Ta xét bài toán biên 2 chiều trong Chương 2. Cho Th ∈ K là một pháp tam giác phân của miền Ω ⊂ R2 với biên Γ và cho Vh là không gian tương ứng của các hàm tuyến tính liên tục từng mảnh. Cho Ni, i = 1, ..., M, biểu thị các nút của Th và ϕ1, ..., ϕM là cơ sở tự nhiên cho Vh, tức là ϕi(Nj) = δij. Chúng ta cần tìm ra nghiệm ξ ∈ RM của hệ phương trình tuyến tính
trong đó A = (aij), b = (b1, ..., bm), aij = P K∈ThaKij, bi = P K∈ThbKi , aKij = Z Ω (5ϕi.5ϕj +ϕiϕj)dx, bKi = Z Ω f ϕidx+ Z Ω∩Γ gϕids. (3.3)
Chương trình máy tính sẽ được chia thành các chương trình con thực hiện các công việc sau:
(a) Đầu vào của dữ liệu f,Γ,Ω và các hệ số của phương trình. (b) Xây dựng và biểu diễn phép tam giác phân Th.
(c) Tính toán phần tử của ma trận cứng aK và phần tử tải bK (d) Tập hợp toàn bộ các ma trận A và véc tơ b.
(e) Giải nghiệm của hệ phương trình Aξ = b. (f) Trình bày kết luận.
Lưu ý rằng khi giải hệ tuyến tính Aξ = b ta có thể sử dụng phương pháp Gauss hoặc phương pháp lặp để giải hệ tuyến tính. Tuy nhiên, ma trận A trong trường hợp này là ma trận thưa, nên thay vì dùng một mảngA(M, M)
Kết luận
Với việc nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn trong việc giải phương trình đạo hàm riêng, luận văn đã trình bày có hệ thống các vấn đề liên quan đến phương pháp phần tử hữu hạn.
Luận văn đã trình bày được phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán biên 1 chiều và cho phương trình Poisson, sử dụng Matlab chạy một vài ví dụ số. Tuy nhiên, luận văn còn có một số hạn chế như: Hệ thống ví dụ đưa ra chưa đa dạng và còn đơn giản . . .
Cuối cùng, một lần nữa em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích, các thầy cô phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Em xin chân thành cảm ơn thầy TS. Hà Bình Minh
đã tận tình hướng dẫn em hoàn thành bản luận văn này. Em xin bày tỏ sự cảm ơn đóng góp của các thầy cô đã giúp luận văn được hoàn chỉnh hơn.
Tài liệu tham khảo
[1] laes Johnson, Numerical solution of partial differential equations by the finite element method, Cambridge University Press, 1987.
[2] tanley J. Farlow, Partial Differential Equations for Scientists and Engi- neers, Dover Publications, 1982.