Ø Theo hệ quả trượt lực, bao giờ ta cũng có thể trượt các lực đã cho theo đường tác dụng của chúng tới điểm đồng quy của các đường tác dụng.. - Vectơ Rur biểu diễn hợp lực của hệ lực đồ
Trang 1CHƯƠNG 2: HỆ LỰC ĐỒNG QUY – HỆ NGẪU LỰC
§I HỆ LỰC ĐỒNG QUY
1 Khái ni ệm về hệ lực đồng quy
Ø Hệ lực đồng quy là một hệ lực mà các đường tác dụng của chúng đồng quy tại một điểm
Ø Theo hệ quả trượt lực, bao giờ ta cũng có thể trượt các lực đã cho theo đường tác dụng của chúng tới điểm đồng quy của các đường tác dụng
2 H ợp lực của hệ lực đồng quy
a Định lý: Hệ lực đồng quy tương đương với một hợp lực đặt tại điểm đồng quy của
chúng Vectơ biểu diễn hợp lực bằng tổng hình học của các vectơ biểu diễn các lực đã cho
b.Chứng minh: Giả sử ta có hệ lực đồng quy (F , F , , Fr r1 2 rn)
đặt lên vật rắn tại điểm O Theo tiên đề 3 ta có: F + Fur ur1 2 ≡R ur1
đặt tại O, hợp Rur1
và Fur3
ta được
2 1 3 1 2 3
R ≡R + F =F F+ +F
ur ur ur ur ur ur
đặt tại O Tiếp tục như vậy ta được:
( ) n-2 n 1 2 n
R R≡ + F =F F+ + +F
3 Ph ương pháp xác định hợp lực của hệ lực đồng quy
a Phương pháp vẽ: Lấy một điểm A chọn tuỳ ý làm cực, vẽ các vectơ AuuuurA1
=Fur1
,
1
A A2
uuuuur
=Fur2
,…,Auuuuuuurn 1−An
=Furn
như hình vẽ Ta có:
n
AA
uuuur
= AAuuuur1
+A Auuuuur1 2
+…+Auuuuuuurn 1−An
=F Fur ur1+ 2+ + Furn
=
R′
uur Vậy Ruur′
=F Fur ur1+ 2+ + Furn
(2.1)
n
A, A
uuuuuur
=
n k
k 1
F
=
∑ur được gọi là vectơ chính của hệ
lực đã cho, ký hiệu là Ruur′
Như vậy vectơ biểu diễn hợp lực của hệ lực đồng quy bằng vectơ chính của hệ lực ấy
Sự khác nhau giữa vectơ chính Ruur′
và hợp lực Rur
- Vectơ Rur
biểu diễn hợp lực của hệ lực đồng quy nên là vectơ trượt và đi qua điểm đồng quy của hệ lực đã cho
- Vectơ Ruur′
là tổng hình học của các vectơ biểu diễn các lực đã cho nên là vectơ và
vẽ ở đâu cũng được
b Phương pháp chiếu (giải tích): Gọi các hình chiếu của lực bất kỳ Fuurk
thuộc hệ lực
đã cho là F ,kx F ,ky F hoặc là Xkz k,Yk,Zk Hình chiếu vectơ Rur
lên các trục toạ độ sẽ lần lượt bằng tổng đại số của các hình chiếu ấy
1
Fr
2
Fr
3
Fr
i
Fr
n
2
F
r
3
Fr
n
Fr Trượt lực
A
A1 A2
An
Ruur′
A3
Trang 2n n
x x 1x 2x nx kx k
K 1 K 1
n n
y y 1y 2 y ny ky k
K 1 K 1
n n
z z 1z 2z nz kz k
K 1 K 1
′
L
L L
(2.2)
Cường độ và hướng của Rur
được xác định như sau:
2 2 2
x y z
y
R
(2.3)
(α, β,γ là góc hợp bởi Rur
với Ox, Oy, Oz.)
II.HỆ NGẪU LỰC
1 Khái ni ệm về ngẫu lực
a Định nghĩa: Ngẫu lực là một hệ lực gồm
hai lực song song ngược chiều và cùng cường độ,
ký hiệu ( )ur uur′
F ,F , gọi tắt là ngẫu
b Các đặc trưng của ngẫu lực: Ngẫu lực
có 3 đặc trưng cơ bản như sau:
- Mặt phẳng tác dụng: là mặt phẳng chứa
hai lực thành phần
- Chiều quay của ngẫu lực trong mặt phẳng
- Cường độ tác dụng của ngẫu lực: bằng tích số F d× Trong đó F là giá trị lực thành phần, d là khoảng cách hai đường tác dụng
c Vectơ mômen của ngẫu lực: Để biểu diễn các đặc trưng của ngẫu lực, người ta
dùng vectơ mômen ngẫu lực, ký hiệu muur
có:
- Gốc nằm tuỳ ý trong mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực
- Phương vuông góc với mặt phẳng tác dụng
- Chiều sao cho khi nhìn từ đầu mút của vectơ xuống mặt phẳng tác dụng thì thấy chiều quay của ngẫu lực ngược chiều quay kim đồng hồ
- Độ lớn bằng tích F d×
2 Các định lý về biến đổi tương đương ngẫu lực
a Định lý 1-Định lý về hai ngẫu lực tương đương: Hai ngẫu lực cùng nằm trong
mặt phẳng có cùng chiều quay và cùng giá trị mômen thì tương đương nhau
2
F′
ur
1
Fur′
F′
ur
B
A FFr2
r
1
F
Φur
′ Φ
F′
ur
P ur
P′
uur
Φur
′
Φuur
R ur
R ur
m uur
Fr
Fur′
d
Trang 3Chứng minh: Giả sử hai ngẫu lực ( )F,Fur uur′
và ( )Φ Φur uur, ′
cùng nằm trong một mặt phẳng, cĩ cùng chiều quay và cĩ cùng giá trị mơmen F.d = .h như hình vẽ Φ
- Trường hợp a: xét trường hợp Fur
khơng //Φur
Đường tác dụng của Fur
vàΦur cắt nhau tại A, của Fuur′
và Φuur′
cắt nhau tại B
Trượt Fur
và Fuur′
về các giao điểm A, B như hình vẽ Theo tiên đề 3, biến đổi Fur
,Fuur′
thành hai thành phần Fur1
,Fur2
và Fuur′1
,Fuur′2
theo hai phương
Ta cĩ: Fur ur ur uur uur uur≡(F ,F ,F1 2) (′≡ F ,F′ ′1 2)
⇒ ( ) (F,Fur uur′ ≡ F ,F ,F ,Fur ur uur uur1 2 ′ ′1 2) (≡ F ,F và F ,Fur uur1 ′1) (ur uur2 ′2)
Rõ ràng (F ,Fur uur1 ′ ≡1) 0
⇒ ( ) (F,Fur uur′ ≡ F ,Fur uur2 ′2)
2
F.d F h
Theo giả thiết F.d= Φ.h⇒ F = 2 Φ, ta dễ thấy Fur2
và Φur , Fuur′2
vàΦuur′
cùng đường tác
dụng và cùng chiều ⇒ (F ,Fur uur2 ′2) ( ) ( )≡ Φ Φ ≡ur uur, ′ F,Fur uur′
- Trường hợp b: ur
F // Φur
: Biến đổi (( ) ( )F,Fur uur′ ≡ P,Pur uur′
với Pur khơng // Fur
rồi trở về trường hợp đầu
b Định lý 2- Định lý về dời ngẫu lực theo mặt phẳng song song: Tác dụng của ngẫu lực
khơng thay đổi khi dời ngẫu lực đến những mặt phẳng song song
Chứng minh: Giả sử ngẫu lực ( )F,Fur uur′
∈ mặt phẳng π Ta lấy mặt phẳng π1 song song với mặt phẳng π Trên mặt phẳng π1 chọn A1, B1 sao cho A Buuuuur1 1
= ABuuur
⇒ ABB1A1 là hình bình hành
Gọi I là giao điểm của AB1 và A1B Tại I ta đặt thêm hai lực cân bằng Φur
và Φuur′
sao
⇒ ( )F,Fur uur′
≡(F,F , ,ur uur ur uur′ Φ Φ =′) ( ) ( )F,ur uurΦ′ và F ,uur ur′Φ
Áp dụng định lý 1 ta được:
( ) (F,ur uurΦ ≡ Φ′ ,Fuur′1)
với Fuur′1
= Φuur′
= Fuur′
đặt tại B1
( ) (F ,uur ur′ Φ ≡ Φuur ur′,F1)
với Fur1
= Φur = Fur đặt tại A1
⇒ ( )F,Fur uur′
≡ (Φ,Fuur′1)
và
(Φuur ur′,F1)
≡(Φ Φ, ,F ,Fuur ur uur′ 1 ′1)
Ta cĩ: ( )Φ Φ ≡,uur′ 0
⇒ ( )F,Fur uur′
≡(F ,Fur uur1 ′1)
Như vậy ngẫu lực (F ,Fur uur1 ′1)
chính là ngẫu lực ( )F,Fur uur′
dời đến mặt phẳng π1
Nhận xét:
- Vectơ mơmen của ngẫu lực muur
là vectơ tự do (cĩ điểm đặt tự do)
- Tác dụng của ngẫu lực khơng thay đổi khi:
• Dời tuỳ ý ngẫu lực trong mặt phẳng tác dụng của nĩ
• Dời đến các mặt song song
• Thay đổi cánh tay địn hoặc thay đổi giá trị của lực thành phần mà khơng làm thay đổi giá trị của mơmen ngẫu lực
B
A
A1
F′
ur
Fr
1
Fr
1
F′
ur
Φur
′ Φ
uur
Trang 4c Định lý 3- Định lý về hợp ngẫu lực
- Định lý về hợp hai ngẫu lực: Hợp hai ngẫu lực được một ngẫu lực cĩ vectơ mơmen
bằng tổng các vectơ mơmen của hai ngẫu lực đã cho
Chứng minh: Giả sử cĩ hai ngẫu lực nằm
trong hai mặt phẳng π1 và π2 giao nhau theo giao
tuyến AB Ta cĩ thể biến đổi hai ngẫu lực trên thành
hai ngẫu lực ( )F,Fur uur′
và ( )P,Pur uur′
như hình vẽ cĩ vectơ mơmen tương ứng muur1
, muur2
Rõ ràng Fur
và Fuur′
, Pur
và Puur′
đối xứng qua tâm
I (trung điểm AB)
Theo tiên đề 3 ta cĩ: ( )F,Pur ur
≡ Φur
và
( )F ,Puur uur′ ′
≡ ′Φuur
⇒ (F,F ,P,Pur uur ur uur′ ′)
≡ ( )Φ Φur uur, ′
Do tính chất đối xứng nên ( )Φ Φur uur, ′
cũng là một ngẫu lực.Ta cĩ:
1
muur
=BA Fuuur ur∧
, muur2
=BA Puuur ur∧
⇒ muur1
+ muur2
= BA Fuuur ur∧
+BA Puuur ur∧
= BA (F P)uuur ur ur∧ +
=BAuuur ur∧ Φ
= muur Với muur
là vectơ mơmen ngẫu lực ( )Φ Φur uur, ′
- Định lý về hợp hệ ngẫu lực: Hợp hệ ngẫu lực được một ngẫu lực cĩ vectơ
mơmen bằng tổng các vectơ mơmen của các ngẫu lực đã cho
n i
i 1
=
uur uur
(2.4)
Chứng minh: Giả sử ta cĩ hệ ngẫu lực như sau: (F ,F , F ,F , , F ,Fur uur1 ′1) (ur uur2 ′2) (ur uurn ′n)
Các
hệ ngẫu lực này cĩ các vectơ mơmen ngẫu lực tương ứng là m ,m , ,muur uur1 2 uurn
Theo định lý 3 ta cĩ:
(F ,F và F ,Fur uur1 ′1) (ur uur2 ′2) (≡ R ,Rur uur1 ′1)
1 2 1
m m+ =m′
uur uur uur
(R ,R và F ,Fur uur1 ′1) (ur uur3 ′3) (≡ R ,Rur uur2 ′2)
1 3 2
m′ +m =m′
uur uur uur
( ) ( )
(Rurn 2 − ,Ruur′n 2 − ) ( và F ,Fur uurn ′ ≡n) ( )F,Fur ur
⇔
( n 2 ) n
m′ − +m =m′
uur uur uur
………
(F ,F + F ,Fur uur1 ′1) (ur uur2 ′2)+ +(F ,Fur uurn ′n) ( )= F,Fur uur′
m m+ + +m =m
uur uur uur uur
L
Hệ quả: Khi các ngẫu lực cĩ cùng chung mặt phẳng tác dụng thì:
n i
i 1
=
Như vậy hệ ngẫu lực phẳng tương đương với một ngẫu lực tổng hợp cĩ mơmen đại
số bằng tổng đại số của những mơmen ngẫu lực đã cho
π2
π1
B
A
Pur
Fr Φur
Puur′
Fur′
′ Φ
uur
I muur1
2
m uur muur