Phương pháp phần tử hữu hạn lý thuyết và lập trình tập 1 nguyễn quốc bảo trần nhất dũng

Đối tượng nghiên cứu của phương pháp phần tử hữu hạn là tìm lời giải số cho các bài toán của lý thuyết trường nói chung và của cơ học vật rắn biến dạng nói riêng.. Phương pháp phán tử hữ

NGUYỄN QUỐC BẢO - TRAN NHÂT DŨNG

Biên soạn

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỦU HẠN

LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH

TẬP MỘT

(In lổn thứ hai có điếu chỉnh và bổ sung)

D ùng cho sinh viên, học viên cao học, nghiên cứu sinh chuyên ngành cơ, kỹ thuật thuộc khói ngành xây diíng, kiên trúc, giao thông, thuỷ lợi, mó địa chất

ar Thích hợp cho moi đói tượng quan tám đến lý thuyết và kỹ thuật lập trình với

phấn từ hữu hạn.

NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC VÀ KỸ THUẬT

HÀ NỘI

Phương pháp phần tứ hữu hạn (PP PTHH) là một phương pháp tính đã được hình thành và phát trién trong vòng vài chục năm trở lại dây, nhưng do yéu cấu tính toán của một bậi toán thực té thường dõi hỏi một khối lượng tính toán rất lớn, do vậy việc ứng dụng p p PTHH trước đáy gập kháng ít khó khăn Chỉ cho đến khi có sự xuất hiện của các máy tính cá nhàn (PC) cùng với những tiến bộ to lớn của công nghệ thông tin trong những năm gần dây mới thật sự cho phép phương pháp tính này dược ứng dụng một cách phô biên và rộng rãi Cùng với việc tính giói các dại lượng cơ học của két càu như biến dạng; ứng suất; chuyển v ị p p PTHH còn là cơ sở cùa lĩnh vực mó phỏng hoá trong các bài toán thiết kê Thông qua sự phát triển cùa kỹ thuật dổ hoạ trén máy tính người ta có the mô phỏng hoá các hoạt động của kết càu; giá dịnh vò so các phương án tính toán dế từ dó chọn lựa giải pháp tối ưu Điều này cho phép giấm chi phí và thời gian thực hiện các thí nghiệm theo phương pháp truyền thông Cùng với sụ tiến bó cùa khoa học kỹ thuát máv tính dã trờ thành mót bó phán quen thuôc và không thê thiêu trong các hoạt dọng nghiên cứu cũng nhu ứng dung thực tién Theo dó, cũng ngày càng xuất hiện nhiều hơn các chương trình tính toán sứ dụng p p PTHH với phạm

vi ímg dụng ngày càng phong phú và da dang : tính toán k ế t cấu; tính toán nhiệt; tính tuổi th ọ công trình; m ó p h ỏ n g ; tối ưu ho á .v.v Đói với thực tè ở Việt Nam p p PTHH cũng dã từng dược nghiên cứu và ứng dụng khoáng vài chục nám trở lại dày với sô lượng người tham gia nghiên cứu ngày càng tăng nhanh, phạm vi ứng dụng ngày càng phong phú,

da dạng.

Đè đáp ứng nhu cầu học tập và nghiên cứu p p PTHH - nắm bắt các khía cạnh, cốt lõi của

nó theo một trình tự LOGIC và tạo diếu kiện cho bạn đọc có thê vận dụng nó để lập trình tìm lời giải cho một bài toán cụ thể, chúng tôi dã cô gắng tìm hiểu và bién soạn tài liệu này Đáy

là tài liệu dược biên soạn chủ yếu phục vụ các dối tượng nghiên cứu là sinh vién, kỹ sư thuộc các ngành cơ kỹ thuật, kết cáu công trình, cơ khí, giao thông, thuỷ lợi, mỏ dịa chất Ngoài ra sách cùng hỗ trợ rất tốt cho các dối tượng là nghiên cứu sinh, học viên cao học,

4 PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH

thuộc khói Kỹ thuật công trình và Cơ kỹ thuật - Là các đôi tượng dã được trang bị tốt các kiến thức vé lý thuyết ma trận, vê đại số tuyến tính và tin học đại cương Đây là một cuôn sách được trình bày theo kiểu giáo trình với các diễn giòi lý thuyết cô đọng và dẻ hiểu, có phần ví dụ minh hoạ và giải thuật để người đọc có thể vận dụng.

Toàn bộ nội dung sách dược trình bày trong tổng sô 12 chương, xuất bản thành 2 tập.

Táp 1 : gồm 7 chương trong đó 5 chương đấu dành cho việc nghiên cứu các lý thuyết

chung của p p PTHH Chương 6 là cấu trúc và giói thuật cùa một chương trình tính

minh hoạ Chương 7 trình bày các lý thuyết tính giai bài toán thanh phẩng (2D) và thanh không gian (3D).

Táp 2 : gồm 5 chương trình bày các dạng bài toán diến hình của p p PTHH : bài toán phẳng; bài toán ứng suất 3 chiều; tám chịu uốn; bài toán kết cấu vỏ V.V và cuối

cùng là phấn mã nguồn của toàn bộ chưm g trình tính theo các lý thuyết dã trình bày trong các chương trước.

Đê tiện cho bạn dọc trong quá trình tim hiểu sách và liên hệ vận dụng lập trình trên máy tính, trong toàn bộ sách này hệ thông các ký hiệu, quy ước vé hệ toạ độ; VẾ ma trận; vé vectơ

V.V được trình bày theo dáng "chuẩn" cùa cơ học kết cấu (ví dụ: { A } - là vectơA; [ K ] - là

ma trận K) Riêng phấn thé hiện dâu pháy dộng, thống nhát trong toàn bộ tài liệu được thè hiện theo chuẩn Anh - Mỹ, nghĩa là sử dụng dấu chấm ( ) thay cho dấu phảy ( , ) Cách thé hiện này chủ yếu tạo tính tiện dụng khi liên hệ lập trình và dối chiêu két quà trên PC, vì hiện nay cách thế hiện số thực trên hầu hết các máy tinh vấn là lối thế hiện kiêu Anh - Mỹ (ví dụ: viết theo kiểu Việt Nam tliì số Vi có trị số như sau P i-3,14159265; còn viết theo kiểu Anh

Mỹ thì Pi=3.l4159265).

Sau lần xuất bản thứ nhát, năm 2003, sách đã dược độc giả gần xa nông nhiệt dón nhận và

cổ vũ Sách cũng đã chính thức được nhiều trường dại học trong cả nước chọn làm tài liệu giảng dạv môn học PTHH Đáp lại sự yéu mến và dộng viên của đọc giá, chúng tôi cho tái bán 02 tập sách này Trong lấn xuất bán này chúng tôi có hiệu chinh và bổ sung một sô thông tin cho phù hợp với sự phát triển của công nghệ thông tin những năm gân dày Hy

vọng là các nội dung thông tin trong 02 tập sách này vẩn là món quà hữu ích cho các dọc

già.

Tuy nhiên do kiên thức có hạn, nội dung cần trình bày quá rộng lớn và phức tạp, chắc chắn ngay cả lấn xuất bản này cũng sẽ không thẻ tránh khỏi các thiếu sót dáng tiếc, xin được thông cảm và rất mong nhận dược các ý kiến dóng góp xây dựng của bạn đọc gần xa.

NGƯỜI BIÊN SOẠN

3.2 Qaan hệ giữa bâc tự do nút và các tọa dộ tổng quát 58

5.1 Sắp xếp phần tử - phương pháp dộ cứng trực tiếp 119

6 PHƯƠNG PHÁP PTHH ■ LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH

5.2.1 Phân tích ma trận Choleski ([L][D][L]T) 131

Đối tượng nghiên cứu của phương pháp phần tử hữu hạn là tìm lời giải số cho các bài toán của lý thuyết trường nói chung và của cơ học vật rắn biến dạng nói riêng Phương pháp phán tử hữu hạn được áp dụng đặc biệt thành công trong lĩnh vực cơ học vủt rắn biến dạng, trong đó các ẩn số cần tìm là chuyển vị, biến dạng, ứng suất tại mỗi điếm bất

Điếu kiện trường : điều kiện viết cho trường các thông sô bèn trong kết cấu

Điểu kiện biên viết cho trường các thòng số trên biên của kết cấu (với các bài toán dộng còn cẩn tới các điều kiện dẩu)

1.1 Đ IẾ U K IỆ N C Â N B Ằ N G

Điểu kiện cân bang, vể toán, có thế hình thành theo các phương pháp của phương trình vật lý - toán (phương trình đạo hàm riêng) Điéu kiện cân bằng cũng có thể hình thành bằng cách sử dụng phép tính biến phân

1.1.1 Phương trình đạo hàm riêng

Phương trình đạo hàm riêng mỏ tà điểu kiện trường của cơ hệ thường dược hình thành từ các điều kiện cân bằng tĩnh học và điểu kiện liên tục của chuyên vị

Các phương trình đạo hàm riêng này cũng có thê nhân đtrợc bằng cách sứ dụng phương trình Euler-Lagrange của nguyên lý biến phân như sẽ trình bày trong chương 2

trong đó vv - độ võng của dầm, là nghiệm cần tìm của phương trình trên.

Trong trường hợp của tấm mỏng đẳng hướng, phương trình đạo hàm riêng viết cho biên

1.1.2 Tiếp cận biên phân

ở phương pháp tiếp cận này, việc giải bài toán dán tới tìm cực trị của các phiếm hàm mô

tà sự làm việc cùa kết cấu Phiếm hàm mô tả ờ đây có thê là tổng thế năng hay năng lượng bù của cơ hệ Trong biến phân, như ta đã biết đê tìm cực trị phiếm hàm ta cho biến phan bậc nhất bằng không Áp dụng cho cơ hệ, điểu này dãn tới phương trình cân bằng hoặc phương trình liên tục của bài toán, trong đó các biến trường phải thoả mãn Chẳng

hạn thế năng của tấm đẳng hướng, chịu tải phân bỏ đều cường độ p được cho bời phiếm

PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH 9

Nghiêm chuyển vị w phải dẫn tới giá trị dừng (cực trị) của phiếm hàm thế năng /7, đồng

thời phải thoả mãn các điều kiện biên động học Trong chương II trình bày ngắn gọn việc áp dụng phép tính biến phân đẻ hình thành các bài toán kết cấu Để xem xét đáy đủ hơn vấn đề áp dụng các nguyên lý năng lượng vào phân tích kết cấu dầm, khung, tấm chịu uốn bạn đọc có thê tham khảo các chương [2; 3; 4; 5] của sách này

1.2 Đ IẾ U K IỆ N BIÊN

đối với các bài toán cơ học vật rắn biến dạng, để giải được, bên cạnh các điểu kiên trường, phải kê đến các điều kiện biên Các điều kiện biên có thê là động học - nghĩa là chuyển vị và đạo hàm chuyên vị phải tuân thủ, hoặc tĩnh học nghĩa là nội lực hay ứng suất phải tuân thủ Khi giải các bài toán động còn cần thêm các điều kiện ban đầu Trên

hình l l minh hoạ dầm conson AB chịu tải phân bô đều Coi chuyên vị đứng w là biến

trường Biến này phải thoả mãn phương trình vi phân cân bằng (điểu kiện trường)

■ Điều kiện biên động học tại A

- Chuyên vị tại điểm A bầng 0 J I = 0

, í =0

và áp dụng phương trình Euler-Lagrange để nhận phương trình vi phân cân bằng.

1.3 XẤP XỈ NGHIỆM

Trong các tính toán thực tế, nghiệm giải tích - nghiêm được biếu diễn bằng biểu thức toán học xác định giá trị của biên trường tại vị trí bất kỳ trong vật thể, thường chỉ có thể nhận được trong một sỏ ít các trường hợp mà điều kiện hình học, vật liệu và tải trọng khá đơn giản Đối với những bài toán có hình dạng, tính chất vật liệu, điều kiện biên và tải trọng phức tạp thường khó hoặc không thê nhận được nghiệm giải tích Vì vậy trong tính toán thực tế thường sử dụng các phương pháp số cho lời giải xấp xi, trong đó ba phương pháp gần đúng sau là phố biến :

1 Xấp xi hàm

2 Phương pháp sai phùn hữu hạn

3 Phương pháp phần tứ hữu hạn

Dưới đáy dẫn ra ngắn gọn tư tướng hai phương pháp đáu Mỗi phương pháp có những ưu

và nhược điểm riêng Phương pháp thứ ba - phương pháp phần tử hữu hạn được coi là sự

kê thừa tư tường của hai phương pháp trên và trờ thành một trong các phương pháp sô mạnh nhất, vạn năng nhất và được ứng dụng trong thực tê ngày càng rộng rãi cùng vói sự phát triển cúa các thê hệ máy tính

1.3.1 Xấp xỉ hàm

Trong tư tường của phương pháp gần đúng này, các hàm cán tìm là các hàm thoà mãn các điều kiện biên và xấp XI cho biến trường cần tìm tại điểm bất kỳ, là tổ hợp tuyến tính của một sô hữu hạn các hàm được chọn trước Tiếp đó vấn đề xác định biến trường chuyển thành bài toán xác định các tham sô tổ hợp cùa hàm xấp xỉ và các tham sô này được xác định từ điểu kiện các nguyên lý biên phân Các phương pháp biến phân cổ điển quen thuộc như Rayleigh-Ritz, Galerkin và phương pháp khử sai sô điểm đều dựa

PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH 11

trẽn tư tường xấp xi hàm tuy nhiên giữa các phương pháp này khác nhau về thủ tục ước lượng các tham số cần tìm Phương pháp Rayleigh-Ritz có thể xét ngắn gọn qua ví dụ minh hoạ sau :

Xét dầm tựa khớp đơn giản, trên hình l 2, chịu một tải trọng tập trung p giữa nhịp và tải phân bô đểu cường độ p n Ớ bài toán này, nếu xác định được độ võng cùa dầm thì đồng

thời xác định được mômen uốn và lực cất tại tiết diện bất kỳ Chọn hàm xấp xỉ cho độ võng H* của dầm dưới dạng :

Hình 1.2 - Dầm tựa khớp dơn giản

Từ lý thuyết sức bền vật liệu cơ bản, ta đã biết thế nàng biến dạng ư của dầm chịu uốn

Mõmen uốn tại điêrn bất kỳ dọc theo dầm là

PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÁ LẬP TRÌNH

Thay giá trị a, và a2 theo phương trình (i) và (j) vào phương trình (a) rồi lấy đạo hàm cấp

2 ta được trị sô mômen uốn tại giữa dầm x= LỊ2

= PL | p 0L

' 4.44 8.05

Cần chú ý là sai sô của thành phần l là 9.92% của thành phần 2 là 0.62% Sai số này có

thể giảm bớt bằng cách tăng số lượng hàm cho xấp xi của biến trường w.

Thù tục trên có thể mờ rộng để phân tích cho vật thể ba chiều Nói chung vật thê biến dạng bao gồm vô sô các chất điểm, vì vậy bao gổm vô hạn bậc tự do Theo phương pháp Rayleigh-Ritz, các hệ liên tục được thay bằng các hệ hữu hạn bậc tự do Đôi với trường hợp các vật thể 3 chiều, các biến trường w , U, V có thể xấp xỉ bằng hàm 3 biến :

u = atệ t ( x ,y ,z ) + a2ự>2 (x , T ,z) + + a j n (x,y,z)

v = bịp ị(.Y,J\z) + bĩ P ĩ (x,y,z) + + bnP n(x,y,z) ( l 4 )

w = c tụ/i (x,y,z) + c ì iỵ2(x,y,z) + - + c nụ/n(x,y,z)

trong đó a,,bj,c, là các Àn sô độc lộp tuyến tính và 0{(x,y,z), Pi(x,y,z), ụ/ị(x,y,z), i = \-=r n

là các hàm liên tục của x,y,z đồng thời thoả mãn các điểu kiện biên động học Theo xấp

xỉ này vật thề liên tục dược quy rút vể hệ 3n bậc tự do Trong đó thề nâng vật thê là phiếm hàm cùa các tham sô tổ hợp này

n = ( m , v \ h 0 = Ỉ7 ( x , y ,z , a ị an,bl bn,cị cn) (1.5)

Như đã trình bày trên, đối với vật thể củn bàng bén, thế năng đạt tới giá trị dừng và khi

biểu diển thế năng qua các tham số tố hợp hàm ait b„ c, thì phải thoả mãn các phương

Từ (1.6), ta được hệ phương trình đại số tuyến tính bậc 3n đê giải ra các ẩn số tổ hợp fl„

bi, c,.

Khó khăn chủ yếu trong phương pháp xấp xỉ hàm là phải chọn họ hàm 3 biến xấp xì sao cho đảm bảo tính liên tục và thoả mãn mọi điều kiện biên cho trước trên phạm vi toàn kết cấu Do vậy với các kết cấu có dạng hình học phức tạp, khó khăn trên, về thực tê là không thể khắc phục được Vì vậy phương pháp cổ điển dẫn tới phương trình (1.6) ít được dùng trong các tính toán thực tế Dầu sao các khái niệm được sử dụng trong phương pháp Rayleigh-Ritz như thay thế biến trường bàng tổ hợp tuyến tính các hàm 3 biến, tìm các ẩn số tổ hợp bằng cực tiểu hoá thế năng đã được triệt đê áp dụng trong phương pháp phần tử hữu hạn để xây dựng tính chất phần tử

1.3.2 Phương pháp sai phân hữu hạn

Trước sự ra đời của phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn đã được sử dụng để giải một số bài toán phức tạp của cơ học kết cấu Trong phương pháp này, vật thê hay hệ kết cấu được rời rạc bằng luới các điểm nút như trên hình 1.3

Biến trường được mô tả bởi các trị rời rạc của biến tại các điếm nút Như vậy phương pháp sai phân hữu hạn không cho phép tính biến trường tại các điểm bất kỳ trong kết cấu

mà chỉ tính trên một số hữu hạn các điểm nút Tuy nhiên khi lưới sai phân đủ dày, kết quả nhận được trên các nút của lưới sai phân cũng đủ để mô tả sự làm việc của kết cấu

Ví dụ trong trường hợp của tấm chịu uốn, chuyên vị pháp tuyến w tại mỗi nút được xem

là ẩn số Phương trình vi phân mô tả sự làm việc của hệ và các điều kiện biên được

PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH 1 5

chuyển về dạng sai phân hữu hạn Xét trường hợp tấm mỏng đẳng hướng, dạng sai phân hữu hạn của phương trình (1.2) viết cho mỗi nút của lưới hình vuông trên hình 1.4 là:20»V, - 8x (h>2 + + WA + H»,) + 2 X (k'6 + W1 + H»8 + H»9)

Hình 1.4 * Mau sai phân hữu hạn

Xét tấm vuông tựa khớp, kích thước 4m X 4m chịu áp lực 6kN/m: kể cả trọng lượng bàn

thân Bề dày tấm 12cm Giả thiết E - 2 107kN/m2, ụ - 0 15.

Rời rạc tấm bằng 25 nút như trên hình 1.5 Ngoài ra cần bổ sung các nút phụ 26 -*• 37 ngoài phạm vi tấm Điều đó là cần thiết như sẽ trình bày dưới đây

Do tải và điều kiện biên là đối xứng qua hai trục cho nên ta chỉ cẩn xét cho 1/4 tấm

áp dụng các điều kiện biên :

(i) chuyển vị w = 0 dọc theo gối tựa

*1 = *2 = * J = = *6 = K’,0 = = ^.6

(a)

26 27 28

Hình 1.5 - Rời rạc hoá tấm tựa khớp dơn giản.

vói bước rời rạc Ả =1.0 thì sai sô phạm phải là hoàn toàn chấp nhận được theo quan điểm

áp dụng thực tế Dẫu sao, nói chung nên rời rạc hoá tốt hơn để nhận nghiêm chính xác hơn

Ví dụ trên minh hoạ phương pháp giải bài toán khi dạng sai phân hữu hạn cùa phương trình vi phân mô tả sự làm việc của kết cấu là đã biết Trong trường hợp lưới rời rạc là đểu đặn thì dề nhận được dạng sai phân hữu hạn, tuy nhiên điều đó càng phức tạp hơn với lưới rời rạc bất kỳ Đặc biệt khi vật liệu không đảng hướng, hình dạng vật thế là tuỳ tiện Nói chung phương pháp này ít được sử dụng trên máy để giải các lớp bài toán tổng quát Dầu sao những khái niệm rời rạc trong phương pháp này đã hình thành cơ sờ của phương pháp phần từ hữu hạn

1.3.3 Phương pháp phấn tử hữu hạn

Argyris và Kelsey là những tác giả có đóng góp chù đạo trong phát triển các phương pháp

ma trận cho phân tích kết cấu Trong các cỏng trình của mình, các tác giả trên đã đưa ra các dạng ma trận cho phương pháp lực và phương pháp chuyển vị trên cơ sờ ứng dụng các nguyên lý năng lượng cùa cơ học kết cấu Tiếp theo phải kể tới các công trình của Turner, Clough, Martin và Topp đã dẫn tới phát minh phương pháp phán tử hữu hạn Clough trong nhiều tác phẩm đã mô tà vật lý cho phương pháp và là người đầu tiên dùng thuật ngữ phần tử hữu hạn Từ đó hàng loạt các công trình đã ra đời trong 25 năm trở lại đây cả về nển tảng toán học lẫn các thế hệ phương pháp để giải các bài toán trường của phân tích kết cấu (xem các chương [10; 11; 12]) Cũng trong thời gian đó, cùng với sự

PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH 19

phát triển như vũ bão của công nghệ máy tính, một sô lượng lớn các bộ chương trình đã

ra đời đê phủn tích phđn từ hữu hạn và ngày càng chiếm vị trí trọng yếu trong linh vực

kỹ thuật này Dưới đAy trình bày ngắn gọn tư tường phương pháp

Phương pháp phán tử hữu hạn khái quát những đạc điểm tốt nhất cùa 2 phương pháp xấp

xi đã nói trên Đặc biệt nội dung phương pháp này được trình bày qua các khái niệm vật

lý và vì thế nó hoàn toàn thích hợp với phương pháp tư duy của các kỹ sư xây dựng và kết cấu

Tư tường cơ bản cùa phương pháp là vật thể hoặc kết cấu có thể phân chia thành các phần từ nhỏ hơn, có kích thước hữu hạn và được gọi là các "phần tử hữu hạn" Vật thể hay hệ kết câu ban đầu được coi là tập hợp các phán tử được nôi với nhau tại một số hữu hạn các điếm - “điếm nút” Như vậy khái niệm rời rạc trong phương pháp phần tử hữu hạn cũng giông như trong phương pháp sai phân hữu hạn

Các tính chất của phần tử được xây dựng và tố hợp lại đê nhận nghiệm cho toàn bộ kết cấu Ví dụ trong mô hình chuyến vị, theo phân tích phần tử hữu hạn thường chọn một số hàm đơn giản - “ hàm dáng ” để xấp xi đường cong chuyên vị trong phần tử theo chuyển

vị tại nút của phần tử Thủ tục này tựa như thủ tục đã dùng trong phương pháp xấp xỉ hàm theo Rayleight-Ritz, điểm khác biệt là ờ chỗ quá trình xấp xi các biến trường chỉ nằm ờ mức phần tử Biến dạng và ứng suất bên trong phần tử cũng được biểu diển theo chuyến vị nút Vì vây có thế dùng nguyên lý chuyên vị khả dl hay nguyên lý cực tiểu thê nàng đê dản ra phương trình cân bẳng chì cho phẩn tử với các chuyên vị nút là ẩn số Phương trình cAn bằng của toàn kết cấu được thành lập từ tổ hợp các phương trình cân bằng cùa từng phần tử sao cho bảo toàn tính liên tục của chuyên vị tại các nút, nơi các phần tử được nối với nhau Đưa vào các điểu kiện biên cần thiết và giải phương trình cân bằng đôi với các chuyển vị nút Sau khi nhận giá trị chuyên vị nút của mỗi phần tử, có thê tính ứng suất và biến dạng theo các tính chất phán tử đã biết trước

Như vậy thay vì giải bài toán cho toàn bộ kết cấu trong một thuật toán, trong phương pháp phần hữu hạn, lưu ý chủ yếu tới hình thành các tính chất phần tử Các thù tục tổ hợp phần tử, giải phương trình, tính ứng suất, biến dạng phán từ là như nhau cho mọi loại kết cấu Do đó phương pháp phần tử hữu hạn mở ra khả năng xây dựng các bộ chương trình có tính tổng quát, trong đó chứa thư viện các loại phẩn tử khác nhau và một khôi chung cho tất cả các thú tục phân tích khác Cấu trúc phân khối của tổ chức chương

2 0 NHẬP MÔN

trình đã được áp dụng cho phẩn lớn các bộ chương trình phần tử hữu hạn đã và đang được sử dụng rộng rãi trên thế giới và Việt Nam Cách phân khối này cũng đặc biệt tiện lợi cho việc xây dựng các Module chương trình phục vụ cho các bài toán thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau, kể cả các bài toán ứng dụng thuộc kỹ thuật chuyên ngành, lẫn cácbài toán ngt

Trong c á c

p h ầ n t ử k

c á c ch ư ơ n

chương sau của sách này sẽ trình bày các tính chất

lá c nhau, các thủ tục Hên kết phẩn tử, kỹ năng giải \

g trình tính toán cho các lớp bài toán khác nhau.

c ủ a c á c loại

à p h á t triển

Các nguyên lý cơ bản

»hương trình cơ bản của lý thuyết dàn hồi, nguyên lý cống kl ‘Ỉ! 1 1

c tính chất cùa phần tử hữu hạn

2 1 C A C Đ IỂ U K IỆ N C Â N B Ằ N G

X I Iina-Ii.: I ợp vật thể biến dạng trong trạng thái cân bàng Dưới tác dụn

I I I Ma g vạt thê nảy sinh trạng thái ứng suất và biến dạng Ngoại

các lực tập tr

hẩm Trong

g của ngoại

Ị ực có thè’ là I:ấu Các lực

ưc trên biên

ung lực diện hay lực khôi gây ra từ trọng lượng bàn thân kết

g bên trong vật thể (i) và có thứ nguyên ià lực/dơn vị thể tích

vật thể (ii) biếu diễn qua iực/đơn vị diện tích Ta thừ xét điều kiện cân bằng tại một điểm bên trong vật thể

Trên hình 2.1 minh hoạ phân tô vi phủn dx.dy.dz bên trong vật thể biến dạng, trạng

thái ứng suất tổng quát và chuyên dịch từ điểm A đến AX Các thành phần lực tác độnglên phần tử song song trục X, như trên hình 2.1 b phải cfln bằng: = 0 ta có :

2 2 CÁC NGUYÊN LÝ c ơ BẢN CỦA c ơ HỌC KẺT CẤU

x dxdydz + — — dxdydi + ^ r ~v dxdydi + X hdxdydz = 0

<?.v

trong đó A-* là thành phần của lực khối tác động lên vật thê theo hướng X

Chia hai vế cho dx.dy.dz ta được điểu kiện cân bằng

d z

d a + yh=0

d x d y d z L + Z„ - 0

■ \

y (2.1)

PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH 2 3

trong đó : Yh và Z h là các thành phần lực khôi tác dụng dọc theo hướng y và z tương

ứng

ơ„dydz /

(L\dz

Hình 2.1 b - Các lực tác dụng lên phản tố theo hướng X.

Phương trình cân bằng mômen đỏi với các trục ,v.v.z là :

y \ M r = 0 , y M ,, = 0, = 0 Ta dược:

Như vậy trạng thái ứng suất tại điểm bất kỳ có thê’ xác dịnh bởi 6 thành phần ứng suất

ơ ' , ơ y, ơ., T ,y, Tyí, Tzx Biểu diển chúng dưới dạng vectơ :

2 4 CÁC NGUYÊN LÝ C ơ BẢN CỦA c ơ HỌC KÉT CẤU

Xét phẩn tứ có diện tích AS trên bề mặt (trên biên) của vật thể trong trạng thái cân băng, già sử x„ Y „ z, là các thành phàn ngoại lực (tính trên một đơn vị diện tích) tác dụng trên bể mặt (hình 2.1.C)

ơ,lds

Hinh 2.1c • Hệ lực tác dụng lên phẩn tử trên biên.

Đe phàn tỏ cân bằng thì phải thoả mãn các phương trình sau:

* , / + v » + rw#» = x ,

Tv l + ơ ym + Tn n = Y'

T Ỉ + T m + ơ n — z*-» ,1 ỉ ỉ X

trong dó /, /lị n là các cosin chỉ phương cùa pháp tuyến bề mảt tai điểm \et 1’hirniu:

trình (2.4) th ường được gọi là các điểu kiện biên tình học

J Điếu kien cân bằng cho phân tố ứng suất hai chiểu

Các điểu hicli cân bàng tĩnh học trong và trên biên cho phân tô' ứng suàt hai chiêuC:tc diếu hitịn cân bàng tĩnh học trong và trên biên cho phân tô' ứng SI

Ichăng han t ^ong mặt phẳng OXY) có thể suy trực tiếp từ phương trình (2

Băng cách k B bỏ mọi thcành phần lực tác dụng theo phươne z , trong biên ta co

Chuyến v ị tạ |m ộ t điếm cúa vật thế biên dạng c ó thé mô tá bảng các thành ấn u , V, w

Mine SOIUI lãn lượt vói các trục X, Y, z của hệ toạ độ Descartes Các thầih phán cùa chi ụcn V I nay nói chung là hàm cùa các toạ độ X, Y, z Biến dạng trong vạt the hiên dune I hu h là các đạo hàm riêng của chuyển vị u, V, H> Mối quan hệ chu\ \ I biến

1 o bởi các hộ thức vi phân sau :

( ,u thanh p án biến dạng £ , e , , £ , ỵ Xf , Ỵn ,YIX xác định trạng thái biế dang tione

{£ Y = k £ y e z r Xy r yz r j (2.8)Các thành phấn của biến dạng trong phương trình đạo hàm riêng (2.7) là phi tuyến đối với các thành phần chuyển vị chưa biết Trong nhiểu bài toán phân tích ứng suất khibiến dạng là nhỏ ta có thế giả thiết tích và bình phương của các đạo hàm cấp một là các vô cùng bé có thê bỏ qua được so với chính các đạo hàm này Môi quan hệ chuyển

2 6 CÁC NGUYÊN LÝ Cơ BẢN CỦA c ơ HỌC KẾT CẤU

vị - biến dạng trong phương trình (2.7) được đơn giản hoá về quan hệ tuyến tính như sau:

riêng (2.1) và (2.4) Tương tự các thành phán chuyên vị u, V, w phải liên tục và thoả

mãn các điểu kiện biên động học Bây giờ ta thử xét các yêu cđu cần thoả mãn cho các thành phần biến dạng:

Từ phương trình (2.9) ta thây nếu đã biết các thành phần chuyển vị dưới dạng các hàm liên tục cùa toạ độ X, y, z (thoà mãn các điều kiện biên động học) thì

dẻ dàng xác định được các thành phần biến dạng Ngược lại khi đã biết các thành phán biến dạng thì chúng ta có 6 phương trình đê xác định 3 thành phẩn

chuyển vị u,v,w Điều đó có nghĩa là giữa các thành phán biến dạng phải thoả mãn các điều kiện nhất định Các điều kiện này nhận được bằng cách khứ u, V,

»V ra khỏi phương trình (2.9) và được gọi là các điều kiện tương thích (hay còn gọi là điểu kiện liên tục cùa biến dạng) Ta có 6 điều kiện tương thích sau :

PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ TH U Y Ế T VÀ LẬP TRÌ NH 2 7

â 2e x , â ’e , _ à ’r v dy2 âx2 âxõy

2.3 CÁC QUAN HỆ VẬT LIỆU TUYẾN TÍNH

Để xác định ứng suất trong các thành phần kết cấu, cán xác định được quan hệ giữaứng suất và biến dạng Ta giả sử xét kết cấu chê tạo từ vật liệu đàn hổi, tuân theo địnhluật Hooke Dưới dạng tổng quát, theo định luật Hooke thì sáu thành phần ứng suất được biểu diên dưới dạng tổ hợp tuyến tính cùa 6 thành phẩn biến dạng Như vậy đối với vật liệu đồng chất, dắng hướng và đàn hồi tuyến tính phải thoá mãn quan hệ

2 8 CÁC NGUYÊN LÝ Cơ BẢN CỦA Cơ HỌC KẾT CẤU

[C] và [£>] là đỏi xứng và như vậy ta cần 21 hằng 8$ ểẼỊỉ' h I đ ẽ m õ ta

ệu cho vật rắn đàn hồi tổng quát

có 3 mảt đối xứng trực giao thì chỉ 9 hằng số đàn hồi là đủ m ' t 1 quan he

Ốỉ trường hợp, kết cấu có thể có ứng suất dư ban dầu trước khi hiên dang

t trước{cr„} này có thể tác động cùng với ứne suất do biến sinh ra.

Kết cấu cũng có thể chịu các biến dạng ban đầu {e0} (chẳng hạn do biến thiên của

nhiệt độ), ứng suất nảy sinh trong kết cấu là do sự sai khác giữa biến dạng thực và biến dạng ban đầu

Về tính toán, như vậy khi kể tới ứng suất và biến dạng ban đầu, phương trình (2.12a)

có dạng

là các hệ sò' dãn nờ nhiệt theo các hướng cơ bàn Dãn nờ n h p ĩ k h ô n g g ọ,

ượt trong kết cấu Cho nên khi tính toán ảnh hưởng nhiệt độ a thê phương

vào (2.13) và đặt thành phần {ơ0} = 0.

2.3.2 Vảt liệu đàn hổi đẳng hướng tuyến tính

Vát liệu diu g hướng là vật liệu mà mọi mặt phăng đều là măt phảng vạt liệu đòi xứng VỚI loại vật liệu này chỉ cán 2 hầng sô' vật liệu (Môđun đàn hồi E và hÀr u so Poisson

u I mô tả mối quan hệ vật liệu Khi biếu diển biến dạng qua ứng 1 !t ỌII.HI hc

X >n 10 M cả ảnh hường của nhiệt đỏ có dạng:

0

0

0

0 02(1 + //)_

30 CÁC NGUYÊN LÝ c ơ BẢN CỦA c ơ HỌC KÊT CẢU

về bài toán phảng theo một trong ba dạng sau:

• ưng suất phang : Điểu kiện ứng suất phảng được đặc trưng bời giá trị ứng suất rất

nhỏ theo một trong các hướng pháp tuyến nào đó (chẳng hạn theo hướng trục 0Z)

Hình 2.2a là ví dụ về trạng thái ứng suất phảng

Hình 2.2a - Ví dụ ửng suất phảng tâm mỏng chịu tải tác dụng trong mật phảng tấm

Trong các trường hợp này các thành phần ứng suất <x, rxz, rÍZ bằng không và không có

thành phần ứng suất nào thay đổi dọc theo chiều dầy tấm Nghĩa là các thành phần

ứng suất còn lại ơx, ơv, Txy chi phụ thuộc vào X và y mà thôi Kết cấu ứng suất phẳng tirong thực tế thường có dạng tấm hoặc thanh phẳng chịu tải trọng trong mặt phẳng củakết cấu

• Biến dựng phang : các bài toán khảo sát các vật thê dài trong dó dạng hình học và

tải trọng không thay đổi theo hướng dọc trục thường quy về bài toán biến dạng phẳng Trên hình 2.2b dẫn ra một số ví dụ điển hình Trong các trường hợp này chuyển vị dọc trục H» không đổi, ứng với chuyển động tịnh tiến cùa vật rắn tuyệt

đôi, còn các chuyển vị thẳng trong z ứng với các chuyển động xoay vật rắn, các

chuyên vị này không gây nên biến dạng Như vây nếu ta xét tiết diện ngang cách

xa đầu mút, ta có thê giả thiết w = 0 còn các chuyên vị u và V chi là hàm của các toạ độ X và y chứ không phụ thuộc vào z, từ đó suy ra:

quan hệ vật liệu cho vật liệu đàn hồi đẳng hướng có dạng :

3 2 CÁC NGUYÊN LÝ c ơ BÀN CỦA c ơ HỌC KẾT CÁU

riiiin lu' ứng suất dối xứng trục : Một số bài toán phân tích ứng supt ilưoL qu.in

tam tu ng thực tế, là bài toán khảo sát vật thể đối xứng trục, chịu

Xứna tu c Ví dụ tiêu biểu là ống trụ tròn chịu áp lực đều bên trong hi>.K hen ngoài

(hình 2

độc lập

2c) Biến dạng trở nén dối xứng đối với trục y, các thành ph II ưng MI.Ư la

dối với góc ớ, và toàn bộ các dạo hàm theo ổ triệt tiêu Các hanh phan >t

ỵz0 , To, bàng 0 Quan hệ chuyển vị biến dạng có dạng:

”7Z*\

tải trọng đối

Hình 2.2b • Ví dụ biến dạng phẳng

thực qua các chuyển vị ảo hay ngược lại Tương ứng, nguyên lý công khả dì có thể phân thành nguyên lý chuyển vị khả dĩ và nguyên lý lực khả dĩ.

3 4 CÁC NGUYÊN LÝ c ơ BẢN CỦA c ơ HỌC KẾT CẤU

Nguyên lý chuyển vị khả dT dựa trên cơ sở công khả dĩ sinh ra bởi các lực thực qua các chuyển vị khả dĩ Như sẽ chi ra vể sau, nguyên lý này dẫn tới điều kiện cân bằng và được sử dụng đê hình thành mô hình chuyển vị của phương pháp phần tử hữu hạn Còn nguyên lý lực khả dĩ sử dụng công khả dT sinh ra bởi các lực khả dĩ trên các chuyển vị thực Từ nguyên lý lực khả dT dẫn tới điều kiện liên tục và được dùng trong mô hình cân bằng lực

2.4.1 Nguyên lý chuyên vị khả dĩ

Trong trường hợp vật rắn hay kết cấu 3 chiểu, chuyển vị tại một điểm bất kỳ được xác định bởi 3 thành phẩn u , V, H> song song với các trục của hệ toạ độ D e s c a r t e s X, y, z

Các chuyển vị u, V, w là các hàm liên tục của các toạ độ X, y, z Chuyển vị khả dĩ bất

kỳ cũng là các hàm liên tục hơn nữa cũng phải thoả mãn các điểu kiện biên động học Xét vật thể 2 chiểu trên hình 2.2a Các điều kiện cân bằng viết cho ứng suất bên trong

và trên biên vật thể là các phương trình (2.5) và (2.6) được viết lại như sau:

Để sáng tỏ ý nghía vật lý của phương trình ta quan niệm Su và ỏv là các chuyển vị khả

dĩ, đổng thời khai triển mỗi thành phần nhờ công thức G r e e n 2 chiều Nếu ộ(x,y) và

¥ÍAr,y) là các hàm liên tục cùng với đạo hàm riêng cấp 1 và 2, thì theo công thức G r e e n

ta có :

Như vậy phương trình (2.26) được chuyển thành :

õõu âổv ( âỗv âôu 'll

Mỗi tích phân trong phương trình trên đều có ý nghĩa riêng Tích phân thứ hai ở vế trái

(2.31) là công khả dĩ thực hiện bởi các lực khối trên các chuyển vị khả dĩ ổu và ổv

Tích phủn đường có thể đơn giản hoá nhờ phương trình (2.6) như sau :

| [ ( ơ v./ + Tv m ) ổ u + + ơ y m ) ỏ v \ dS = ị ( X s ổ u + Ys ô v ) d S (2.32)

Như vậy tổng công khả dl của ngoại lực ôw, bằng :

s w t = I I ( x hỏ u + Yh5 v) d xd y + 1 ( x , ổ i i + Ysỗ v ) d S (2.33)

3 6 CÁC NGUYÊN LÝ c ơ BẢN CỦA c ơ HỌC KẾT CẤU

Để dẫn ra ý nghĩa cùa tích phân thứ nhất trong vế trái cùa phương trình (2.31), ta xét

phân tố dxdy có chiều dày đơn vị, chịu ứng suất ơx như trên hình 2.3:

Như vậy tích phân thứ nhất cùa phương trình (2.31) là tổng công khả dì cùa nội lực do

hệ ứng suất ơ„ ơy, Tty sinh ra.

Đồng thời chuyển vị khả dĩ Su sinh ra biến thiên biến dạng :

S e , =

X d S u

S u + — - d x

â x dx

- S u

=> S e , = â S u

Biến dạng Se, được gọi là biến dạng khả dĩ theo phương X.

Thế (2.35) vào (2.34) ta được công khả dĩ của nội lực thực hiện trên ứng suất :

Công khả dì cùa nội lực = ơ x5e x Axdy (2.36)

Như vậy ta có thể viết lại tổng công khả dĩ của nội lực cho bởi tích phân thứ nhất của phương trình (2.31) như sau :

PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ T H U Y Ế T VÀ LẬP TRÌNH 3 7

S ư - ị ị { ơ xỏ e x + ơ yổ e y + T xy 5 ỵ xy) dxdy (2.37)

Các kết quả trên có thể mở rộng ra cho các hệ ứng suất 3 chiều (biểu thức 2.3a) Tổng công khả dì cùa nội và ngoại lực có thể biểu diễn bời phương trình sau :

Theo trình bày trên phương trình (2.31) trờ thành

Từ phương trình trên suy ra đê vật thé cán bằng thì tổng công klià dĩ của nội lục phải

bằng tổng công khá dĩ cùa ngoại lực Biểu thức toán học trên là điều kiện cần để cân

bằng Nếu ta áp dụng công thức Green một lẩn nữa theo chiều nghịch ta có phương trình :

3 8 CÁC NGUYÊN LÝ c ơ BẢN CỦA c ơ HỌC KẺT CẤU

Đối với giá trị bất kỳ của chuyên vị khả dĩ Su và Sv, quan hệ trên chỉ đúng khi mọi

thành phần trong ngoặc triệt tiêu và điều đó một lẩn nữa dẫn về phương trình cân bằng (2.5) và (2.6)

Từ đó có thể kết luận là quan hệ s w e = SU là điều kiện cần và đù đế hệ cân bằng, và nguyên lý chuyển vị khả dĩ có thể phát biểu như sau: Hệ biên dạng là cân bằng khi

tổng công khả dĩ của ngoại lực bằng tổng công khả dĩ của nội lực đói với mọi chuyển vị khả dĩ thoả mãn các diêu kiện biên động học

2.4.2 Phương pháp chuyên vị đơn vị cưỡng bức

Xét vật thể hay hệ kết cấu trong trạng thái ứng suất ơ x, ơy, ơ z, Txy, Txl, Tyz. Giả sử cho

chuyển vị khả dĩ ỗr tại điểm đật lực và theo hướng của ngoại lực p, đồng thời giữ

nguyên vị trí của các tải trọng khác Nghĩa là chuyển vị khả dĩ của các ngoại tải còn

lại bằng không Khi đó công khả dl của các ngoại tải là p.ỏr Còn chuyển vị khả dĩ ỗr gây lẽn các biến dạng khả d7 S e rx f i s \ , ổ ỵ rXÍ fiy\.z r-x ■ Theo nguyên lý chuyển vị khả dì ta có :

P S r = JJJ ( ơ xổ £ rx + ơ yổ £ y + ơ zỏ £ rz + Txyỏ ỵ rxy + Tyỉổỵ^z + T.xỏ ỵ r.x ) iiv (2.43)

trong đó ÔEX,Õ£\ ÔỴ,x là các biến dạng khả dĩ do chuyên vị khả dĩ đơn vị tại điếm đặt lực và hướng của p Biểu thức trên viết gọn thành :

Trong công thức trên {ơ} là vectơ chứa các thành phần ứng suất thực còn [Ss'} là

vectơ biến dạng khả dl do chuyển vị khả dĩ đơn vị gây nên

Về mặt vật lý, p có thể mô tả như thước đo độ cứng cùa kết cấu NghTa là p là lực gây

ra tại điểm đật lực i của hệ biến dạng theo hướng của p một chuyển vị đơn vị Kết cấu càng cứng thì để gây ra một chuyển vị đơn vị, giá trị của lực p càng phải lớn Để minh

Giả sử ôr bằng đơn vị ta có :

(2.44)

(2.44a)

PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH 3 9

hoạ ta xét hệ dàn 3 thanh chịu tải thẳng đứng p = 50 kN (hình 2.4) Tiết diện các thanh

A1=A2=A3=A; Môđun đàn hồi E.

H ì n h 2 4 - D à n 3 t h a n h

Các thành phán của chuyển vị thực tại nút 1 là u và V như trên hình 2.4 Từ các chuyển

vị này có thể xác định được các thành phần biến dạng cho hệ dàn đơn giản trên :

4 0 CÁC NGUYÊN LÝ Cơ BẢN CỦA c ơ HỌC KÉT CẤU

Cũng theo các bước trên ta tính biến dạng khả dĩ, gây nên bởi chuyển vị khả dĩ ổv = 1

Se = — Se, = 0 Se = - —

V = 200

Vĩ A E

(d)