GIỚI THIỆU CHUNG 1

5.2 XẤP XỈ BẰNG PHẦN TỬ HỮU HẠN 1

5.3 ĐỊNH NGHĨA HÌNH HỌC CÁC PHẦN TỬ HỮU HẠN 2

3.1 Nút hình học 2

3.2 Qui tắc chia miền thành các phần tử 2

5.4 CÁC DẠNG PHẦN TỬ HỮU HẠN 2

5.5 PHẦN TỬ QUY CHIẾU, PHẦN TỬ THỰC 4

5.6 MỘT SỐ DẠNG PHẦN TỬ QUI CHIẾU 5

5.7 LỰC, CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG VÀ ỨNG SUẤT 6

5.8 NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU HOÁ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN .7

5.9 SƠ ĐỒ TÍNH TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 8

Chương 2 12

ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSSIAN 12

1 ĐẠI SỐ MA TRẬN 12

1.1 Véctơ 13

1.2 Ma trận đơn vị 13

1.3 Phép cộng và phép trừ ma trận 13

1.4 Nhân ma trận với hằng số 13

1.5 Nhân hai ma trận 14

1.6 Chuyển vị ma trận 14

1.7 Đạo hàm và tích phân ma trận 15

1.8 Định thức của ma trận 15

1.9 Nghịch đảo ma trận 16

1.10 Ma trận đường chéo 17

1.11 Ma trận đối xứng 17

1.12 Ma trận tam giác 17

2 PHÉP KHỬ GAUSS 18

2.1 Mô tả 18

2.2 Giải thuật khử Gauss tổng quát 19

Chương 3 22

THUẬT TOÁN XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG CHUNG 22

VÀ VÉCTƠ LỰC NÚT CHUNG 22

1.1 Ví dụ 1 22

1.2 Ví dụ 2 24

2 THUẬT TOÁN GHÉP K VÀ F 28

2.1 Nguyên tắc chung 28

2.2 Thuật toán ghép nối phần tử: 29

Chương 4 31

PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN MỘT CHIỀU 31

1 MỞ ĐẦU 31

2 MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN 31

3 CÁC HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ VÀ HÀM DẠNG 32

4 THẾ NĂNG TOÀN PHẦN 36

5 MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ 37

6 QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT 38

7 ĐIỀU KIỆN BIÊN, HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN 39

8 VÍ DỤ 41

9 CHƯƠNG TRÌNH TÍNH KẾT CẤU MỘT CHIỀU - 1D 47

10 BÀI TẬP 51

Chương 5 53

PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN HỆ THANH PHẲNG 53

1 MỞ ĐẦU 53

2 HỆ TOẠ ĐỘ ĐỊA PHƯƠNG, HỆ TOẠ ĐỘ CHUNG 53

3 MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ 55

4 ỨNG SUẤT 56

5 VÍ DỤ 56

6 CHƯƠNG TRÌNH TÍNH HỆ THANH PHẲNG 58

7 BÀI TẬP 68

Chương 6 72

PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN HAI CHIỀU 72

1 MỞ ĐẦU 72

1.1 Trường hợp ứng suất phẳng 73

1.2 Trường hợp biến dạng phẳng 73

2 RỜI RẠC KẾT CẤU HOÁ BẰNG PHẦN TỬ TAM GIÁC .74 3 BIỂU DIỄN ĐẲNG THAM SỐ 77

4 THẾ NĂNG 81

5 MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ TAM GIÁC 81

6 QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT 82

7 VÍ DỤ 85

5.1 CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TẤM CHỊU TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG 90

Chương 7 105

PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN ĐỐI XỨNG TRỤC CHỊU TẢI TRỌNG ĐỐI XỨNG 105

1 MỞ ĐẦU 105

2 MÔ TẢ ĐỐI XỨNG TRỤC 105

3 PHẦN TỬ TAM GIÁC 107

4 CHƯƠNG TRÌNH TÍNH KẾT CẤU ĐỐI XỨNG TRỤC 116

5 BÀI TẬP 125

Chương 8 129

PHẦN TỬ TỨ GIÁC 129

1 MỞ ĐẦU 129

5.1 PHẦN TỬ TỨ GIÁC 129

5.2 HÀM DẠNG 130

5.3 MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ 132

5.4 QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT 134

5.7 TÍCH PHÂN SỐ 135

5.8 TÍNH ỨNG SUẤT 139

5.9 VÍ DỤ 140

5.10 CHƯƠNG TRÌNH 142

5.11 BÀI TẬP 154

Chương 9 156

PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU DẦM VÀ KHUNG 156

1 GIỚI THIỆU 156

5.12 THẾ NĂNG 157

5.13 HÀM DẠNG HERMITE 157

5.14 MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ DẦM 159

5.15 QUY ĐỔI LỰC NÚT 161

5.16 TÍNH MÔMEN UỐN VÀ LỰC CẮT 163

5.17 KHUNG PHẲNG 163

5.18 VÍ DỤ 166

5.19 CHƯƠNG TRÌNH TÍNH DẦM CHỊU UỐN 171

5.20 BÀI TẬP 180

Chương 10 183

PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN DẪN NHIỆT 183

1 GIỚI THIỆU 183

2 BÀI TOÁN DẪN NHIỆT MỘT CHIỀU 183

2.1 Mô tả bài toán 183

2.2 Phần tử một chiều 183

2.3 Ví dụ 185

3 BÀI TOÁN DẪN NHIỆT HAI CHIỀU 187

3.1 Phương trình vi phân quá trình dẫn nhiệt hai chiều 187

3.2 Điều kiện biên 188

3.3 Phần tử tam giác 189

3.4 Xây dựng phiếm hàm 191

3.5 Ví dụ 195

4 CÁC CHƯƠNG TRÌNH TÍNH BÀI TOÁN DẪN NHIỆT .197 4.1 Ví dụ 10.1 197

4.2 Ví dụ 10.2 202

5 BÀI TẬP 208

Chương 11 212

PHẦN TỬ HỮU HẠN 212

TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TẤM - VỎ CHỊU UỐN 212

1 GIỚI THIỆU 212

2 LÝ THUYẾT TẤM KIRCHOFF 212

3 PHẦN TỬ TẤM KIRCHOFF CHỊU UỐN 215

1 PHẦN TỬ TẤM MINDLIN CHỊU UỐN 222

2 PHẦN TỬ VỎ 225

4 CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TẤM CHỊU UỐN 228

5 BÀI TẬP 237

Chương 12 240

PHẦN TỬ HỮU HẠN 240

TRONG TÍNH TOÁN VẬT LIỆU, KẾT CẤU COMPOSITE 240

1 GIỚI THIỆU 240

2 PHÂN LOẠI VẬT LIỆU COMPOSITE 240

3 MÔ TẢ PTHH BÀI TOÁN TRONG TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG 242

3.1 Ma trận D đối với trạng thái ứng suất phẳng 242

3.2 Ví dụ 244

4 BÀI TOÁN UỐN TẤM COMPOSITE LỚP THEO LÝ THUYẾT MINDLIN 247

4.1 Mô hình hóa vật liệu composite nhiều lớp theo lý thuyết Mindlin 247

4.2 Mô hình hóa PTHH bài toán tấm composite lớp chịu uốn 252 5.21 CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TẤM COMPOSITE LỚP CHỊU UỐN 256

2 BÀI TẬP 274

Chương 13 275

PHẦN TỬ HỮU HẠN 275

TRONG BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU 275

1 GIỚI THIỆU 275

2 MÔ TẢ BÀI TOÁN 275

3 VẬT RẮN CÓ KHỐI LƯỢNG PHÂN BỐ 277

4 MA TRẬN KHỐI LƯỢNG CỦA PHẦN TỬ CÓ KHỐI

LƯỢNG PHÂN BỐ 279

4.1 Phần tử một chiều 279

4.2 Phần tử trong hệ thanh phẳng 279

4.3 Phần tử tam giác 280

4.4 Phần tử tam giác đối xứng trục 281

4.5 Phần tử tứ giác 283

4.6 Phần tử dầm 283

4.7 Phần tử khung 284

5.1 VÍ DỤ 284

5 CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TẦN SỐ DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA DẦM VÀ KHUNG 285

6.1 Chương trình tính tần số dao động tự do của dầm 285

6.2 Chương trình tính tần số dao động tự do của khung 290

6 BÀI TẬP 295

TÀI LIỆU THAM KHẢO 297

Chương 1

GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

5.1 GIỚI THIỆU CHUNG

Sự tiến bộ của khoa học, kỹ thuật đòi hỏi người kỹ sư thực hiện những đề

án ngày càng phức tạp, đắt tiền và đòi hỏi độ chính xác, an toàn cao

Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một phương pháp rất tổng quát

và hữu hiệu cho lời giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau Từ việc phân tích trạng thái ứng suất, biến dạng trong các kết cấu cơ khí, các chi tiết trong ô

tô, máy bay, tàu thuỷ, khung nhà cao tầng, dầm cầu, v.v, đến những bài toán của lý thuyết trường như: lý thuyết truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thuỷ đàn hồi, khí đàn hồi, điện-từ trường v.v Với sự trợ giúp của ngành Công nghệ thông tin

và hệ thống CAD, nhiều kết cấu phức tạp cũng đã được tính toán và thiết kế chi tiết một cách dễ dàng

Trên thế giới có nhiều phần mềm PTHH nổi tiếng như: NASTRAN, ANSYS, TITUS, MODULEF, SAP 2000, CASTEM 2000, SAMCEF v.v

Để có thể khai thác hiệu quả những phần mềm PTHH hiện có hoặc tự xây dựng lấy một chương trình tính toán bằng PTHH, ta cần phải nắm được cơ sở

lý thuyết, kỹ thuật mô hình hoá cũng như các bước tính cơ bản của phương pháp

5.2 XẤP XỈ BẰNG PHẦN TỬ HỮU HẠN

Giả sử V là miền xác định của một đại lượng cần khảo sát nào đó (chuyển

vị, ứng suất, biến dạng, nhiệt độ, v.v.) Ta chia V ra nhiều miền con v e có kích thước và bậc tự do hữu hạn Đại lượng xấp xỉ của đại lượng trên sẽ được tính

trong tập hợp các miền v e

Phương pháp xấp xỉ nhờ các miền con v e được gọi là phương pháp xấp xỉ bằng các phần tử hữu hạn, nó có một số đặc điểm sau:

- Xấp xỉ nút trên mỗi miền con v e chỉ liên quan đến những biến nút gắn

vào nút của v e và biên của nó,

- Các hàm xấp xỉ trong mỗi miền con v e được xây dựng sao cho chúng

liên tục trên v e và phải thoả mãn các điều kiện liên tục giữa các miền con khác nhau

- Các miền con v e được gọi là các phần tử.

các toạ độ nằm trong v e hoặc trên biên của nó

3.2 Qui tắc chia miền thành các phần tử

Việc chia miền V thành các phần tử v e phải thoả mãn hai qui tắc sau:

- Hai phần tử khác nhau chỉ có thể có những điểm chung nằm trên biên của chúng Điều này loại trừ khả năng giao nhau giữa hai phần tử Biên giới giữa các phần tử có thể là các điểm, đường hay mặt (Hình 1.1)

- Tập hợp tất cả các phần tử v e phải tạo thành một miền càng gần

với miền V cho trước càng tốt Tránh không được tạo lỗ hổng giữa các

tử bậc nhất), bậc hai hoặc bậc ba v.v Dưới đây, chúng ta làm quen với một số dạng phần tử hữu hạn hay gặp.

5.5 PHẦN TỬ QUY CHIẾU, PHẦN TỬ THỰC

Với mục đích đơn giản hoá việc xác định giải tích các phần tử có dạng

phức tạp, chúng ta đưa vào khái niệm phần tử qui chiếu, hay phần tử chuẩn

hoá, ký hiệu là v r Phần tử qui chiếu thường là phần tử đơn giản, được xác định trong không gian qui chiếu mà từ đó, ta có thể biến đổi nó thành từng phần tử

thực v e nhờ một phép biến đổi hình học r e Ví dụ trong trường hợp phần tử tam giác (Hình 1.2)

Các phép biến đổi hình học phải sinh ra các phần tử thực và phải thoả mãn các qui tắc chia phần tử đã trình bày ở trên Muốn vậy, mỗi phép biến đổi hình học phải được chọn sao cho có các tính chất sau:

Hình 1.2 Phần tử quy chiếu và các phần tử thực tam giác

a Phép biến đổi phải có tính hai chiều (song ánh) đối với mọi điểm ξ trong

phần tử qui chiếu hoặc trên biên; mỗi điểm của v r ứng với một và chỉ một

điểm của v e và ngược lại

b Mỗi phần biên của phần tử qui chiếu được xác định bởi các nút hình học của biên

đó ứng với phần biên của phần tử thực được xác định bởi các nút tương ứng

Chú ý:

- Một phần tử qui chiếu v r được biến đổi thành tất cả các phần tử

thực v e cùng loại nhờ các phép biến đổi khác nhau Vì vậy, phần tử qui

chiếu còn được gọi là phần tử bố-mẹ

- Có thể coi phép biến đổi hình học nói trên như một phép đổi biến đơn giản

- ζ (ξ, η) được xem như hệ toạ độ địa phương gắn với mỗi phần tử

5.6 MỘT SỐ DẠNG PHẦN TỬ QUI CHIẾU

Phần tử qui chiếu một chiều

Phần tử qui chiếu hai chiều

1

ξ

vr

10,0

1

ξ

vr

10,0

Phần tử qui chiếu ba chiều

Phần tử tứ diện

Phần tử sáu mặt

5.7 LỰC, CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG VÀ ỨNG SUẤT

Có thể chia lực tác dụng ra ba loại và ta biểu diễn chúng dưới dạng véctơ cột:

- Lực thể tích f : f = f[ f x , f y , f z ] T

- Lực diện tích T : T = T[ T x , T y , T z ] T

ξPhần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba

vr

0,1,00,0,0

1,0,0

ζ

1,0,0

ξηζ

0,1,01,0,0

ηη

- Lực tập trung P i: P i = P i [ P x , P y , P z ] T

Chuyển vị của một điểm thuộc vật được ký hiệu bởi:

u = [u, v, w] T (1.1)Các thành phần của tenxơ biến dạng được ký hiệu bởi ma trận cột:

ε = [εx , εy , εz , γyz , γxz , γxy ] T (1.2)Trường hợp biến dạng bé:

T

x

v y

u x

w z

u y

w z

v z

w y

v x

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

σ = D ε (1.5)Trong đó:

=

νν

ν

νν

ν

ννν

ννν

νν

5000

000

05

000

00

00

50000

00

01

00

01

00

01

211

, ,

,

E D

E là môđun đàn hồi, ν là hệ số Poisson của vật liệu

5.8 NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU HOÁ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN

Thế năng toàn phần Π của một vật thể đàn hồi là tổng của năng lượng biến dạng U và công của ngoại lực tác dụng W:

Với vật thể đàn hồi tuyến tính thì năng lượng biến dạng trên một đơn vị thể tích được xác định bởi: σTε

21

Do đó năng lượng biến dạng toàn phần:

T i S

T V

u W

1

(1.8)Thế năng toàn phần của vật thể đàn hồi sẽ là:

T i S

T V

T V

1

2

1ε

Trong đó: u là véctơ chuyển vị và P i là lực tập trung tại nút i có chuyển vị là u i

Áp dụng nguyên lý cực tiểu thế năng: Đối với một hệ bảo toàn, trong tất

cả các di chuyển khả dĩ, di chuyển thực ứng với trạng thái cân bằng sẽ làm cho thế năng đạt cực trị Khi thế năng đạt giá trị cực tiểu thì vật (hệ) ở trạng thái cân bằng ổn định.

5.9 SƠ ĐỒ TÍNH TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

Một chương trình tính bằng PTHH thường gồm các khối chính sau:

Khối 1: Đọc các dữ liệu đầu vào: Các dữ liệu này bao gồm các thông tin mô tả

nút và phần tử (lưới phần tử), các thông số cơ học của vật liệu (môđun đàn hồi, hệ số dẫn nhiệt ), các thông tin về tải trọng tác dụng và thông tin về liên kết của kết cấu (điều kiện biên);

Khối 2: Tính toán ma trận độ cứng phần tử k và véctơ lực nút phần tử f của

Khối 5: Giải phương trình PTHH, xác định nghiệm của hệ là véctơ chuyển vị

chung Q;

Khối 6: Tính toán các đại lượng khác (ứng suất, biến dạng, gradiên nhiệt độ,

v.v.) ;

Khối 7: Tổ chức lưu trữ kết quả và in kết quả, vẽ các biểu đồ, đồ thị của các

đại lượng theo yêu cầu

Sơ đồ tính toán với các khối trên được biểu diễn như hình sau (Hình 1.3);

Tính toán ma trận độ cứng phần tử k

Tính toán véctơ lực nút phần tử f

Giải hệ phương trình KQ = F

(Xác định véctơ chuyển vị nút tổng thể Q)

Đọc dữ liệu đầu vào

- Các thông số cơ học của vật liệu

- Các thông số hình học của kết cấu

- Các thông số điều khiển lưới

- Tải trọng tác dụng

- Thông tin ghép nối các phần tử

- Điều kiện biên

Xây dựng ma trận độ cứng K và véctơ lực chung F

Áp đặt điều kiện biên

(Biến đổi các ma trận K và vec tơ F)

Tính toán các đại lượng khác

(Tính toán ứng suất, biến dạng, kiểm tra bền, v.v)

Chương 2

ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSSIAN

Áp dụng phương pháp PTHH trong các bài toán kỹ thuật thường liên quan đến một loạt các phép toán trên ma trận Vì vậy, các phép toán cơ bản trên ma trận và phương pháp khử Gaussian (Gauss) để giải hệ phương trình tuyến tính

sẽ là 2 nội dung chính được đề cập trong chương này

1 ĐẠI SỐ MA TRẬN

Các công cụ toán học về ma trận được đề cập trong phần này là các công

cụ cơ bản để giải bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính, có dạng như sau:

n n nn n

n

n n

n n

b x a x a x a

b x a x a x a

b x a x a x a

=+

+

=+

+

=+

2 2

2 22 1 21

1 1

2 12 1 11

n

n n

a a

a

a a

a

a a

2 22

21

1 12



2 1



2 1

1.1 Véctơ

Một ma trận có kích thước (1 × n) được gọi là véctơ hàng, ma trận có kích

thước (n × 1) được gọi là véctơ cột Ví dụ một véctơ hàng (1 × 4):

010

001

I

1.3 Phép cộng và phép trừ ma trận.

Cho 2 ma trận A và B, cùng có kích thước là (m× n) Tổng của chúng là 1

ma trận C = A + B và được định nghĩa như sau:

1

581

5

23

phép trừ được định nghĩa tương tự

5

23

102

1.5 Nhân hai ma trận

Tích của ma trận A kích thước (m× n) với ma trận B kích thước (n× p) là 1

ma trận C kích thước (m× p), được định nghĩa như sau:

70544

6

52

54413

582

Chú ý:

- Điều kiện để tồn tại phép nhân 2 ma trận A×B là số cột của ma trận A

phải bằng số hàng của ma trận B.

- Trong phần lớn các trường hợp, nếu tồn tại tích 2 ma trận A×B và

B×A, thì tích 2 ma trận không có tính chất giao hoán, có nghĩa là A×B ≠ B×A

1.6 Chuyển vị ma trận

Chuyển vị của ma trận A = [a ij ] kích thước (m× n) là 1 ma trận, ký hiệu là

A T có kích thước là (n× m), được tạo từ ma trận A bằng cách chuyển hàng của

52

54

A thì: A T =54 52 46

Chuyển vị của một tích các ma trận là tích các chuyển vị của ma trận thành phần theo thứ tự đảo ngược, có nghĩa là:

(A×B×C) T =C T×B T× A T (2.7)

=

y x x

y x

xy x y x A

46

A dx

trình PTHH trong các chương sau Xét ma trận vuông A, kích thước (n× n) với

các hệ số hằng, véctơ cột x = {x 1 x 2 x n } T chứa các biến Khi đó, đạo hàm của

Ax theo 1 biến x p sẽ là:

p p

a Ax dx

d ( )=

(2.10)

trong đó, a p là véctơ cột và chính là cột thứ p của ma trận A

1.8 Định thức của ma trận

Cho ma trận vuông A = [a ij ], kích thước (n× n) Định thức của ma trận A

được định nghĩa như sau:

( ) ( )

∑

= +

+

−

=

−+

n n

n

A a

A a

A a

A a

A

1

1 1

1 12

12 11 11

)det(

1

)det(

1)

det(

)det(

n n

nn n

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a A a

a a

a a

a

a a

a A

3 33

32

2 23

22

11

2 1

2 22

21

1 12

11

Công thức (2.11) là công thức tổng quát Theo công thức này, định thức của ma

trận vuông có kích thước (n× n) được xác định theo phương pháp truy hồi từ

12 22

1 22 21

12 11 1

det

1

a a

a a

A a

a

a a A

002

043

1132

A

1.12 Ma trận tam giác

Ma trận được gọi là ma trận tam giác trên hay ma trận tam giác dưới, tương ứng là các ma trận có tất cả các phần tử nằm dưới hay nằm trên đường chéo chính bằng không

Ví dụ, các ma trận được minh hoạ dưới đây tương ứng là ma trận tam giác

trên A và ma trận tam giác dưới B:

040

1132

043

002

B

2 PHÉP KHỬ GAUSS

Xét hệ phương trình tuyến tính được biểu diễn ở dạng ma trận như sau:

Ax = b

trong đó, A là ma trận vuông kích thước (n× n) Nếu detA ≠ 0, thì ta có thể thực

hiện phép biến đổi phương trình trên bằng cách nhân 2 vế với A -1 và nhận được

nghiệm: x = A -1 b Tuy nhiên, trong hầu hết các bài toán kỹ thuật, kích thước

của ma trận A là rất lớn và các phần tử của A thường là số thực với miền xác định rất rộng; do đó, việc tính toán ma trận nghịch đảo của A là rất phức tạp và

dễ gặp phải sai số do việc làm tròn trong các phép tính Vì vậy, phương pháp khử Gauss là một công cụ rất hữu ích cho việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính

1+ x + x =

23

1+ x + x =

47

0x1−x2+ x3 = (21)

520

0x1+x2+ x3 = (31)

Bước 2: khử x2 trong phương trình (31), ta được hệ:

15

1+ x + x =

47

0x1−x2+ x3 = (21)

9270

0x1+ x2+ x3 = (32)

Ở đây, ta nhận được hệ phương trình mà ma trận các hệ số lập thành ma trận tam giác trên Từ phương trình cuối cùng (32), ta tìm được nghiệm x3, lần

lượt thế các nghiệm tìm được vào phương trình trên nó, (21) và (1) Sẽ nhận được các ẩn số cần tìm như sau:

3

8

;3

5

;3

1

1 2

4710

15215

2010

4710

15214

1511

2352

1521

bằng phương pháp thế ngược, cuối cùng ta nhận được các nghiệm:

3

8

;3

5

;3

1

1 2

3 = x =− x =

x

2.2 Giải thuật khử Gauss tổng quát

Giải thuật khử Gauss tổng quát sẽ được biểu diễn thông qua các bước thực hiện đối với một hệ phương trình tuyến tính tổng quát như sau:

n n n

in ij

i i i

n j

n j

n j

b b

b b b

x x

x x x

a a

a a

a

a a

a a

a

a a

a a

a

a a

a a

a

a a

a a

3 2 1

3 2 1

3 2 1

3 3

33 32 31

2 2

23 22 21

1 1

13 12 11

(2.16)

Để thực hiện phương pháp khử Gauss, ta xét các thủ tục tác động đến các

ma trận hệ số A và ma trận các số hạng tự do b như sau:

n n n

in ij

i i i

n j

n j

n j

a a

a a

a

a a

a a

a

a a

a a

a

a a

a a

a

a a

a a

3 2 1

3 3

33 32 31

2 2

23 22 21

1 1

13 12 11

b b b





3 2 1

(2.17)

Bước 1 Sử dụng phương trình thứ nhất (hàng 1) để loại x1 ra khỏi các phương trình còn lại Bước này sẽ tác động đến các phần tử nằm trong vùng đã đánh

dấu và làm cho các phần tử từ hàng 2 đến hàng thứ n của cột 1 bằng không nhờ

phép biến đổi (2.18) sau:

i b a

a b b

a a

a a a

i i i

j

i ij ij

, ,2,

;

1 11

1 1

1 11

1 1

(2.18)

Bước 2 Sử dụng phương trình thứ hai (hàng 2) để loại x 2 ra khỏi các phương trình còn lại Bước này sẽ tác động đến các phần tử nằm trong vùng đã đánh dấu dưới đây và làm cho các phần tử từ hàng 3 đến hàng thứ n của cột 2 bằng không

1 3

1 2

1 1

1 3

1 2

1 3

1 3

1 33

1 32

1 2

1 2

1 23

1 22

1 1

13 12

n n

in ij

i i

n j

n j

n j

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

1 3

1 2 1

n

i

b b

b b b



Các bước như trên sẽ được lặp lại đến khi trong vùng đánh dấu chỉ còn 1 phần

tử Một cách tổng quát, tại bước thứ k ta có:

−

− +

− +

− +

− + +

1 ,

1 ,

1 1 ,

1 ,

1 ,

1 1 ,

1 , 1

1 , 1

1 1 , 1

2 3

2 3

2 33

1 2

1 2

1 23

1 22

1 1

13 12 11

00

0

00

0

00

k j n

k k

k n i

k j

k k i

k n k

k j k

k k k

n j

n j

n j

a a

a

a a

a

a a

a

a a

a

a a

a a

a a

a a

1 1

1 1

3 3

1 2 1

k n

k i

k k

b b b

b b b

j i b

a

a b

b

n k

j i a

a

a a

a

k k k kk

k ik k

i

k i

k kj k kk

k ik k

ij

k ij

, ,1,

;

, ,1,

;

1 1

1 1

1 1

1 1

) 2 ( 3

) 1 ( 2 1

4 3 2 1

) 1 (

) 3 ( 4 )

3 ( 44

) 2 ( 3 )

2 ( 34 ) 2 ( 33

) 1 ( 2 )

1 ( 24 ) 1 ( 23 ) 1 ( 22

1 14

13 12 11

0

n n n

n nn

n n n n

b

b b b b

x

x x x x

a

a a

a a

a

a a

a a

a a

a a a

a

x a b

x ,

; a

b x

ii

n i j

j ij i

i nn

Chương 3

THUẬT TOÁN XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG CHUNG

VÀ VÉCTƠ LỰC NÚT CHUNG

Việc ghép các ma trận độ cứng k và các véctơ lực f của các phần tử để tạo

ra ma trận độ cứng K và véctơ lực nút F chung cho cả hệ, từ đó thiết lập hệ

phương trình PTHH là một vấn đề quan trọng

Ta sẽ cộng các số hạng của ma trận độ cứng của mỗi phần tử vào các vị trí tương ứng của ma trận độ cứng chung và cộng các số hạng của véctơ lực vào véctơ lực chung

Cách dễ nhất để ghép các phần tử là gán số cho mỗi dòng và cột của ma trận độ cứng phần tử đúng với bậc tự do của phần tử ấy, sau đó chúng ta sẽ làm việc qua các số hạng của ma trận phần tử; tức là cộng các số hạng này vào ma trận chung mà mỗi dòng, mỗi cột cũng được gán đúng những số trên

Dưới đây ta sẽ xét hai ví dụ

1 CÁC VÍ DỤ

1.1 Ví dụ 1

Một kết cấu được chia ra 8 phần tử tam giác như Hình 3.1 Mỗi phần tử có

3 nút; mỗi nút có 1 bậc tự do (ví dụ nhiệt độ)

Mô tả quá trình ghép nối ma trận độ cứng chung K với giả sử chỉ xét 3 phần tử

đầu tiên: 1, 2 và 3 với các ma trận độ cứng đã biết như sau:

137

371

218

064

149

263

137

421

00000

05021

00000

02063

01037

54321

371

218

524

Các số hạng của ma trận k2 được cộng thêm vào ma trận chung, cho ta

42030

2850121

00000

3120763

01037

54321

++

=

K

Với phần tử 3:

532501

064

149

532

54200130

21303

1

00064

0

13349133

0103

7

5432

+

+

++

cứng chung K và véctơ lực nút chung, theo các ma trận độ cứng phần tử và

véctơ lực nút phần tử k1, k4, f1 và f4 cho trước như sau:

8431694

5363097

7199293

2647322

7272873

4225768

7873026

5742191

5386123

Các hàng và cột của ma trận độ cứng phần tử 1 được gán các số ứng với bậc tự

do tương ứng của nó và các số hạng của ma trận được cộng vào các vị trí tương ứng của ma trận độ cứng chung

Hình 3.2

2

10 9 4 3 2 1

24 2 8 5 7 2

2 16 4 3 1 6

8 4 31 6 9 4

5 3 6 30 9 7

7 1 9 9 29 3

2 6 4 7 3 22

10 9 4 3 2 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 24 2 0 0 0 0 8 5 7 2

0 0 2 16 0 0 0 0 4 3 1 6

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 8 4 0 0 0 0 31 6 9 4

0 0 5 3 0 0 0 0 6 30 9 7

0 0 7 1 0 0 0 0 9 9 29 3

0 00 2 6 0 0 0 0 4 7 3 22

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

121143109

2874755

7272873

4225768

7873026

5742191

5386123

121143109

Các số hạng của ma trận được cộng vào các vị trí tương ứng của ma trận độ cứng chung, ta nhận được kết quả như sau:

2875500004700

7277300002800

57433000012772

53339000012916

000000000000

000000000000

000000000000

000000000000

4214120000561394

78790000166097

0071000099293

0026000047322

121110987654321

005700001463

542679

541216000031063

2 THUẬT TOÁN GHÉP K VÀ F

2.1 Nguyên tắc chung

Qua hai ví dụ trên ta thấy ma trận độ cứng chung K chính là tổng của các

ma trận mở rộng [k e ] của các phần tử Véctơ lực chung F cũng chính là tổng

của các véctơ lực mở rộng {f e} của các phần tử:

k

Để chuẩn hoá các bước ghép nối, ta xây dựng bảng định vị index cho mỗi phần

tử Bảng index sẽ cho biết vị trí của mỗi số hạng của {q n} trong {Q n} Kích

thước của bảng index là (noe × edof ), với edof là ký hiệu cho số bậc tự do của phần tử và noe là ký hiệu cho tổng số phần tử.

4 2 1

=

=

index

Q Q Q

5 2 4

=

=

index

Q Q Q

5 3 2

=

=

index

Q Q Q

10 9 4 3 2 1

=

=

index

Q Q Q Q Q Q

12 11 4 3 10 9

=

=

index

Q Q Q Q Q Q

Với sự giúp đỡ của bảng index, mỗi số hạng k ij của ma trận k e được cộng vào

IJ

K của [K] sao cho:

I = index(e,i), với i = 1 sdof

J = index(e,j), với j = 1 sdof

hoặc:

j e j e i e

2.2 Thuật toán ghép nối phần tử:

Bước 1: Khởi tạo ma trận vuông [K] có kích thước (sdof × sdof) và véctơ cột

{F} có kích thước (sdof × 1), với các số hạng bằng không Trong đó, sdof là

ký hiệu cho tổng số bậc tự do của các nút trong toàn hệ

Bước 2: Với mỗi phần tử e (e = 1:noe), cộng đúng vị trí mỗi số hạng k ij của

của ma trận phần tử k e vào số hạng K của ma trận [K]: IJ

),(),

,(

;:1,

k K

Bước 3: Với mỗi phần tử e (e = 1:noe), cộng đúng vị trí mỗi số hạng f i của

của véctơ lực phần tử f vào số hạng F I của véctơ lực chung F:

),(

;:1

f F

Sơ đồ thuật toán được mô tả như Hình 3.3 sau: