Phương pháp tách biến giải các phương trình đạo hàm riêng

Hà Nội, tháng 12 năm 2014TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 PHẠM THÚY HÀ PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG * LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... Lý do chọn đề tài Phương ph

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM THÚY HÀ

PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM

RIÊNG

*

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 PHẠM THÚY HÀ

PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM

RIÊNG

LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN VĂN NGỌC

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Nguyễn Văn Ngọc Em xin được gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Nguyễn Văn Ngọc Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành của mình tới toàn bộ các thầy, cô giáo trong khoa đã tham gia giảng dạy và giúp

đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập cao học chuyên ngành Toán giải tích tại trường.

Em xin chân thành cảm ơn ban Giám hiệu, phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình em học tập và nghiên cứu.

Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác

giả

Phạm Thúy Hà

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại Học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Ngọc.

Tôi xin cam đoan rằng kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác

giả

Phạm Thúy Hà

Mục lục

Mở đầu 1

1.1 Một số kiến thức bổ trợ 3

1.1.1 Không gian L p 3

1.1.2 Các bất đẳng thức và các định lý về tích phân 4

1.1.3 Biến phân bị chặn 4

1.2 Chuỗi Fourier trong L 1 5

1.2.1 Khái niệm về chuỗi Fourier 5

1.2.2 Hội tụ của chuỗi Fourier 6

1.2.3 Chuỗi Fourier - Cosin và chuỗi Fourier - Sin 6

1.3 Chuỗi Fourier trong L 1 7

1 Các phương trình đạo hàm riêng một chiều 24

1.3.1 Dãy trực giao 7

1.3.2 Bất đẳng thức Bassel - Định lý Parseval 9

1.4 Khái niệm về bài toán Sturm - Liouville 12

1.4.1 Khái niệm 12

1.4.2 Tính chất 13

1.4.3 Các ví dụ đơn giản 14

1.4.4 Các ví dụ phức tạp hơn 18

1.5 Khai triển vào chuỗi các hàm Bessel 21

1.5.1 Khái niệm về hàm Bessel 21

1.5.2 Khai triển hàm số vào chuỗi các hàm Bessel 22

2.2 Truyền nhiệt trong hình trụ tròn xoay - Bài toán đối xứng trục 31 2.3 Phương trình truyền nhiệt không thuần nhất trong thanh hữu hạn 32

2.3.1Trường hợp điềukiện biên thuần nhất 32

2.3.2Trường hợp điềukiện biên không thuần nhất 34

2.4 Phương trình sóng thuần nhất trên khoảng hữu hạn 35

2.4.1Nghiệm hình thức của bài toán dao động của một dây có hai đầu cố định - Bài toán biên Dirichlet 35

2.4.2Tính đúng đắn của nghiệm bài toán dao động của một dây 38 2.5 Phương trình sóng không thuần nhất trên khoảng hữu hạn 43

2.5.1Trường hợp điềukiện biên thuần nhất 43

2.5.2Trường hợp điềukiện biên không thuần nhất 47

3 Các phương trình đạo hàm riêng hai chiều 51 3.1 Phương trình Laplace trong hình chữ nhật 51

3.2 Phương trình truyền nhiệt trong hình chữ nhật 53

3.2.1Trường hợp cùng hệ số khuếch tán 53

3.2.2Trường hợp hệ số khuếch tán khác nhau 58

3.3 Phương trình sóng thuần nhất trong một hình chữ nhật 60

3.3.1Phát biểu bài toán 60

3.3.2Phương pháp tách biến - Thỏa mãn điều kiện biên 61

3.3.3Thỏa mãn điều kiện ban đầu 63

3.4 Phương trình sóng không thuần nhất trong hình chữ nhật 64

3.4.1Trường hợp điềukiện biên thuần nhất 64

3.4.2Trường hợp điềukiện biên không thuần nhất 66

3.5 Phương trình sóng trong hình tròn 69

3.5.1Phát biểu bài toán 69

3.5.2Phương pháp tách biến 70

Tài liệu tham khảo

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phương pháp tách biến, hay còn gọi là phương pháp Fourier, là một trong những phương pháp hữu hiệu giải các phương trình đạo hàm riêng Thực chất của phương pháp tách biến là đưa các phương trình đạo hàm riêng nhiều biến số về giải các phương trình vi phân thường đối với một biến số Liên quan với các điều kiện biên của bài toán, xuất hiện bài toán Sturm-Liouville tương ứng đối với các toán tử vi phân có phổ rời rạc, hoặc liên tục.

Từ đó, nghiệm của phương trình đạo hàm riêng hoặc được tìm ở dạng chuỗi, hoặc dạng tích phân của các hàm riêng.

Với mong muốn được tiếp cận tới lý thuyết về phương trình đạo hàm riêng và phương pháp tách biến giải các phương trình đạo hàm riêng, được sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Ngọc, tôi đã chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình là “Phương pháp tách biến giải các phương trình đạo hàm riêng”.

2 Mục đích nghiên cứu

Mục tiêu của luận văn này là tìm hiểu sâu hơn về phương pháp tách biến và trình bày các kết quả về việc áp dụng phương pháp tách biến vào việc giải một số phương trình đạo hàm riêng một chiều, hai chiều, trong đó các bài toán Sturm-Liouville tương ứng có phổ rời rạc.

3 Nhiệm vụ nghiền cứu

Trong luận văn của mình ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo luận văn đã trình bày 3 chương sau:

Chương 1 Các kiến thức bổ trỢ: trình bày kiến thức cơ bản về không gian L p , các định

lí về tích phân, biến phân bị chặn, kiến thức cơ bản về chuỗi Fourier, dãy trực giao, khái niệm về bài toán Sturm-Liouville, hàm Bessel, các định lí duy nhất nghiệm, giới thiệu về phương pháp tách biến để phục vụ cho việc giải các bài toán ở chương 2, chương 3 và một

số ví dụ đơn giản.

2.1 Phương trình truyền nhiệt thuần nhất trong thanh hữu hạn 24 2.1.1 Nghiệm của bài toán truyền nhiệt 24 2.1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình truyền

nhiệt 27

2 Chương 2 Các phương trình đạo hàm riêng một chiều: sử dụng phương pháp tách biến

và hàm riêng để tìm nghiệm của phương trình truyền nhiệt, sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình truyền nhiệt Truyền nhiệt trong hình trụ tròn xoay-Bài toán đối xứng trục Phương trình truyền sóng thuần nhất trên khoảng hữu hạn Bài toán biên Dirichlet cùng một số ví dụ về tìm nghiệm của phương trình sóng và phương trình truyền nhiệt Chương 3 Các phương trình đạo hàm riêng hai chiều: giải một số bài toán bằng phương pháp tách biến của phương trình Laplace trong hình chữ nhật, phương trình truyền nhiệt trong hình chữ nhật Bài toán truyền nhiệt trong hình quạt Phương trình sóng hai chiều không thuần nhất trên hình chữ nhật Đưa các phương trình đạo hàm riêng về các bài toán Sturm-Liouville tương ứng, giải quyết triệt để việc tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sóng 2 chiều trong các trường hợp và điều kiện biên khác nhau Các nghiệm tìm được đều biểu diễn dưới dạng chuỗi lượng giác của các hàm.

4 Đối tượng và phạm vi nghiền cứu

Phương pháp tách biến giải các phương trình đạo hàm riêng.

5 Phương pháp nghiên cứu

Đưa các phương trình đạo hàm riêng về các bài toán Sturm - Liouville tương ứng.

6 Những đóng góp mới của đề tài

Giải một số bài toán biên khó xuất hiện trong cơ học và vật lý.

3

Chương 1 Các kiến

thức bổ trơ

*

1.1 Một số kiến thức bổ trỢ

Các kiến thức của mục này chủ yếu được trích ra từ tài liệu [1].

1.1.1 Không gian ư

Với p là số thực: 1 < p < oo, e Kn ta định nghĩa L p (fi) là lớp các hàm f(x) xác định trên fi,

sao cho

(1.1)

L p (íí) là một không gian Banach Đặc biệt, L 2 (Jl) là một không gian Hilbert với tích vô

hướng

(1.2)

trong đó g(x) là liên hợp phức của g(x).

Hàm f(x) xác định trên được gọi là chủ yếu bị chặn trên nếu tồn tại hằng số dương c, sao

cho |/(x)| < c hầu khắp nơi trên fi Cận dưới lớn nhất của các hằng số c được ký hiệu là esssup xef2 \f(x)\.

Ta ký hiệu L°°(Q) là không gian của tất cả các hàm chủ yếu bị chặn trên íl Chuẩn trong

L°°(Q) được xác định theo công thức

ll/lloo = esssup xf : fí |/(a;)|

trong đó sup lấy trên tất cả các phân hoạch đơn vị của [a, 6] Dưới đây

là mệnh đề quan trọng về sự trù mật trong L p

Định lý 1.1 (Về sự trù mật)

i) Nếu khoảng (a,b) là hữu hạn thì các lớp hàm sau đây sẽ trù mật khắp nơi trong L p (a, b):

M — lớp các hàm bị chặn,

C-lóp các hàm liên tục,

S—lớp các hàm bậc thang,

P—lớp các đa thức đại số,

T—ỉớp các đa thức ỉượng giác trù mật khắp nơi trong L p (—TT,Tr) ii) Lớp Sc của tất cả các hàm bậc thang trù mật trong L p (— 00 , 00 ),

(p > 1).

1.1.2 Các bất đẳng thức và các định lý về tích phân

Định lý 1.2 (Bất đẳng thức Hôlder) Nếu / e L p , g € L q , trong đó p,q~Ị£ 1, thì

ll/slli < \\ỉ\\p\\9\\ q ,-+- = 1 (1.3)

p Q

Định lý 1.3 (Bất đẳng thức Minkowski) Nếu p ^ 1, thì

II/ + ỡllp ^ Il/Ilĩ> + llữllp- (1-4)

Định lý 1.4 (Định lý Lebesgue) Giả sử trên Q cho dẫy cáchàm khả tổng {fk( x )}T hội tụ hầu khắp nơi đến hàm f(x) Nếu tồn tại hàm thực

F(x) ^ 0, F(x) e L 1 (ÍÌ) J sao cho \fk(x)\ ^ F(x), X e 0, Vfc thì f(x) e L 1 (íì) và

lim fk{x)dx = / f(x) dx

n

Định lý 1.5 (Định lý Fubini) Cho F(x,y) khả tích trên ííi X íí 2- Khi đó

X -> I F(x,y)dy khả tích trên ííi, y -> / F(x,y)dx khả tích trên ĩì 2 Ngoài ra

/ dx I F(x,y) dy — J dy I F(x, y dx — I F(x,y)dxdy (1-5)

íìi ÍÌ2 í^2 íìl ÍÍ1XÍÍ2

1.1.3 Biến phân bị chặn

Định nghĩa 1.1 Cho / là hàm số ( thực hoặc phức ) xác định trên đoạn [a,b] Giả sử p =

{xo,xi, ,x } là một phân hoạch của đoạn [«, 6], nghĩa là

00

7r

5

a — X Ũ < Xị < < x n — b Hàm số f(x) được gọi là có biến phân bị chặn trên đoạn [a, 6],

nếu

(1.6)

1) Nếu f(x) là hàm thực đơn điệu trên [a, 6], thì Va (/) = 1/(6) - /(a)|.

2) Nếu [a,b] thì Va(/) ^ M(b- a).

* Các tính chất của hàm có biến phân bị chặn

1) Hàm nhận giá trị phức biến thực f(x) có biến phân bị chặn trên [a,b], khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của nó có biến phân bị chặn trên [ữ, b\.

2) Nếu f(x) có biến phân bị chặn thì f(x) bị chặn: |/(x)| < |/(a)| + v£(f).

3) Giả sử f(x) là hàm số thực Hàm f(x) có biến phân bị chặn trên [a, 6] khi và chỉ khi nó

là hiệu hàm đơn điệu tăng và bị chặn trên [ữ, b]\

f(x) = g(x) - h(x).

1.2 Chuỗi Fourier trong L1

Các kiến thức của mục này chủ yếu được trích ra từ tài liệu [1].

1.2.1 Khái niệm về chuỗi Fourier

Với hàm / e L 1 [—7T, 7r], nghĩa là / khả tích Lesbesgue trên [—7T, 7r], ta định nghĩa chuỗi Fourier của / là chuỗi hàm lượng giác như sau

(1.7)

trong đó

(1.8)

3) Nếu / là hàm liên tục tuyệt đối trên [a, 6], nghĩa là có dạng

b n = — / (x'i sin nx'dx', n = 0,1, 2, (1-9)

7Г J

— 7Г

Chuỗi (1.7) được gọi là chuỗi lượng giác của hàm f(x) và mối quan hệ trên đây được ký hiệu

là

00

/ 0*0 ~ о + £ (a n COS Ĩ I X + b n sin n x ).

71= 1 Lưu ý rằng ký hiệu ~ không mang ý nghĩa gì về sự hội tụ của chuỗi trên, đơn giản là nó chỉ mối liên hệ (1.7)- (1.9) mà thôi.

Nếu / tuần hoàn với chu kỳ 2-7Г, ta có định nghĩa chuỗi Fourier của / tương tự

như trên Trong đó các hệ số a n , b n được tính trên mỗi đoạn tùy ý [a,a + 27г].].

Nếu / tuần hoàn với chu kỳ 21, bằng phép đổi biến í = — , ta đưa về trường

hợp tuần hoàn với chu kỳ 2iĩ.

Để ý rằng vì / € L 1 [—7Г,7Г] nên các tích phân trong (1.9) tồn tại.

1.2.2 Hội tụ của chuỗi Fourier

Định nghĩa 1.2 ( Điều kiện Dirichlet) Cho / là hàm số (thực hoặc phức) xác định trên (a,b).

Các điều kiện sau đây được gọi là điều kiện Dirichlet

(i) Tồn tại f(a + ),f(b~) và / có biến phân bị chặn trên [a,b].

(ii) Có nhiều nhất là hữu hạn các điểm thuộc đoạn [a, 0] sao cho khi bỏ đi các lân cận

bé tùy ý của những điểm này thì / có biến phân bị chặn trên các phần còn lại của đoạn [a., 0], hơn nữa / e L 1 (a,ò).

Định lý 1.6 Cho Ị e L 1 [—7Г,7Г] Г,7Г,7Г] Г] Nếu Ị thỏa mẫn điều kiện Dirichỉet trong (— 7Г,7Г] Г,7Г,7Г] Г) thì chuỗi Fourier của f sẽ hội tụ về / (x) tại các điểm X e (—7Г,7Г] Г,7Г,7Г] Г) mà tại

đó hàm Ị liên tục, hội tụ về \ [/ (ж + ) + / (ж - )] nếu X là điểm gián đoạn thông thường, hội tụ về I [/ (—7Г,7Г] Г + ) + / ( 7 Г - )] tại X = ±7Г,7Г] T nếu ỉ ( 7 т - ) và f (—7Г,7Г] T + ) tồn tại.

1.2.3 Chuỗi Fourier - Cosin và chuỗi Fourier - Sin

Cho / e L 1 [о,7г].] và thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (0,7r) Ta định nghĩa / trên (—7Г,

0) bằng công thức / (x) = f (—x) , X Ç (—7Г, 0) Khi đó, / e L 1 [—7Г, 7г].] và thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (—7Г, 7r) vì vậy có thể áp dụng kết quả phần

7r

7T

7

trên Ngoài ra, do / là hàm chẵn

// (a/) dx', a n = — / (a/) cos nx'dx', b n = 0, n = 1, 2,

7T 7

0 0

Tương tự, nếu chúng ta thác triển f(x) từ (0,7r) sang (—7T,0) theo công thức f(x) = -f(-x),x e

(—7Tj 0), thì ta có chuỗi sin sau đây

00 2 ỉ( x ) ~ / a n sin nx, a n — — I f(x') sin nx'dx'.

71" J n

Ta có các định lý sau

Định lý 1.7Г,7Г] Cho /Ẽi 1 [0,7Г,7Г] r] dồ thỏa mãn điều kiện Dirichỉet trên (0,7Г,7Г] r) Khi

đó, ta có chuỗi cosin

— / / (x 1 ) dx' -ị—cos nx / / íx ; ) cos nx'dx' (1-10)

7Г,7Г] T J lĩ —^ J

0 1 0

hội tụ về I [/ (a:+ ) + / (z -)] tại những điểm X e (0,7r) mà / (a: + ) / (a: -) tồn

tại; hội tụ về Ị (o + ) tại X = 0 nếu ỉ (o + ) tồn tại; hội tụ về Ị (7Г,7Г] T _ ) tại X = 7Г,7Г] T nếu

ỉ (7Г,7Г] T _ ) tồn tại.

Định lý 1.8 Cho Ị e L 1 [0,7Г,7Г] r] và thỏa mẫn điều kiện Dirichỉet trên (0,7Г,7Г] r) Khi đó, ta

có chuỗi sin

2

sin nx / / (xr) sin nx'dx' 0

hội tụ về I [/ (x + ) + / (x )]

tại những điểm X e (0,7Г,7Г] r) mà Ị (x + ) và ỉ (x ) tồn tại; hội tụ về 0 tại X = 0 hay X = ĩĩ.

1.3 Chuỗi Fourier trong L2

Các kiến thức của mục này chủ yếu được trích ra từ tài liệu [1].

1.3.1 Dãy trực giao

Xét không gian L 2 các hàm thực bình phương khả tích trên [—7T,7r].

Trong

L 2 , dãy hàm {</?„ IngN} được gọi là một hệ trực giao nếu

7r

j ụ>m (x) ụ>n (x) dx = 0, Vm Ỷ n (1-12)

Ị

< p 2 n ( x ) '

— lĩ

và nếu hệ {íp n |„£n} có thêm tính chất

thì ta nói hệ {<£>„} trực chuấn.

Cho hàm / G L 2 , với hệ trực chuẩn {</?„}, ta đặt

7Г

C n = Ị f ( x ) ( p n ( x ) d x , V n e N (1-14)

00

thì ta gọi ^2 c n ự> n là chuỗi Fourier của hàm / (ứng với hệ trực chuẩn {<£«}) và

n=0

00

kí hiệu là / ~ ^2

°n<Pn-n=0

Ta xét bàitoán khi nào hàm ơ n có dạng

ơ n = o - o V o + + • • ■ + ữ n i p n (1.15)

là xấp xỉcủa hàm / tốt nhất theo nghĩa đại lượng sau đây đạt cực tiểu

7Г

s n = II/ - &n II2 = J [ỉ ( x ) - ơ n (x)] 2 dx (1-16)

— 7Г

Ta có định lý sau

Định lý 1.9 ơ n ỉà xấp xỉ tốt nhất của f khi và chỉ khi

Chứng minh Ta có

<5n = J / 2 (x) dx+ Ị ơị (x) dx - 2 J f (x) ơ n (x) dx

= J f 2 ( x ) d x + Ị [ $ ^ a f c ¥ > f c ( a ; ) J d x - 2 J ỉ ( x ) a k i p k ( x ) d x

= J f 2 ( x ) d x + Ị ^ 2 a ị i p ị ( x ) d x + Ị ^ 2 a p a q ( p p ( x ) ( p q ( x ) d x

0 < p, 5 < 71 ìỀ»*/.

fc=o J

7T

1* 7Г,7Г] 1

Ta có: / / 2 (x) dx và là các hằng số Do đó, ỗ n đạt cực tiểu khi và chỉ khi

— 7r

n

(ajfc — Cfc) 2 = 0, tức là aỵ = Cfc, VA: = 0 , n □ fe=o

1.3.2 Bất đẳng thức Bassel - Định lý Parseval

00

Bất đẳng thức Bassel: Giả sử CỊ-tpk là chuỗi Fourier của / ứng với hệ

k=0

trực chuẩn {<£„} Khi đó

7r

/ 00

/ 2 (x)dx > C 1- í 1 - 18 )

*=0

Chứng minh Trong chứng minh của định lý 1.9, ta có giá trị cực tiểu là ỏn là

ỏ n = J [ ỉ ( x ) - ơ n ( x ) } 2 d x = J Ị 2 { x ) d x - ' S ^ 2 / c ị > 0 V n

7T

Suy ra, 5^ 4 < / / 2 (x) da.

fc=o

Chứng minh Ta có

71

Do đó, chuỗi 4 hội tụ và ta có điều phải chứng minh.

Jfe=0