KHẢO SÁT DAO ĐỘNG CỦA HỆ HAI BẬC TỰ DO CÓ CẢN NCS.. NGUYỄN ĐẮC HƯNG Tóm tắt: Việc khảo sát dao động của hệ hai bậc tự do có cản là thiết lập và giải hệ phương trình vi phân cấp hai khô
Trang 1KHẢO SÁT DAO ĐỘNG CỦA HỆ HAI BẬC TỰ DO CÓ CẢN
NCS NGUYỄN ĐẮC HƯNG
Tóm tắt: Việc khảo sát dao động của hệ hai bậc tự do có cản là thiết lập và giải hệ phương
trình vi phân cấp hai không thuần nhất Đây là vấn đề khá phức tạp, nên người ta chỉ tìm nghiệm riêng mà chưa tìm được nghiệm tổng quát Trong công trình này, tác giả trình bày cách thiết lập và giải bài toán nói trên và tìm nghiệm tổng quát của bài toán dưới dạng giải tích Kết quả này là cơ
sở nghiên cứu bài toán hạ chìm kết cấu là vật rắn tuyệt đối vào đất bằng cách ghép hai máy rung
Đặt vấn đề
Trong các tài liệu [1], [2], [3], [4] đã có một
số tác giả nghiên cứu bài toán dao động của hệ
có hai bậc tự do và ứng dụng của nó vào bài
toán hạ chìm kết cấu được coi là vật rắn tuyệt
đối vào đất bằng cách ghép Nhưng các tác giả
chưa tìm được nghiệm tổng quát của bài toán
dưới dạng giải tích tường minh Trong công
trình này, chúng tôi tiếp tục khảo sát bài toán
dao động của hệ có hai bậc tự do và tìm nghiệm
tổng quát dưới dạng giải tích tường minh
Thiết lập bài toán
1 Mô tả bài toán
Hệ dao động gồm hai máy rung khối lượng
m1, m2 đặt trên hệ lò xo có đó cứng là C1, C2 và
bộ giảm chấn có hệ số là α1, α2, chịu lực cưỡng
bức P1, P2 Vận tốc góc của 2 máy rung là ω
Toạ độ của máy một và máy hai tại vị trí cân
bằng là h1, h2.Fms là ma sát nhớt ở mặt bên của
máy một (hình 1)
2 Thiết lập và giải phương trình vi phân chuyển động
2.1 Thiết lập phương trình vi phân chuyển động
Áp dụng phương trình Lagrange loại II, ta có:
i i i
Q q
T q
T dt
d
) (
i=1,2 (1) T: động năng của hệ:
2 2 2 2
1 1
2
1 2
1
q m q
m
T (2)
Qi (i=1,2) là các lực suy rộng gồm lực có thế, lực cản, lực kích động
p i i i
q q
(3)
: thế năng của hệ
2 1 2 2 2
1
2
1 2
1
q q C q
: hàm hao tán của hệ
2 1 2
1 2 2 2
1 1
2
1 ) (
2
1 2
1
q k q
q
Qip (i=1,2) là các lực cưỡng bức suy rộng:
Q1p = P1cosωt + P2cosωt;
Q2p = P2cosωt (6) Đạo hàm T, và theo toạ độ và vận tốc suy rộng, sau đó thay vào (1) ta có:
t P q q C q q q m
t P P q q C q C
q q q k q
m
cos )
(
cos ) ( ) (
) ( ) (
2 1 2 2 1 2 2 2 2
2 1 1 2 2 1 1
1 2 2 1 1 1 1
(7)
2.2 Giải hệ phương trình vi phân chuyển động (7)
Điều kiện đầu : q1(0) = h1; q2(0) = h2;
h2
h1
2
C2
q2
q1
Fms
P2
P1
m2
m1
Trang 20 ) 0 (
;
0
)
0
Các hệ số m, m2, α1, α2, C1, C2, P1, P2, k, ω,
h1, h2 là các hằng số không âm
Biến đổi hệ (7) về dạng sau:
t P q q C q q
q
m
t P P q C q k q
m
q
m
cos )
(
cos ) 2 ( )
(
2 1 2 2 1 2
2
2
2
2 1 1 1 1 1 2
2
1
1
Hệ (7’) viết dưới dạng phương trình ma trận là:
F CQ Q
B
Q
A (8)
Trong đó:
2
2 1
m
m
2 2
2 2
c c
c
2
1
q
q Q
t P
t P
P
F
cos
cos ) 2 (
2
2 1
2.2.1 Tìm nghiệm tổng quát của hệ thuần
nhất tương ứng
Hệ thuần nhất tương ứng của (8) là:
0
Q
Tìm Q = Zeλt với 0
2
1
z
z
Đạo hàm Q , thay vào (9) và chia hai vế Q
cho eλt, ta được:
(λ2A + λB+ C)Z = 0 (10)
Vì Z ≠ 0 nên từ (9) suy ra:
det(λ2A + λB+ C) = 0 (11)
Suy ra
2 2 2 2 2
2
2 2 1
1 1
2
2
) (
c m
c
m c
k m
C
B
A
↔4 a 3 b 2 c d 0 (12)
Trong đó:
;
;
2 1
2 2 1 2 2 1 2 2
1
2
2 2 2 1 2 2
1
m m
c m c m k c
m
b
m m
m k m m
m
a
;
;
2 1
2 1
2 1
2 1 2 1 2
m m
c c d
m m
c k c c
c
(13)
Giải (12) theo phương pháp Ferrary để tìm λ
Lập phương trình phụ trợ:
y3 – by2 + (ac –4d)y + (4bd –a2d – c2) = 0 (14)
Áp dụng công thức Cardano để tìm một nghiệm của (14) ta được:
3
3 2
3
3 2 0
27 4 2
27 4 2 3
p q q
p q q b y
(15)
Trong đó:
2 2 3 2
27
2 3
8
; 3 4
c d a b bd abc q
b d ac p
Theo Ferrary từ (12) suy ra:
0 ) 2 ( ) 2 (
0 ) 2 ( ) 2 (
0 2
0 2
y a
y a
với
0 2
a
4
2
ay
(16) Bốn nghiệm của (16) cũng là nghiệm của
(12) và có các trường hợp như sau:
a Trường hợp λ là một nghiệm thực, đơn của phương trình đặc trưng
t e c
c m
q
q
2 2
2 2 1 2
2
1
b Trường hợp λ là một nghiệm thực, kép của phương trình đặc trưng
Khi đó Q1 như (17), nghiệm
22
21 2
q
q
Q = Q1u(t),
u (t)
Trang 3Đạo hàm Q2theo t và thay Q2,Q2,Q2vào (9) ta có:
0 ) 2
1u A Q BQ u
0
0
2 2 2
1 1 1
u G u
u G u
) (
) (
b
a
với
2 2
1 2 2 2
2 2 1 1
1 1 1
) (
2
) ( 2
z m
z z G
z m z m
z k G
Giải phương trình (a), (b) ta được:
1 1
1 1
G
e dt e
u
t G t
G
2 2
2
G
e u
t G
t G
t G
e G z
e G
z Q
) ( 2 2
) ( 1 1
2
2 1
(20)
c Trường hợp λ là cặp nghiệm phức của phương trình đặc trưng λ1,2 = α ± iβ
Thì
) sin (cos
) ( ) (
) 2
( ) (
) sin (cos
) ( ) (
) 2
( ) (
2 2
2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2
2
2 2
2 2 2 2 2 2 1
t i t e
i c
m i c m
m Q
t i t e
i c
m i c m
m Q
t t
2 2
m
H ; L m2 2 2 (21)
2
Thì 1 e (cos t isin t);
iN M
iL H
iN M
iL H
) sin cos
(
) sin cos
(
;
12 11 12
11
1
t N t M e q
t L t H e q q
q
t
) sin cos
(
) sin cos
(
;
22 21 22
21
1
t M t N e q
t H t L e q q
q
t
NGHIỆM TỔNG QUÁT CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH (9)
Q = C1Q1+ C2Q2+ C3Q3 + C4Q4
Với C1, C2, C3, C4 là các hằng số được xác định từ điều kiện đầu của bài toán
2.2.2 Tìm nghiệm riêng của hệ không thuần nhất
t P
q q C q q q
m
t P
P q C q k q
m
q
m
cos )
(
cos ) 2 ( )
(
2 1 2 2 1 2 2 2
2
2 1 1 1 1 1 2 2
1
1
(7’)
Tìm nghiệm riêng dưới dạng:
t b t a
q
t b t a q q
q Q
sin cos
sin cos
;
2 2
2
1 1
1 2 1
Với a1, a2, b1, b2 được xác định nhờ ma trận sau đây:
(22)
Trang 4
0
0 0
) (
0 )
(
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
1 1 1
2 1 1
2 1
1
m c c
p m
c c
m m
c k
p p k
m m
c
(23)
Đặt A1= xuv c2uz v ( x2 z2)A2 = uvzc2ux y(x2z2)
B1 =yuz u2v xuv B2 =xyuuvzc2u2 (24)
C1= p2uz(uvvu)(p12p2) C2= (c2uxy)(p12p2)
D = A1B2 – A2B1; D1 = B2C1 – B1C2; D2 = A1C2 – A2C1; (25)
;
1
1
D
D
a
;
2
2
D
D
a
;
1 1
Dz
uD xD Dp Dp
; )
( ) 2
2
Duz
xuD D
z x x p p D
3 Nghiệm của bài toán
Q Q C Q C Q C Q
C
Q 1 1 2 2 3 3 4 4
Trong đó: C1, C2, C3, C4 là các hằng số Q1, Q2, Q3, Q4 là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
2
1
q
q
Q là nghiệm riêng được xác định ở trên
Các trường hợp nghiệm của bài toán phụ thuộc vào ∆1, ∆2 (trong đó ∆1, ∆2 là biệt thức của phương trình thứ nhất và thứ hai của (16)
3.1 Trường hợp thứ nhất: ∆1, ∆2>0
Phương trình đặc trưng có 4 nghiệm đơn, thực λ1, λ2, λ3, λ4
t b
t a
e l C e l C e l C e l
C
q
t b
t a
e k C e k C e k C e k
C
q
t t
t t
t t
t t
sin cos
sin cos
2 2
4 4 3
3 2
2 1
1
2
1 1
4 4 3
3 2
2 1
1
1
4 3
2 1
4 3
2 1
(27)
Trong đó:
2 2
2 2 2 2
c l
c m
k
i i
i i
i
(i = 1,2,3,4) (28)
C1, C2, C3, C4 được xác định nhờ ma trận hệ số là:
2 4
4 3 3 2
2
1
1 4 4 3 3 2
2
1
1
2 2 4 3 2
1
1 1 4 3 2
1
b l l l
l
b k k k
k
a h l l l
l
a h k k k
k
(29)
3.2 Trường hợp thứ hai: ∆1>0, ∆2= 0
Phương trình đặc trưng có 2 nghiệm đơn λ1, λ2 và một nghiệm kép λ3 = λ4
t b t a
e
l C e l C e l C e
l
C
q
t b t a e
G
k C e k C e k C e
k
C
q
t G t
t t
t G t
t t
sin cos
sin cos
) ( 3
1 1
) ( 31
3 4 3
3 2
2 1
1
1
32 3 3
2 1
31 3 3
2 1
(30)
(26)
Trang 5Trong đó:
3 2
3 3 2 3 32
3 2 3 1
3 1 3 31
) ( 2
) ( 2
l m
k l G
l m k m
k k G
(31)
C1, C2, C3, C4 được xác định nhờ ma trận hệ số là:
2 32 3 32
3 3 3
2
2
1
1 31 3 31
3 3 3
2
2
1
1
2 2 32
3 3
2
1
1 1 31
3 3
2
1
) (
) (
b G
G
l l l
l
b G
G
k k k
k
a h G
l l
l
l
a h G
k k
k
k
(32)
3.3 Trường hợp thứ ba: ∆1= ∆2= 0
Phương trình đặc trưng có 2 nghiệm kép λ1= λ2 và λ3 = λ4
t b t a e
G
l C e l C e
G
l C e
l
C
q
t b t a e
G
k C e k C e
G
k C e
k
C
q
t G t
t G t
t G t
t G t
sin cos
sin cos
2 2
) ( 32
3 4 3
3 ) ( 12
1 2 1
2
1 1
) ( 31
3 4 3
3 ) ( 11
1 2 1
1
1
32 3 3
12 1 1
31 3 3
11 1 1
Trong đó:
1 2
1 1 2 1 12
1 2 1
1 1 1 11
) ( 2
) (
2
l m
k l G
l m mk
k k G
(34)
C1, C2, C3, C4 được xác định nhờ ma trận hệ số là:
2 32 3 32
3 3 3 12 1
12
1
1
1 31 3 31
3 3 3 11 1
11
1
1
1
2 2 32
3 3
12
1
1
1 1 31
3 3
11
1 1
) (
) (
) (
) (
b G
G
l l G
G
l
l
b G
G
k k G G
k
k
a h G
l l
G
l
l
a h G
k k
G
k
k
(35)
3.4 Trường hợp thứ tư: ∆1>0, ∆2< 0
Phương trình đặc trưng có 2 nghiệm thực đơn λ1,λ2 và cặp nghiệp phức α ± iβ
t b
t a
t M t N
e
C
t N t M e C e l C e
l
C
q
t b
t a
t H t L
e
C
t L t H e C e k C e
k
C
q
t
t t
t
t
t t
t
sin cos
) sin cos
(
) sin cos
(
sin cos
) sin cos
(
) sin cos
(
2 2
4
3 2
2 1
1
2
1 1
4
3 2
2 1
1
1
2 1
2 1
(36)
Trang 6Trong đó: H m2 m2 2 c2 ; L m 2 2 2
M 2 c2;N 2 (37)
C1, C2, C3, C4 được xác định nhờ ma trận hệ số là:
2 2
2
1
1
1 2
2
1
1
2 2 2
1
1 1 2
1
b M N N M l
l
b H L L H k
k
a h N
M l
l
a h L
H k
k
(38)
3.5 Trường hợp thứ năm: ∆1=0, ∆2< 0
Phương trình đặc trưng có nghiệm thực kép λ1=λ2 và cặp nghiệm phức α ± iβ
t b t a
t M t N
e
C
t N t M e C e
G
l C e
l
C
q
t b t a t H t L
e
C
t L t H e C e
G
k C e
k
C
q
t
t t
G t
t
t t G t
sin cos
) sin cos
(
) sin cos
(
sin cos
) sin cos
(
) sin cos
(
2 2
4
3 ) ( 12
1 2 1
2
1 1
4
3 ) ( 11
1 2 1
1
1
12 1 1
11 1 1
(39)
C1, C2, C3, C4 được xác định nhờ ma trận hệ số là:
2 12
1 12
1 1
1
1 11
1 11
1 1
1
2 2 12
1 1
1 1 11
1 1
) (
) (
b M N N M G
G
l
l
b H L L H G
G
k
k
a h N
M G
l l
a h L
H G
k k
(40)
3.6 Trường hợp thứ sáu: ∆1<0, ∆2< 0
Phương trình đặc trưng có 2 cặp nghiệm phức α ± iβ và α* ± iβ*
t b t a t M t N
e C t N t M
e
C
t M t N e C t N t M e
C
q
t b t a t H t L e C t L t H
e
C
t H t L e C t L t H e
C
q
t t
t t
t t
t t
sin cos
) sin cos
( )
sin cos
(
) sin cos
( )
sin cos
(
sin cos
) sin cos
( )
sin cos
(
) sin cos
( )
sin cos
(
2 2
*
* 4
*
*
3
2 1
2
1 1
*
* 4
*
* 3
2 1
1
(41)
Trong đó: H* m2 2 m2 2 2* c2 ; L* m 2 2** 2*
M* * c ;
Trang 7
2
*
*
*
*
*
*
*
*
1
*
*
*
*
*
*
*
*
2 2
*
*
1 1
b M
N N
M M
N N
M
b H
L L
H H
L L
H
a h N
M N
M
a h L
H L
H
(43)
KẾT LUẬN
Cỏc hệ số m1, m2, 1, 2, C1, C2,P1,P2,k,
2
1,
,h h
là hằng số dương, nờn nghiệm λ1, λ2,
λ3, λ4 cú giỏ trị õm Do đú thành phần dao động
tự do của q1, q 1, q2, q 2sẽ tiến dần tới 0, khi đú
hệ làm việc trong chế độ bỡnh ổn
Mụ hỡnh của bài toỏn trong bài bỏo này phức
tạp hơn cỏc bài toỏn trong [1], [2] [3], [4]
Phương phỏp giải bài toỏn cũng cú sự thay đổi
bằng cỏch đưa hệ phương trỡnh vi phõn cấp hai
thuần nhất dạng tổng quỏt về phương trỡnh bậc 4 tổng quỏt và sử dụng phương phỏp Ferrary để tỡm nghiệm tổng quỏt của bài toỏn dưới dạng giải tớch tường minh và xột tới caỏ trường hợp của nghiệm cú thể xảy ra mà trước đú chưa cú cụng trỡnh nào nghiờn cứu
Kết quả nghiờn cứu này là cơ sở cho việc khảo loại bài toỏn hạ chỡm kết cấu vào đất bằng cỏch ghộp hai mỏy rung
Tài liệu tham khảo:
A Sỏch tiếng Việt:
[1] Nguyễn Văn Khang (2001), Dao động kỹ thuật, NXB Khoa học và kĩ thuật, Hà Nội
[2] Nguyễn Đỡnh Chiều, Nguyễn Trọng, Nguyễn Anh Tuấn (2004)- Cơ sở lý thuyết kỹ thuật rung trong xõy dựng, NXB Khoa học và kỹ thuật, Hà Nội
B Sỏch tiếng Nga
[3] Barcan D.D (1959) – Phương phỏp rung trong xõy dựng, NXB Khoa học Ma - xcơ – va [4] Babacụp I.M (1965) - Lý thuyết dao động, NXB Khoa học Ma - xcơ – va
Abstract Study on vibration of two freedom blocked system
Nguyen Dac Hung
Studying vibration of the two freedom blocked system is setting up and solving unhomogeneous differential equation system This problem is rather complex, so only specific solution is found but not general one In this article, the author explains the way to set up and solve the above mentioned task and find out the general analytic solution This result is a foundation for studying task to lower absolute solid structure into the earth by combining two vibrators
Người phản biện: PGS.TS Khổng Doãn Điền