LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cợ học Vật rắn

LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI - MỘT NHÁNH CỦA CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG: Cơ học vật rắn biến dạng là một ngành học lớn, nghiên cứu sự làmviệc của vật rắn về mặt cơ học như trạng thái ứng suất, trạng

CHƯƠNG 1 : KHÁI NIỆM CHUNG

§1.1 LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI - MỘT NHÁNH CỦA CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG:

Cơ học vật rắn biến dạng là một ngành học lớn, nghiên cứu sự làmviệc của vật rắn về mặt cơ học như trạng thái ứng suất, trạng thái chuyển vị

và biến dạng…dưới các tác dụng bên ngoài (tải trọng, sự thay đổi nhiệt độ,

sự chuyển vị cưỡng bức…

Do các đối tượng nghiên cứu, đều kiện làm việc và mức độ yêu cầunghiên cứu khác nhau nên trong quá trình phát triển, ngành học lớn này chiathành nhiều môn học riêng như sau:

1.Sức bền vật liệu và cơ học kết cấu: (đàn hồi ứng dụng trong kỹ thuật):

Chủ yếu nghiên cứu thanh và hệ thanh Trong quá trình tính toán đãđưa ra các giả thiết để đơn giản việc nghiên cứu từ đó có những kết quả tiệnlợi trong vấn đề tính toán

2 Lý thuyết đàn hồi : Nghiên cứu các vật rắn đàn hồi có hình dạng bất kỳ.

- Lý thuyết lưu biến (Nghiên cứu về sự chảy của vật chất): Nghiêncứu những định luật chung về sự phát sinh và phát triển của biến dạng theothời gian của vật chất do những nguyên nhân khác nhau trong những điềukiện nhiệt động và hóa lý khác nhau

Nhìn chung các môn học này đều có đối tượng và phương phápnghiên cứu khác nhau nhưng mang tính tương đối Trong thực tế ranh giớigiữa các môn học này nhiều khi bị xóa bỏ và xâm nhập lẫn nhau

§1.2 NỘI DUNG, ĐỐI TƯỢNG VÀ CÁC GIẢ THIẾT CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

1 Nội dung: Nghiên cứu trạng thái ứng suất, biến dạng, chuyển vị của vật

thể đàn hồi dưới các tác dụng bên ngoài (tải trọng, sự thay đổi nhiệt độ, sựchuyển vị cưỡng bức…)

2 Đối tượng: Các vật rắn thực tuân theo các giả thiết cơ bản sau:

3 Các giả thiết cơ bản:

a Vật liệu liên tục, đồng nhất và đẳng hướng: là vật liệu ở tại mọi

b Vật liệu có tính đàn hồi tuyệt đối: theo giả thiết này quá trình tăngtải và giảm tải hoàn toàn thuận nghịch, trong quá trình chịu tải năng lượnghoàn toàn được bảo toàn

c Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là bậc nhất tức là vật liệu làmviệc tuân theo định luật Hooke

d Vật liệu ở trạng thái tự nhiên trước khi chịu lực: Ở trạng thái banđầu, khi vật thể chưa biến dạng thì trong vật thể không phát sinh ứng suất,nghĩa là bên trong vật thể không có ứng suất trước

e Giả thiết biến dạng bé: theo giả thiết này biến dạng tương đối rấtnhỏ so với 1 do đó tích các biến dạng có thể bỏ qua so với biến dạng và sovới 1

* Giả thiết biến dạng bé cùng giả thiết quan hệ giữa ứng suất và biếndạng là bậc nhất cho phép ta áp dụng nguyên lý cộng tác dụng khi giải cácbài toán

§1.3 NỘI LỰC - ỨNG SUẤT - HỆ THỐNG CÁC KÝ HIỆU

1 Khái niệm nội lực :

Trong vật lý, giữa các phần tử vật chất của vật thể luôn luôn tồn tạicác lực tương tác Khi vật thể chịu tác dụng của ngoại lực như tải trọng, sựthay đổi nhiệt độ, sự chuyển vị cưỡng bức các lực tương tác này cũng sẽthay đổi Lượng thay đổi của các lực tương tác giữa các phần tử của vật thểđược gọi là nội lực

2 Phương pháp mặt cắt, ứng suất và hệ thống các ký hiệu :

- Phương pháp mặt cắt (Đã nghiên cứu trong SBVL và CHKC): làphương pháp làm xuất hiện và để tính các nội lực

Nếu ký hiệu n là pháp tuyến ngoài của mặt cắt tại điểm M thì cường độphân bố nội lực tại điểm M được ký hiệu là Pn và gọi là ứng suất toàn phần.Định nghĩa: Ứng suất toàn phần Pn là nội lực trên một đơn vị diện tích dF có

x y

* Các cách ký hiệu của ứng suất toàn phần:

a Trong hệ tọa độ Descartes : Pn=P nx.e1+P ny.e2 +P nz.e3

c Trường hợp đặc biệt khi mặt cắt qua điểm M(x, y, z) đang xét lầnlượt vuông góc với các trục tọa độ, các pháp tuyến n tương ứng trùng vớiphương của các trục tọa độ:

Pnx

Pnz M(x,y)

* Trên mặt cắt vuông góc với trục x :

- Ưng suất pháp có phương theo trục x ký hiệu : σx

- Ứng suất tiếp nằm trong mặt phẳng này chia thành hai thành phầntheo hai phương y, z: ký hiệu : τxy , τxz

Tương tự :

*Trên mặt cắt vuông góc trục y : σy , τyz , τyx

*Trên mặt cắt vuông góc trục z : σz , τzx , τzy

*Quy ước về dấu của các thành phần ứng suất :

- Nếu pháp tuyến của mặt cắt hướng theo chiều dương của các trục tọa

độ tương ứng, chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều dương của các trụctọa độ tương ứng thì ứng suất là dương

- Nếu pháp tuyến của mặt cắt hướng theo chiều âm của các trục tọa độtương ứng, chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều âm của các trục tọa độtương ứng thì ứng suất là dương

- Các trường hợp khác với những điều nêu trên thì ứng suất là âm

§1.4 CHUYỂN VỊ - BIẾN DẠNG - HỆ THỐNG CÁC KÝ HIỆU

Xét điểm M(x,y,z) trong vật thể V

Sau khi vật thể biến dạng M(x,y,z) chuyển thành M1(x1, y1, z1)

Vectơ MM1 là vectơ chuyển vị

Véc tơ chuyển vị có các hình chiếu lên ba trục tọa độ x, y, z là u, v, w.Các điểm M(x,y,z) khác nhau sẽ có các chuyển vị khác nhau nên u, v,

w là hàm của điểm M hay là hàm của 3 biến x, y, z

u = u(x,y,z)

v = v(x,y,z)

w = w(x,y,z)Các chuyển vị bé tức là giá trị của nó nhỏ hơn rất nhiều so với kíchthước của vật thể

• Biến dạng dài tương đối :

Xét một phân tố chiều dài MN = ds theo phương n

=> Biến dạng góc trong các mặt phẳng xoy, yoz, zox là : γxy, γyz, γzx

• Biến dạng thể tích tương đối :

Xét phân tố có thể tích dV sau biến dạng trở thành dV1.

Định nghĩa: Biến dạng thể tích tương đối, ký hiệu θ, là tỷ số : θ=

Theo giả thiết biến dạng bé ta có: /ε/<< 1, /γ /<< 1, /θ / << 1

Ý nghĩa : Có thể bỏ qua tích của biến dạng so với biến dạng và so với1

* Qui ước dấu của các thành phần biến dạng

- εx , εy , εz > 0 khi chiều dài đang xét dãn dài ra Ngược lại < 0

- γxy, γyz, γzx > 0 khi các góc vuông bé lại Ngược lại < 0

§1.5 PHƯƠNG PHÁP, MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

1.Phương pháp: Dựa trên cơ sở các phương trình toán học để mô tả các

điều kiện cân bằng về mặt cơ học của vật thể, từ đó xác định các đại lượngnhư ứng suất, biến dạng và chuyển vị của vật thể

2 Mục đích: Qua môn học này :

- Có phương pháp giải các bài toán phức tạp : Như các bài toán cóhình dạng và lực tác dụng vượt ra khỏi khuôn khổ của môn học SBVL,CHKC Những bài toán không tuân theo các giả thiết tính toán cơ bản trongSBVL khi chịu tác dụng của ngoại lực Các bài toán tấm, vỏ, khối

- Là “chiếc cầu” để đi tới những môn học xa hơn trong cơ học như: Lýthuyết dẻo, lý thuyết từ biến, cơ học phá hủy

CHƯƠNG 2 : LÝ THUYẾT TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT

§2.1 ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG

x, f*

y, f*

z.Dưới những tác dụng này, vật thể nằm ở trạng thái cân bằng tĩnh hoặcđộng nên những phần tử vật chất của vật thể cũng nằm ở trạng thái cân bằngtương ứng Tưởng tượng dùng họ những mặt phẳng vuông góc với các trụctoạ độ và cách nhau những đoạn vi phân dx, dy, dz cắt qua vật thể (hình vẽ2.1) ta sẽ nhận được :

Điều kiện cân bằng của vật thể được đảm bảo thông qua điều kiệncân bằng của tất cả các phần tử loại 1 và loại 2

2.1.2 Phương trình vi phân cân bằng :

Trước tiên ta khảo sát sự cân bằng của các phần tử loại 1 lấy tại điểmM(x,y,z)

1 Lực tác dụng lên phần tử :

- Ngoại lực là lực thể tích f có hình chiếu lên các trục toạ độ : fx , fy , fz

- Nội lực là các ứng suất trên các mặt của phần tử, các ứng suất này làcác hàm số liên tục của tọa độ điểm M(x,y,z)

dx x

x x

∂

∂ + σ σ

dx x

xy xy

∂

∂ + τ τ

dx x

xz

∂+ ττ

τxy

σx

τxz

(Hình 2.2)

• Hai mặt vuông góc với trục x:

+ Mặt đi qua điểm M(x,y,z) có các thành phần ứng suất : σx , τxy , τxz

+ Mặt đi qua điểm N(x+dx,y,z): khai triển theo Taylor và bỏ qua các sốhạng vô cùng bé bậc cao có các thành phần ứng suất :

dx x

;

dx x

;

dx x

xz xz

xy xy

x x

∂

τ

∂ +

τ

∂

τ

∂ +

τ

∂

σ

∂ + σ

Tương tự:

• Hai mặt vuông góc với trục y:

+ Mặt đi qua điểm M(x,y,z) có ứng suất : σy , τyx , τyz

+ Mặt đi qua điểm P(x,y+dy,z) có các ứng suất :

dy y

; dy y

; dy y

yz yz

yx yx

y y

∂

τ

∂ + τ

∂

τ

∂ + τ

∂

σ

∂ + σ

• Hai mặt vuông góc với trục z:

+ Mặt đi qua điểm M(x,y,z) có các ứng suất σz , τzx , τzy

+ Mặt đi qua điểm Q(x,y,z+dz) có các ứng suất :

dz z

; dz z

; dz z

zy zy

zx zx

z z

∂

τ

∂ + τ

∂

τ

∂ + τ

∂

σ

∂ + σ

2 Phương trình cân bằng:

Dưới tác dụng của ngoại lực, giả sử phần tử đang xét nằm ở trạng thái cânbằng, các phương trình cân bằng được thỏa mãn :

0 dxdydz f

dxdy ) dz z (

dxdz ) dy y (

dydz ) dx x (

0

X

x

zx zx

zx

yx yx

yx

x x

x

= +

∂

τ

∂ + τ + τ

− +

+

∂

τ

∂ + τ + τ

− +

∂

σ

∂ + σ + σ

−

⇔

=

Σ

∂ + τ τ

dx

x

xy xy

∂

∂ + τ τ

τyx

τxy

Sau khi rút gọn và cũng thực hiện tương tự cho các phương trình ∑Y = 0 ;

∑Z=0, ta sẽ nhận được 3 phương trình vi phân cân bằng như sau :

) t

w (

0 f z y

x

; ) t

v (

; 0 f z y

x

; ) t

u (

; 0 f z y

x

2

2 z

z yz

xz

2

2 y

zy y

xy

2

2 x

zx yx

x

∂

∂ ρ

= +

∂

σ

∂ +

∂

τ

∂ +

= +

∂

τ

∂ +

∂

σ

∂ +

= +

∂

τ

∂ +

∂

τ

∂ +

∂

σ

∂

(2.1)

Với ρ: mật độ khối lượng của vật thể.

+ Trong trường hợp cân bằng tĩnh: vế phải của hệ (2.1) sẽ bằng 0

+ Trong trường hợp cân bằng động: vế phải của hệ (2.1) sẽ bằng các

lượng trong dấu ngoặc; u, v, w là các thành phần chuyển vị của phần tử vật

chất tại điểm M theo 3 phương x,y,z Lượng trong dấu ngoặc nếu đổi dấu thì

chính là các lực quán tính của một đơn vị thể tích chiếu lên ba phương của

các trục tọa độ

Hệ phương trình (2.1) được gọi là phương trình cân bằng tĩnh học

NAVIER- CAUCHY

2.1.3 Định luật đối ứng của ứng suất tiếp :

* Từ phương trình cân bằng môment của phân tử đối với các trục tọa độ ta

sẽ được định luật đối ứng của các ứng suất tiếp

(Hình.2.3)

Xét phương trình cân bằng ∑Mz = 0

Để đơn giản ta đặt tọa độ ban đầu ở tâm hình lập phương

Tìm moment tại tâm phần tử đối với trục zozo, ta có:

0 2

dy dxdz ) dy y

( 2

dx dydz ) dx x (

yx yx

xy xy

xy z

∂

τ

∂ + τ + τ

−

∂

τ

∂ + τ + τ

= Σ

và 2

dx dxdydz x

yx xy

M

; 0

M

;

zx xz y

zy yz x

yx xy

= τ

⇔

= Σ

τ

= τ

⇔

= Σ

τ

= τ

Phát biểu định luật: Ứng suất tiếp trên 2 mặt vuông góc về trị số bằngnhau nhưng ngược chiều

(Hình.2.4)

2.1.4 Phương trình điều kiện biên theo ứng suất :

Đây chính là điều kiện cân bằng của các phân tử loại 2.Trong trườnghợp tổng quát, phân tử này là khối tứ diện, có ba mặt vuông góc với các trụctọa độ và nằm ở bên trong vật thể, có diện tích lần lượt là dSx, dSy, dSz Mặtcòn lại là mặt ngoài của vật thể có diện tích dS có pháp tuyến n với cosinchỉ phương l,m,n

(Hình 2.5)

l = cos (n,x) =

dS dSx

a

a

a

a

có n to

+ Mặt vuông góc trục x, ký hiệu dSx có các ứng suất : σx , τxy , τxz.

+ Mặt vuông góc trục y, ký hiệu dSy có các ứng suất : σy , τyx , τyz.

+ Mặt vuông góc trục z, ký hiệu dSz có các ứng suất : σz , τzx , τzy.

b Phương trình cân bằng :

Phương trình tổng hình chiếu của các lực theo phương X là:

) b ( 0

dV f dS f dS dS

dS 0

x z zx y yx x

f dS

dS dS

dS dS

x

z zx

y yx

yz xz

* y zy

y xy

* x zx

yx x

f n m

l 0

Z

) 3 2 ( f

n m

l 0

Y

f n m

l

= σ + τ + τ

⇔

=

Σ

= τ + σ + τ

⇔

=

Σ

= τ + τ + σ

Hệ phương trình (2.3) là điều kiện cân bằng của phần tử loại hai, được gọi là

hệ phương trình điều kiện biên theo ứng suất

2.1.5 Kết luận:

1 Về mặt cơ học: Hệ phương trình (2.1) và (2.3) biểu diễn mối quan

hệ giữa nội lực và ngoại lực là điều kiện cân bằng của toàn bộ vật thể

f* Pny z

f*

§2.2 ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGHIÊNG –

TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT - TENXƠ ỨNG SUẤT

2.2.1 Đặt vấn đề :

Giả sử đã biết các ứng suất trên 3 mặt vuông góc với hệ trục tọa độ điqua M(x,y,z), tính ứng suất trên mặt cắt nghiêng bất kỳ có pháp tuyến n vớicác cosin chỉ phương là (l, m, n) đi qua điểm M(x,y,z) đó

2.2.2 Ứng suất toàn phần :

Để tìm ứng suất tại điểm M(x,y,z) trên mặt cắt nghiêng có pháp tuyến

n với các côsin chỉ phương l,m,n Ta xét cân bằng của phần tử tứ diện lấy tạiđiểm M(x,y,z), phần tử có ba mặt vuông góc với các trục tọa độ, trên đó cócác ứng suất σ , τ (như H.2.6) Mặt thứ tư của phân tử là mặt nghiêng có ứngsuất toàn phần P n, các hình chiếu của nó lên 3 trục tọa độ x,y,z là Pnx, Pny,

Pnz

Hình 2.6

Ba hình chiếu này giữ vai trò tương tự như lực bề mặt fx*, fy*, fz* khiviết điều kiện biên (2.3), nên có thể có kết quả tương tự như sau:

) 4 2 ( n

m

l x P

P P

n m

l P

n m

l P

n m

l P

z yz xz

zy y xy

zx yx x

nz ny nx

z yz

xz nz

zy y

xy ny

zx yx

x nx

τ σ τ

τ τ

=

τ + σ + τ

=

τ + τ

+ σ

=

Giá trị của ứng suất toàn phần Pn được tính theo công thức sau :

) 5 2 ( P

P P

nz

2 ny

2 nx

2.2.3 Ứng suất pháp và ứng suất tiếp :

Ứng suất toàn phần P n có thể biểu diễn qua ứng suất pháp và ứng suấttiếp

1.Ứng suất pháp: là hình chiếu của ứng suất toàn phần P n trên pháptuyến n, được ký hiệu σn

3 nz 2 ny 1 nx

n P e P e P e

) e P e P e P ( ch P

n n

n n







+ +

=

=

σ

n P m P l.

nl mn

lm

( 2 n m

.

z

2 y

2 x

2 2

n

2 n

nt = P − σ = Pnx + Pny + Pnz − σ

2.2.4 Trạng thái ứng suất - Tenxơ ứng suất :

* Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp các ứng suất trên mọimặt cắt có thể đi qua điểm đó

* Nếu ứng suất thành phần là khái niệm phụ thuộc điểm và pháp tuyếncủa mặt cắt [Pn(M,n)] thì trạng thái ứng suất là khái niệm rộng hơn, chỉ phụthuộc vào điểm Điều đó cho phép ta phân biệt, so sánh được trạng thái nộilực tại các điểm khác nhau trong vật thể

Các biểu thức (2.7) và (2.8) cho phép xác định ứng suất pháp và ứng

rằng chín thành phần ứng suất trên các mặt cắt vuông góc với các trục tọa

độ là đủ để xác định trạng thái ứng suất tại điểm đó

Kết luận: Trạng thái ứng suất tại một điểm đặc trưng bởi chín thànhphần ứng suất trên các mặt cắt vuông góc với các trục tọa đô đi qua điểm đó.Chín thành phần này lập thành một đại lượng gọi là tenxơ ứng suất

τ σ τ

τ τ

σ

=

σ

z yz zx

xz y xy

zx yx xT

Tenxơ ứng suất là một tenxơ hạng 2 đối xứng vì theo định luật đốiứng của ứng suất tiếp ta có τxy = τyx; τyz = τzy; τxz = τzx, vậy tenxơ ứngsuất có 6 thành phần độc lập

2.2.5 Tenxơ lệch ứng suất và Tenxơ cầu ứng suất :

Tenxơ ứng suất có thể chia thành Tenxơ lệnh ứng suất Dσ và Tenxơcầu ứng suất To σ

σ σ

σ +

τ

τ σ

− σ τ

τ τ

τ σ τ

τ τ σ

o

tb yz tb tb

tb z yz

zx

xz tb

y xy

zx yx

tb x

z yz zx

xz y xy

zx yx x

T D

T

0

0 0

0 0 a

) (

) (

) (

3

1

z y x

tb = σ + σ + σ

σ : Ứng suất pháp trung bình

Dσ: Tenxơ lệch ứng suất, gây ra biến dạng hình dạng của phân tử

To σ : Tenxơ cầu ứng suất, gây ra biến dạng thể tích của phân tử

§2.3 MẶT CHÍNH - PHƯƠNG CHÍNH - ỨNG SUẤT CHÍNH

2.3.1.Khái niệm:

* Mặt chính là mặt trên đó có ứng suất tiếp bằng không;

* Phương chính là phương pháp tuyến của mặt chính

* Ứng suất chính là ứng suất pháp trên mặt chính Ký hiệuσn.

Giả sử có phương chính n với l = cos (n, x)

m = cos (n , y)

n = cos (n , z)

Trên mặt chính ứng suất toàn phần P n sẽ có phương vuông góc vớimặt chính và có giá trị P n =σn.

Do đó hình chiếu Pnx, Pny, Pnz của Pn lên các trục x, y, z là :

Pnx = σn.l

Pny = σn.m (2.9)

Pnz = σn.nThay (2.4) và (2.9) ta có hệ phương trình:

) 10 2 ( 0

n ) (

m l

0 n m

) (

l

0 n m

l ) (

tb z yz

zx

xz tb

y xy

zx yx

n x

− σ +

τ + τ

= τ + σ

− σ +

τ

= τ + τ

+ σ

− σ

Hệ (2.10) có nghiệm tầm thường của là l = m = n =0 không thỏa mãnđiều kiện l2 + m2 + n2 = 1 (2.11)

Để hệ (2.10) có nghiệm không tầm thường thì định thức của các hệ sốphải bằng không:

) 12 2 ( 0

) (

) (

) (

Det

n z yz

zx

xz n

y xy

zx yx

n x

τ

τ σ

− σ τ

τ τ

σ

− σ

Khai triển (2.12) ta được phương trình bậc 3 đối với ứng suất chính

n

n 1

− τ τ τ + σ σ σ

=

τ + τ + τ

− σ σ + σ σ + σ σ

=

σ + σ + σ

=

) (

2 I

) (

I

I

2 xy z

2 zx y

2 yz x zx

yz xy z

y x 3

zx yz xy x

z z y y x 2

z y x 1

(2.14)

Các hệ số I1, I2 , I3 trong phương trình tìm ứng suất chính là những giátrị không đổi khi ta xoay trục Chúng được gọi lần lượt là bất biến thứ nhất,bất biến thứ hai và bất biến thứ ba của trạng thái ứng suất tại một điểm

- Giải phương trình bậc 3 (2.13) ta nhận được ba giá trị ứng suấtchính, các giá trị này đều là thực, kí hiệu lần lượt là σ 1 ; σ 2 ; σ 3và theo qui ước

chỉ phương li, mi, ni của ứng suất chính σiđó.

Kết quả ta có ba phương chính tương ứng với ba ứng suất chính

=

σ

3 2 1

0 0

0 0

0 0 T

Các bất biến của trạng thái ứng suất chính :







 σ

σ σ

=

σ σ + σ σ + σ σ

=

σ + σ + σ

=

3 2 1 3

1 3 3 2 2 1 2

3 2 1 1

I I I

Tùy theo giá trị của các ứng suất chính, ta phân loại trạng thái ứngsuất thành trạng thái ứng suất đơn; trạng thái ứng suất phẳng và trạng tháiứng suất khối

α β

dy y

v v

∂

∂ +

y

M1 P(x,y+dy)

v v

∂

∂ +

dy y

u u

∂

∂ +

dx x

u u

∂

∂ +

CHƯƠNG 3

LÝ THUYẾT TRẠNG THÁI CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG

§3.1 PHƯƠNG TRÌNH QUAN HỆ GIỮA CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG

Xét biến dạng của phần tử vật chất lấy tại điểm M(x,y,z) Với các biếndạng là bé, ta có thể quan sát biến dạng của phần tử qua biến dạng các hìnhchiếu của nó trên các mặt phẳng tọa độ

(Hình 3.1)+ Xét biến dạng trong mặt phẳng xoy (H.3.2) Phân tố chữ nhật MNQP vớicác cạnh ban đầu dx, dy sau biến dạng trở thành phân tố M1N1Q1P1

(Hình 3.2)

- Điểm M(x,y) có chuyển vị theo phương x,y là : u; v

- Điểm N(x+dx,y) có các chuyển vị theo phương x,y, khai triển Taylor bỏqua các vô cùng bé bậc cao là : u + dx

- Biến dạng dài tương đối của các cạnh theo phương x,y là εx , εy.

- Biến dạng góc trong mặt phẳng đang xét xoy là γxy = α+β.

Theo giả thiết biến dạng bé, ta có : / εx /<< 1; / εy /<< 1; /α/ << 1; /β/ << 1

Sử dụng các công thức gần đúng :

1 cos

; 1 cos

tg sin

; sin

tg

≈ β

≈ α

β

≈ β

≈ β α

≈ α

≈ α

3.1.1.Tính biến dạng dài tương đối :

Ta có :

MN

MN N

M1 1x

u 1 ( u dx x

u u dx N

M1 2

∂

∂ +

=

−

∂

∂ + +

=

x

u dx

dx dx dx ) x

u 1 ( MN

MN N

M )

∂

∂ +

=

−

= ε

⇔

Tương tự ta có :

y

vy

∂

∂

=

3.1.2.Tính biến dạng góc: γxy = α+β

Góc quay của cạnh MN sẽ là :

α ≈ tgα =

2 1

2 1N M

N

N

=

x ) x

u 1 (

v ) dx x

u v (

∂

∂

∂ +

−

∂

∂ +

=

x

u 1 x v

∂

∂ +

∂

∂ =

x1 x

v

ε + ∂

Các kết quả (b) và (c) cho trong mặt phẳng xoy được sử dụng cho hai mặt

phẳng còn lại yoz và zox Bằng cách hoá vị vòng các chỏ số theo thứ tự của

tam diện thuận x,y,z ta nhận được quan hệ chuyển vị và các biến dạng như

sau :

x(u)

y(v)z(w)

∂

∂

= γ

∂

∂

= ε

∂

∂ +

∂

∂

= γ

∂

∂

= ε

∂

∂ +

∂

∂

= γ

∂

∂

= ε

x

w z

u

; z w

) 1 3 ( z

v y

w

; y v

y

u x

v

; x u

zx z

yz y

xy x

Công thức (3.1) thiết lập mối quan hệ tuyến tính giữa các thành phần

biến dạng và các chuyển vị xét ở thời điểm t, được gọi là phương trình quan

hệ hình học CAUCHY

Từ (3.1) có thể kết luận các biến dạng là bé khi đạo hàm bậc nhất các

chuyển vị theo phương toạ độ là bé

§3.2 TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG - TENXƠ BIẾN DẠNG

x M1 K1

3.2.1.Biến dạng dài tương đối theo phương bất kỳ :

Hệ (3.1) cho phép ta tính biến dạng dài tương đối theo các phươngx,y,z Đặt vấn đề làm sao tính biến dạng dài tương đối theo phương bất kỳ ?

(Hình 3.3)Trong hệ trục toạ độ Descartes.Xét vi phân chiều dài MK= ds theophương n với các cosin chỉ phương là l,m,n

Hình chiếu của ds lên các trục x,y,z là dx, dy, dz

l = cos (n  , x ) =

ds dx

có n to

+Điểm M(x,y,z) chuyển vị theo ba phương x,y,z là u,v, w

+Điểm K(x+dx, y+dy, z+dz) chuyển vị theo ba phương là : u+du;v+dv; w+dw

Với du, dv, dw là các vi phân toàn phần của thành phần chuyển vịu,v,w

du = ∂∂ux.dx + ∂∂y u.dy + ∂∂u z .dz

dv = ∂∂x v.dx + ∂∂y v.dy + ∂∂v z.dz

dw = ∂∂w x .dx + ∂∂w y .dy + ∂∂w z .dz+ Sau biến dạng MK trở thành M1K1 = ds1 trong đó :

M(x,y,z) trở thành M1( x+u, y+v, z+w)

K(x+dx, y+dy, z+dz) trở thành K1(x+dx+u+du, y+dy+v+dv,z+dz+w+dw)

+ Chiều dài vi phân trước biến dạng: ds2 = dx2 + dy2 + dz2 (b)

+ Chiều dài vi phân ds1 sau biến dạng:

ds12 = (dx+du)2 + (dy+dv)2 + (dz+dw)2 (c)Biến dạng dài tương đối theo phương n của ds Ký hiệu εn là :

ds1

- 1

 ( εn + 1)2 = 2

2 1ds ds

 1+2 εn + εn2 = 2

2 1ds

ds  εn = 2

2 2

1ds 2

ds

ds −

(d) (Với giả thiết biến dạng bé có thể bỏ qua εn2 so với εn)Tính ds12 = [dx + (

Theo (d)

2

2 2

1 n

ds 2

ds

ds −

= ε

=>

ds

dz z

w ds

dydz y

w ds

dxdz x w

ds

dydz z

v ds

dy y

v ds

dxdy

x v

ds

dxdz z

u ds

dxdy

y

u ds

dx x u

2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2

2 n

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂ +

+

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂ +

+

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

= ε

⇔

Thay

ds

dz n

; ds

dy m

; ds

ε

z yz xz

zy y

xy

zx yx x

ε

z yz xz

zy x

xy

zx yx x

II Tenxơ lệch biến dạng và Tenxơ cầu biến dạng :

Tenxơ biến dạng Tε có thể phân tích thành tổng của hai tenxơ hạng 2

là tenxơ lệch biến dạng Dε và Tenxơ cầu biến dạng T0ε

ε

z zy zx

yz y

yx

xz xy

ε

tb zy

zx

yz tb

yx

xz xy

tb x

0

0 tb

0

0 0

: Biến dạng dài trung bình

Dε: đặc trưng cho biến dạng hình dạng của phần tử

T0 ε: đặc trưng cho biến dạng thể tích của phần tử

§3.3 BIẾN DẠNG CHÍNH VÀ PHƯƠNG BIẾN DẠNG CHÍNH

Trạng thái biến dạng tại điểm M(x,y,z) được đặc trưng bởi tenxơ biếndạng bé Tại điểm M(x,y,z) ấy ta có thể tìm được ba phương vuông góc vớinhau và trên các mặt phẳng vuông góc với ba phương đó, các biến dạng gócbằng không Những phương đó gọi là phương biến dạng chính

- Các biến dạng dài tương đối theo phương biến dạng chính là cácbiến dạng chính, các biến dạng chính là biến dạng dài cực trị tại điểm ấy

Ký hiệu các biến dạng chính là : ε1, ε2 , ε3 => theo quy ước ε1> ε2 > ε3.Tương tự như việc tìm các ứng suất chính, biến dạng chính được xácđịnh từ phương trình sau :

0 ) (

) (

) (

Det

n z yz

zx

zy n

y xy

zx yx

n x

γ

γ ε

− ε γ

γ γ

ε

− ε

3

− γ γ γ + ε ε ε

=

γ + γ + γ

− ε ε + ε ε + ε ε

=

θ

= ε + ε + ε

=

) (

2 J

) (

J

J

2 xy z

2 zx y

2 yz x zx

yz xy z

y x 3

zx yz xy x

z z y y x 2

z y x 1

(3.9)

Các hệ số J1, J2 , J3 trong phương trình tìm biến dạng chính là nhữnggiá trị không đổi khi ta xoay trục Chúng được gọi lần lượt là bất biến thứnhất, bất biến thứ hai và bất biến thứ ba của trạng thái biến dạng tại mộtđiểm

Phương trình (3.8) cho 3 nghiệm biến dạng chính, cả ba nghiệm này đều làthực

* Tìm phương biến dạng chính :

Sau khi có các biến dạng đường chính ε1, ε2 , ε3, ứng với mỗi εi sửdụng hệ phương trình (3.10) và phương trình (3.11) ta có hệ ba phươngtrình tương ứng với ba ẩn số là ba cosin chỉ phương của biến dạng chính εi

đó

) 10 3 ( 0

n ) (

m l

0 n m

) (

l

0 n m

l ) (

n z yz

xz

zy n

y xy

zx yx

n x

− ε +

γ + γ

= γ + ε

− ε +

γ

= γ + γ

+ ε

− ε

ε

=

ε

3 2 1

0 0

0 0

0 0 T

Các bất biến của trạng thái biến dạng chính :







 ε

ε ε

=

ε ε + ε ε + ε ε

=

ε + ε + ε

=

3 2 1 3

1 3 3 2 2 1 2

3 2 1 1

J J J

§3.4 PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG THÍCH BIẾN DẠNG

Ở mục trên ta đã lập được 6 phương trình vi phân của biến dạng theo

3 chuyển vị u, v, w (Biểu thức 3.1)

đó, các biến dạng cũng sẽ là những hàm đơn trị và liên tục.

- Để giải bài toán ngược tìm 3 hàm chuyển vị u, v, w khi biết các biếndạng, ta có 6 phương trình đạo hàm riêng đối với 3 ẩn số Số phương trìnhnhiều hơn ẩn số, nên để xác định được 3 ẩn số là các hàm liên tục và đơn trịthì 6 phương trình này phải có quan hệ với nhau

Các quan hệ này được gọi là các điều kiện tương thích hay điều kiệnliên tục của biến dạng cũng được gọi là các điều kiện Sainti - Venant

Để nhận được các phương trình này, ta khử các chuyển vị u, v, wtrong các phương trình biến dạng Cauchy - Navier

I Nhóm phương trình cho các biến dạng trong cùng 1 mặt phẳng :

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

.

x y

y

v x x

u y x

v y x y

u y x x

v y

u y x

xy

y

x

y x

∂

∂ +

x

z y y

z

y x x

y

zx x

z

yz z

y

xy y

ε

γε

ε

γε

ε

2 2

2

2

2

2 2

2

2

2

2 2

2

2

2

) 12 3 (

II Nhóm phương trình cho các biến dạng trong các mặt phẳng khác nhau:

y x

zx z

w y x x

v y

u z x

2 2

+ = ∂ 

y .

2

2 2

2

x z y

yz x

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂ +

zx x

yz z

y x

z

xy y

zx x

yz y

x z

z

xy y

zx x

yz x

z y

z y x

γ γ

γ γ

γ γ

γ γ γ

ε ε ε

2 2 2

2

) 13 3 ( 2

2

Ý nghĩa : Hệ phương trình (3.12) và (3.13) thể hiện mối quan hệ giữa các

biến dạng là điều kiện để tìm u, v, w từ phương trình biến quan hệ hình họcCauchy-Navier gọi là phương trình liên tục biến dạng

CHƯƠNG 4 : QUAN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG

Trong hai chương trên ta đã nghiên cứu hai mặt riêng biệt của môitrường liên tục đó là mặt tĩnh học (trường ứng suất) và mặt hình học (trườngbiến dạng), giữa hai mặt này có quan hệ với nhau Sự phân bố ứng suất vàbiến dạng của môi trường phụ thuộc vào quan hệ đó Xét quan hệ giữa ứngsuất và biến dạng tức là xét về mặt vật lý của môi trường Sự khác nhau vềmặt vật lý đã dẫn đến những nội dung khác nhau trong lý thuyết cơ học vậtrắn biến dạng như lý thuyết đàn hồi tuyến tính, lý thuyết đàn hồi phi tuyến

và lý thuyết đàn hồi dẻo

Trong lý thuyết đàn hồi nói chung ứng suất là hàm của biến dạng :

σx = a11εx + a12εy + a13εz + a14γxy + a15γyz + a16γzx;

σy = a21εx + a22εy + a23εz + a24γxy + a25γyz + a26γzx; (4.2)

Tzx = a61εx + a62εy + a63εz + a64γxy + a65γyz + a66γzx

Trong đó :

Các hệ số aij : Là các hằng số đàn hồi của vật liệu

Trong (4.2) : Có tất cả là 36 hằng số đàn hồi Ta sẽ chứng minh rằng

đối với vật liệu hoàn toàn đàn hồi và đẳng hướng chỉ có 2 hằng số độc lập

với nhau

§4.1 CÔNG VÀ THẾ CỦA LỰC ĐÀN HỒI

Xét 1 phần tử hình hộp có các cạnh dx, dy, dz tại điểm M(x,y,z) Cácmặt của phân tử có các ứng suất như hình vẽ (H,4.1) Ứng với các ứng suất

ấy phần tử có chuyển vị đường và chuyển vị góc

Khi phần tử bị biến dạng các nội lực sinh ra một công

Hình 4.1

4.1.1 Số gia của công do ứng suất pháp sinh ra:

Ứng suất pháp trên 2 mặt vuông góc trục x là : σx và σx + ∂∂σxx.dx, có độ

dài tương đối εx, độ dãn dài tuyệt đối : εx.dx

Sau thời gian vô cùng bé δt, phân tố có độ dài tương đối thêm số gia: δεx

Số gia của độ dãn dài tuyệt đối của cạnh dx : δεx dx

Số gia của công do σx sinh ra : (σx.dydz)( δεx.dx)

Tương tự số gia của công σy và σz sinh ra : (σy.dxdz)( δεy dy) (a)

(σz.dxdy)( δεy dz)

4.1.2 Số gia của công do ứng suất tiếp sinh ra:

Xét thành phần Txy ở tại thời điểm t, góc trượt tỷ đối là γxy Sau thời gian

δt, góc trượt đó có số gia δγxy

Lực do Txy : Txy.dy.dz

Moment do Txy tác dụng trên 2 mặt phẳng đối diện vuông góc ox :(Txy.dydz).dx

Số gia của công do Txy sinh ra : (Txy.dydz.dx) δγxy

Tương tự số gia của công do các ứng suất tiếp Tyz và Tzx sinh ra là :

(Tyz.dzdx.dy) δγxz (b)(Tzx.dxdy.dz) δγzx

Số gia công của phần tử hình hộp bằng tổng số gia của công do các ứng suấtsinh ra (a+b):

δT = (σx δεx +σy δεy +σz δεz +Txyδγxy + Tyzδγyz + Tzxδγzx )dxdydz (4.3)

Ta có: dV = dxdydz : Thể tích của phần tử trước biến dạng

*Số gia của công của một đơn vị thể tích (công riêng) δA sẽ là :

dx x

x x

xy xy

xz xz

Từ (4.8) cho phép phát biểu kết luận định lý Green: Các phần tử ứng suất

là các đạo hàm riêng của thế năng biến dạng đàn hồi đối với các biến dạngtương ứng

§4.2 ĐỊNH LUẬT HOOKE TỔNG QUÁT-

CÁC HẰNG SỐ ĐÀN HỒI CỦA VẬT LIỆU

4.2.1 Dựa vào định lý Green :

Vì giá trị đạo hàm không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm, so sánh (a) và (b) ta

4.2.2 Dựa vào tính chất vật liệu đẳng hướng :

Vật thể đẳng hướng là vật thể có tính chất đối xứng hoàn toàn, bất kỳ mặt phẳngnào đi qua phần tử cũng là mặt phẳng đối xứng Tính chất cơ, lý của vật liệutheo mọi phương là như nhau

Do đó các phương trình (4.2) không thay đổi khi ta thay đổi hệ tọa độ :

+Giả sử đổi chiều trục y thì ứng suất pháp σx của phương trình thứ nhất trong hệ(4.2) không thay đổi:

σx = a11εx + a12εy + a13εz + a14γxy + a15γyz + a16γzx (c)

Nhưng các biến dạng góc γxy và γyz

đổi dấu vì khi đổi chiều trục y thì

góc trượt trước đây làm góc vuông

nhỏ lại nay làm cho góc vuông lớn

15

14 14

a

a a

Tương tự nếu đổi chiều trục z ta có a16 = 0

Bằng cách chứng minh tương tự ta đi đến kết luận ba hằng số cuối của baphương trình đầu trong hệ phương trình (4.2) đều bằng 0

Do aij = aji nên ba hằng số đầu của ba phương trình cuối trong hệ phươngtrình (4.2) cũng bằng 0

Hệ phương trình (4.9) cho ta kết luận :

- Các ứng suất pháp không có quan hệ với các biến dạng góc

- Các ứng suất tiếp không có quan hệ với các biến dạng dài tương đối.Xét phương trình thứ (4) của hệ phương trình ( 4.9) :

Tyx = a44γxy - a45γyz + a46γzx (e)Nếu ta đổi chiều trục z thì Txy không đổi nhưng γyz và γzx sẽ đổi dấu:

Tyx = a44γxy - a45γyz - a46γzx (f)

Đồng nhất (e) và (f) ta có : 45 46 0

46 46

45 45

a

a a

số vật lý là λ và ν Hai hằng số này được gọi là hằng số LaMê.

$4.3 MỘT DẠNG KHÁC CỦA ĐỊNH LUẬT HOOKE TỔNG QUÁT

Từ (4.18) ta có : σx + σy + σz = 3λθ + 2νθ

Trong đó : θ = εx + εy + εz : Độ biến dạng thể tích tương đối

⇒θ = 3 λ 2 υ

1 + (σx + σy + σz) (a)

λθ ν

ν λθ ν

λθ

σ σ ε ε σ

z y z

z

y y

3

1

z y x z

x z

y

νλ

ν

2)(

)23(

y x z y

++

)()

23( λ ν σx ν λλ ν σx σyν

νλ

(4.15)

Đặt E = λ ν

νλ

ν+

+2 )3

νλ

λννλ

ν

λνλ

λνν

λ

νλν

CHƯƠNG 5 : PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN GIẢI BÀI TOÁN

LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH

.)(

0

;)(

0

;)(

0

2 2 2 2 2 2

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

t

w fz

z

z y

Tyz x

Txz

t

v fy

z

Tzy y

y x

Txy

t

u fx

z

Tzx y

Tyx x

x

ρρρ

σ σ

∂

∂

= γ

∂

∂

= ε

∂

∂ +

∂

∂

= γ

∂

∂

= ε

∂

∂ +

∂

∂

= γ

∂

∂

= ε

x

w z

u

; z w

) 2 (

; z

v y

w

; y v

; y

u x

v

; x u

zx z

yz y

xy x

b Các phương trình liên tục của biến dạng : Hệ (3.12) và (3.13)

) 1 ( 2

) 1 ( 2

εz= 1[ z ( x y )]

E σ − µσ +σ ; γzx = Tzx

E

Tzx G

) 1 ( 2

5.1.2 Các cách giải bài toán đàn hồi tuyến tính :

* Về nguyên tắc 15 phương trình (1); (2) và (3a) hoặc (3b) hoàn toàn chophép xác định được 15 hàm ẩn Để giải 15 phương trình đó ta cần thu gọn chúng

về một số phương trình tương ứng với một số hàm ẩn chính Những phươngtrình thu gọn này là những phương trình để giải của bài toán Những ẩn số cònlại sẽ tìm được sau khi biết các ẩn số chính

1 Cách giải bài toán theo chuyển vị: Nếu lấy chuyển vị làm các hàm ẩnchính, cần thu gọn hệ phương trình trên về ba phương trình đối với ba hàmchuyển vị u, v, w

2 Cách giải bài toán theo ứng suất: Nếu lấy ứng suất làm các hàm ẩnchính, cần thu gọn hệ trên thành sáu phương trình đối với sáu ẩn ứng suất

3 Cách giải hỗn hợp: Ngoài hai cách giải trên, trong một số bài toán, ta sửdụng cách giải hỗn hợp, dùng một phần các hàm ẩn chính là chuyển vị và mộtphần các hàm ẩn chính là ứng suất

§5.2 CÁCH GIẢI BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐH THEO CHUYỂN VỊ

∂

y

u x

∂

∂

z

u x

w

3.Về mặt tĩnh học:

Từ phương trình cân bằng tĩnh học Navier-Cauchy :

; ) t

u ( 0 fx z

Tzx y

Tyx x

= +

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂ σ

(d)Thay (c) vào (d) ta có:

= +

∂

∂ +

∂

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

∂ +

∂

∂ +

fx z

u G z x

w G y

u G y x

v G x

u G x

u G

x

(*) t

u 0

fx z

w y

v x

u x G u z y

x

G

2 2

2 2

2 2

= +

∂

∂ +

∂

∂

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂ +

2 2

2

z y

∂ +

∂

∂ +

v x

u

∂

∂ +

∂

∂ +

Phương trình LaMê tổng hợp được các yêu cầu về tĩnh học, hình học vàvật lý Giải (5.1) ta tìm được u, v, w sau đó xác định các biến dạng theo phươngtrình quan hệ hình học Cauchy và xác định các ứng suất theo định luật Hooke

4.Hệ quả: Từ phương trình LaMê trong bài toán tĩnh, khi các lực thể tích là

b Hệ quả 2 : Xét phương trình 1 của (5.2) :

x

∂

∂

∇2θ + G∇2∇2u = 0 (b)Theo hệ quả 1 ta có : ∇2θ = 0 thay vào (b)

(b) ⇔ ∇2∇2u = 0

∇2∇2w = 0Phát biểu hệ quả 2: Trong bài toán tĩnh, đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng,khi lực thể tích là hằng số thì các hàm chuyển vị là những hàm trùng điều hòa

c Ý nghĩa : Hệ quả này cho phép ta đoán nhận được sơ bộ dạng nghiệm

chuyển vị của bài toán đàn hồi Tất nhiên đây mới chỉ là điều kiện cần, điều kiện

đủ là các chuyển vị phải thỏa mãn các phương trình cơ bản đã nêu trên

5.3 GIẢI BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI THEO ỨNG SUẤT

Chọn các ứng suất σx, σy, σz, Txy, Tyz, Tzx làm hàm ẩn chính

I Trường hợp các lực thể tích là hằng số:

1 Về mặt vật lý : Dựa vào định luật Hooke