TRUYỀN NHIỆT B2 - Phương trình vi phân dẫn nhiệt của vật rắn

Bài 2 Chương 2 Phần 1: Phương trình vi phân dẫn nhiệt của vật rắn 2.1 Trường nhiệt độ - Gradient nhiệt độ 2.2 Định luật Fourier về dẫn nhiệt 2.3 Phương trình vi phân dẫn nhiệt 2.4 Điều k

Bài 2 Chương 2 (Phần 1): Phương trình vi phân dẫn nhiệt của vật rắn

2.1 Trường nhiệt độ - Gradient nhiệt độ

2.2 Định luật Fourier về dẫn nhiệt 2.3 Phương trình vi phân dẫn nhiệt 2.4 Điều kiện đơn trị

2.1 Trường nhiệt độ - Gradient nhiệt độ

¾ Trường nhiệt độ (TNĐ) : tập hợp giá trị nhiệt độ của tất cả các điểm trong

vật tại một thời điểm nào đó

- Phân loại TNĐ:

) , , ( x y z f

t =

) , , , ( x y z τ

f

t =

+ Theo thời gian:

TNĐ ổn định: không biến thiên theo thời gian

TNĐ không ổn định: biến thiên theo thời gian

+ Theo tọa độ: TNĐ 1 chiều, 2 chiều hay 3 chiều

VD: TNĐ ổn định 1 chiều: t = f (x )

t n

t

∂

∂

= r )

(

- Mặt đẳng nhiệt: quĩ tích của các điểm có nhiệt độ như nhau tại một thời điểm

MĐN không cắt nhau

- Nhiệt độ trong vật chỉ thay đổi theo phương cắt các MĐN

- Độ tăng nhiệt độ theo phương pháp tuyến với MĐN (phương ) là lớn nhất và đuợc đặc trưng bằng Gradient nhiệt độ:

nr

Gradient nhiệt độ: là vectơ cĩ phương trùng với phương pháp tuyến của MĐN và cĩ độ lớn bằng đạo hàm của nhiệt độ theo phương ấy

2.2 Định luật FOURIER (ĐL cơ bản về dẫn nhiệt)

τ

λ

n

t dQ

∂

∂

−

Với : λ là hệ số dẫn nhiệt của vật liệu (W/m.độ)

n

t dFd

dQ q

∂

∂

−

=

τ

τ

Mật độ dịng nhiệt: (W/m2)

Muốn tính được Q truyền qua cần phải biết phân bố nhiệt bên trong vật

tìm PT trường nhiệt độ là nhiệm vụ cơ bản của dẫn nhiệt

dF

2.3 Phương trình vi phân dẫn nhiệt

- Xét một phần tử thể tích dv = dx.dy.dz trong vật trong khoảng thời gian

dτ, với các giả thiết:

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng cho phần tử dv

¾ Vật đồng chất và đẳng hướng

¾ Các thông số vật lý của vật là hằng số

¾ Vật hoàn toàn cứng

¾ Nguồn nhiệt bên trong phân bố đều qv = f(x, y, z, τ).

Dòng nhiệt

đưa vào phân

tố dxdydz bằng

dẫn nhiệt

Dòng nhiệt phát ra

trong phân tố dxdydz

do nguồn nhiệt bên trong phát ra

Độ biến thiên nội năng trong phân tố dxdydz

= +

Phương trình vi phân dẫn nhiệt:

ρ ρ

λ

q z

t y

t x

t c

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

=

∂

∂

2

2 2

2 2

2

(2.1)

trong đó:

c là nhiệt dung riêng của vật (J/kg.độ)

ρ là khối lượng riêng của vật (kg/m3)

λ là hệ số dẫn nhiệt của vật (W/m.độ)

qv là năng suất phát nhiệt của nguồn nhiệt bên trong vật (W/m3)

với

ρ

λ

c

a = (m/s2) gọi là hệ số khuyếch tán nhiệt, là thông số vật lý

đặc trưng cho tốc độ biến thiên nhiệt độ của vật trong quá trình dẫn nhiệt không ổn định

¾ Trong hệ tọa độ trụ (r, ϕ, z) Pt vi phân dẫn nhiệt (2.1) có dạng:

ρ

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂ + ϕ

∂

∂

⋅

+

∂

∂

⋅

+

∂

∂

=

τ

∂

∂

c

q z

t

t r

1 r

t r

1 r

t a

2

2 2

2 2

2 2

¾ Trong hệ tọa độ cầu (r, ϕ, ψ) Pt vi phân dẫn nhiệt (2.1) có dạng:

( )

ρ ϕ

ψ ω

ψ ψ

ψ

q

t r

t r

r

rt r

a

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

∂ +

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

⋅

+

∂

∂

⋅

=

∂

∂

2

2 2

2 2

2

2

sin

1 sin

sin 1 1

2.4 Điều kiện đơn trị

1 Điều kiện hình học: hình dáng, kích thước vật

2 Điều kiện vật lý: cho biết các thông số vật lý của vật (λ, c, ρ …) và

3 Điều kiện thời gian: cho biết qui luật phân bố nhiệt độ trong vật ở

4 Điều kiện biên: cho biết đặc điểm tiến hành quá trình trên bề mặt vật

qui luật phân bố nguồn nhiệt trong qv

một thời gian nào đó τ = 0: t = f(x, y, z)

¾ ĐKB loại 1: cho biết nhiệt độ bề mặt t w

¾ ĐKB loại 2: cho biết q truyền qua bề mặt

¾ ĐKB loại 3: cho biết tf và TĐN giữa bề mặt vật với mơi trường

- Theo ĐL Newton-Ricman, nhiệt lượng tỏa ra trên 1 đơn vị diện tích bề mặt vật là:

( tw t f )

- Nhiệt lượng q này tiếp tục truyền trong vật bằng dẫn nhiệt:

W n

t

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

−

= λ

( w f )

w

t

t n

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

λ α

Hệ số tỏa nhiệt α (W/m2.độ) phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố, trong nhiều

¾ ĐKB loại 4: cân bằng về dòng nhiệt qua chỗ bề mặt tiếp xúc lý tưởng

w

2 w

t n

t

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂ λ

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂ λ

( Nhiệt độ hai bề mặt tại điểm tiếp xúc bằng nhau)

-HẾT BÀI 2

Ví dụ: Tính toán dẫn nhiệt qua vách phẳng

Q

T1

T2

- Vách phẳng có:

+ Diện tích F (m2) + Bề dày δ (m) + Hệ số dẫn nhiệt λ (W/m.K) + Nhiệt độ 2 bề mặt vách T1 và T2

δ

λ F T

=

ĐL

hay

λ

δ /

T

= (W/m2)

ĐL Ohm

R

U

I =

δ

=

R

VD: Dẫn nhiệt qua vách phẳng 3 lớp

3

3 2

2 1

1

4 1

3 2

1

4 1

λ

δ λ

δ λ

δ

λ λ

λ

+ +

−

=

+ +

−

=

t

t q

R R

R

t t

q

amiăng δ2 = 50 mm, λ2 = 0,10 W/moC; gạch xây dựng δ3 = 240 mm, λ3 = 0,58 W/moC Nhiệt độ bề mặt trong cùng t1 = 500 oC và ngoài cùng t4 = 50 oC

Xác định q dẫn qua vách, nhiệt độ lớp tiếp xúc t 3

Giải

™ Nhiệt trở dẫn nhiệt qua các lớp:

1

1 1

R

λ

δ

10 , 1

23 ,

⋅

=

=

2

2 2

R

λ

δ

10 , 0

05 ,

⋅

=

=

3

3 3

R

λ

δ

58 , 0

24 ,

⋅

=

=

™ Nhiệt độ lớp tiếp xúc:

( 1 2 )

1

3 t q R R

t = − + = 500 − 401 , 78(0 , 21 + 0 , 5)= 214 , 7o C

∑

=

Δ

=

1

i Ri

t F

Q

41 , 0 50 , 0 21 , 0

50 500

W

= +

+

−

=

MĐDN: