Phương pháp tách biến giải các phương trình đạo hàm riêng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI PHẠM THÚY HÀ PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG * Hà Nội, tháng 12 năm 2014 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI PHẠM THÚY HÀ PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG LUẬN VĂN THẠC Sĩ TỐN HỌC Chun ngành : TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN NGỌC Hà Nội, tháng 12 năm 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Văn Ngọc Em xin gửi lời cảm ơn chân thành lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Nguyễn Văn Ngọc Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tồn thầy, cô giáo khoa tham gia giảng dạy giúp đỡ chúng em suốt trình học tập cao học chun ngành Tốn giải tích trường Em xin chân thành cảm ơn ban Giám hiệu, phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi trình em học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Phạm Thúy Hà LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành trường Đại Học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Nguyễn Văn Ngọc Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Phạm Thúy Hà Mục lục Tài liệu tham khảo 75 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương pháp tách biến, hay gọi phương pháp Fourier, phương pháp hữu hiệu giải phương trình đạo hàm riêng Thực chất phương pháp tách biến đưa phương trình đạo hàm riêng nhiều biến số giải phương trình vi phân thường biến số Liên quan với điều kiện biên toán, xuất toán Sturm-Liouville tương ứng toán tử vi phân có phổ rời rạc, liên tục Từ đó, nghiệm phương trình đạo hàm riêng tìm dạng chuỗi, dạng tích phân hàm riêng Với mong muốn tiếp cận tới lý thuyết phương trình đạo hàm riêng phương pháp tách biến giải phương trình đạo hàm riêng, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Ngọc, chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ “Phương pháp tách biến giải phương trình đạo hàm riêng” Mục đích nghiên cứu Mục tiêu luận văn tìm hiểu sâu phương pháp tách biến trình bày kết việc áp dụng phương pháp tách biến vào việc giải số phương trình đạo hàm riêng chiều, hai chiều, tốn Sturm-Liouville tương ứng có phổ rời rạc Nhiệm vụ nghiền cứu Trong luận văn ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo luận văn trình bày chương sau: Chương Các kiến thức bổ trỢ: trình bày kiến thức không gian LP, định lí tích phân, biến phân bị chặn, kiến thức chuỗi Fourier, dãy trực giao, khái niệm tốn Sturm-Liouville, hàm Bessel, định lí nghiệm, giới thiệu phương pháp tách biến để phục vụ cho việc giải toán chương 2, chương số ví dụ đơn giản Chương Các phương trình đạo hàm riêng chiều: sử dụng phương pháp tách biến hàm riêng để tìm nghiệm phương trình truyền nhiệt, tồn nghiệm phương trình truyền nhiệt Truyền nhiệt hình trụ trịn xoay-Bài tốn đối xứng trục Phương trình truyền sóng khoảng hữu hạn Bài tốn biên Dirichlet số ví dụ tìm nghiệm phương trình sóng phương trình truyền nhiệt Chương Các phương trình đạo hàm riêng hai chiều: giải số toán phương pháp tách biến phương trình Laplace hình chữ nhật, phương trình truyền nhiệt hình chữ nhật Bài tốn truyền nhiệt hình quạt Phương trình sóng hai chiều khơng hình chữ nhật Đưa phương trình đạo hàm riêng tốn Sturm-Liouville tương ứng, giải triệt để việc tìm nghiệm tổng qt phương trình sóng chiều trường hợp điều kiện biên khác Các nghiệm tìm biểu diễn dạng chuỗi lượng giác hàm Đối tượng phạm vi nghiền cứu Phương pháp tách biến giải phương trình đạo hàm riêng Phương pháp nghiên cứu Đưa phương trình đạo hàm riêng tốn Sturm - Liouville tương ứng Những đóng góp đề tài Giải số tốn biên khó xuất học vật lý 8 Chương Các kiến thức bổ trơ 1.1 * Một số kiến thức bổ trỢ Các kiến thức mục chủ yếu trích từ tài liệu [1] Khơng gian 1.1.1 Với P số thực: < p < oo, e K n ta định nghĩa LP (fi) lớp hàm F(X) xác định fi, cho (1.1) Số ||/||p gọi chuẩn hàm F(X) LP (íí) khơng gian Banach Đặc biệt, L2(JL) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng (1.2) G(X) liên hợp phức n Hàm F(X) xác định G(X) gọi chủ yếu bị chặn tồn số dương C, cho |/(x)| < c hầu khắp nơi fi Cận lớn số c ký hiệu esssupxef2 \F(X)\ Ta ký hiệu L°°(Q) không gian tất hàm chủ yếu bị chặn íl Chuẩn L°°(Q) xác định theo cơng thức ll/lloo = ESSSUPXF:FÍ |/(a;)| SUP lấy tất phân hoạch đơn vị [a, 6] Dưới mệnh đề quan trọng trù mật LP 9 Định lý 1.1 (Về trù mật) i) Nếu khoảng (a,b ) hữu hạn th ì lớp hàm sau trù mật khắp nơ i L p (a, b): M — lớp hàm bị chặn, C-lóp hàm liên tục, S—l ớp hàm bậc thang, P—lớp đa thức đại số, T—ỉớp đa thức ỉượ ng giác trù mật khắp nơ i L p (—TT,Tr) ii) Lớp Sc tất hàm bậc thang trù mật L p (— 00, 00), (P > 1) Các bất đẳng thức định lý tích phân 1.1.2 Định lý 1.2 (Bất đẳng thức Hôlder) NẾU / e LP, G € LQ, TRONG ĐĨ P,Q~Ị£ 1, THÌ n Định lý 1.5 (Định lý Fubini) CHO F(X,Y) X -> I F(x,y)dy khả tích ííi, y -> / J N2 / dx •'ÍỈ! ííi X íí2- KHI ĐĨ F(x,y)dx khả tích ĩì Ngồi I F(x,y ) dy — J dy I F(x, y dx — íìi ÍÌ2 1.1.3 KHẢ TÍCH TRÊN I F(x,y)dxdy (1-5) í^2 íìl ÍÍ1XÍÍ2 Biến phân bị chặn Định nghĩa 1.1 Cho / hàm số ( thực phức ) xác định đoạn [A,B] Giả sử {XO,XI, ,XN} phân hoạch đoạn [«, 6], nghĩa P = A — XŨ < XỊ < < XN — B Hàm số F(X) gọi có biến phân bị chặn đoạn [a, 6], (1.6) 71 Ví dụ biến phân bị chặn 1) Nếu F(X) hàm thực đơn điệu [a, 6], Va6(/) = 1/(6) - /(a)| [A,B] Va6(/) ^ M(B- A) 2) Nếu 3) Nếu / hàm liên tục tuyệt đối [a, 6], nghĩa có dạng * Các tính chất hàm có biến phân bị chặn 1) Hàm nhận giá trị phức biến thực F(X) có biến phân bị chặn [A,B], phần thực phần ảo có biến phân bị chặn [ữ, B\ 2) Nếu F(X) có biến phân bị chặn F(X) bị chặn: |/(x)| < |/(a)| + V£(F) 3) Giả sử F(X) hàm số thực Hàm F(X) có biến phân bị chặn [a, 6] hiệu hàm đơn điệu tăng bị chặn [ữ, B]\ f(x) = g(x) - h(x) 1.2 Chuỗi Fourier L Các kiến thức mục chủ yếu trích từ tài liệu [1] 1.2.1 Khái niệm chuỗi Fourier Với hàm / e L1 [—7T, 7r], nghĩa / khả tích Lesbesgue [—7T, 7r], ta định nghĩa chuỗi Fourier / chuỗi hàm lượng giác 00 sau (1.7) (1.8) 7r — 7T BN =— 7Г — J 1 / (x'i sin NX'DX', N = 0,1, 2, (1-9) 7Г Chuỗi (1.7) gọi chuỗi lượng giác hàm F(X) mối quan hệ ký hiệu 00 / 0*0 ~ о + £ (A N COS Ĩ I X + BN sin N X ) 71= Lưu ý ký hiệu ~ khơng mang ý nghĩa hội tụ chuỗi trên, đơn giản mối liên hệ (1.7)- (1.9) mà thơi Nếu / tuần hồn với chu kỳ 2-7Г, ta có định nghĩa chuỗi Fourier / tương tự Trong hệ số AN, BN tính đoạn tùy Nếu / tuần hoàn với chu kỳ 21, phép đổi biến í = — , ta ý [a,a + 27г] đưa trường hợp tuần hoàn với chu kỳ 2IĨ Để ý / € L1 [—7Г,7Г] nên tích phân (1.9) tồn 1.2.2 Hội tụ chuỗi Fourier Định nghĩa 1.2 ( Điều kiện Dirichlet) Cho / hàm số (thực phức) xác định ( A,B) Các điều kiện sau gọi điều kiện Dirichlet (i) Tồn F(A+),F(B~) / có biến phân bị chặn [A,B] (ii) Có nhiều hữu hạn điểm thuộc đoạn [a, 0] cho bỏ lân cận bé tùy ý điểm / có biến phân bị chặn phần lại đoạn [a., 0], / e L1(a,ò) Định lý 1.6 Cho Ị e L [— 7Г,7Г] Nếu Ị t hỏa mẫn điều kiện Dirichỉet (— 7Г,7Г) chuỗi Fourier f hội tụ / (x) điểm X e (—7Г,7Г) mà hàm Ị liên tục, hội tụ \ [/ (ж+) + / (ж-)] X điểm gián đoạn thông thư ờng, hội tụ I [/ (—7Г+) + / (7Г-)] X = ±7T ỉ (7т-) f (—7T+) tồn 1.2.3 Chuỗi Fourier - Cosin chuỗi Fourier - Sin Cho / e L1 [о,7г] thỏa mãn điều kiện Dirichlet (0,7r) Ta định nghĩa / (—7Г, 0) công thức / (X) = F (—X) , X Ç (—7Г, 0) Khi đó, / e L1 [—7Г, 7г] thỏa mãn điều kiện Dirichlet (—7Г, 7r) áp dụng kết phầntrên Ngoài ra, / hàm chẵn 7T / 7T ao / 7r (a/) dx', a n = — / (a/) cos nx'dx', b n = 0, n = 1, 2, 7T 0 Tương tự, thác triển F(X) từ (0,7r) sang (—7T,0) theo cơng thức F(X) = -F(X),X e (—7Tj 0), ta có chuỗi sin sau 00 ỉ( x ) ~ / a n sin nx , a n — — I f(x') sin nx'dx' 71" Jn 010 HỘI TỤ VỀ I [/ (a:+) + / (z-)] TẠI NHỮNG ĐIỂM X e (0,7r) mà / (a:+) tại; hội tụ Ị (o+) X= / (a:-) TỒN ỉ (o+) tồn tại; hội tụ Ị (7T_) X= 7T ỉ (7T ) tồn _ Định lý 1.8 Cho Ị e L [0,7r] thỏa mẫn điều kiện Dirichỉet (0,7r) Khi đó, ta có chuỗi sin oo ĩ r sin NX / / (x ) sin NX'DX' 7T hội tụ I [/ (x+) + / (x )] nhữ ng điểm tại; hội tụ X= hay X= Xe (0,7r) mà _ _ Ị (x+) ỉ (x ) tồn ĩĩ Chuỗi Fourier L 1.3 Các kiến thức mục chủ yếu trích từ tài liệu [1] 1.3.1 Dãy trực giao Xét khơng gian L2 hàm thực bình phương khả tích [—7T,7r] Trong L , dãy hàm {m (x) ụ>n (x) dx = 0, Vm Ỷ hệ {ÍPN |„£n} có thêm tính chất n (1-12) I d x = , Vn (1 -1 ) ta nói hệ {„} trực chuấn Cho hàm / G L2, với hệ trực chuẩn { Ì32M2 j Đặt G hàm số liên tục đoạn [—7Г, 7г] cho G / đoạn [—7Г + Ỗ, 7Г — ổ], g (—7Г) = g (lĩ) = \ [/ (—7Г) + / (ít)] ổ tuyến tính hai đoạn [-7Г, -7Г + ổ] [7Г — S, 7г] Suy ra, G bị chặn M I/ — G\ < 2M Ngoài ra, ta xem G tuần hoàn với chu kì 2-7Г liên tục R nghĩa G thỏa mãn giả thiết định lý Fejér, nên ta có đa thức lượng giác tổng quát (tổng Fejér-Césaro G) ƠN thỏa mãn sup [g (x) - ơ„ (z)] < T х€[-7г,тг] (87 dĩ nhiên ƠN có dạng tổ hợp tuyến tính hữu hạn hàm họ trực chuẩn xét Vậy \?r —â