Bài tập cơ học đại cương - Phần 1 Cơ học vật rắn - Chương 2 docx

Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng BI TÁÛP CHỈÅNG 2 TIÃÚP XỤC GIỈỴA HAI VÁÛT RÀÕN-ÂËNH LÛT VÃƯ MA SẠT @ Ạp dủng 1: (Trang 98) Chuøn âäüng ca hçnh láûp phỉång trãn màût phàóng nghiãng: Mäüt hçnh láûp phỉång khäúi lỉåüng m âỉåüc háút lãn våïi váûn täúc ban âáưu v 0 (v 0 > 0), dc theo âỉåìng däúc chênh ca mäüt màût phàóng nghiãng mäüt gọc α so våïi màût phàóng ngang. g  N  T  mg  α C x y O Xạc âënh chuøn âäüng ca hçnh láûp phỉång ny (chuøn âäüng tënh tiãún dc theo âỉåìng däúc chênh (Ox) ca màût phàóng nghiãng) theo cạc giạ trë khạc nhau ca v 0 . Cho biãút hãû säú ma sạt trỉåüt giỉỵa khäúi vng v màût phàóng nghiãng l f. Bài giải : Ngoại lực tác dụng lên vật rắn bao gồm : Trọng lượng mg  , Tác động cơ lên khối vng tại chỗ tiếp xúc : . xy R Te Ne=+   với T và N là giá trị đại số : N > 0. (Vật rắn chuyển động tịnh tiến, nên ma sát lăn và ma sát xoay khơng xuất hiện). Áp dụng định lý về động lượng ( ( ) e i i PmaG F== ∑    ) ⇒ ()ma G mg T N = ++   Chiếu lên Ox và Oy: sin (1) 0cos mx mg T mg N α α =+ ⎧ ⎨ =− + ⎩  (2) Lúc đầu, khối vng đi lên trên mặt phẳng nghiêng, T  hướng xuống dưới : T > 0 và T = f.N Từ (2) suy ra : N = mgcosα ⇒ .cosTfNmgf α == g  N  T  mg  C α 0 v  x y O Thay vào (1) ta có : (sin cos )xg f α α =+  ⇒ 0 (sin cos )vgft ν αα =− + + ⇒ 2 0 1 (sin cos ) 2 x tg f t ν αα =− + + (Ghi chú : Điều kiện ban đầu: t = 0 ⇒ 0 0;xx ν = =−  ) Vận tốc khối vng bằng 0 tại thời điểm t 0 với : )cos(sin 0 0 αα ν fg t + = Tại t = t 0 , khối vng dừng lại và có xu hướng chuyển động đi xuống trên mặt phẳng nghiêng nên  hướng lên trên : T < 0. Kể từ thời điểm t = tT 0 , khối vng vẫn đứng n, nếu như: NfT ≤ hay TfN − ≤ ⇒ T f N − ≤ Từ (1) và (2) suy ra : T tg N α −= ⇒ tg f tg α ϕ ≤ = ⇒ ϕ α ≤ Ngược lại, nếu α ϕ > hay tg f α > thì : TfN= (bởi vì nếu TfN< , ta sẽ suy ngược lại rằng α ϕ < , điều này trái với giả thiết) Tf ⇒ .cosNfmg α = −=− Từ (1) suy ra gia tốc của khối của khối vng : )cos(sin α α fgx −=  ⇒ 2 0 )cos(sin 2 1 )( tfgtxx αα −+= : Khối vng chuyển động đi xuống nhanh dần đều. 22 Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng @ Ạp dủng 2: (Trang 99) Cán bàòng ca váût ràõn trãn màût âáút : Mäüt váût ràõn âäưng cháút, cọ dảng hçnh khäúi chỉỵ nháût, cạc cảnh l 2a v 2b, khäúi lỉåüng m, khäúi tám G, nàòm n trãn màût âáút nàòm ngang. Mäüt ngỉåìi mún dëch chuøn váût ràõn bàòng cạch kẹo mäüt såüi dáy (büc tải mäüt âiãøm H trãn váût ràõn v nàòm trong màût phàóng trung bçnh âi qua khäúi tám G sao cho OH = h) tạc dủng lãn váût ràõn mäüt lỉûc F nàòm ngang. Hãû säú ma sạt trỉåüt giỉỵa màût âáút v váût ràõn l f. H 2a h G 2b F  O g  Ngỉåìi kẹo khäng kẹo â mảnh v váût ràõn váùn âỉïng n. Chỉïng minh ràòng cạc tạc âäüng cå tiãúp xục giỉỵa váût ràõn v màût âáút suy biãún thnh mäüt lỉûc R tạc dủ ng lãn âiãøm mäüt I (thüc màût phàóng trung bçnh ca váût ràõn) nàòm trãn màût phàóng tiãúp xục giỉỵa màût âáút v váût ràõn). Cỉåìng âäü ca lỉûc F phi tha mn nhỉỵng âiãưu kiãûn no âãø váût ràõn thỉûc sỉû âỉïng n trãn màût âáút ? Bài giải : ⊕ F  mg  N  T  I H 2 a R  2b h O x x y Vì bề mặt tiếp xúc giữa mặt đất và vật rắn là lớn Khơng thể bỏ qua ma sát lăn và xoay. Tác động cơ tại chỗ tiếp xúc giữa vật ắn và mặt đất khi thu gọn về điểm tiếp xúc I nào đó thuộc mặt phẳng trung bình bao gồm : ⇒ r . xy R Te Ne=+     và ,I tiepxuc M  (N > 0, T > 0) Ngoại lực tác dụng lên khối vng bao gồm : Trọng lượng mg  , lực kéo , tác động cơ tại điểm tiếp xúc I : F  . xy R Te Ne=+   và . ,I tiepxuc M  Khi vật rắn cân bằng, ta có : + Tổng các ngoại lực tác dụng lên vật rắn bằng 0 : 0NTmgF++ + =    (1) ⇒ Nmg TF = ⎧ ⎨ = ⎩ Trong đó : T fN≤ ⇒ FfNfmg≤= + Momen các ngoại lực tác động lên khối vng đối với điểm I bằng 0 :     , () I tiepxuc IG mg IH F II T N M×+×+×++ =0 0⇒ (2) , () zItiepxuc amg hF xN e M−++ + =   Để hệ lực suy biến thành một lực , (, ) I tiepxuc RM  R  thì phải có : , 0 I tiepxuc M =  23 Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông Với và , từ (2) suy ra : ()Nmg= , 0 I tiepxuc M =  0xamghF − += ⇒ h mg F ax −= ⇒ Tác động cơ tại chỗ tiếp xúc, khi thu gọn về điểm tiếp xúc I có tọa độ h mg F ax −= sẽ suy biến thành một lực là R  . Để I có tọa độ h mg F ax −= thuộc bề mặt tiếp xúc thì phải có : ax 20 ≤ ≤ . Bất đẳng thức trên thỏa mãn khi 0 F ah mg −≥ hay mga F h ≤ Tóm lại : Với h mga F ≤ , tác động cơ tiếp xúc từ mặt đất lên vật rắn suy biến thành một lực đặt tại điểm I có tọa độ RNT=+  h mg F ax −= và thuộc bề mặt tiếp xúc. (Ghi chú : + Trường hợp giới hạn : T = fN ⇒ F = fN = fmg ⇒ f mg x ah mg =− ⇒ x afh=− ⇒ điểm I nằm tại có tọa độ x 0 : 0 x afh=− . Trường hợp TfN ≤ thì FfNfmg ≤ = ⇒ 0 x x≥⇒ điểm I nằm trong khoảng I 0 A. ⊕ F  mg  N  T  Q I 0 H 2b 2 a R  G P h O x 0 x y + Gọi P là giao điểm của và F  mg   : Ta có : 000 . I QOQQI ax fh (3) (4) (1) mga F h = F fmg= (2) fmg 2b h F tgh ϕ =−=− == ⇒ 0 (,)tg PI PQ tg ϕ =   ⇒ 0 (,)PI PQ ϕ =   . Mặt khác, trong trường hợp giới hạn (, ) FfN tg R N f tg NN ϕ == ==   ⇒ R  nằm trên phương PI o hay nói khác đi R  đi qua điểm P). Để khối vuông thực sự đứng yên trên mặt đất, phải có điều kiện : + Khối vuông không trượt so với mặt đất : FT fN fmg=≤ = ⇒ fmgF ≤ (3) + Khối vuông không lật quanh cạnh qua O, nghĩa là nó còn cân bằng và liên kết của nó 24 Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng với mặt đất vẫn tồn tại (tức là áp lực N vẫn tồn tại : hay 0N ≥ ()0 O MN≥   ). Suy ra : ()( ) () ()0 ext Oi z O i O MF Fhmgae MN MN ⎧ =− + = ⎪ ⎨ ⎪ ≥ ⎩ ∑     0 ⇒ 0Fh mga−≤ ⇒ h mga F ≤ (4) Hệ hai bất đẳng thức trên có thể giải bằng đồ thị như trên hình vẽ : Vùng (1) : Vật rắn trượt khơng lật trên mặt đất.Vùng (2) : Vật rắn vừa trượt vừa lật trên mặt đất. Vùng (3) : Vật rắn khơng trượt, chỉ lật trên mặt đất. Vùng (4) : Vật rắn khơng trượt khơng lật trên mặt đất (vật rắn thực sự cân bằng ) @ Ạp dủng 3: (Trang 101): Khåíi âäüng ca ngỉåìi âi xe âảp: Mäüt ngỉåìi âi xe âảp khåíi âäüng trãn mäüt màût âỉåìng nàòm ngang: Hãû quy chiãúu trại âáút âỉåüc xem l Galilẹe. Ngỉåìi âi xe âảp âỉåüc xem nhỉ l mäüt váût ràõn gàõn liãưn våïi xe âảp (b qua khäúi lỉåüng ca âäi chán âang chuøn âäüng). Gi m l täøng khäúi lỉåüng ca ngỉåìi v xe âảp. Hai bạnh xe l giäúng nhau, cọ bạn kênh R v cọ khäúi lỉåüng khäng âạng kãø. Khäúi tám G ca hãû ngỉåìi-xe âỉåüc xạc âënh båïi cạc khong cạch a, b v h. Gi f l hãû säú ma sạt giỉỵa cạc bạnh xe v màût âáút (b qua cạc ma sạt khạc) v n l tè säú giỉỵa säú ràng (nombre de dents) ca âéa xêch v ca lêp (roue-libre) åï bạ nh sau. g  G b a yO ⊗ ⊕ x h z Momen Γ ca ngáùu lỉûc m ngỉåìi âi xe tạc âäüng vo âéa xêch phi bàòng bao nhiãu âãø cạc bạnh xe khäng bë trỉåüt trãn màût âáút ? Bi gii : Phản lực của mặt đất tác dụng lên mỗi bánh xe: . K Kx Ky R Te Ne=+   Với : ; T 0; 1, 2 K Nk>= K là giá trị đại số (bỏ qua các ma sát khác). Để bánh xe khơng trượt trên mặt đất, phải có : k TfN≤ k (1) Ta cần xác định T 1 , T 2 , N 1 , N 2 và thay vào biểu thức (1), từ đó sẽ có kết luận. Xét cơ hệ gồm người + xe. Ngoại lực tác dụng lên hệ : Trọng lượng , các áp lực và lực ma sát từ mặt đất tác dụng lên hai bánh xe : TT mg  12 1 2 ,, ,N N    . Áp dụng định lý về động lượng cho hệ người + xe đạp ( () k i i dP ma G F dt == ∑    ) ⇒ 12 1 2 ()ma G T T N N mg=++ + +     Chiếu lên hai trục x và z : 12 12 0 mx T T NNmg =+ ⎧ ⎨ =+− ⎩  (2) 25 Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông Áp dụng định lý về momen động lượng đối với khối tâm C K của mỗi bánh xe, trong hệ quy chiếu khối tâm : ext /* * ( K K C Ci i R dL MF dt ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ∑  )   với : * *v K CKiii i LCMm0 = ×= ∑    (vì bỏ qua khối lượng của các bánh xe) ⇒ 2 1 0' 0 TR TR =− +Γ ⎧ ⎨ =− ⎩ ⇒ 2 1 0' 0 TR T =− +Γ ⎧ ⎨ = ⎩ Trong đó Γ’ là momen tác động lên bánh sau, tạo nên bởi momen Γ do người đi xe tác động lên bàn đạp : ' n Γ Γ= g  b a G y O ⊗ ⊕ mg  C 2 C 1 ' Γ Γ 1 T  2 T  2 N  1 N  z x h ( Ghi chú : Lực căng trên dây xích : dia xich lip 22' DD t F Γ Γ == ⇒ dia xich dia xich lip lip D 'D Z n Z Γ = == Γ với D dia xich , D lip lần lượt lừ đường kính của đĩa xích và của líp; Z dia xich , Z lip lần lượt là số răng của đĩa xích và của líp). ⇒ 2 1 0 0 TR n T Γ ⎧ =− + ⎪ ⎨ ⎪ = ⎩ (3) Áp dụng định lý về momen động lượng đối với khối tâm G của hệ người + xe, trong hệ quy chiếu khối tâm : ext /* * ( G Gi i R dL MF dt ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ ∑  )  0 với : **( )*( ) GG G L L nguoi khungxe L cacbanhxe = ++   = ( Ghi chú : Do người + khung xe chuyển động tịnh tiến so với mặt đất, nên sẽ cố định trong hệ quy chiếu khối tâm, do đó : *( ) 0 G L nguoi khungxe + =  . Mặc khác, do bỏ qua khối lượng các bánh xe nên : * *( ) v 0 Gi i L cacbanhxe GM m=× ii = ∑    ). (4) ⇒ 22 1 0 Nb Th Na=−− Giải hệ phương trình (2), (3) và (4) : Từ (2), suy ra : 12 - NmgN= 26 Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng T (3), suy ra : 2 T R n = Thay vo (4), suy ra : 22 0 h Nb Na mga R n =+ 2 1 h Nmga ab Rn =+ + iu kin (1) c vit nh sau : 11 22 () () TfN a TfN b Do T 1 = 0 (a) luụn tha món cỏc bỏnh xe khụng trt trờn mt t, phi cú : 2 TfN 2 hay : 2 2 T f N (lu ý rng lc hng theo phng chiu trc Ox) Vi : 2 T R n = v : 2 1 h Nmga ab Rn =+ + nờn : 2 2 ()Tab f NRnmgah + = + Bng bin thiờn ca 2 2 T N theo : 2 2 T N 1 f 2 f g h ab h + 0 0 2 2 T N ab h + th biu din s bin thiờn ca 2 2 T N theo nh trờn hỡnh v. T ú suy ra : + Khi )( 2 ff h ba f = + < : cỏc bỏnh xe khụng trt trờn mt t, phi cú 2 2 T f N tc l phi cú : < gh vi : () gh R nmgaf ab fh = + . + Khi )( 1 ff h ba f = + > : Ta luụn luụn cú 2 2 T f N Cỏc bỏnh xe luụn luụn khụng trt trờn mt t dự bng bao nhiờu i na. @ Aùp duỷng 4: (Trang 104) Taỷo chuyóứn õọỹng cuớa thanh bũng cam: Xeùt mọỹt cồ cỏỳu duỡng õóứ bióỳn õọứi chuyóứn õọỹng quay thaỡnh chuyóứn õọỹng tởnh tióỳn qua laỷi. 27 r I x y g O C t = Cam Giaù cọỳ õởnh Cỏửn Mọỹt thanh hỗnh truỷ (goỹi laỡ cỏửn), khọỳi lổồỹng m coù thóứ trổồỹt khọng ma saùt theo phổồng thúng õổùng trong mọỹt khung cọỳ õởnh (goỹi laỡ giaù). Chuyóứn õọỹng cuớa cỏửn õổồỹc õióửu khióứn bồới mọỹt baùnh hỗnh troỡn (goỹi laỡ cam) coù baùn kờnh laỡ R (R nhoớ hồn baùn kờnh r cuớa cỏửn), coù tỏm laỡ C. Cam quay vồùi vỏỷn tọỳc goùc khọng õọứi xung quanh Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng mäüt trủc nàòm ngang lãûch tám cäú âënh, âi qua âiãøm O ca cam v cạch tám C mäüt khong l a. Âiãøm O nàòm trãn trủc thàóng âỉïng ca cáưn. Hãû säú ma sạt giỉỵa cam v cáưn l f. Tênh cäng ca cạc tạc âäüng cå tiãúp xục giỉỵa cam v cáưn trong mäüt vng quay ca cam theo m, ω , R, a, f v gia täúc trng trỉåìng g. Bi gii : Cơ cấu cam trong bài tập này có tên gọi là cơ cấu cam cần đẩy đáy bằng, được dùng để đóng mở soupape xả và nạp trong động cơ đốt trong. Tác động cơ tiếp xúc từ cam lên cần : I O  C t θ ω = 1 N  N  g  x y . xy R Te Ne=+   y và từ cần lên cam . x R Te Ne−=− −    với N và T là các giá trị đại số. ( Ghi chú : Cam và cần tiếp xúc theo đường, đồng thời đây là bài tốn phẳng bỏ qua ma sát xoay và ma sát lăn). ⇒ R  Tổng cơng suất của các lực và R −  tác dụng tại điểm tiếp xúc I : g .vPT=   với là vận tốc trượt của cần trên cam. g can cam vv(I)v(I)=−   Tìm : g v  Cam quay trục Oy cố định ⇒ cam v(I ) z eOI θ = ×     Do : θ ω =  , ⇒ cos sin 0 xa t OI y a t R ω ω = ⎧ ⎪ == + ⎨ ⎪ ⎩  cam (sin ) v(I ) cos 0 atR at ωω ωω − + ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎩  Cần chuyển động tịnh tiến theo phương Oy ⇒ Vận tốc tại mọi điểm trên cần đều bằng nhau và bằng : can v(I )  can 0 v(I ) cos 0 ya t ω ω ⎧ ⎪ == ⎨ ⎪ ⎩   ⇒ gcan cam (sin ) v v(I ) v(I ) 0 0 atR ωω + ⎧ ⎪ =−= ⎨ ⎪ ⎩   Tìm T :  Giữa cam và cần có trượt ⇒ TfN= (1) Áp dụng định lý về động lượng đối với cần ( () ext i i dP ma G F dt == ∑    ) ⇒ (bỏ qua ma sát giữa cần và giá). ()ma G mg T N=++   Chiếu lên trục Oy : my mg N=− +  ⇒ Nmgmy = +  ⇒ 2 (sinNmg a t) ω ω =− Giả sử cam và cần ln tiếp xúc nhau trong suốt q trình chuyển động : 0N ≥ ⇒ 2 ga ω ≥⇒ 2 (sinNNmga t) ω ω == − . ( Ghi chú : Để cam và cần ln ln tiếp xúc với nhau trong q trình chuyển động, trong thực tế người ta dùng lực phục hồi của lò xo).  Lực ma sát T ngược chiều với g v  . Thế mà g v(sin ) x atRe ω ω = +   với a < R nên (sin )R0at ω ω +> ⇒ ngược chiều với e g v  x  ⇒ T  ngược chiều với x e  ⇒ TT −= . Biểu thức (1) trở thành : 2 (sin)TfNfmg a t ω ω −= = − ⇒ ) 2 .(sin xx TTe fmg a te ωω ==− −     Tóm lại: 2 (sin ) ( sin )PatRfmga t ω ωω =− + − ω Cơng của các tác động cơ tiếp xúc từ cam lên cần và từ cần lên cam, trong 1 vòng quay của cam : 28 Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng 22 2 00 (sin )( sin )W Pdt fm a t R g a t dt ππ ωω ωω ωω ==− +− ∫∫ ⇒ 22 (2 )WfmgRa π ω =− − ( Ghi chú : Bởi vì : 2 ga ω ≥ và a > R ⇒ 222 gR a R a ω ω ≥>⇒ W < 0 : Điều này phù hợp với chứng minh ở phần lý thuyết : Tổng cơng của các tác động cơ tiếp xúc từ cam lên cần và từ cần lên cam ln ln nhỏ hơn hay bằng 0). BI TÁÛP CỌ GII @ Bi 1: (Trang 108): Hçnh trủ trãn màût phàóng nghiãng: Mäüt hçnh trủ, âäưng cháút, khäúi tám C, bạn kênh R, momen quạn tênh âäúi våïi trủc ca nọ l 2 R 1 . 2 Jm= , âỉåüc âàût khäng cọ váûn täúc âáưu trãn mäüt màût phàóng nghiãng mäüt gọc α so våïi màût phàóng nàòm ngang, trong hãû quy chiãúu trại âáút (R) xem l Galilẹe. Trủc ca hçnh trủ l nàòm ngang. C g  i z x α ⊕ ⊕ O y Gi f l hãû säú ma sạt trỉåüt giỉỵa hçnh trủ v màût phàóng nghiãng. 1) Xạc âënh gia täúc x  ca hçnh trủ. Chỉïng minh ràòng hiãûn tỉåüng trỉåüt cọ xy ra hay khäng ty theo giạ trë ca gọc α so våïi mäüt giạ trë α  no âọ m ta cáưn xạc âënh. 2) Sỉí dủng âënh l vãư âäü biãún thiãn âäüng nàng, hy viãút biãøu thỉïc cán bàòng nàng lỉåüng ca hçnh trủ giỉỵa cạc thåìi âiãøm 0 v t. Xẹt c hai trỉåìng håüp α > α 0 v α < α 0 . Bài giải : Câu 1 : Lực tác dụng lên hình trụ gồm : Trọng lực mg  ; phản lực R  từ mặt phẳng nghiêng tác dụng lên hình trụ : . x RTeNe=− +  z   với T > 0 và N > 0. ( Ghi chú : Bỏ qua momen ma sát lăn và momen ma sát xoay. Áp lực N ln hướng theo chiều Oz, hình trụ có xu hướng trượt xuống trên mặt phẳng nghiêng nên lực ma sát T hướng ngược chiều trục Ox). Áp dụng định lý về động lượng đối với hình trụ ( ext () i i dP ma G F dt == ∑    ) ⇒ .( xz mg T e Ne ma C−+=    ) Chiếu lên Ox và Oy : sin 0cos mx mg T mg N α α =− ⎧ ⎨ =− + ⎩  (1) Áp dụng định lý về momen động lượng của hình trụ đối với khối tâm C trong hệ quy chiếu khối tâm R* : ext /* * ( C Ci i R dL MF dt ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ ∑ )  y  với : * // // ** *. CC C C LL L L Je θ ⊥ =+==     ( Ghi chú : // *. CC LJJ y e θ =Ω=      và *0 C L ⊥ =  do vật rắn là vật rắn phẳng nằm trpng mặt phẳng qua G và vng góc với trục Gz). ⇒ 2 1 . 2 J mR T R θθ ==   (2) Vận tốc trượt của hình trụ trên mặt phẳng nghiêng : 29 Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông vv( )v() ghinhtru I CCI×==+Ω     ⇒ I vv(). gy CeC θ = +×      ⇒ v.() g xy z x x x eeRexeRe θ θ =+ ×− =−       ⇒ v( ) g x x Re θ =−     a) Trường hợp hình trụ lăn không trượt : Hình trụ lăn không trượt khi : v0 g =  ⇒ 0xR θ − =   ⇒ x R θ =   (3) Từ (1), (2) và (3), suy ra : 2 sin 3 xg α =  Mặc khác, để hình trụ lăn không trượt, phải có : TfN≤ hay : TfN ≤ (4) Từ (2) ⇒ 11 22 Tm ⇒ R m θ ==   x 1 sin 3 Tmg α = Từ (1) α cosmgN =⇒ Bất đẳng thức (4) trở thành : αα cossin 3 1 fNmgmg ≤ ⇒ 0 3tg f tg α α ≤ = Hình trụ lăn không trượt trên mặt phẳng nghiêng nếu như 0 α α ≤ , với ftg 3 0 = α y x C g  i z α ⊕ ⊕ N  T  ()aG  I O b) Trường hợp hình trụ vừa lăn vừa trượt : Nếu 0 α α > hình trụ sẽ vừa lăn vừa trượt trên mặt phẳng nghiêng v0 g ≠  . Khi đó α cosfmgfNT == Thay T vào (1) ⇒ (sin cos )xg f α α = −  Thay T vào (2) ⇒ 2cosfg R α θ =  Câu 2: Độ biến thiên động năng của hình trụ trong khoảng thời gian từ 0 đến t: 22 11 () (0) () 22 KK K E tE Et mx J θ −==+   Công của ngoại lực tác động lên hình trụ trong khoảng thời gian từ 0 đến t: g 00 sin R.v(I ) sin T.v tt hinhtru W mgx dt mgx dt αα =+ =+ ∫∫   ( Ghi chú : sinmgx α là công của trọng lực; 0 R.v(I ) t hinhtru dt ∫   là công của lực lực tác dụng lên hình trụ tại chỗ tiếp xúc) ¾ Khi 0 ,v 0 g α α <= ⇒ α sinmgxW = Theo định lý về động năng : 0 t K noiluc ngoailuc EW W∆= + với : W 0 noiluc = ; WW ngoailuc = ⇒ 22 11 sin 22 mx J mgx θ α +=   222 111 sin 222 mx mR mgx θ α ⇒+ =   30 Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng Với θ   Rx = ⇒ 22 11 sin 24 mx mx mgx α +=  ⇒ 2 3 sin 4 mx mgx α =  (4) ( Ghi chú : Đạo hàm hai vế của biểu thức (4), ta tìm lại được gia tốc của hình trụ : 3 sin 2 mxx mgx α =   ⇒ α sin 2 3 gx =  ) ¾ Khi 0 ,v g x R α αθ >=−   Mà : (sin cos )xg f α α =−  ⇒ (sin cos ) x gft α α =−  và : 2cosfg R α θ =  ⇒ 2cosfg t R α θ =  (chú ý điều kiện ban đầu: ) 0;00 ==⇒= θ   xt Suy ra : v(sin cos)2cos g gftfgt α αα =− − ⇒ v(sin3cos g gf)t α α =− Từ đó : W 00 sin v sin cos . (sin 3 cos ) tt g mgx T dt mgx fmg g f tdt ααααα =−=− − ∫∫ ⇒ 22 1 sin cos (sin 3 cos ) 2 Wmgx fmg f t α αα α =− − Theo định lý về động năng : 0 t K noiluc ngoailuc EW W∆= + ⇒ 22 2 11 1 sin cos (sin 3 cos ) 22 2 mx J mgx fmg f t 2 θ ααα += − −   α @ Bi 2: (Trang 110): Làn khäng trỉåüt ca âéa hçnh bạn nguût trãn màût phàóng: Xẹt mäüt âéa bạn nguût (D) âäưng cháút, tám C, khäúi tám G, bạn kênh R, khäúi lỉåüng m. Hãû quy chiãúu trại âáút (O; x,y,z) âỉåüc xem nhỉ l Galilẹe. Táút c âãưu nàòm trong màût phàóng thàóng âỉïng (Oxy). Âéa (D) làn khäng trỉåüt trãn màût phàóng nàòm ngang (Oxz). Gi I l âiãøm tiãúp xục giỉỵa màût âáút v âéa (D). Vë trê ca âéa (D) âỉåüc xạc âënh bàòng honh âäü x ca tám C v gọc   . Cho CG = b = 4R/3π. Momen quạn tênh ca âéa (D) âäúi våïi trủc qua tám C v vng gọc våïi âéa (D) l: (,CI CG α = y O C G I g  i α x )   2 1 . 2 JmR= . Hy xạc âënh phỉång trçnh chuøn âäüng ca âéa (D) bàòng nhiãưu phỉång phạp khạc nhau. 1) Cạc quan hãû âäüng hc: a) Thiãút láûp quan hãû giỉỵa x  v α  mä t chuøn âäüng làn khäng trỉåüt. b) Biãøu diãùn cạc thnh pháưn ca váûn täúc v gia täúc khäúi tám G theo b, α v cạc âảo hm ca chụng. 2) Phỉång phạp thỉï nháút: Phỉång phạp nàng lỉåüng: a) Tênh âäüng nàng E K ca âéa D theo J, m , b v α  . b) Tênh thãú nàng trng trỉåìng ca âéa (D). c) Suy ra mäüt ngun hm ca chuøn âäüng; sau âọ thiãút láûp phỉång trçnh vi phán báûc hai âäúi våïi α (âỉa vo phỉång trçnh cạc thäng säú sau : J, R, b v m). 3) Phỉång phạp thỉï hai: Phỉång phạp cäø âiãøn: a) Viãút âënh l täøng håüp âäüng lỉûc (rẹsultante dynamique) (hay âënh l vãư âäüng lỉåüng) 31 [...]... : N1 = N1ey ; T1 = T1ex N 2 = N 2 ey ; T2 = −T2 ex với : N1 , N 2 > 0; T1 , T2 > 0 B P G 2 M A C Để người dùng thang này mà khơng bị nguy hiểm (hai chân thang khơng bị trượt trên mặt đất) : ⎧ T1 ≤ fN1 (1) ⎨ ⎩T2 ≤ fN 2 ⊕ y P g B G N1 A 2 M T1 N2 T2 C x x 35 Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) Cơ hệ người và thang ở trạng thái cân bằng, ta có : ⎧ N1 + N 2 = mg ∑ Fi e = 0 ⇒ ⎨T = T i 1 2 ∑M... v mg N h 2 chiãưu våïi trủc Ox) T1 Xạc âënh khong cạch d m váût ràõn chảy O x âỉåüc cho âãún khi dỉìng lải A B Bài giải : x Gọi R1 = N1 + T1 = N1ey − T1ex và R2 = N 2 e y là các lực tác dụng lên vật rắn tại điểm tiếp xúc A và B (Với T1, N1, N2 > 0) Áp dụng định lý về động lượng: ⎧mx = −T1 dP = ma (G ) = ∑ Fi e ⇒ ma (G ) = N1 + N 2 + T1 + mg ⇒ ⎨ dt i ⎩0 = N1 + N 2 − mg (1) ⎧mx = −T1 = − fN1 Do có trượt... ( aα 2 er − aα eα ) ⎤ ⇒ ⎣ ⎦ dt dt 2 e ⇒ J α ez + ma α ez = ∑ M O ( Fi ) i Chiếu lên Oz: J α + ma 2 = mga cos α ⇒ ( J + ma 2 )α = mga cos α ⇒ α = ω 2 cos α mga mga g 3m với : ω 2 = ⇒ 2 = = 2 1 a M + 3m J + ma Ma 2 + ma 2 3 α : αα = αω 2 cos α ⇒ t t 0 Nhân hai vế của (4) với (4) 0 2 ∫ αα dt = ∫ αω cos α dt ⇒ 1 2 α = ω 2 sin α ⇒ α 2 = 2 2 sin α 2 Thay giá trị của α và α vào (2) và (3) : ⎧ ma .2 2 sin... định 1 với vận tốc góc bằng θ trong hệ quy chiếu R : LO = J Oθ ez với J O = J + ma 2 = m.b 2 + ma 2 ) 3 1 2 Chiếu lên trục Oz : θ (ma 2 + mb ) = mga cos θ ` (4) 3 1 ⇒ θθ (ma 2 + mb 2 ) = mgaθ cos θ 3 1 2 (ma 2 + mb 2 ) = mga sin θ (5) Tích phân hai vế theo t từ 0 đến t : 2 3 Rút θ và θ từ (4) và (5), thay vào (2) và (3) suy ra : 9a 2 + b 2 b2 và N = mg cos θ 2 T = mg sin θ 2 3a + b 2 3a + b 2 Điều... 2 ∑M và : A ( Fi e ) = 0 ⇒ mgx sin α = N 2 2b.sin α PFIEV Â nàơng (2) (3) i x 2b − x mg và N1 = mg 2b 2b Thanh BC cân bằng : Từ (2) và (3) : N 2 = ∑M i B ( Fi e ) = 0 ⇒ N 2 b.sin α = T2b cos α ⇒ T1 = T2 = N 2tgα = x mgtgα 2b ⎧ ⎛ 2b ⎞ ⎪tgα ≤ f ⎜ − 1 Điều kiện (1) trở thành : ⎨ ⎝ x ⎠ ⎪ tgα ≤ f ⎩ 2b Thế mà : x ≤ b ⇒ 1 ≥ 1 x tgα ≤ f Do đó chỉ cần điều kiện thứ 2 : (Ghi chú : Do khơng có ma sát tại khớp... mR 2 − 2mRb cos α )α 2 ⇒ 2 (Ghi chú: Có thể tính EK như sau: Do đĩa lăn khơng trượt trên mặt đất tại điểm I, nên có thể xem như đĩa chuyển động quay tức thời quanh trục Iz với vận tốc góc bằng α ⇒ Động năng 1 của đĩa : E K = J I α 2 với : J I = J G + mGI 2 = J G + m( R 2 + b 2 − 2 Rb cos α ) 2 ⇒ J I = J − mb 2 + m( R 2 + b 2 − 2 Rb cos α ) ⇒ J I = J + m( R 2 − 2 Rb cos α ) 1 ⇒ EK = ( J + mR 2 − 2mRb... α 2b sin α ⎪ ⇒ a (G ) = ⎨α b sin α + α 2b cos α ⎪0 ⎩ y ⊕ g N C i G T O x Câu 2: I mg a) Động năng EK của đĩa (theo định lý Koenig) : x 1 1 1 α 2 2 2 E K = m v (G ) + E K * = m v ( G ) + J G α 2 2 2 (Ghi chú : Trong hệ quy chiếu (R*), đĩa (D) quay xung quanh trục cố định Gz) Momen qn tính của đĩa (D) đối với trục Gz (áp dụng định lý Huyghens) : 1 J G = J − mb 2 ⇒ J G = mR 2 − mb 2 2 1 EK = ( J + mR 2. .. v chiãúu lãn trủc Az : J Aα = mgR sin α (3) ⊕ 1 3 Trong âọ : J A = mR 2 + J = mR 2 + mR 2 = mR 2 N 2 2 2 T Tỉì (3) suy ra : mRα = mg sin α 3 α• C• 1 C Thay vo (2) , suy ra : T = mg sin α A 3 A 3 Tỉì (3) suy ra : mR 2 α = mgR sin α α mg 2 Têch phán hai vãú theo α tỉì α = 0 âãún α : 3 4 mR 2 2 = − mgR (cos α − 1) ⇒ mRα 2 = − mg (cos α − 1) 4 3 1 Thay vo (1) : N = mg (7 cos α − 4) 3 Hçnh trủ làn khäng... fN1 ) − bN1 + b(− N1 + mg ) = 0 ⇒ N1 = mgb 2b + hf fmgb fgb ⇒x=− = −a (với a là hằng số và a > 0 ) 2b + hf 2b + hf Tích phân hai vế từ thời điểm đầu (ứng với vận tốc v0, tọa độ x0 của khối tâm G) đến thời 2 điểm t (ứng với vận tốc v(G), tọa độ x của khối tâm G), ta có : v 2 (G ) − v0 = −2a ( x − x0 ) Thay vào (1) ⇒ mx = − 2 2 v0 v 0 2b + hf = Khi vật rắn dừng lại : v (G ) = 0 và x − x0 = d ⇒ d = 2a... −T1 = − fN1 Do có trượt tại A nên : T1 = fN1 ⇒ ⎨ (2) ⎩0 = N1 + N 2 − mg Áp dụng định lý về momen động lượng đối với khối tâm G trong hệ quy chiếu khối tâm : ⎛ dLG * ⎞ * e ⎜ ⎟ = ∑ M G ( Fi ) với LG = 0 (bởi vì vật rắn là cố định trong hệ quy chiếu khối tâm) i ⎝ dt ⎠ / R* ⇒ 0 = −hT1 − bN1 + bN 2 (3) Từ (1) và (3) ⇒ −h( fN1 ) − bN1 + bN 2 = 0 (4) Từ (2) ⇒ N 2 = − N1 + mg 36 Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ . WW ngoailuc = ⇒ 22 11 sin 22 mx J mgx θ α +=   22 2 11 1 sin 22 2 mx mR mgx θ α ⇒+ =   30 Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng Với θ   Rx = ⇒ 22 11 sin 24 mx mx mgx α +=  ⇒. Động năng của đĩa : 2 1 2 KI E J α =  với : 22 2 (2co IG G JJmGIJmRb Rbs) α =+ =+ +− ⇒ 22 2 (2cos) I JJmbmRb Rb α =− + + − ) ⇒ 2 (2cos I JJmR Rb α =+ − ⇒ 22 1 (2cos 2 K EJmRmRb ) α α =+−  ) + E P = hng s 22 1 (2cos)(cos) 2 J mR mRb mg R b hangso + = Bng cỏch o hm hai v, suy ra : 22 11 (2cos) .2. 2sin sin. 22 JmR mRb mRb mgb + + = 0 0 22 (2cos) sinsinJmR mRb