chuong10Các định luật cơ bản và phương trình vi phân chuyển động của chất điểm

Hình học khối lượng 10.1.1 Khối tâm của cơ hệ - Khối lượng: Khối lượng của hệ bằng tổng đại số khối lượng của các chất điểm thuộc hệ n k k k C là các bán kính véc tơ của chất điểm thứ k

Chương 10 CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC 10.1 Hình học khối lượng

10.1.1 Khối tâm của cơ hệ

- Khối lượng:

Khối lượng của hệ bằng tổng đại số

khối lượng của các chất điểm thuộc hệ

n

k

k k C

là các bán kính véc tơ của chất điểm thứ k và của khối tâm C;

mk, M là khối lượng của chất điểm thứ k và khối lượng của cơ hệ

Chiếu xuống các trục tọa độ ta được:

y C  k k

10.1.2 Mô men quán tính của vật rắn:

10.1.2.1 Mô men quán tính của vật rắn đối với trục z:

là 1 đại lượng vô hướng bằng tổng các tích khối lượng của từng điểm

thuộc vật với bình phương khoảng cách từ nó đến trục ấy

k k

hk là khoảng cách từ điểm mk tới trục z

10.1.2.3 Mô men quán tính một số vật đồng chất:

Trục z đi qua đầu A của thanh và vuông góc trục thanh,

AB = l, khối lượng của thanh là M z

RC

z

R C

b Vành tròn đồng chất:

bán kính R, khối lượng M và độ dày nhỏ,

trục z đi qua tâm và vuông góc với

khối lượng M, bán kính R, trục z đi qua tâm C

và vuông góc với mặt phẳng của tấm :

z

10.1.2.4 Mô men quán tính của vật rắn đối với trục song song

Định lý Huyghen:

Mô men quán tính của vật rắn đối

với 1 trục nào đó bằng mômen

quán tính đối với trục đi qua khối

tâm của vật song song với trục đó

cộng với tích số giữa khối lượng

của vật với bình phương khoảng

d

10.2 Định lý động lượng

10.2.1 Định nghĩa động lượng

.

q m v   

- Động lượng của chất điểm là đại lượng véc tơ bằng tích của

khối lượng với véc tơ vận tốc của điểm đó

Đơn vị kgm

s

-Động lượng của hệ là đại lượng véc tơ bằng tổng

hình học động lượng của các chất điểm thuộc hệ

10.2.2 Xung lượng của lực

d S                              Fdt

-Xung lượng yếu tố của lực tác dụng vào chất điểm

trong thời gian vô cùng nhỏ dt bằng tích số của véc tơ

lực với vi phân thời gian dt

10.2.3 Định lý biến thiên động lượng

- Định lý biến thiên động lượng dạng vi phân:

Vi phân động lượng của hệ trong thời gian vô cùng bé bằng tổng hình học các xung lượng yếu tố của tất cả ngoại lực tác dụng lên hệ trong thời gian đó

dt F Q

Xét phương trình vi phân chuyển động của chất điểm thứ k của cơ hệ:

   



e k

dQ   d S 



hay

trong đó

- Định lý biến thiên động lượng dạng hữu hạn:

Biến thiên động lượng của hệ chất điểm trong khoảng thời gian nào đó bằng tổng hình học xung lượng của tất cả các ngoại lực tác dụng lên

hệ trong khoảng thời gian ấy

X 



Nếu

Áp dụng định lý biến thiên động lượng

dạng hình chiếu trên trục Ox:

Vật chuyển động từ trạng thái nghỉ nên vo = 0 Ta có

10.3 Định lý chuyển động khối tâm:

10.3.1 Định lý chuyển động khối tâm

Khối tâm của cơ hệ chuyển động như 1 chất điểm có khối lượng bằng khối lượng của cả hệ khi chịu tác dụng của tất cả các ngoại lực tác dụng lên hệ

Từ công thức định nghĩa khối tâm của hệ:

lấy đạo hàm hai lần theo thời gian ta được

10.3.2 Phương trình vi phân chuyển động của khối tâm

Z M

Y M

X M

C C C

z y

k C

F

F

v M

F s

10.3.3 Các trường hợp bảo toàn chuyển động của khối tâm

Nếu tổng hình học các ngoại lực tác dụng lên hệ bằng 0

thì khối tâm của hệ sẽ đứng yên hay chuyển động thẳng

đều (chuyển động theo quán tính)

Nếu tổng hình chiếu của các ngoại lực tác dụng lên hệ

xuống 1 trục nào đó bằng không thì hình chiếu của vận tốc khối tâm của cơ hệ xuống trục đó có giá trị không thay đổi”.

 Fk  0 Nếu

G P

2 C

P G N

10.4 Định lý biến thiên mô men động lượng

10.4.1 Định nghĩa mô men động lượng

a Với chất điểm:

- Mô men động lượng của chất điểm

với 1 tâm O nào đó là 1 véc tơ

v m r

v m m

lO  O ( )  

h mV q

m

l z  z( )  '

v m

'

v m

- Mô men động lượng của chất điểm

với 1 trục z là 1 đại lượng đại số

k k n

k k n

k

k k O n

k Ok

)(

b Với cơ hệ:

- Mô men động lượng của hệ với tâm O là 1 véc tơ bằng tổng hình học các

véc tơ mô men động lượng của các chất điểm thuộc cơ hệ đối với tâm đó

- Mô men động lượng của hệ với trục z là 1 lượng đại số và bằng tổng đại

số mô men động lượng của tất cả các chất điểm thuộc hệ đối với trục ấy.

- Mô men động lượng của vật rắn quay quanh

M k

h



mkvk

10.4.2 Định lý mô men động lượng

dt

L d

1

)(

n

k

k y y

n

k

k x x

F

m dt

dL

F

m dt

dL

F

m dt

dL

1 1 1

) (

) (

) (

“Đạo hàm bậc nhất theo thời gian của mô men động lượng của hệ đối với

1 tâm hay 1 trục nào đó bằng tổng mô men của các ngoại lực tác dụng lên hệ đối với tâm hay trục đó”.

- Công thức:

hoặc

L d

n x

k n y

k n z

k

dL

m F dt

dL

m F dt

dL

m F dt

Ví dụ 1:

Đĩa tròn A đồng chất có trọng lượng P và bán kính r có thể quay quanh trục thẳng đứng vuông góc và đi qua tâm của đĩa Tại thời điểm ban

đầu, tâm của đĩa có viên bi M trọng lượng Q và đĩa A có vận tốc o sau

đó viên bi bắt đầu chuyển động dọc theo đường bán kính của đĩa với vận tốc tương ứng vr = u = const

Tìm vận tốc góc của đĩa tại thời điểm bất kỳ sau khi viên bi rời khỏi tâm của nó và tại thời điểm khi viên bi chạy đến mép của đĩa Bỏ qua ma sát tại ổ quay

z

Mr

2 2

Thời điểm t, đĩa A có vận tốc góc 

Q ut

vr

ve

Ví dụ 2:

Người ta cuốn đầu một sợi dây không giãn không trọng lượng vào một ròng rọc

cố định có trọng lượng Q, bán kính r Đầu kia của dây buộc vào vật A trọng

lượng P Tìm gia tốc góc của ròng rọc khi vật A chuyển động thẳng đứng

xuống dưới Coi ròng rọc là vành tròn đồng chất.

z k k

z k k

A

R O

kgm s

2 2

1kgm 1Jun

-Đơn vị chính để đo động năng là Jun (J) hay

-Động năng của cơ hệ n chất điểm là đại lượng vô hướng bằng tổng

động năng của tất cả các chất điểm thuộc hệ

22

i i

m v

- Động năng của 1 số vật rắn chuyển động:

•Vật rắn chuyển động tịnh tiến:

2 tt

2 2

Ví dụ 1:

Một vật có trọng lượng Q được buộc vào đầu một sợi dây không giãn, không

trọng lượng vắt qua một ròng rọc cố định B Đầu kia của dây buộc vào trục con lăn E Con lăn E lăn không trượt trên mặt phẳng nằm ngang cố định Ròng rọc B

và con lăn E có cùng trọng lượng P, bán kính R và được coi là đĩa tròn đồng

chất Tính động năng của hệ khi vật A rơi xuống với vận tốc VA Lúc đầu hệ

đứng yên.

B O

C E

1 1

2 2

A B

v P

v R

Ví dụ 2:

Con lăn hình trụ tròn A đồng chất có khối lượng m1 lăn không trượt trên mặt phẳng ngang, được quấn dây vắt qua ròng rọc B bán kính r và mô men quán tính đối với trục quay là JO đầu kia của dây buộc vật D có khối lượng m2 Biết vật D chuyển

động với vận tốc vD.Tìm động năng của cơ hệ đó Bỏ qua khối lượng của dây

12

10.5.2 Công của lực

a Công thức tổng quát tìm công của lực:

Công của lực biểu thị năng lượng mà lực đó đã cung cấp thêm hoặc đã làm hao tổn cho cơ hệ trong quá trình chuyển động

y z

b Công của các lực thường gặp: F

1 1

o z

z

z

z

z z

P dz

P Pdz

o o

A z Nếu lực không đổi  A   mz(F ) 

•Công của ngẫu lực:

cos )

Ví dụ 1:

Con lăn A bán kính vành trong và vành ngoài lần lượt là r và R, lăn không trượt trên đường thẳng cố định dưới tác dụng của lực kéo F tác dụng vào đầu dây quấn vào vành trong của con lăn Đoạn dây kéo tạo góc  với mặt đường.

Tìm công phân tố của lực F khi trục C của con lăn di chuyển đoạn đường vô cùng

bé drC.

C r

P M

10.5.3 Định lý biến thiên động năng của cơ hệ

- Định lý biến thiên động năng dạng vi phân:

Vi phân động năng của cơ hệ trong di chuyển vô cùng bé của hệ bằng tổng công phân tố của các lực tác dụng lên cơ hệ trong di chuyển đó

k

dT dA

- Định lý biến thiên động năng dạng hữu hạn:

Biến thiên động năng của hệ trong di chuyển hữu hạn bằng tổng công của tất cả các lực tác dụng lên cơ hệ trong di chuyển đó

T T  A

Ví dụ 1:

Tấm phẳng A có trọng lượng P1 chịu tác dụng lực nằm ngang Q = const, được đặt trên hai con lăn B1 = B2 giống nhau hình trụ tròn đồng chất , lăn không trượt trên măt phẳng ngang cố định Mỗi con lăn có trọng lượng bằng P2 và bán kính r

Hệ số ma sát lăn giữa các con lăn với mặt đường là k Bỏ qua sự trượt giữa tấm

A và 2 con lăn Ban đầu hệ đứng im.

Tìm vận tốc và gia tốc của tấm A phụ thuộc vào đoạn đường đi được của nó

A 

A B

s r

v do

Ví dụ 2:

Vật A có khối lượng m1 được đặt trên mặt phẳng nhẵn, gắn bản lề tại O với

thanh thẳng đồng chất OB có khối lượng m2 và chiều dài l Hệ bắt đầu chuyển

động từ trạng thái tĩnh, khi đó thanh OB nằm ngang Bỏ qua ma sát tại bản lề O.

Tìm vận tốc của vật A tại thời điểm khi thanh OB ở vị trí thẳng đứng

B

Xét cơ hệ gồm vật A chuyển động tịnh tiến và thanh OB chuyển động

song phẳng Áp dụng định lý biến thiên động năng dạng hữu hạn:

T1 – T0 =A

O A

O A

Thay vào ta được vận tốc của vật A khi thanh OB ở vị trí thẳng đứng

Thay vào ta được

m v  m v v