Truyền nhiệt CII Dẫn nhiệt ổn định một chiều

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẪN NHIỆT Ta lần lượt khảo sát trong ba hệ tọa độ tương ứng với các trường hợp trong vách phẳng, trong vật hình trụ và vật hình cầu.. TRONG HỆ TỌA ĐỘ VUÔNG GÓC Xét

Chương II

Friday, September 17, 2010 DẪN NHIỆT

ỔN ĐỊNH MỘT CHIỀU

A PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẪN NHIỆT

Ta lần lượt khảo sát trong ba hệ tọa độ tương ứng với các trường hợp trong vách phẳng, trong vật hình trụ và vật

hình cầu

I TRONG HỆ TỌA ĐỘ VUÔNG GÓC

Xét trường hợp dẫn nhiệt qua vách phẳng rộng so với chiều dày, mật độ dòng nhiệt đồng đều

→ Nhiệt độ chỉ thay đổi theo phương vuông góc vách

→ Mặt đẳng nhiệt song song bề mặt vách Xét phần tử vách như sau

→ Chọn trục tọa độ vuông góc mặt đẳng nhiệt

→ Phương trình bảo toàn năng lượng cho phần tử khảo sát như sau

tạiradẫn

lượng

nhiệtx

tạivào

dẫn

lượngnhiệt

∆

∆

=+

x x

EQ

∆ + τ τ

τ

∆ + τ

τ τ

∆ + τ

∆

xFqVq

Q

tt

xFCt

tCm

EE

E

v v

=

∆

⋅

⋅+

∆ +

tt

xFCx

FqQ

Qx x x v

Chia phương trình trên cho F ∆⋅ x, ta được

1

v x

=+

→

tFx

x

Qx

QQ

lim x x x x

0 x

Với diện tích F = const, phương trình 2-3 được viết lại

=+

II TRONG HỆ TỌA ĐỘ TRỤ

Xét trường hợp dẫn nhiệt qua vách trụ có chiều dài lớn

so với bán kính, mật độ dòng nhiệt đồng đều

→ Nhiệt độ chỉ thay đổi theo phương bán kính

→ Mặt đẳng nhiệt là những mặt trụ đồng tâm

Xét phần tử vách như sau

→ Chọn trục tọa độ trùng với trục ống

→ Phương trình bảo toàn năng lượng cho phần tử khảo

sát như sau

thiên

biếnV

trongsinh

phát

lượngnhiệt

rr

tạiradẫn

lượng

nhiệtr

tạivào

dẫn

lượngnhiệt

τ

∆

∆

=+

r r

EQ

∆ + τ τ

τ

∆ + τ

τ τ

∆ + τ

∆

rFqVq

Q

tt

rFCt

tCm

EE

E

v v

V V

Thế vào phương trình 2-5, ta có:

=

∆

⋅

⋅+

∆ +

tt

rFCr

FqQ

Q

QF

1

v r

=+

III TRONG HỆ TỌA ĐỘ CẦU

Xét trường hợp dẫn nhiệt qua vách cầu, mật độ dòng

nhiệt đồng đều trên bề mặt

→ Nhiệt độ chỉ thay đổi theo phương bán kính

→ Mặt đẳng nhiệt là những mặt cầu đồng tâm

Xét phần tử vách như sau

Thực hiện tương tự như phần vách trụ, với lưu ý diện tích

2r4

F = π⋅ thế vào 2-7, phương trình dẫn nhiệt

=+

rr

1

v 2

IV TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT

CHO TRƯỜNG MỘT CHIỀU

Từ các phương trình 2-4, 2-8 và 2-9, ta có dạng tổng quát cho trường một chiều như sau:

=+

rr

0n

ii Tọa độ trụ

⇒ n = 1

iii Tọa độ cầu

⇒ n = 2

Trường hợp hệ số dẫn nhiệt λ = const

tr

rr

dtr

dr

dr

10

tr

rr

10

n

iii Trường hợp dẫn nhiệt ổn định

không có nguồn nhiệt bên trong

0dr

dtr

dr

d0

∂

∂

(2-14)

B ĐIỀU KIỆN BIÊN - ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU

Giải phương trình vi phân ta được nghiệm tổng quát, đối với từng trường hợp cụ thể sẽ có tương ứng điều kiện biên, kết hợp lại sẽ xác định được phương trình riêng tương ứng

I ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU

Là hàm phân bố nhiệt độ tại thời điểm bắt đầu khảo sát, tổng quát

(x,y,z,0) (t x,y,z)

II ĐIỀU KIỆN BIÊN THEO NHIỆT ĐỘ

Nhiệt độ bề mặt rất dễ xác định, do vậy điều kiện biên nhiệt có thể cho theo nhiệt độ bề mặt

Ví dụ cho trường hợp vách phẳng có chiều dày δ

( ) ( )







=τδ

=τ

2

1t,

t

t,

0t

(2-16)

III ĐIỀU KIỆN BIÊN MẬT ĐỘ DÒNG NHIỆT

Khi biết đầy đủ thông tin về tương tác năng lượng ở bề

mặt → xác định được mật độ dòng nhiệt → được sử dụng

làm điều kiện biên

−

=

xtrívịmặtbề

tại

đổitrao

nhiệt

dòngx

t

Lưu ý: Chiều hướng dòng nhiệt dẫn trong vách và dòng

nhiệt trên bề mặt

Điều kiện biên:

( )

0

qx

,0

Trường hợp bề mặt được cách nhiệt tốt

x

,0

∂

⋅λ

x

,0

∂

τδ

IV ĐIỀU KIỆN BIÊN ĐỐI LƯU

trên

lưuđối

lượng

nhiệtmặt

bềđến

dẫnlượng

x

,0

t

1 f

∂

⋅λ

Ví dụ

V ĐIỀU KIỆN BIÊN BỨC XẠ

trên

xạbứclượng

nhiệtmặt

bềđến

dẫnlượng

x

,0

1 , surr

và

2 , surr

4

x

,0

Ví dụ

VI ĐIỀU KIỆN TIẾP XÚC

Trường hợp tiếp xúc lý tưởng giữa hai vách

tx

,x

B o

VII ĐIỀU KIỆN BIÊN SUY RỘNG

trêncách

cáccả

tấtbằng

đổitrao

lượngnhiệt

tổngmặt

bềđến

dẫnlượng

nhiệt

C MỘT SỐ VÍ DỤ

D DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH MỘT CHIỀU

KHÔNG CÓ NGUỒN NHIỆT BÊN TRONG

I PHƯƠNG TRÌNH DẪN NHIỆT

=+

rr

1

v

n n

Với điều kiện

∂

∂

=0t

0

qv

Ta được

0r

tr

tr

0n

ii Tọa độ trụ

1 Vách Phẳng Một Lớp

Xét vách phẳng đồng chất, đẳng hướng, mật độ dòng

nhiệt đồng đều trên bề mặt

Chiều dày δ, m

Hệ số dẫn nhiệt λ, W/(m.K)

Nhiệt độ bề mặt hai bên vách

được duy trì không đổi t1, t2

Vách có chiều rộng rất lớn so

với chiều dày, như vậy nhiệt độ

chỉ biến thiên theo phương

vuông gốc với mặt phẳng

→ dẫn nhiệt ổn định một chiều

Phương trình 2-24 được viết lại như sau:

0dx

t

d2

=

=

2 x

1 0

x

tt

Thế điều kiện biên 2-26, hằng số C1, C2 tìm từ hệ sau







+δ

2

2 1

1

CC

t

C0C

−

=1 2

1 2 1

tC

tt

C

Thế vào phương trình trường nhiệt độ

xttt

tt

F

R

⋅λ

δ

=

λ Nhiệt trở dẫn nhiệt qua1 lớp vách phẳng,

WK

Hình dưới cho ta thấy sự tương đương của các đại lượng trong hai công thức:

Phương trình 2-27 cũng có thể viết lại:

x

qt

Nhận xét: Khi hệ số dẫn nhiệt là hằng số, phân bố nhiệt

độ trong vách là hàm tuyến tính

Do diện tích các mặt đều giống nhau, nhiệt

2 Dẫn Nhiệt Qua Vách Phẳng Nhiều Lớp

Giả sử ta có vách phẳng gồm 3 lớp như hình bên dưới

Ta tính cho một đơn vị diện tích, các vách tiếp xúc lý tưởng

Mật độ dòng nhiệt dẫn qua các lớp:

2

3 2 2

1

2 1 1

R

ttq

R

ttq

R

ttq

Ở chế độ dẫn nhiệt ổn định, dòng nhiệt qua các bề mặt

đẳng nhiệt bất kỳ của các vách phẳng phải bằng nhau:

λq

1δ

λ

qλ

q

λq

2

2 2

R

λ

δ

=1

1 1

F 3

2

qhay

0x

1

4 1 3

4 3 2

3 2 1

2 1

3 2

4 2 2

1

3 1 1

2 1

RR

R

t

tR

t

tR

t

tR

tt

RR

t

tR

R

t

tR

ttq

++

−

=

−

=λ

(2-33) Mật độ dòng nhiệt:

3

3 2

2 1

1

4 1 3

2 1

4 1 F

t

tR

RR

ttq

λ

δ+λ

δ+λ

δ −

=+

1 F

1 1

3 Trao Đổi Nhiệt Giữa Hai Lưu Chất Qua Vách Phẳng

Trường hợp này có trao đổi nhiệt đối lưu của lưu chất

Ta viết phương trình tính nhiệt lượng trao đổi đối lưu

theo Newton đồng dạng định luật Ohm như sau:

=

R

t

t)F(

1

tt

W,tt

FQ

f w f

⋅α

=

α Nhiệt trở đối lưu của vách phẳng, K W

Xét hai lưu chất trao đổi nhiệt qua vách phẳng 2 lớp như

hình sau:

Hệ phương trình trao đổi nhiệt

=

−

=

⋅λδ

=

α α

λ λ

λ λ

α α

2

2 f 3 2

2 f 3 2

f 3 2

2

2

3 2 2

2

3 2 3

2 2

2 2

1

2 1 1

1

2 1 2

1 1

1 1

1

1 1 f 1

1 1 f 1

1 f 1

1

R

t

t)F(

1

ttt

tFQ

R

t

t)F(

ttt

tFQ

R

t

t)F(

ttt

tFQ

R

t

t)F(

1

tt

tt

FQ

(2-38)

Trong trường hợp dẫn nhiệt ổn định, ta có

QQ

QQ

Từ sơ đồ mạng nhiệt ta có:

2 2

1 1

2 f 1 f

2

2 f 3 2

3 2 1

2 1 1

1 1 f

2

2 f 3 2

2

2 f 2 2

2 1

2 f 1

2 1

1

3 1 f 1

1

2 1 f 1

1 1 f

RR

RR

tt

R

t

tR

t

tR

t

tR

tt

R

t

tR

R

t

tR

RR

tt

RR

R

t

tR

R

t

tR

tt

Q

α λ

λ α

α λ

λ α

α α

λ α

λ λ

λ λ

α λ

α α

++

−

=+

+

−

=

++

−

=+

Khi tính mật độ dòng nhiệt, có khái niệm hệ số truyền

2 1

1 1

2 f 1 f F

tt

k

mW,1

1 t tF

Qq

δ+λ

δ+α

2 1

1 1

k

α

+λ

δ+λ

δ+α

gọi là hệ số truyền nhiệt qua vách phẳng

Trường hợp vách n lớp

2 i

i 1

k

α

+λ

δ+

1 1

k

1

F 1

f 1

qt

t

qt

t

(2-45)

4 Dẫn Nhiệt Qua Vách Phức Hợp

Trường hợp này vách gồm tổ hợp nhiều vật liệu khác nhau Nhiệt lượng truyền qua các lớp vách:

với tổng nhiệt trở ∑R λ tính tương ứng như mạch điện trở

Ví dụ tính tổng nhiệt trở cho lớp vách phức hợp sau:

5 Nhiệt Trở Tiếp Xúc

(2-47)

III DẪN NHIỆT QUA VÁCH TRỤ

1 Trường Hợp Vách Trụ Một Lớp

Xét vách trụ 1 lớp như hình bên dưới

Nhiệt độ bề mặt vách

phía trong và phía ngoài là

t1 và t2

Phương trình 2-24 được viết lại như sau

0dr

dtrdr

1

1

tr

t

tr

t

(2-49) Tích phân phương trình 2-48 ta được nghiệm:

1

1Cr

lnC

Cdr

1 2

2 1

1 1

Cr

lnC

t

Cr

lnC

2

1 2

1 2

1 2

1 2

1

r

lnr

rln

tt

tC

rrln

tt

1

rrln

rrlnt

r

CLr

2dr

dtF

⋅λ

−

=

⋅

⋅λ

−

=

(2-52)

Có thể tìm nhiệt lượng truyền qua vách trụ như sau

lượngnăng

thiên

biếnvách

radẫn

lượng

nhiệtvách

vào

dẫn

lượngnhiệt

d

dE =τ

→và Qvào = Qra = Qcylinder = const (2-54) Nhiệt dẫn qua cylinder xác định như sau

dr

dtF

∫

⋅π

Phương trình trên có thể viết ở dạng mạng nhiệt trở

cyl

2 1 cylinder R

tt

Với nhiệt trở Rcyl

L2

rrln

2

2 2

1

1 1

q

q 2 r. L

Qq

Lr

2

Qq

>

=

⋅π

=

Để thuận tiện trong tính toán, người ta thường tính nhiệt

( )

λ

⋅π

=

ddln

 Nhiệt trở qua 1 lớp vách trụ ứng với

1m chiều dài ống, (m.K) W

Lưu ý: Trong trường hợp d2 d1 < 2, có thể sử dụng

công thức vách phẳng để tính toán Diện tích vách lấy theo đường kính trung bình

( 2 1 1)2

tb

tbdd

5,0

dd

5,0d

d.LF

−

⋅

=δ

.q

d

qL

=

⋅π

t

tR

ttQ

tb

2 1

2 1

⋅λ

⋅π

2 Dẫn Nhiệt Qua Vách Trụ Nhiều Lớp

Xét vách trụ 3 lớp như hình dưới đây

Ta có phương trình dẫn nhiệt trong trường hợp ổn định

4 3

2

4 1

4 1 4

3 3

2 2

1

4 2 3

1 2

1

dln1

dln1

dln

RR

R

t

tR

t

tR

t

tR

tt

RR

t

tR

R

t

tR

tt

Q

3 2

1 3

2 1

3 2

2 1

1

⋅+

⋅+

⋅

−

=

++

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ

Trường hợp vách trụ có n lớp

Nhiệt lượng truyền qua vách trụ n lớp:

−

⋅

⋅π

= n

1

1 i i

1 n 1

d

dln1

ttL2

⋅

⋅π

1 1

dln

1L

2

Qt

dL

1

tt

3 Trao Đổi Nhiệt Giữa Hai Lưu Chất Qua Vách Trụ

Ta xét trường hợp trao đổi nhiệt đối lưu ở vách trụ

W

,R

t

t)rL.2(1

tt

W,tt

Lr

2

W,tt

FQ

f w f

w

f w

f w

α

α

−

=α

⋅

⋅π

−

=

−

⋅α

⋅

⋅π

=

−

⋅α

Từ sơ đồ mạng nhiệt trở ta có

r

1r

r

lnr

1 2 L t t

RR

R

t

tR

t

tR

t

tR

tt

RR

t

tR

R

t

tR

tt

Q

2 2

1 2 1

1

2 f 1 f

2 1

2 f 1 f 2

2 f 2 2

1 1

1 1 f

2

2 f 1 1

2 1 f 1

1 1 f

α

⋅

+λ

+α

⋅

−

⋅

⋅π

=

++

α α

λ α

α λ

λ α

1r

r

lnr

1 2 t tL

Qq

2 f 1 f

2 2

1 2 1

1

2 f 1 f

+α

⋅

−

⋅π

1 2 1

1r

r

lnr

+α

⋅

π

=

Gọi là hệ số truyền nhiệt của vách trụ 1 lớp, W (m.K)

Trường hợp vách n lớp

2 2

n

1

i 1 i 1

1

cyl

r

1r

r

lnr

1

2k

α

⋅

+λ

+α

gọi là hệ số truyền nhiệt của vách trụ n lớp

Nhiệt lượng trao đổi với vách trụ có chiều dài L

(tf1 tf2)

Lkq

⋅

−

=α

⋅π

1 k

1 1

1

f 1

1

1 f 1

rr

lnL

2

Qt

t

r

2

1q

tr

2

1L

Qt

(2-71)

IV DẪN NHIỆT QUA VÁCH CẦU

1 Trường Hợp Vách Cầu Một Lớp

Xét vách cầu 1 lớp như hình bên dưới

Phương trình 2-24 được viết lại như sau:

0dr

dtr

1 1

tr

t

tr

t

(2-73) Tích phân phương trình 2-72 ta được nghiệm:

2 1

21Cr

Ct

r

Cdr

Thế điều kiện biên 2-73, hằng số C1, C2 tìm từ hệ sau

1 2

2 1

1 1

Cr

Ct

Cr

Ct

1 1 2 2 2

2

1 1 2

1 2 1

rr

trt

rC

t

trr

rrC

Thế vào phương trình trường nhiệt độ

1 2

1 1 2 2 2

1 1

2

1

2

rr

trt

rr

t

tr

r

rrr

ttrr4

r

Cr

4dr

dtFQ

1 2

2 1 1 2

21

2 sphere

⋅π

=

⋅π

⋅λ

−

=

⋅

⋅λ

lượngnăng

thiên

biếnvách

radẫn

lượng

nhiệtvách

vào

dẫn

lượngnhiệt

d

dE =τ

→

dtF

Q

(2-79)

Ta được cùng kết quả như phương trình 2-76

1 2

2 1

1 2

ttrr4

⋅π

Phương trình trên có thể viết ở dạng mạng nhiệt trở

sph

2 1

tt

Với nhiệt trở Rsph

1 2

1 2

rrR

⋅

⋅λ

⋅π

−

Lưu ý: Nhiệt lượng truyền qua tại hai bề mặt bằng nhau

2 2

2 2

2 1

1 1

q

Qq

r4

Qq

>

=

⋅π

=

2 Dẫn Nhiệt Qua Vách Cầu Nhiều Lớp

3 4 3

3 4 2

3 2

2 3 1

2 1

1 2

4 1

4 1

rr

r

rr

r

r

rr

r

r

RR

R

ttQ

3 2

1

⋅

⋅λ

−+

⋅

⋅λ

−+

⋅

⋅λ

−

−

⋅π

=

++

−

=

λ λ

λ

(2-82)

Trường hợp vách cầu có n lớp

Nhiệt lượng truyền qua vách trụ n lớp:

−

−

⋅π

= n1

i 1 i

1 n 1

rr

rr

tt4

−

⋅π

1

r

r4

Qt

3 Trao Đổi Nhiệt Giữa Hai Lưu Chất Qua Vách Cầu

Ta xét trường hợp trao đổi nhiệt đối lưu ở vách cầu

W

,R

t

t)r

4(1

tt

W,tt

r

4

W,tt

FQ

f

w

2fw

f w 2

f w

α

α

−

=α

⋅

⋅π

−

=

−

⋅α

⋅π

=

−

⋅α

Trong trường hợp dẫn nhiệt ổn định, ta có

QQ

2

2 2 1 2

1 2 1

2 1

2 f 1 f

2 1

2 f 1 f 2

2 f 2 2

1 1

1 1 f

2

2 f 1 1

2 1 f 1

1 1 f

tt

kr

1r

r

r

rr

RR

R

t

tR

t

tR

t

tR

tt

RR

t

tR

R

t

tR

tt

Q

−

⋅

=α

⋅

+

⋅

⋅λ

−+

α

⋅

−

⋅π

=

++

α α

λ α

α λ

λ α

n 1

i 1 i 1

2 1

sph

r

1r

r

r

rr

1

4k

−+

−

⋅π

−

=

α

⋅π

−

=

k 1

i 1 i 1

1 k

1

2 1

1 f 1

rr

r

r4

Qt

t

r

4

Qt

t

(2-88)

V TRƯỜNG HỢP HỆ SỐ DẪN NHIỆT

PHỤ THUỘC NHIỆT ĐỘ

Hệ số dẫn nhiệt là hàm phụ thuộc nhiệt độ, khi sự thay đổi ít thì có thể bỏ qua và xem như hằng số, là các trường

hợp mà ta đã xét ở trên

Khi sự thay đổi lớn thì phải xét luôn cả sự thay đổi này

Ta xét trường hợp vách phẳng dẫn nhiệt ổn định, không có nguồn nhiệt bên trong, hệ số dẫn nhiệt phụ thuộc nhiệt

lượngnăng

thiên

biếnvách

radẫn

lượng

nhiệtvách

vào

dẫn

lượngnhiệt

Do dẫn nhiệt ổn định nên

constQ

QQ

0d

( )

dx

dtFt

t

dtt

1 2 t

t 1 2

1 2 sphere

2 1

tb 1

2

t

t 1 2 cylinder

t

tr

r

rr4dt

tr

r

rr4Q

t

tr

rln

L2

dt

tr

rln

L2

⋅

−

⋅

⋅π

=

⋅λ

⋅

−

⋅

⋅π

=

−

⋅λ

⋅

⋅π

=

⋅λ

⋅

⋅π

=

∫

∫

Nhận xét: Khi hệ số dẫn nhiệt phụ thuộc nhiệt độ, ta

vẫn sử dụng biểu thức cho trường hợp hệ số dẫn nhiệt hằng số

Thay λ bằng λtb tính theo 2-92 Thông thường hệ số dẫn nhiệt của các vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ theo quan hệ tuyến tính:

(1 t)

o +β⋅λ

=

β Hệ số phụ thuộc đặc tính của vật liệu và được

xác định bằng thực nghiệm

Trường hợp này λtb có giá trị

o t

t 2 1

2

tt1

dt

tt

Ví dụ: Xác định phân bố nhiệt độ trong vách phẳng

Theo định luật Fourier

( )

dx

dtFt

Nếu Q phân bố đồng đều trên diện tích F

→ Thế nhiệt lượng bằng mật độ dòng nhiệt

→ Tách biến và tích phân phương trình trên

( )

xq

dttdx

q

2 1 1

−

⋅λ

11

±β

−