Ứng dụng phương pháp tách biến giải một số lớp phương trình đạo hàm riêng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN TUẤN ANH ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN GIẢI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN TUẤN ANH ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN GIẢI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ HUY CHUẨN Hà Nội - 2012 Mục lục Lời mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các loại phương trình đạo hàm riêng 1.2 Chuỗi Fourier 1.3 Hàm Bessel 1.4 Các định lí tính nghiệm 12 1.5 Phương trình sóng chiều: Phương pháp tách biến 16 Chương Phương trình đạo hàm riêng hai chiều 22 2.1 Bài toán giá trị riêng phép biến đổi Laplace 22 2.2 Phương trình Laplace 25 2.3 Phương trình sóng 38 2.4 Phương trình nhiệt 57 Kết luận 64 Tài Liệu Tham Khảo 65 LỜI MỞ ĐẦU Phương pháp tách biến phương pháp quan trọng để giải tốn biên phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Nó sử dụng suốt kỷ qua, ngày phương pháp quan trọng ứng dụng nhiều lĩnh vực Bằng việc sử dụng phương pháp tách biến kết hợp với nguyên lý chồng chất nghiệm khai triển hàm theo hệ sở trực giao, ta giải số lớp phương trình đạo hàm riêng tuyến tính khơng Mục tiêu ln văn tìm hiểu trình bày lại kết việc áp dụng phương pháp tách biến vào việc giải số phương trình đạo hàm riêng tuyến tính khơng khơng gian hai chiều Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trình bày số phương trình đạo hàm riêng, kiến thức chuỗi Fourier, hàm Bessel sử dụng chương sau, định lí nghiệm giới thiệu phương pháp tách biến Chương 2: Phương trình đạo hàm riêng hai chiều Sử dụng phương pháp tách biến hàm riêng để tìm nghiệm phương trình sóng, phương trình nhiệt phương trình Laplace hình chữ nhật, hình trịn Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS.Lê Huy Chuẩn Thầy giao đề tài tận tình hướng dẫn em trình hoàn thành luận văn Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn tời tồn thầy giáo khoa Tốn-Cơ-Tin học giảng dạy giúp đỡ chúng em suốt trình học tập khoa Đồng thời, xin cảm ơn bạn lớp Cao học khóa 2010-2012 chuyên nghành Tốn, khoa Tốn-Cơ-Tin học nhiệt tình giúp đỡ tơi trình học tập lớp Hà nội, ngày 26 tháng 11 năm 2012 Học viên Nguyễn Tuấn Anh Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các loại phương trình đạo hàm riêng Phương trình đạo hàm riêng với ẩn hàm u(x1 , x2 , , xn ) với biến x1 , x2 , , xn độc lập, có dạng ∂u ∂u ∂uk1 +k2 +···+kn ) = 0, F (x1 , , xn , u, , , , , ∂x1 ∂xn ∂xk1 ∂xknn F hàm đối số Cấp cao đạo hàm riêng u, có mặt phương trình, gọi cấp phương trình Phương trình đạo hàm riêng gọi tuyến tính, F tuyến tính ẩn hàm u tất đạo hàm riêng Xét phương trình cấp hai hàm hai biến a(x, y) ∂2u ∂2u ∂2u + b(x, y) + f (x, y, ux , uy ) = + c(x, y) ∂x2 ∂x∂y ∂y (1.1.1) Xét điểm (x0 , y0 ) cố định Phương trình (1.1.1) điểm (x0 , y0 ) gọi thuộc loại ellip điểm b2 − ac < 0, thuộc loại hypecbơn điểm b2 − ac > 0, thuộc loại parabơn điểm b2 − ac = Nếu phương trình (1.1.1) điểm miền G thuộc loại ta nói phương trình thuộc loại miền G Bằng phép đổi biến ta đưa phương trình loại ellip, hypecbơn, parabơn dạng tắc Dạng tắc loại ellip uxx + uyy = Φ(x, y, u, ux , uy ) Dạng tắc loại hypecbơn uxx − uyy = Φ(x, y, u, ux , uy ) uxy = Φ(x, y, u, ux , uy ) Dạng tắc loại parabơn uxx = Φ(x, y, u, ux , uy ) Một số phương trình đạo hàm riêng vật lý kĩ thuật: Phương trình sóng chiều ∂2u 2∂ u = c , ∂t2 ∂x2 phương trình sóng hai chiều ∂2u = c2 ∂t ∂2u ∂2u + ∂x2 ∂y , chúng thuộc loại hypecbơn Phương trình nhiệt chiều ∂u 2∂ u =c , ∂t ∂x2 phương trình nhiệt hai chiều ∂u = c2 ∂t ∂2u ∂2u + ∂x2 ∂y , chúng thuộc loại parabôn Phương trình Laplace hai chiều ∂2u ∂2u + = 0, ∂x2 ∂y phương trình Poisson hai chiều ∂2u ∂2u + = f (x, y), ∂x2 ∂y chúng thuộc loại ellip Định lí 1.1 ([3, Tr 106] Nguyên lý chồng chất) Nếu u1 u2 nghiệm phương trình đạo hàm riêng tuyến tính nhất, tổ hợp tuyến tính u = c1 u1 + c2 u2 , c1 c2 số, nghiệm Ngoài u1 u2 thỏa mãn điều kiện biên tuyến tính nhất, u = c1 u1 + c2 u2 thỏa mãn 1.2 Chuỗi Fourier Định nghĩa 1.1 (Hàm liên tục khúc) Một hàm số f gọi liên tục khúc đoạn [a, b] f (a+ ) f (b− ) tồn tại, f xác định liên tục (a, b) trừ số hữu hạn điểm mà giới hạn trái giới hạn phải tồn Một hàm tuần hoàn gọi liên tục khúc liên tục khúc đoạn [a, b] Định nghĩa 1.2 (Hàm trơn khúc) Một hàm f , xác định đoạn [a, b], gọi trơn khúc f f liên tục khúc [a, b] Một hàm tuần hồn trơn khúc trơn khúc đoạn [a, b] Định lí 1.2 ([3, Tr 30] Biểu diễn chuỗi Fourier) Giả sử f hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π trơn khúc Thì với x có ∞ f (x+ ) + f (x− ) = a0 + (an cos nx + bn sin nx), n=1 (1.2.1) hệ số Fourier a0 , an , bn xác định a0 = 2π π f (x)dx, −π (1.2.2) an = bn = π π f (x) cos nxdx (n = 1, 2, ), (1.2.3) f (x) sin nxdx (n = 1, 2, ) (1.2.4) −π π π −π Đặc biệt, f trơn khúc liên tục x, ∞ f (x) = a0 + (an cos nx + bn sin nx) (1.2.5) n=1 Nhận xét 1.1 Các hệ số an , bn Fourier f tính theo cơng thức sau nhờ tính chất hàm tuần hồn a0 = an = 2π 2π π f (x)dx, 2π f (x) cos nxdx (n = 1, 2, ), f (x) sin nxdx (n = 1, 2, ) 2π bn = π Định lí 1.3 ([3, Tr 39] Biểu diễn chuỗi Fourier: chu kỳ tùy ý) Giả sử f hàm tuần hồn chu kì 2p, trơn khúc Chuỗi Fourier hàm f cho ∞ (an cos a0 + n=1 nπ nπ x + bn sin x), p p (1.2.6) Trong a0 = 2p an = bn = p p p f (x)dx, −p p f (x) cos nπ xdx, n = 1, 2, p f (x) sin nπ xdx, n = 1, 2, p −p p −p Chỗi Fourier hội tụ tới f (x) f liên tục x hội tụ tới không liên tục x f (x+ ) + f (x− ) Định lí 1.4 ([3, Tr 43] Khai triển chẵn khai triển lẻ) Giả sử f (x) hàm trơn khúc xác định khoảng < x < p Thì f có chuỗi cos mở rộng ∞ a0 nπ + x an cos p n=1 (0 < x < p), (1.2.7) an = p p f (x) cos nπ xdx p (n ≥ 0) (1.2.8) Cũng thế, f có chuỗi sin mở rộng ∞ bn sin n=1 nπ x p (0 < x < p), (1.2.9) p bn = p f (x) sin nπ xdx p (n ≥ 1) Trên khoảng < x < p, chuỗi (1.2.7) (1.2.9) hội tụ tới (1.2.10) f (x+ )+f (x− ) Định lí 1.5 ([7, Tr 178] Khai triển chuỗi Fourier sin kép) Cho f (x, y) liên tục miền K = {(x, y)|0 < x < a, < y < b}, với đạo hàm riêng fx fy bị chặn, đồng thời đạo hàm riêng fx , fy , fxy liên tục Khi khai triển f (x, y) thành chuỗi Fourier sin kép sau ∞ ∞ f (x, y) = Bmn sin n=1 m=1 mπ nπ x sin y, a b (1.2.11) hệ số chuỗi Fourier sin kép Bmn cho Bmn = ab b a f (x, y) sin 0 mπ nπ x sin ydxdy a b 1.3 Hàm Bessel Phương trình Bessel bậc p ≥ x2 y + xy + (x2 − p2 )y = 0, x > 0, (1.3.1) λmn = αmn a αmn không điểm dương thứ n hàm Bessel Jm Với λ = λmn phương trình ẩn T trở thành T + c2 λ2mn T = với nghiệm Amn cos cλmn t Bmn sin cλmn t Sử dụng biểu thức R, Θ, T , đến nghiệm tích (2.3.13) (2.3.15): umn (r, θ, t) = Jm (λmn r)(amn cos mθ + bmn sin mθ) cos cλmn t (2.3.17) u∗mn (r, θ, t) = Jm (λmn r)(a∗mn cos mθ + b∗mn sin mθ) sin cλmn t (2.3.18) m = 0, 1, 2, , n = 1, 2, Lưu ý b0n b∗0n khơng cần thiết, sin mθ = m = 0, xem chúng Nguyên lí chồng chập nghiệm tổng quát Chúng ta xét trường hợp thứ nhất, vận tốc ban đầu khơng, tức giải tốn biên gồm từ (2.3.13) − (2.3.15) cho g = Điều kiện ban đầu trường hợp u(r, θ, 0) = f (r, θ), ∂u (r, θ, 0) = 0, ∂t < r < a, < θ < 2π Dễ thấy nghiệm tích cho (2.3.17) thỏa mãn điều kiện thứ hai Như theo ngun lí chồng chất nảy sinh xét nghiệm có dạng ∞ ∞ u(r, θ, t) = Jm (λmn r)(amn cos mθ + bmn sin mθ) cos cλmn t (2.3.19) m=0 n=1 Với t = 0, có ∞ ∞ f (r, θ) = Jm (λmn r)(amn cos mθ + bmn sin mθ) (2.3.20) m=0 n=1 Giả sử hàm f (r, θ) khai triển thành chuỗi kép, sử dụng Định lí 1.9 , nhận a0n = πa2 J12 (α0n ) a 2π f (r, θ)J0 (λ0n r)rdθdr, 0 51 (2.3.21) amn = bmn = 2π a 2 πa2 Jm+1 (αmn ) πa2 Jm+1 (αmn ) (2.3.22) f (r, θ) sin mθ Jm (λmn r)rdθdr, (2.3.23) 2π a f (r, θ) cos mθ Jm (λmn r)rdθdr, 0 0 với m, n = 1, 2, Thay hệ số vào (2.3.19) hoàn thành nghiệm tốn Chúng ta xét trường hợp thứ hai, vị trí ban đầu khơng, tức giải tốn biên gồm từ (2.3.13) − (2.3.15) với f = Điều kiện ban đầu trường hợp ∂u (r, θ, 0) = g(r, θ), ∂t u(r, θ, 0) = 0, < r < a, < θ < 2π Dễ thấy nghiệm tích cho (2.3.18) thỏa mãn điều kiện thứ Như theo ngun lí cộng nghiệm nảy sinh xét nghiệm có dạng ∞ ∞ ∗ Jm (λmn r)(a∗mn cos mθ+b∗mn sin mθ) sin cλmn t (2.3.24) u (r, θ, t) = m=0 n=1 Với t = 0, có ∞ ∞ cλmn Jm (λmn r)(a∗mn cos mθ + b∗mn sin mθ) g(r, θ) = (2.3.25) m=0 n=1 Hoàn toàn tương tự trường hợp thứ có a∗0n = a∗mn b∗mn a πcα0n aJ12 (α0n ) = πcαmn aJm+1 (αmn ) = πcαmn aJm+1 (αmn ) 2π g(r, θ)J0 (λ0n r)rdθdr (2.3.26) a 2π g(r, θ) cos mθ Jm (λmn r)rdθdr (2.3.27) 0 a 2π g(r, θ) sin mθ Jm (λmn r)rdθdr (2.3.28) 0 với m, n = 1, 2, Thay hệ số vào (2.3.24) hồn thành nghiệm tốn Trở lại với toán tổng quát 52 Gọi u1 , u2 nghiệm toán trường hợp trường hợp Ta dễ dàng chứng minh u = u1 + u2 nghiệm toán biên (2.3.13) − (2.3.15) Nghiệm toán tổng quát tóm tắt sau Kết 2.6 Nghiệm toán biên (2.3.13) − (2.3.15) ∞ ∞ u(r, θ, t) = Jm (λmn r)(amn cos mθ + bmn sin mθ) cos cλmn t m=0 n=1 ∞ ∞ (2.3.29) Jm (λmn r)(a∗mn cos mθ + b∗mn sin mθ) sin cλmn t, + m=0 n=1 λmn = αmn a ; αmn không điểm dương thứ n Jm ; amn , bmn xác định (2.3.21)−(2.3.23); a∗mn , b∗mn xác định (2.3.26)− (2.3.28) Bài tốn 2.3.5 (Phương trình sóng hai chiều khơng hình trịn) Tìm nghiệm phương trình sóng tọa độ cực ∂2u = c2 ∂t ∂ u ∂u ∂2u + + 2 ∂r2 r ∂r r ∂θ + f (r, θ, t), (2.3.30) < r < a, < θ < 2π, t > Với điều kiện biên u(a, θ, t) = 0, < θ < 2π, t > 0, điều kiện ban đầu u(r, θ, 0) = 0, ∂u (r, θ, 0) = 0, ∂t < r < a, < θ < 2π Lời giải Chúng ta sử dụng phương pháp hàm riêng biến đổi Laplace để giải toán Như biết hàm riêng biến đổi Laplace nghiệm khơng tầm thường phương trình ∆φ(r, θ) = ∂ φ ∂φ ∂2φ + + = −kφ(r, θ), ∂r2 r ∂r r2 ∂θ2 với điều kiện biên φ(a, θ) = 0, < θ < 2π 53 < r < a, < θ < 2π, Do hàm riêng cos mθ Jm (λmn r) sin mθ Jm (λmn r), tương ứng với giá trị riêng αmn a kmn = , m = 0, 1, 2, , n = 1, 2, , αmn không điểm dương thứ n hàm Bessel Jm Chúng ta tìm nghiệm dạng ∞ ∞ Jm (λmn r)(umn (t) cos mθ + u∗mn (t) sin mθ) u(x, y, t) = m=0 n=1 Ta phân tích f (x, y, t) thành chuỗi kép ∞ ∞ ∗ Jm (λmn r)(fmn (t) cos mθ + fmn (t) sin mθ), f (r, θ, t) = m=0 n=1 a f0n (t) = 2 πa J1 (α0n ) fmn (t) = ∗ fmn (t) = πa2 Jm+1 (αmn ) f (r, θ, t)J0 (λ0n r)rdθdr, 2π f (r, θ, t) cos mθ Jm (λmn r)rdθdr, 0 a 2 πa2 Jm+1 (αmn ) a 2π 2π f (r, θ, t) sin mθ Jm (λmn r)rdθdr 0 Thế vào phương trình (2.3.30), nhận ∞ ∞ Jm (λmn r)(umn (t) cos mθ + u∗ mn (t) sin mθ) m=0 n=1 ∞ ∞ Jm (λmn r)(c2 kmn umn (t) cos mθ + c2 kmn u∗mn (t) sin mθ) + m=0 n=1 ∞ ∞ ∗ Jm (λmn r)(fmn (t) cos mθ + fmn (t) sin mθ) = m=0 n=1 54 Từ ta có phương trình cαmn a cα mn u∗ mn (t) + a umn (t) + umn (t) = fmn (t), ∗ u∗mn (t) = fmn (t), (2.3.31) m = 0, 1, 2, ; n = 1, 2, Từ điều kiện ban đầu, nhận ∞ ∞ Jm (λmn r)(umn (0) cos mθ + u∗mn (0) sin mθ) = 0, u(x, y, 0) = m=0 n=1 ∞ ∞ Jm (λmn r)(umn (0) cos mθ + u∗ mn (0) sin mθ) = ut (x, y, 0) = m=0 n=1 Do umn (0) = 0, u∗mn (0) = 0, umn (0) = 0, u∗ mn (0) = 0, (2.3.32) m = 0, 1, ; n = 1, 2, Nghiệm (2.3.31) − (2.3.32) có dạng umn (t) = u∗mn (t) a cαmn a = cαmn t fmn (ω) sin cαmn (t − ω)dω, a ∗ fmn (ω) sin cαmn (t − ω)dω a t Vậy nghiệm toán ∞ u(x, y, t) = ∞ + ∞ a Jm (λmn r) cos mθ cα mn m=0 n=1 ∞ a Jm (λmn r) sin mθ cα mn m=0 n=1 t fmn (ω) sin t ∗ fmn (ω) sin cαmn (t − ω)dω a cαmn (t − ω)dω, a αmn khơng điểm dương thứ n hàm Bessel Jm 55 Bài toán 2.3.6 (Bài tốn phương trình sóng hỗn hợp tổng qt hình trịn) Tìm nghiệm phương trình ∂ u ∂u ∂2u + + ∂r2 r ∂r r2 ∂θ2 ∂2u = c2 ∂t2 + f (r, θ, t), (2.3.33) < r < a, < θ < 2π, t > Với điều kiện biên u(a, θ, t) = µ(θ, t), < θ < 2π, t > 0, điều kiện ban đầu u(r, θ, 0) = φ(r, θ), ∂u (r, θ, 0) = ψ(r, θ), ∂t < r < a, < θ < 2π Lời giải Ta kiểm tra trực tiếp nghiệm toán u = v + ω + µ(θ, t), v(r, θ, t) nghiệm toán ∂2v = c2 ∂t2 ∂ v ∂v ∂2v + + ∂r2 r ∂r r2 ∂θ2 v(a, θ, t) = 0, v(r, θ, 0) = φ(r, θ)−µ(θ, 0), , < θ < 2π, t > 0, ∂v (r, θ, 0) = ψ(r, θ)−µt (θ, 0), ∂t < r < a, < θ < 2π, ω(x, y, t) nghiệm toán ∂2ω = c2 ∂t2 ∂ ω ∂ω ∂2ω + + ∂r2 r ∂r r2 ∂θ2 + f (r, θ, t) − ∂2µ ∂ µ − c ∂t2 r2 ∂θ2 , < r < a, < θ < 2π, t > ω(a, θ, t) = 0, ω(r, θ, 0) = 0, < θ < 2π, t > 0, ∂ω (r, θ, 0) = 0, ∂t < r < a, < θ < 2π Như đưa toán tổng quát toán biết cách giải 56 2.4 Phương trình nhiệt Bài tốn nhiệt hai chiều mơ tả phân bố nhiệt độ hình chữ nhật mỏng với bề mặt cách nhiệt, cạnh giữ không độ, nhiệt độ ban đầu phân bố f (x, y) Nghiệm toán tìm phương pháp tách biến theo bước cách tìm nghiệm phương trình sóng hai chiều Ta tóm tắt kết sau Kết 2.7 Nghiệm phương trình nhiệt hai chiều ∂u = c2 ∂t ∂2u ∂2u + ∂x2 ∂y , < x < a, < y < b, t > 0, (2.4.1) với điều kiện biên u(0, y, t) = u(a, y, t) = 0, < y < b, t > 0, (2.4.2) u(x, 0, t) = u(x, b, t) = 0, < x < a, t > 0, điều kiện ban đầu u(x, y, 0) = f (x, y), ∞ < x < a, ∞ Amn sin u(x, y, t) = n=1 m=1 < y < b, mπ nπ −λ2mn t x sin ye , a b (2.4.3) m2 n2 + , a2 b2 λmn = cπ (2.4.4) Amn = ab b a f (x, y) sin 0 mπ nπ x sin ydxdy a b (2.4.5) m, n = 1, 2, Bài toán 2.4.1 (Phương trình nhiệt hai chiều khơng hình chữ nhật) Tìm nghiệm phương trình ∂u = c2 ∂t ∂2u ∂2u + ∂x2 ∂y + f (x, y, t), < x < a, < y < b, 57 t > 0, (2.4.6) với điều kiện biên u(0, y, t) = u(a, y, t) = 0, < y < b, t > 0, u(x, 0, t) = u(x, b, t) = 0, < x < a, t > 0, điều kiện ban đầu u(x, y, 0) = 0, < x < a, < y < b Lời giải Chúng ta sử dụng phương pháp hàm riêng biến đổi Laplace để giải toán Như biết hàm riêng biến đổi Laplace nghiệm khơng tầm thường phương trình ∆φ = ∂2φ ∂2φ + = −kφ, ∂x2 ∂y < x < a, < y < b, với điều kiện biên φ(x, 0) = 0, φ(x, b) = với < x < a, φ(0, y) = 0, φ(a, y) = với < y < b nπ Do hàm riêng φmn (x) = sin mπ a x sin b y (m, n = 1, 2, ), với giá m2 a2 trị riêng tương ứng kmn = π ∞ + n2 b2 Chúng ta tìm nghiệm dạng ∞ u(x, y, t) = umn (t) sin n=1 m=1 nπ mπ x sin y a b Ta phân tích f (x, y, t) thành chuỗi Fourier kép theo hàm sin ∞ ∞ f (x, t) = fmn (t) sin n=1 m=1 mπ nπ x sin y, a b fmn (t) = ab b a f (x, y) sin 0 mπ nπ x sin ydxdy a b Thế vào phương trình (2.4.6), nhận ∞ ∞ ∞ ∞ nπ nπ mπ mπ umn (t) sin x sin y+ c2 kmn umn (t) sin x sin y a b a b n=1 m=1 n=1 m=1 58 ∞ ∞ = fmn (t) sin n=1 m=1 nπ mπ x sin y a b Từ ta có phương trình umn (t) + c2 kmn umn (t) = fmn (t), m, n = 1, 2, 3, (2.4.7) Từ điều kiện ban đầu, nhận ∞ ∞ u(x, y, 0) = umn (0) sin n=1 m=1 nπ mπ x sin y = a b Do umn (0) = 0, n = 1, 2, 3, (2.4.8) Nghiệm (2.4.7) − (2.4.8) có dạng t e−c umn (t) = kmn (t−ω) fmn (ω)dω Vậy nghiệm toán ∞ ∞ nπ mπ x sin y u(x, y, t) = sin a b n=1 m=1 kmn = π m2 a2 + n2 b2 t e−c kmn (t−ω) fmn (ω)dω Bài toán 2.4.2 (Bài tốn phương trình nhiệt hỗn hợp tổng qt hình chữ nhật) Tìm nghiệm phương trình ∂u = c2 ∂t ∂2u ∂2u + ∂x2 ∂y + f (x, y, t), < x < a, < y < b, t > 0, (2.4.9) với điều kiện biên u(0, y, t) = µ1 (y, t) u(a, y, t) = µ2 (y, t), < y < b, t > 0, u(x, 0, t) = υ1 (x, t) u(x, b, t) = υ2 (x, t), < x < a, t > 0, giả thiết µ1 (0, t) = υ1 (0, t), υ1 (a, t) = µ2 (0, t), µ2 (b, t) = υ2 (a, t), υ2 (0, t) = µ1 (b, t); 59 t > 0, điều kiện ban đầu u(x, y, 0) = φ(x, y), < x < a, < y < b Lời giải Đặt y u∗ (x, y, t) = A(t) + B(t)x + C(t)y + D(t)xy + υ1 (x, t) + [υ2 (x, t) − υ1 (x, t)] b x +µ1 (y, t) + [µ2 (y, t) − µ1 (y, t)], a A(t) = −υ1 (0, t) = −µ1 (0, t), υ1 (0, t) − υ1 (a, t) µ1 (0, t) − µ2 (0, t) = , a a υ1 (0, t) − υ2 (0, t) µ1 (0, t) − µ1 (b, t) C(t) = = , b b υ1 (a, t) − υ2 (a, t) + υ2 (0, t) − υ1 (0, t) D(t) = ab µ1 (b, t) − µ2 (b, t) + µ2 (0, t) − µ1 (0, t) = ab B(t) = Tính tốn trực tiếp ta u∗ (0, y, t) = µ1 (y, t) u∗ (a, y, t) = µ2 (y, t), < y < b, t > 0, u∗ (x, 0, t) = υ1 (x, t) u∗ (x, b, t) = υ2 (x, t), < x < a, t > Ta kiểm tra trực tiếp nghiệm toán u = v + ω + u∗ , với v(x, y, t) nghiệm toán vt = c2 (vxx + vyy ), < x < a, < y < b, t > 0, v(0, y, t) = v(a, y, t) = 0, < y < b, t > 0, v(x, 0, t) = v(x, b, t) = 0, < x < a, t > 0, 60 v(x, y, 0) = φ(x, y) − u∗ (x, y, 0), < x < a, < y < b, ω(x, y, t) nghiệm toán ωt = c2 (ωxx +ωyy )+f (x, y, t)− u∗t − c2 (u∗xx + u∗yy ) , < x < a, < y < b, t > 0, ω(0, y, t) = ω(a, y, t) = 0, < y < b, t > 0, ω(x, 0, t) = ω(x, b, t) = 0, < x < a, t > 0, ω(x, y, 0) = ωt (x, y, 0) = 0, < x < a, < y < b Như đưa toán tổng quát toán biết cách giải Ví dụ 2.4 Tìm nghiệm phương trình ∂u = ∂t π ∂2u ∂2u −2t + e sin πx sin πy, − ∂x2 ∂y 2 < x < 1, < y < 1, t > 0, (2.4.10) với điều kiện biên u(0, y, t) = e−2t cos πy u(1, y, t) = −e−2t cos πy, < y < 1, t > 0, u(x, 0, t) = e−2t cos πx u(x, 1, t) = −e−2t cos πx, < x < 1, t > 0, điều kiện ban đầu u(x, y, 0) = + cos πx cos πy, < x < 1, < y < Lời giải Xét u∗ (x, y, t) = e−2t cos π(x + y), Tính tốn trực tiếp ta u∗ (0, y, t) = e−2t cos πy u∗ (1, y, t) = −e−2t cos πy, < y < 1, t > 0, u∗ (x, 0, t) = e−2t cos πx u∗ (x, 1, t) = −e−2t cos πx, < x < 1, t > 0, 61 ∗ u (x, y, 0) = cos π(x + y), u∗tt − π (u∗xx + u∗yy ) = Nghiệm toán u = v + ω + u∗ , với v(x, y, t) nghiệm toán vtt = (1/π)2 (vxx + vyy ), < x < 1, < y < 1, t > 0, v(0, y, t) = v(1, y, t) = 0, < y < 1, t > 0, v(x, 0, t) = v(x, 1, t) = 0, < x < 1, t > 0, v(x, y, 0) = + sin πx sin πy, < x < 1, < y < 1, ω(x, y, t) nghiệm toán ωtt = π (ωxx + ωyy ) − e−2t sin πx sin πy, < x < 1, < y < 1, t > 0, ω(0, y, t) = ω(1, y, t) = 0, < y < 1, t > 0, ω(x, 0, t) = ω(x, 1, t) = 0, < x < 1, t > 0, ω(x, y, 0) = 0, < x < 1, < y < Tìm v, ta có ∞ ∞ Amn sin mπx sin nπye−λmn t , v(x, y, t) = n=1 m=1 λmn = m2 + n2 1 Amn = (1 + sin πx sin πy) sin mπx sin nπydxdy 0 Do A11 = 16 + 1; π2 Amn = [1 − (−1)1 ][1 − (−1)n ] , π2 mn 62 (m, n) = (1, 1) Do Amn = m n chẵn, có 16 v(x, y, t) = sin πx sin πye−2t + π ∞ ∞ k=0 l=0 e−λ(2l+1)(2k+1) t sin(2l+1)πx sin(2k+1)πy (2l + 1)(2k + 1) Tìm ω, ta có ∞ ∞ ω(x, y, t) = t f11 = − 12 e−2t , fmn = 0, t e−2(t−ω) e−(m +n2 )(t−ω) fmn (ω)dω n=1 m=1 t e−(m sin mπx sin nπy (m, n) = (1, 1) Do t −1 −2ω e dω = − e−2t , 2 +n2 )(t−ω) fmn (ω)dω = 0, (m, n) = (1, 1) Chúng ta có t ω(x, y, t) = − e−2t sin πx sin πy Vậy nghiệm toán t u(x, y, t) = e−2t cos π(x + y) − e−2t sin πx sin πy + sin πx sin πye−2t 16 + π ∞ ∞ k=0 l=0 e−λ(2l+1)(2k+1) t sin(2l + 1)πx sin(2k + 1)πy (2l + 1)(2k + 1) 63 KẾT LUẬN Trong luận văn em trình bày tư tưởng nội dung phương pháp tách biến số kiến thức chuỗi Fourier, hàm Bessel để phục vụ mục đích giải số lớp tốn biên phương trình đạo hàm riêng Đó phương trình sóng, phương trình nhiệt phương trình Laplace Song song ví dụ áp dụng Đóng góp luận văn bao gồm: Tìm hiểu tài liệu tham khảo trình bày lại nội dung phương pháp tách biến Đề cập số dạng toán thực tế áp dụng phương pháp tách biến Xây dựng số ví dụ áp dụng Tuy nhiên thời gian thực khóa luận khơng nhiều cịn có sai sót em mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc 64 Tài liệu tham khảo [1] Đào Huy Bích - Phan Văn Hạp - Phạm Thị Oanh (1998), Phương trình vi phân, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] Nguyễn Thừa Hợp (2001), Phương trình đạo hàm riêng, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [3] Nakhlé H Asmar (2004),Partial Differential Equations with Fourier Series and Boundary Value Problems, Pearson Prentice Hall [4] Richard Bernatz (2010),Fourier Series and Numerical Methods for Partial Differential Equations, John Wiley & Sons [5] Mark S Gockenbach (2002),Partial Differential Equations: Analytical and Numerical Methods, Siam [6] Cain, George L, Meyer, Gunter H (2006),Separation of Variables for Partial Differential Equations : An Eigenfunction Approach Studies in Advanced Mathematics, CRC Press [7] George P Tolstov (1962),Fourier Series, Prentice Hall [8] Igor Yanovsky (2005),Partial Differential Equations: Graduate Level Problems and Solutions 65 ... ĐẦU Phương pháp tách biến phương pháp quan trọng để giải tốn biên phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Nó sử dụng suốt kỷ qua, ngày phương pháp quan trọng ứng dụng nhiều lĩnh vực Bằng việc sử dụng. .. chuẩn bị Trình bày số phương trình đạo hàm riêng, kiến thức chuỗi Fourier, hàm Bessel sử dụng chương sau, định lí nghiệm giới thiệu phương pháp tách biến Chương 2: Phương trình đạo hàm riêng hai... KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN TUẤN ANH ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN GIẢI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI