PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN  Lý thuyết  Bài tập  Chƣơng trình MATLAB i PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN MỞ ĐẦU Giáo trình Phương pháp Phần tử hữu hạn (PP PTHH) đƣợc biên soạn dựa cuốn: Giáo trình Phƣơng pháp Phần tử hữa hạn – Lý thuyết, tập chƣơng trình Matlab GS.TS Trần Ích Thịnh, TS Ngô Nhƣ Khoa NXB Khoa học Kỹ thuật 2007 Và kinh nghiệm giảng dạy môn học tên năm gần cho sinh viên khoa Cơ khí, trƣờng Đại học Bách khoa Hà Nội học viên cao học ngành Cơ học Kỹ thuật, trƣờng Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - Đại học Thái Nguyên Nội dung giáo trình có mục đích trang bị cho sinh viên ngành kỹ thuật: Công nghệ chế tạo máy, Kỹ thuật khí, v.v Với nội dung: - Những kiến thức PP PTHH ứng dụng, - Áp dụng phƣơng pháp để giải số toán kỹ thuật khác nhau, - Nâng cao kỹ lập trình Matlab sở thuật toán PTHH Giáo trình biên soạn gồm 11 chƣơng Sau phần giới thiệu phƣơng pháp PTHH, số loại phần tử thực phần tử qui chiếu hay gặp (Chƣơng 1), giáo trình đề cập đến số phép tính ma trận, phƣơng pháp khử Gauss (Chƣơng 2) thuật toán xây dựng ma trận độ cứng véctơ lực nút chung cho kết cấu (Chƣơng 3) Phƣơng pháp Phần tử hữu hạn toán chiều chịu kéo (nén) đƣợc giới thiệu Chƣơng ứng dụng vào tính toán hệ phẳng (Chƣơng 5) Tiếp theo, giáo trình tập trung vào mô tả phần tử hữu hạn tam giác biến dạng số toán phẳng lý thuyết đàn hồi (Chƣơng 6) ứng dụng vào tính toán kết cấu đối xứng trục (Chƣơng 7) Chƣơng giới thiệu phần tử tứ giác kèm theo khái niệm tích phân số Chƣơng mô tả phần tử Hermite toán tính dầm khung Chƣơng 10 trình bày phần tử hữu hạn toán dẫn nhiệt hai chiều Chƣơng 11 xây dựng thuật toán PTHH tính tấm-vỏ chịu uốn ii Cuối chƣơng (từ chƣơng đến chƣơng 11) có chƣơng trình Matlab kèm theo lƣợng tập thích đáng để ngƣời đọc tự kiểm tra kiến thức Rất mong nhận đƣợc góp ý xây dựng bạn đọc iii MỤC LỤC Chƣơng GIỚI THIỆU PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 1 GIỚI THIỆU CHUNG XẤP XỈ BẰNG PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỊNH NGHĨA HÌNH HỌC CÁC PHẦN TỬ HỮU HẠN 3.1 Nút hình học 3.2 Qui tắc chia miền thành phần tử CÁC DẠNG PHẦN TỬ HỮU HẠN PHẦN TỬ QUY CHIẾU, PHẦN TỬ THỰC MỘT SỐ DẠNG PHẦN TỬ QUI CHIẾU LỰC, CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG VÀ ỨNG SUẤT NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU HOÁ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN SƠ ĐỒ TÍNH TOÁN BẰNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Chƣơng ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP KHỬ GAUSSIAN ĐẠI SỐ MA TRẬN 1.1 Véctơ 1.2 Ma trận đơn vị 10 1.3 Phép cộng phép trừ ma trận 10 1.4 Nhân ma trận với số 10 1.5 Nhân hai ma trận 10 1.6 Chuyển vị ma trận 11 1.7 Đạo hàm tích phân ma trận 11 1.8 Định thức ma trận 11 1.9 Nghịch đảo ma trận 12 1.10 Ma trận đƣờng chéo 13 1.11 Ma trận đối xứng 13 1.12 Ma trận tam giác 13 PHÉP KHỬ GAUSS 13 2.1 Mô tả 13 2.2 Giải thuật khử Gauss tổng quát 14 Chƣơng THUẬT TOÁN XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG CHUNG 17 VÀ VÉCTƠ LỰC NÚT CHUNG 17 CÁC VÍ DỤ 17 1.1 Ví dụ 17 1.2 Ví dụ 19 THUẬT TOÁN GHÉP K VÀ F 22 iv 2.1 Nguyên tắc chung 22 2.2 Thuật toán ghép nối phần tử: 23 Chƣơng PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN MỘT CHIỀU 24 MỞ ĐẦU 24 MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN 25 CÁC HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ VÀ HÀM DẠNG 26 THẾ NĂNG TOÀN PHẦN 28 MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ 28 QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT 29 ĐIỀU KIỆN BIÊN, HỆ PHƢƠNG TRÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN 30 VÍ DỤ 33 BÀI TẬP CHƢƠNG 38 Chƣơng PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN HỆ THANH PHẲNG 40 MỞ ĐẦU 40 HỆ TOẠ ĐỘ ĐỊA PHƢƠNG, HỆ TOẠ ĐỘ CHUNG 40 MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ 42 ỨNG SUẤT 42 VÍ DỤ 43 BÀI TẬP CHƢƠNG 44 Chƣơng PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN HAI CHIỀU 48 MỞ ĐẦU 48 1.1 Trƣờng hợp ứng suất phẳng 49 1.2 Trƣờng hợp biến dạng phẳng 49 RỜI RẠC KẾT CẤU HOÁ BẰNG PHẦN TỬ TAM GIÁC 49 BIỂU DIỄN ĐẲNG THAM SỐ 52 THẾ NĂNG 54 MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ TAM GIÁC 55 QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT 55 VÍ DỤ 58 BÀI TẬP CHƢƠNG 62 Chƣơng BÀI TOÁN ĐỐI XỨNG TRỤC CHỊU TẢI TRỌNG ĐỐI XỨNG64 MỞ ĐẦU 64 MÔ TẢ ĐỐI XỨNG TRỤC 64 PHẦN TỬ TAM GIÁC 66 BÀI TẬP CHƢƠNG 74 Chƣơng PHẦN TỬ TỨ GIÁC 77 MỞ ĐẦU 77 v PHẦN TỬ TỨ GIÁC 77 HÀM DẠNG 77 MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ 79 QUI ĐỔI LỰC VỀ NÚT 81 TÍCH PHÂN SỐ 81 TÍNH ỨNG SUẤT 85 VÍ DỤ 85 BÀI TẬP CHƢƠNG 87 Chƣơng PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU DẦM VÀ KHUNG 89 GIỚI THIỆU 89 THẾ NĂNG 89 HÀM DẠNG HERMITE 90 MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ DẦM 91 QUY ĐỔI LỰC NÚT 93 TÍNH MÔMEN UỐN VÀ LỰC CẮT 94 KHUNG PHẲNG 95 VÍ DỤ 97 BÀI TẬP CHƢƠNG 101 Chƣơng 10 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN DẪN NHIỆT 104 GIỚI THIỆU 104 BÀI TOÁN DẪN NHIỆT MỘT CHIỀU 104 2.1 Mô tả toán 104 2.2 Phần tử chiều 104 2.3 Ví dụ 105 BÀI TOÁN DẪN NHIỆT HAI CHIỀU 107 3.1 Phƣơng trình vi phân trình dẫn nhiệt hai chiều 107 3.2 Điều kiện biên 108 3.3 Phần tử tam giác 109 3.4 Xây dựng phiếm hàm 110 3.5 Ví dụ 113 BÀI TẬP CHƢƠNG 10 116 Chƣơng 11 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TẤM - VỎ CHỊU UỐN 118 GIỚI THIỆU 118 LÝ THUYẾT TẤM KIRCHOFF 118 PHẦN TỬ TẤM KIRCHOFF CHỊU UỐN 120 PHẦN TỬ TẤM MINDLIN CHỊU UỐN 126 vi PHẦN TỬ VỎ BÀI TẬP CHƢƠNG 11 TÀI LIỆU THAM KHẢO 129 132 133 vii Chương GIỚI THIỆU PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIỚI THIỆU CHUNG Sự tiến khoa học, kỹ thuật đòi hỏi ngƣời kỹ sƣ thực đề án ngày phức tạp, đắt tiền đòi hỏi độ xác, an toàn cao Phƣơng pháp phần tử hữu hạn (PTHH) phƣơng pháp tổng quát hữu hiệu cho lời giải số nhiều lớp toán kỹ thuật khác Từ việc phân tích trạng thái ứng suất, biến dạng kết cấu khí, chi tiết ô tô, máy bay, tàu thuỷ, khung nhà cao tầng, dầm cầu, v.v, đến toán lý thuyết trƣờng nhƣ: lý thuyết truyền nhiệt, học chất lỏng, thuỷ đàn hồi, khí đàn hồi, điện-từ trƣờng v.v Với trợ giúp ngành Công nghệ thông tin hệ thống CAD, nhiều kết cấu phức tạp đƣợc tính toán thiết kế chi tiết cách dễ dàng Hiện có nhiều phần mềm PTHH tiếng nhƣ: ANSYS, ABAQAUS, SAP, v.v Để khai thác hiệu phần mềm PTHH có tự xây dựng lấy chƣơng trình tính toán PTHH, ta cần phải nắm đƣợc sở lý thuyết, kỹ thuật mô hình hoá nhƣ bƣớc tính phƣơng pháp XẤP XỈ BẰNG PHẦN TỬ HỮU HẠN Giả sử V miền xác định đại lƣợng cần khảo sát (chuyển vị, ứng suất, biến dạng, nhiệt độ, v.v.) Ta chia V nhiều miền ve có kích thƣớc bậc tự hữu hạn Đại lƣợng xấp xỉ đại lƣợng đƣợc tính tập hợp miền ve Phƣơng pháp xấp xỉ nhờ miền ve đƣợc gọi phƣơng pháp xấp xỉ phần tử hữu hạn, có số đặc điểm sau: - Xấp xỉ nút miền ve liên quan đến biến nút gắn vào nút ve biên nó, - Các hàm xấp xỉ miền ve đƣợc xây dựng cho chúng liên tục ve phải thoả mãn điều kiện liên tục miền khác - Các miền ve đƣợc gọi phần tử ĐỊNH NGHĨA HÌNH HỌC CÁC PHẦN TỬ HỮU HẠN Nút hình học Nút hình học tập hợp n điểm miền V để xác định hình học PTHH Chia miền V theo nút trên, thay miền V tập hợp phần tử ve có dạng đơn giản Mỗi phần tử ve cần chọn cho đƣợc xác định giải tích theo toạ độ nút hình học phần tử đó, có nghĩa toạ độ nằm ve biên 3.1 3.2 - - Qui tắc chia miền thành phần tử Việc chia miền V thành phần tử ve phải thoả mãn hai qui tắc sau: Hai phần tử khác có điểm chung nằm biên chúng Điều loại trừ khả giao hai phần tử Biên giới phần tử điểm, đƣờng hay mặt (Hình 1.1) Tập hợp tất phần tử ve phải tạo thành miền gần với miền V cho trƣớc tốt Tránh không đƣợc tạo lỗ hổng phần tử v1 v2 biên giới v2 v1 biên giới v1 v2 biên giới Hình 1.1 Các dạng biên chung phần tử CÁC DẠNG PHẦN TỬ HỮU HẠN Có nhiều dạng phần tử hữu hạn: phần tử chiều, hai chiều ba chiều Trong dạng đó, đại lƣợng khảo sát biến thiên bậc (gọi phần tử bậc nhất), bậc hai bậc ba v.v Dƣới đây, làm quen với số dạng phần tử hữu hạn hay gặp Phần tử chiều Phần tử bậc Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba Phần tử hai chiều Phần tử bậc ba Phần tử bậc hai Phần tử bậc Phần tử ba chiều Phần tử tứ diện Phần tử bậc ba Phần tử bậc hai Phần tử bậc PHẦN TỬ QUY CHIẾU, PHẦN TỬ THỰC Với mục đích đơn giản hoá việc xác định giải tích phần tử có dạng phức tạp, đƣa vào khái niệm phần tử qui chiếu, hay phần tử chuẩn hoá, ký hiệu vr Phần tử qui chiếu thƣờng phần tử đơn giản, đƣợc xác định không gian qui chiếu mà từ đó, ta biến đổi thành phần tử thực ve nhờ phép biến đổi hình học re Ví dụ trƣờng hợp phần tử tam giác (Hình 1.2) (5) y (4)  r3 0,1 r1 0,0 (3) v2 r2 vr v3 (1) v1 (2) 1,0  x Hình 1.2 Phần tử quy chiếu phần tử thực tam giác Các phép biến đổi hình học phải sinh phần tử thực phải thoả mãn qui tắc chia phần tử trình bày Muốn vậy, phép biến đổi hình học phải đƣợc chọn cho có tính chất sau: a Phép biến đổi phải có tính hai chiều (song ánh) điểm  phần tử qui chiếu biên; điểm vr ứng với điểm ve ngƣợc lại   T   x  2w  xy     x y 2w 2w   xy  y (11.3) đƣợc gọi thành phần độ cong Thay biểu thức (11.2) (11.3) vào quan hệ ứng suất biến dạng    D  ta đƣợc biểu thức sau:     zD  Trong đó: (11.4)     x  y  xy T      D  E     1 v  0    Các thành phần nội lực mặt cắt ngang đƣợc mô tả Hình 11.1 z Qx Mx Mxy y Qy M xy  My dx Mxy x Mx  M xy  M x dx x dy M xy x M xy y dy dx Qx  My  Qy  M y y Q y y dy dy Q x dx x Hình 11.1 Nội lực phần tử chịu uốn Các thành phần mômen đƣợc xác định bởi: h M     z dz (11.5) h  Trong đó: M   M x M y M xy T h chiều dày Thay biểu thức (11.4) vào (11.5), ta thu đƣợc quan hệ mômen thành phần độ cong nhƣ sau: M     D    (11.6) 119 Trong đó: h D  12 D (11.7) Các phƣơng trình cân (cân mômen trục x, y cân lực trục z, đƣợc suy từ điều kiện cân tĩnh học phần tử (Hình 11.1) Sau bỏ qua thành phần bậc cao, ta thu đƣợc phƣơng trình cân sau:  M x M xy   Qx   x y   M xy M y   Q y  0 x y   Qx Q y   p0   x y (11.8) Trong đó, Qx Qy lực cắt p tải trọng phân bố gây uốn (phƣơng tác dụng vuông góc với mặt phẳng tấm) Khử thành phần lực cắt phƣơng trình hệ (11.8) ta đƣợc:  M xy  M y 2M x 2   p0 xy x y (11.9) Tổ hợp biểu thức (11.3), (11.6) (11.9), qua số phép biến đổi đơn giản cuối ta nhận đƣợc phƣơng trình vi phân cân chịu uốn nhƣ sau: 4w 4w 4w p    2 Dr x x y y (11.10) Trong đó: Eh Dr  12(1  ) độ cứng chống uốn PHẦN TỬ TẤM KIRCHOFF CHỊU UỐN Dựa lý thuyết kinh điển trình bày trên, xây dựng thuật toán PTHH cho phần tử tứ giác bốn nút đỉnh chịu uốn Phần tử đƣợc mô tả Hình 11.2 120 z y w (x4,y4) x y (x3,y3) (x1,y1) (x2,y2) x Hình 11.3 Phần tử tứ giác Kirchoff Mỗi nút phần tử có bậc tự do: Chuyển vị w theo phƣơng z hai góc xoay x = w,x y = w,y (dấu phảy ký hiệu đạo hàm riêng phần w theo biến x y) quanh trục x y tƣơng ứng Ký hiệu véctơ chuyển vị nút di, ta có:   d i  wi    w        y  i    w     x  i T (11.11) Với phần tử tứ giác nút, véctơ chuyển vị nút phần tử đƣợc biểu diễn nhƣ sau: q  d1T d 2T d 4T  T d 3T (11.12) véctơ chuyển vị điểm phần tử là:  d  w0 x  y  T (11.13) Véctơ chuyển vị nút phần tử (11.11) có chứa thành phần đạo hàm bậc tƣơng ứng với góc xoay nút Do đó, thành phần chuyển vị véctơ chuyển vị (11.13) đƣợc nội suy qua giá trị chuyển vị nút nhƣ sau: - Thành phần chuyển vị độ võng (w) đƣợc xấp xỉ theo hàm nội suy Hecmit, tức là:  w   w   w   w  w  H1 w10  H    H     H10 w40  H11   H12    x 1  x   y 1  y  (11.14) - Các thành phần chuyển vị góc xoay đƣợc nội suy qua thành phần chuyển vị nút: x  y  w   x x w   y y   H i 1   3i    H i 1   w    w  wi  H 3i 1    H 3i      x  i  y  i  (11.15)  w    w  wi  H 3i 1    H 3i      x  i  y  i  (11.16) 3i  121 Khi đó, quan hệ véctơ chuyển vị đƣợc nội suy qua véctơ chuyển vị nút phần tử nhƣ sau: d = B q (11.17) Trong đó: B ma trận nội suy, đƣợc biểu diễn nhƣ sau:   H1 H2   B   H1 H2 x  x    y H y H   H 12    H 12  x    H 12  y  H  H 10 H 11    H3  H 10 H 11 x x x    H3  H 10 H 11 y y y (11.18) Thay vào biểu thức (11.3) ta biểu diễn thành phần biến dạng qua véctơ chuyển vị dƣới dạng:    Ld ; (11.19) với L ma trận toán tử đạo hàm, đƣợc xác định nhƣ sau:   0  x  L  0  0    y   0    y    x  (11.20) Cuối cùng, thành phần biến dạng đƣợc viết lại dƣới dạng:    Ld  L Bq  Bq (11.21) với B ma trận quan hệ biến dạng-chuyển vị Từ biểu thức lƣợng biến dạng đàn hồi: Ue  t  dV 2V  (11.22) Đƣa quan hệ (11.2), (11.3) (11.4) vào (11.22) qua số khai triển, ý đến biểu thức thành phần nội lực, ta đƣợc biểu thức lƣợng biến dạng đàn hồi: Ue   h T h S  z   zD dSdz  e  h        D dS  z h   T Se dz    h3 T T h T          D  dS  q B D BdS  q  24 Se  24 Se  Cuối cùng, biến dạng đàn hồi phần tử đƣợc biểu diễn dƣới dạng cô đọng: 122 Ue  t e qk q (11.23) ke ma trận độ cứng phần tử tứ giác Kirchoff đƣợc xác định theo biểu thức: ke  h3 BT DBdS 24 Se (11.24) Để xác định đƣợc ma trận độ cứng phần tử tứ giác Kirchoff, ta cần xây dựng đƣợc hàm nội suy Hecmit Hi (i = 1, 2, , 12) Các hàm đƣợc xác định hệ toạ độ quy chiếu (, ) với tính chất: , -1,-1 1,-1 1,1 -1,1 , -1,-1 1,-1 1,1 -1,1 , -1,-1 1,-1 1,1 -1,1 , -1,-1 1,-1 1,1 -1,1 H1 0 H1’ 0 0 H1’ 0 0 H4 0 H4’ 0 0 H4’ 0 0 H7 0 H7’ 0 0 H7’ 0 0 H10 0 H10’ 0 0 H10’ 0 0 Nút H2 H2’ 0 0 0 Nút H5 H5’ 0 0 0 Nút H8 H8’ 0 0 0 Nút H11 H11’ 0 0 0 H2’ 0 0 H3 0 0 H3’ 0 0 H3’ 0 H5’ 0 0 H6 0 0 H6’ 0 0 H6’ 0 H8’ 0 0 H9 0 0 H9’ 0 0 H9’ 0 H11’ 0 0 H12 0 0 H12’ 0 0 H12’ 0 Ta chọn hàm dạng Hi dƣới dạng sau: H = a0 + a1 + a2+ a32 + a4 + a52 + + a63 + a72 + a82 + a93+ a103 + a113 Từ bảng trên, ta xác định đƣợc hệ số (i = 11) Cuối cùng, ta thu đƣợc hàm nội suy Hecmit nhƣ sau: 123   H1  1   1            H2  1   1      ; H  1   1      8 H4  1   1             H7     H5      (11.25b)   1   1      ; H  1   1      8  1   1            H8   (11.25a)    (11.25c)   1   1      ; H   1   1      8   H10  1   1            H11  1   1      ; H12   1   1      8   (11.25d)    Quan hệ hệ toạ độ (x,y) (, ) đƣợc thể dƣới dạng: 2x  xC  2 y  yC   ;    a b  x  a   x ; y  b   y C C  2 (11.26) : a, b kích thƣớc phần tử chữ nhật; xC, yC tọa độ trọng tâm C phần tử Nhƣ thấy đây, hàm nội suy Hi tƣơng ứng với nút i đƣợc biểu diễn theo toạ độ quy chiếu (,) Các biểu thức ma trận toán tử L (11.20), có chứa đạo hàm riêng phần hàm Hi lấy theo biến x y hệ toạ độ thực Do đó, ta cần thực phép tính đạo hàm hàm hợp:     x           x         y        x    x       J    y       y     y  (11.27a) và:    *    J 11  x  1        J       *      J 21  y       J       J       * 12 * 22 (11.27b)  a 0  0 b với: J 1 ma trận nghịch đảo ma trận Jacôbiên J    124 Vậy ta có: J  1 và: J  J * 11 * 21 1 J  a  J  0  * 12 * 22    1    x   a       1   ;      y   b    0 1  b (11.28)  2    x   a  2     2   y   b 2     2    (11.29) Khi biểu thức (10.20) ma trận toán tử đạo hàm đƣợc biểu diễn theo hệ toạ độ quy chiếu (, ):  0   L  0  0    a   b      b     a    (11.30) ma trận B đƣợc biểu diễn nhƣ sau:   H1  2  a 2   H1 B b     H1  ab  2H2 a  2H2 b  2H2 ab  2H3 a  2H3 b  2H3 ab   H 10 a   H 10  b   H 10  ab    H 11 a   H 11 b   H 11 ab   H 12   a    H 12  b     H 12  ab   (11.31) Trong đó:  H1  1    ;   H2  1   3  1 ;   H1  1      H2   2H3  0;  2H3  1   3  1  2  H4  H4   1    ;  1     4  2  H5  H5  1   3  1 ; 0   2H6 2H6   1   3  1 ;   2H7   1    ;  2H7   1     (11.32a) (11.32b) (11.32c) (11.32d) (11.32e) (11.32f) (11.32g) 125  H8 2 H8 ;          0,   (11.32h) 2H9 0;  (11.32i) 2H9  1   3  1   H10  H10 ;         1    2   2  H 11  H11  1   3  1 ; 0    H12 0;  (11.32k) (11.32m)  H12  1   3  1  (11.32n) PHẦN TỬ TẤM MINDLIN CHỊU UỐN Khác với lý thuyết Kirchoff, lý thuyết Mindlin có kể đến ảnh hƣởng thành phần biến dạng cắt ngang (  yz   xz  ) Khi đó, biểu thức lƣợng biến dạng đàn hồi có chứa thêm biểu thức lƣợng biến dạng cắt ngang: Ue  :  b T  b dV    s T  s dV  2V 2V (11.33)  b    x  y  xy T (11.34)  b    x  y  xy T (11.35) thành phần ứng suất biến dạng uốn, còn:  s    xz  yz T (11.36)  s    xz  yz T (11.37) thành phần ứng suất biến dạng cắt ngang (trong mặt phẳng vuông góc với mặt trung bình) Trong tính toán kỹ thuật theo lý thuyết Mindin, ta cần phải sử dụng thêm hệ số hiệu chỉnh cắt, hệ số thƣờng đƣợc chọn Khi đó, lƣợng biến dạng đàn hồi chịu uốn có kể đến ảnh hƣởng biến dạng cắt đƣợc biểu diễn dƣới dạng: Ue   b T Db  b dV    s T Ds  s dV  2V 12 V (11.38) : 126      Db   E     1 v  0    (11.39) Ds    (11.40) G 0   G Theo lý thuyết Mindlin, trƣờng chuyển vị đƣợc biểu diễn nhƣ sau : u ( x, y, z )   z x ( x, y )  v( x, y, z )   z y ( x, y )   w( x, y, z )  w0 ( x, y )  (11.41) đó,  x ,  y góc xoay mặt trung bình quanh trục y trục x tƣơng ứng Ở đây, ta giả thiết: thành phần biến dạng mặt phẳng trung bình (không có biến dạng màng) Các thành phần góc xoay đƣợc biểu diễn bởi: w    xz  x   w y    yz   y x  (11.42) Vì chuyển vị w góc xoay  x ,  y thành phần độc lập nhau, nên cần có hàm dạng để nội suy chúng cách độc lập Do đó, với phần tử chịu uốn có kể đến biến dạng cắt ngang yêu cầu sử dụng phàn tử tƣơng thích C0 Các hàm dạng đẳng tham số đƣợc sử dụng cho phƣơng trình PTHH phần tử chịu uốn, cụ thể nhƣ sau :   i 1  n   x   N i  ,  x i  i 1  n   y   N i  ,  y i  i 1  n w   N i  , wi (11.43) Ở đây, n số nút phần tử Để đơn giản hóa toán, ta sử dụng hàm dạng song tuyến tính (Chƣơng 8) cho phần tử tứ giác bốn nút Đối với toán có yêu cầu cao độ xác, ngƣời ta thƣờng sử dụng hàm dạng bậc cao Ta có: 127  b    zB p d e    s    zBs d e  (11.44) :  N1   x Bp     N   y   N1 y N1 x N x 0 N y N y N x N x 0 N y N y N x N x 0 N y N y N x  0  0   0  (11.45) N3 N1 N N    N2  N3  N4   N1 x x x x  (11.46)   Bs    N3 N    N N1  N N  N3  N4  y y y y  d   e x1  y1 w1  x  y w2  x3  y w3  x  y w4 T (11.47) Thay biểu thức (11.44) vào (11.38) ta đƣợc : Ue    e T e T T T d   Bb  Db  b dz dA d e  d  Bs  Ds Bs dz dA d e 12 V z   Ae z          (11.48) Cuối cùng, ta thu đƣợc ma trận độ cứng phần tử tứ giác bậc chịu uốn dƣới dạng: ke  h3 Bb T Db  b  dA  h Bs T Ds Bs dA  12 Ae V (11.49) đó, h chiều dày Chú ý: chiều dày h nhỏ so với kích thƣớc phƣơng lại (tấm mỏng), lƣợng biến dạng đàn hồi thành phần biến dạng cắt (tỉ lệ với h) lớn nhiều so với lƣợng biến dạng đàn hồi thành phần biến dạng uốn (tỉ lệ với h3) gây Hiện tƣợng đƣợc gọi ‘‘nghẽn cắt’’ (shear locking), khiến cho lời giải số toán không hội tụ Để khắc phục tƣợng này, ngƣời ta sử dụng kỹ thuật tích phân rút gọn (reduced integration) tích phân lựa chọn (selective integration) Nội dung kỹ thuật là: biểu thức lƣợng biến dạng uốn đƣợc tính theo luật tích phân cấp, biểu thức lƣợng biến dạng cắt đƣợc lấy tích phân mức độ xác cấp Chẳng hạn, với phần tử tứ giác nút đẳng tham số, ta sử dụng tích phân số với 22 điểm Gauss biểu thức tích phân lƣợng biến dạng uốn, biểu thức tích phân lƣợng biến dạng cắt sử dụng điểm Gauss Tƣơng tự, với phần tử tứ giác nút đẳng tham số, sử dụng tích phân số 33 điểm Gauss 128 biểu thức tích phân lƣợng biến dạng uốn, ta sử dụng tích phân số 22 điểm Gauss biểu thức tích phân lƣợng biến dạng cắt PHẦN TỬ VỎ Kết cấu vỏ tƣơng tự nhƣ kết cấu nhƣng có độ cong không đổi thay đổi theo phƣơng x y Có thể coi kết cấu phẳng trƣờng hợp riêng kết cấu vỏ, bán kính cong vô Khi vỏ đƣợc chia thành số hữu hạn phần tử có kích thƣớc đủ nhỏ, phần tử đƣợc xem nhƣ phần tử phẳng chịu uốn với phƣơng xác định không gian Tuy nhiên, phần tử lại có phƣơng khác (phƣơng véctơ pháp tuyến mặt), biến dạng uốn phần tử gây biến dạng mặt phẳng cho phần tử Kết là, phần tử vỏ đƣợc xác định nhƣ tổ hợp phần tử chịu uốn phần tử trạng thái ứng suất phẳng, tƣơng tự nhƣ phần tử khung chiều đƣợc xây dựng từ phần tử dầm chịu uốn phần tử chịu kéo nén Hình 11 mô tả tổ hợp hai phần tử nói để tạo phần tử vỏ có bậc tự nút: ba chuyển vị thẳng hai chuyển vị góc Ma trận độ cứng phần tử vỏ đƣợc biểu diễn nhƣ sau: K b     d b  Fb   K m  d m  Fm  (11.50) đó: K, d F tƣơng ứng ma trận độ cứng, véctơ chuyển vị nút véctơ lực nút Các ma trận véctơ bao gồm hai phần, từ phần tử chịu uốn hai từ phần tử chịu kéo (nén) Các số dƣới b m biến dạng uốn biến dạng màng (kéo, nén) phần tử vỏ w w x y = + y x v u z v y x zk u Hình 11 Phần tử vỏ tổ hợp phần tử w y k Khi phần tử vỏ có phƣơng khác nhau, ví dụ xét vị trí góc hình hộp x zj i Z zi Y X Hình 11 j 129 (Hình 11.4), có phần tử kề nhau; ta thấy thành phần góc xoay phần tử góc xoắn phần tử Do đó, ghép nối ma trận độ cứng phần tử véctơ lực nút phần tử ta cần phải tính đến góc xoắn nói Kết là, số bậc tự ma trận véctơ phần tử cần phải tăng thêm nút Nhƣ vậy, phƣơng trình (11.50) đƣợc viết lại nhƣ sau :  Kb     0 0 db   Fb    K m  0 dm   Fm  0    z    (11.51) Các ma trận véctơ phƣơng trình (11.45) đƣợc xác định hệ trục toạ độ địa phƣơng phần tử, với trục x y nằm mặt phẳng trung bình phần tử vỏ trục z trục vuông góc với mặt phẳng phần tử Vì vậy, để ghép nối ma trận véctơ thành ma trận độ cứng tổng thể véctơ lực nút tổng thể hệ trục toạ độ chung chúng phải đƣợc biến đổi sang hệ trục toạ độ chung trƣớc tiến hành ghép nối Nếu gọi ma trận chuyển đổi hệ trục T, ta có : (11.52) d l  T d g  Trong đó, l g ký hiệu cho hệ trục địa phƣơng hệ trục chung tƣơng ứng Nhƣ vậy, ma trận T chuyển đổi bậc tự chung sang bậc tự địa phƣơng Nó chứa cosin phƣơng trục toạ độ địa phƣơng hệ trục toạ độ chung Tại nút, quan hệ bậc tự hệ toạ độ địa phƣơng hệ toạ độ chung đƣợc mô tả bởi:  u l   c11 c12  l   v  c21 c22  wl  c31 c32  l  x   l  y   0  l   z   c13 0 c23 0 c33 0 c11 c12 c11 c12 c11 c12  u g      v g    w g    c13   x g  c13   y g    c13   z g  (11.53) Trong đó, cij cosin góc hợp trục toạ độ địa phƣơng xi trục toạ độ chung Xj Quan hệ đƣợc sử dụng cho nút phần tử Nhƣ vậy, ma trận chuyển đổi T phần tử tứ giác nút đƣợc biểu diễn dƣới dạng: Td   T       0 Td  0 0 Td  0    Td  (11.54) với Td đƣợc xác định theo biểu thức (11.53) 130 Cuối cùng, ta xác định đƣợc ma trận độ cứng véctơ lực nút phần tử nhƣ sau : K   T  K T  F   T  F  g T l (11.55) g T l (11.57) Chú ý: vỏ suy biến phẳng, ma trận độ cứng tổng thể ma trận kỳ dị trƣớc ta gán thêm góc xoắn vào véctơ chuyển vị nút Để khắc phục tƣợng trên, ngƣời ta thƣờng cộng thêm giá trị nhỏ vào bậc tự góc xoắn Giá trị cộng thêm không đƣợc nhỏ ma trận đƣợc sửa đổi ma trận không kỳ dị Đồng thời, giá trị không lớn để tránh ảnh hƣởng đến độ xác kết tính Trong thực tế tính toán, ngƣời ta thƣờng khắc phục tƣợng cách đặt K(i,i) = 1, với i số ứng với bậc tự góc xoắn 131 BÀI TẬP CHƢƠNG 11 Một kết cấu hợp kim nhôm, có môđun đàn hồi E = 75gPa hệ số Poisson  = 0,3 Tấm có kích thƣớc 500100mm chiều dày h = 5mm; chịu liên kết tựa lề cạnh đối diện chịu tải trọng phân bố đều, cƣờng độ p= 0,5 N/mm suốt chiều rộng nằm chiều dài nhƣ Hình C11.1 Xác định độ võng cực đại kết cấu phƣơng pháp phần tử hữu hạn So sánh với kết giải tích theo lý thuyết dầm: Độ võng dầm chịu uốn (có kể đến ảnh hƣởng lực cắt): w hL3 hL  48EJ 4GS * Trong đó: G modul đàn hồi trƣợt ; S* tiết diện chịu cắt thực tế: S *  S Gợi ý: dùng mô hình dầm mô hình (chịu kéo nén uốn), ý tính đối xứng kết cấu z p y b=100mm h=5mm x L =500mm Hình C11.1 Sơ đồ hoá chữ nhật chịu uốn Cho kết cấu nhƣ tập 1, tính độ võng cực đại kết cấu chịu tải trọng phân bố toàn bề mặt tấm, với cƣờng độ p= 0,1 N/mm2 Hãy giải toán với kết cấu tải trọng nhƣ tập 2, thay liên kết tựa lề hai cạnh liên kết ngàm hai cạnh 132 TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Ích Thịnh – Ngô Nhƣ Khoa Phương pháp phần tử hữu hạn kỹ thuật NXB Khoa học Kỹ thuật – Hà Nội, 2007 Tirupathi R Chandrupatla – Ashok D Belegundu Introduction Finite Elements in Engineering Third Edition Young W Hwon - Hyochoong Bang The Finite Element Method Using MATLAB Second Editor CRC Press, 2000 J N Reddy An Introduction To The Finite Element Method Third Edition Tata McGraw-Hill, 2005 Klaus – Jürgen Bathe Finite Element Procedures Prentice-Hall of India, New Delhi, 2005 K Chandrashekhara Theory of Plates Universities Press, 2001 O C Zienkiewicz and R L Taylor The Finite Element Method, Fifth Edition Volume 2, Solid Mechanics Butterworth Heinemann, 2000 O C Zienkiewicz and K Morgan Finite Element and Approximation New York: Wiley – Iterscience, 1982 Akin J E Finite Element for Analysis and Design Academic Press Limited, London, 1994 10 Batoz J L Et Dhatt DG Modélesation des structues par élements finis.Vol 1, 2, Ed Hermès Paris, 1995 11 Dhatt G Et Touzot G Une présentation de la méthode des élements finis Maloine S.A Editeur, 1981 12 Ochoa O O, Readdy, J N Finite Element Analysis of Composite Laminates Klwer Academic Publisher, 1992 133 [...]... phƣơng gắn với mỗi phần tử 6 MỘT SỐ DẠNG PHẦN TỬ QUI CHIẾU Phần tử qui chiếu một chiều -1 1  0 -1 1  0 -1 -1 Phần tử bậc hai Phần tử bậc nhất 0 /2 1  1 /2 Phần tử bậc ba Phần tử qui chiếu hai chiều    1 1 1 1 v r 0,0  1 Phần tử bậc nhất /2 v 1 ,1 /2 /2 r 1 0,0 2 /2 1  1 Phần tử bậc hai 1 ,2 /3 /3 /3 2 ,1 /3 /3 vr /3 0,0 1 /3 2 /3  1 Phần tử bậc ba Phần tử qui chiếu ba chiều Phần tử tứ diện  ...b Mỗi phần biên của phần tử qui chiếu đƣợc xác định bởi các nút hình học của biên đó ứng với phần biên của phần tử thực đƣợc xác định bởi các nút tƣơng ứng Chú ý: Một phần tử qui chiếu vr đƣợc biến đổi thành tất cả các phần tử thực ve cùng loại nhờ các phép biến đổi khác nhau Vì vậy, phần tử qui chiếu còn đƣợc gọi là phần tử bố-mẹ Có thể coi phép biến đổi hình học... ba Phần tử qui chiếu ba chiều Phần tử tứ diện    0,0,1 0,0,1  vr 0,0,0 0,0,1  vr 0,1,0 0,1,0 1,0,0 Phần tử bậc nhất  1,0,0 Phần tử bậc hai   vr 0,1,0 1,0,0  Phần tử bậc ba 4 Phần tử sáu mặt   0,1,1 vr vr vr 1,1,0 Phần tử bậc nhất      0,1,1 0,1,1  1,1,0 Phần tử bậc hai  1,1,0 Phần tử bậc ba 5 7 LỰC, CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG VÀ ỨNG SUẤT Có thể chia lực tác dụng ra ba loại và ta biểu diễn... viết dƣới dạng: dv=Adx trong đó, A là diện tích mặt cắt ngang (4.2) 2 MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN Có thể chia thanh ra nhiều phần tử, mỗi phần tử có tiết diện ngang không đổi (hoặc thay đổi) Chẳng hạn, ta chia thanh ra 5 phần tử với các nút đƣợc đánh số từ 1 đến 6, các chỉ số nút này là chỉ số nút toàn cục (Hình 4.1a); mỗi phần tử có hai nút 1 và 2, các chỉ số nút này là chỉ số nút cục bộ (Hình 4.1b) Trong... index (e, i)  f e i  i = i+1; i  edof T F e = e +1; e  noe T F Hình 3.3 Sơ đồ thuật toán ghép nối phần tử Chương 4 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN MỘT CHIỀU 1 MỞ ĐẦU Để giải bài toán một chiều (1D) bằng phƣơng pháp phần tử hữu hạn, chúng ta sẽ sử dụng nguyên lý cực tiểu hoá thế năng toàn phần và các quan hệ: quan hệ ứng suất-biến dạng, quan hệ biến dạng-chuyển vị Với bài toán hai chiều (2D) và... cho tổng số phần tử Mỗi nút có một bậc tự do Trở lại ví dụ 3.1, bảng index chính là bảng ghép nối phần tử ở trên Khi ấy: Q  Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 T - Với phần tử 1 (e =1) :  Q1 Q2 q q 2 4  Q4 Q2 Q5  index (2, :)  4 - Với phần tử 3 (e =3)  Q2 q T 1 index (1, :)  - Với phần tử 2 (e =2) Q4  index (3, :)  2 T 2 5 Q3 Q5  3 T 5 Chú ý: ký hiệu (:) trong index(e,:) chỉ các phần tử thuộc hàng... PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Một chƣơng trình tính bằng PTHH thƣờng gồm các khối chính sau: Khối 1: Đọc các dữ liệu đầu vào: Các dữ liệu này bao gồm các thông tin mô tả nút và phần tử (lƣới phần tử) , các thông số cơ học của vật liệu (môđun đàn hồi, hệ số dẫn nhiệt ), các thông tin về tải trọng tác dụng và thông tin về liên kết của kết cấu (điều kiện biên); Khối 2: Tính toán ma trận độ cứng phần tử k và...   4  5    Việc cộng các véctơ lực phần tử vào véctơ lực chung đƣợc tiến hành hoàn toàn tƣơng tự 1.2 Ví dụ 2 Giả sử có hai phần tử 1 và 4 trong bài toán hai chiều; mỗi phần tử có 3 nút, mỗi nút có 2 bậc tự do (Hình 3.2) Hãy mô tả quá trình ghép nối ma trận độ cứng chung K và véctơ lực nút chung, theo các ma trận độ cứng phần tử và véctơ lực nút phần tử k1, k4, f1 và f4 cho trƣớc nhƣ sau:  22... của các phần tử để tạo ra ma trận độ cứng K và véctơ lực nút F chung cho cả hệ, từ đó thiết lập hệ phƣơng trình PTHH là một vấn đề quan trọng Ta sẽ cộng các số hạng của ma trận độ cứng của mỗi phần tử vào các vị trí tƣơng ứng của ma trận độ cứng chung và cộng các số hạng của véctơ lực vào véctơ lực chung Cách dễ nhất để ghép các phần tử là gán số cho mỗi dòng và cột của ma trận độ cứng phần tử đúng... cột của ma trận độ cứng phần tử đúng với bậc tự do của phần tử ấy, sau đó chúng ta sẽ làm việc qua các số hạng của ma trận phần tử; tức là cộng các số hạng này vào ma trận chung mà mỗi dòng, mỗi cột cũng đƣợc gán đúng những số trên Dƣới đây ta sẽ xét hai ví dụ 1 CÁC VÍ DỤ 1.1 Ví dụ 1 Một kết cấu đƣợc chia ra 8 phần tử tam giác nhƣ Hình 3.1 Mỗi phần tử có 3 nút; mỗi nút có 1 bậc tự do (ví dụ nhiệt độ)