Xét phương trình Dirichlet phi tuyến sau
(
−∆u = f(x, u) x ∈ Ω,
u = 0 x ∈ ∂Ω, (P)
vớiΩ ⊂RN (N ≥ 1)là miền bị chặn,f : Ω×R →Rlà hàm Carathéodory. Tìm nghiệm yếu của (P), tức là tìm hàm u ∈ H01(Ω) sao cho
Z
Ω
[∇u.∇h−f(x, u)h]dx = 0, ∀h ∈ H01(Ω). (2.1)
Ta xét điều kiện về độ tăng ∃c, d > 0và0 ≤ σ < N + 2
N −2 nếu ≥ 3 (0 ≤ σ < ∞nếuN = 1,2)sao cho
|f(x, s)| ≤ c|s|σ +d. (f1) Ta sử dụng kết quả sau
Mệnh đề 2.1. Giả sử f : Ω×R → R là hàm Carathéodory thỏa mãn điều kiện về độ tăng (f1). Khi đó F(x, s) =R0sf(x, τ)dτ, phiếm hàm
ϕ(u) = Z Ω 1 2|∇u|2 −F(x, u) dx, u ∈ H01(Ω)
hoàn toàn xác định và ϕ ∈ C1(H01,R) với
ϕ0(u).h =
Z
Ω
[∇u.∇h−f(x, u)h]dx = 0, ∀u, h ∈ H01(Ω). (2.2)
Chứng minhTa xét không gian SobolevH01(Ω)vớikuk = R Ω|∇u|2dx 12 ,
chuẩn này tương đương với chuẩn
kuk2L2 +k∇uk2L2 12 vì theo bất đẳng thức Poincaré, kuk2L2 ≤ λ−11 k∇ukL22, ∀u ∈ H01, trong đó λ1 > 0 là giá trị riêng đầu tiên của bài toán
(
−∆u = λu, x∈ Ω
u = 0, x ∈ ∂Ω.
Do đó ϕ(u) = 12kuk2 − ψ(u), ψ(u) = RΩF(x, u)dx. Ta chứng minh ψ hoàn toàn xác định và ψ ∈ C1(H01,R) với
ψ0(u).h =
Z
Ω
f(x, u)hdx, ∀u, h∈ H01(Ω) (2.3) vì phiếm hàm q(u) = 12kuk2 ∈ C∞ với
q0(u).h =
Z (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ω
∇u.∇hdx = hu, hi, ∀u, h ∈ H01.
Dof là hàm Carathéodory thỏa mãn (f1), nênF cũng là hàm Carathéodory và nó thỏa mãn điều kiện (F1) trong Ví dụ 2.3. Suy ra ψ : H01 → R hoàn toàn xác định và nửa liên tục dưới yếu.
Chứng minh tính khả vi của ψ, giả sử u ∈ H01 cố định δ(h) = ψ(u+h)−ψ(u)− Z Ω f(x, u)h dx. Khi đó δ(h) = Z Ω Z 1 0 d dtF(x, u+th)dt dx− Z Ω f(x, u)h dx = Z 1 0 Z Ω [f(x, u+th)−f(x, u)]h dx dt,
nên theo bất đẳng thức H¨older, ta có
|δ(h)| ≤
Z 1 0
trong đó r = 2N
n+ 2 và s = 2N
N −2 (ta chỉ xét với N ≥ 3. Với N = 1,2 ta xét riêng)
Theo định lí nhúng Sobolev ta có phép nhúng liên tục H01 ,→ LS nên
(u+th) → u trong LS khi h → 0 trong H01. Vậy f(., u + th) → f(., u)
trong không gian LSσ (Định lí Vainberg [23])và r = 2N
N + 2 < S σ nên f(., u+th) →f(., u)trongLr, và từ đây ta có (2.4), |δ(h)| khk ≤ c |δ(h)| khkLs ≤ c Z 1 0 kf(., u+th)−f(., u)kLrdt→ 0,khikhk → 0,
theo định lí hội tụ Lebesgue (ta đã sử dụng khkLs ≤ ckhk). Vậy ta đã chứng minh được ψ : H01 → R là hàm khả vi (Fréchet) tại u ∈ H01 và đạo hàm ψ0(u) cho bởi (2.3).
Kiểm tra tính liên tục của ψ0 : H01 → H01∗ = H−1 sử dụng bất đẳng thức H¨older, định lí nhúng Sobolev và định lí Vainberg có
kψ0(u+v)−ψ0(u)kH−1 = sup
khk≤1
|[ψ0(u+ v)−ψ0(u)].h| ≤ ckf(., u+v)−f(., u)kLr → 0,
khi v → 0 trong H01.
Nhận xét 2.2. Kí hiệu ∇ϕ : H01 → H01 là gradient của ϕ, theo định lí Riesz - Fréchet, ∇ϕ(u) ∈ H01 là phần tử duy nhất sao cho ϕ0(u).h =
hh,∇ϕ(u)i, ∀h ∈ H01.
Khi đó, từ (2.2),(2.3) ta có ∇ϕ(u) = u−T(u) trong đó T : H01 → H01, T(u) = ψ(u) là một toán tử compact.
Chứng minh
Thật vậy, nếu un * u trong H01 thì un → u trong LS1,∀s1 : 1 ≤ s1 < s = 2N
N −2, (do nhúng compact H
1
Do vậy, cố định s1 : σ + 1≤ s1 < s và theo (2.5) ta có kT(un)−T(u)k = kψ0(un)−ψ0(u)kH−1 ≤ ckf(., un)−f(., u)kLr1 →0, vì r1 = s1 s1 −1 ≤ s1 σ.
Tiếp theo ta chứng minh sự tồn tại của nghiệm của bài toán (P).
Định lý 2.4. Cho f : Ω×R→ R là hàm Carathéodory thỏa mãn điều kiện (f1) và (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
∃β < λ1sao cho lim
|s|→∞supf(x, s)
s ≤ β, đều∀x ∈ Ω. (f2)
Khi đó, bài toán (P) có một nghiệm yếu u ∈ H01(Ω).
Chứng minh
Theo Mệnh đề 2.1 ta có một điểm tới hạn của phiếm hàm ϕ ∈ C1(H01,R) xác định bởi ϕ(u) = 12kuk2−ψ(u), ψ(u) = RΩF(x, u)dx, ta biết q(u) = 1
2kuk2 là một nửa liên tục dưới yếu và ψ liên tục yếu (theo Ví dụ 2.3). Do đó ta có
a) ϕ nửa liên tục dưới yếu. Mặt khác, điều kiện (f2) suy ra (quy tắc L’Hospital) ∃β < λ1 : lim |s|→∞sup f(x, s) s ≤β, đều∀x ∈ Ω, (fb2) nên chọn β1 : β < β1 < λ1 suy ra ∃R1 : F(x, s) ≤ 1 2β1s 2,∀x ∈ Ω,|s| ≥ R1
Từ (f1) suy ra F(x, s) ≤ γ1, ∀x ∈ Ω, |s| ≤R1 nên ta nhận được F(x, s) ≤ 1
2β1s
Đánh giá cận dưới của ϕ, ϕ(u) ≥ 1 2 Z Ω |∇u|2dx− 1 2β1 Z Ω u2dx−γ1|Ω| kết hợp với bất đẳng thức Poincaré λ1RΩu2 ≤R Ω|∇u|2 ta có ϕ(u) ≥ 1 2 1− β1 λ1 Z Ω |∇u|2dx−γ = 1 2akuk2 −γ trong đó a = 1− β1
λ1 > 0và γ = γ1|Ω|.Vậy ϕ là nửa liên tục dưới yếu.
b) ϕ là cưỡng bức trên H01.
cuối cùng theo a), b) và Định lí 2.2 ta có ∃u0 ∈ H01 : ϕ(u0) = inf H1
0
ϕ.
Theo Nhận xét 2.1và Mệnh đề 2.1 nên u0 là điểm tới hạn của ϕ.
Nhận xét 2.3. Ta thấy Định lí 2.2 còn được chứng minh bởi Ham- merstein [14] và Dolph [12]
2.2 Định lí biến dạng và ứng dụng2.2.1 Định lí biến dạng