Bây giờ ta xét một kết quả do Ahmad, Lazer và Paul [6] về sự tồn tại nghiệm của bài toán cộng hưởng sau:
(
−∆u = λku+g(x, u)trongΩ
u = 0 trên∂Ω, (3.19)
trong đó Ω ⊂ RN,(N ≥ 1)là một miền trơn, bị chặn, λk giá trị riêng thứ k của −∆u = λu trong Ω, u = 0 trên ∂Ω và ta giả thiết g : Ω×R →R là phiếm hàm liên tục và bị chặn đều, tức là
|g(x, s)| ≤ M, ∀x ∈ Ω, ∀s ∈ R. (g1)
Như vậy, hàm phi tuyến tínhf(x, s) =λks+g(x, s) có tính chất f(x,ss ) → λk khi |s| → ∞. Vì vậy, ta có thuật ngữ bài toán cộng hưởng. Các điều kiện thêm vào là cần thiết cho tính giải được của bài toán cộng hưởng. Như ta đã biết ngay cả trong trường hợp hàm g(x, s) =g(x) tuyến tính (hàm liên tục) ta có định lí thay phiên Fedholm.
Bài toán cộng hưởng giải được khi và chỉ khiR Ω
tương ứng với λk. Ahmad, Lazer và Paul giả thiết hàm g cũng thỏa mãn một trong các điều kiện g2+ và g−2 dưới đây
Z
Ω
G(x, v(x))dx → ±∞ khi kvk → ∞, v ∈ Nk, (g±2 ) trong đó G(x, s) = R0sg(x, t)dt. Với các giả thiết đã nêu Ahmad, Lazer và Paul đã chứng minh được
Định lý 3.6. Với các điều kiện (g1) và g2+ hoặc g−2 . Bài toán cộng hưởng có nghiệm yếu u ∈ H01(Ω).
Chứng minh sau đây là của Rabinowitz, trong đó sử dụng định lí điểm yên ngựa và làm rõ vai trò của các điều kiện g2±. Xét phiếm hàm
ϕ(u) = Z Ω [1 2(|∇u|2 −λku2)−G(x, u)]dx = 1 2hLu, ui − Z Ω G(x, u)dx.
Theo (g1), ϕ(x) hoàn toàn xác định trên H01(Ω) thuộc lớp C1 và điểm tới hạn của nó là nghiệm yếu của (3.19). Ta xét sự phân tích trực giao sau của X = H01
X = X−⊕X0 ⊕X+,
trong đó X0 = Nk và X+(X−) là không gian con ở đó toán tử L : H01 → H01 xác định bởi (3.20) là xác định dương (âm). Ta kí hiệu phép chiếu trực giao tương ứng bởi P0, P+ và P−. Khi đó, ta có
Mệnh đề 3.1. Với các điều kiện (g1) và g2− ta có
a) ϕ(u) → −∞ khi kuk → ∞, u ∈ X−;
b) ϕ(u) →+∞ khi kuk → ∞, u ∈ X0 ⊕X+. Chứng minh
a) Giả sử u = P−u ∈ X−. Sử dụng điều kiện (g1) cùng với định lí giá trị trung bình cho hàm G(x, .) và tính xác định âm của L trên X− ta được ϕ(u) = 1 2hLP−u, P−ui − Z Ω G(x, P−u)dx ≤ −1 2αkP−uk2 +MkP−ukL1 ≤ −1 2αkP−uk2 +AkP−uk → −∞
khi kuk = kP−uk → ∞, trong đó để có bất đẳng thức cuối cùng ta đã sử dụng kvkL1 ≤ckvkL2 và có bất đẳng thức Poincaré.
b) Giả sử u = P0u+P+u ∈ X0 ⊕X+. Do L là xác định dương trên X+ và kết hợp (g1) với giá trị trung bình đối với G(x, .) ta được
ϕ(u) = 1 2hLP+u, P+ui − Z Ω G(x, u)dx ≥ 1 2αkP+uk2 − Z Ω [G(x, u)−G(x, P0u)]dx− Z Ω G(x, P0u)dx ≥ 1 2αkP+uk2 −MkP+ukL1 − Z Ω G(x, P0u)dx, Do đóϕ(u) ≥ 1 2αkP+uk2 −AkP+uk − Z Ω G(x, P0u)dx (3.20) ∀u = P0u+P+u ∈ X0⊕X+. Theo giả thiết g2− chứng tỏ ϕ(u) →
+∞ khi kuk2 = kP0uk2 +kP+uk2 → ∞.
Chú ý 3.6. Nếu giả thiết g2+ thay cho g2− trong mệnh đề trên thì có a) ϕ(u) → −∞ khi kuk → ∞, u ∈ X−⊕X0;
Chứng minh Định lí 3.6 Ta sử dụng định lí điểm yên ngựa, biết rằng ϕ ∈ C1(X,R) ta còn phải chỉ ra ϕ thỏa mãn điều kiện (P S). Lấy dãy
(un) : |ϕ(un)| ≤ C và ϕ0(un) →0. Khi đó, ∀n đủ lớn ta có |ϕ0(un).h| = hLun, hi − Z Ω g(x, un)hdx ≤ khk ∀h ∈ X. (3.21) Đặt h = P+un trong (3.21) có kP+unk ≥ |ϕ0(un).(P+un)| ≥ αkP+unk2 −MkP+unkL1 ≥ αkP+unk2 −AkP+unk, vì thế kP+unk phải bị chặn.
Tiếp theo, đặt h = P−un trong (3.21). Ta nhận được
− kP−unk ≤ |ϕ0(un).(P−un)| ≤ −αkP−unk2 −MkP−unkL1 ≤ −αkP−unk2 +AkP−unk, vì thế kP−unk phải bị chặn. Vậy, ta có k(P++P−)unk = kun −P0unk ≤ C. (3.22) Mặt khác, ta có thể viết ϕ(un) = 1 2hL(un−P0un), un−P0uni − Z Ω [G(x, u)−G(x, P0u)]dx− Z Ω G(x, P0u)dx,
trong đó ϕ(un) bị chặn cùng với hai số hạng đầu tiên bên phải của biểu thức trên (theo (3.22)) nên số hạng cuối cùng cũng bị chặn. Khi đó, do điều kiện g2− ta có kP0unk bị chặn. Từ đây và theo (3.22) thì kunk bị chặn. Phần còn lại của chứng minh ϕ thỏa mãn điều kiện (P S) đã được
trình bày trong các định lí với việc sử dụng ∇ϕ(u) = u−T(u) với T là toán tử compact.
Cuối cùng, vớiMệnh đề 3.1 cho phép ta áp dụng định lí điểm yên ngựa với V = X−,W = X0 ⊕X+ để khẳng định tồn tại điểm tới hạn của ϕ
cũng là nghiệm yếu của (3.19).
Chú ý 3.7. Nếu hàm g : Ω×R→ R thỏa mãn lim |s|→∞G(x, s) = +∞ ∀x ∈ Ω, (g+3 ) hoặc lim |s|→∞G(x, s) = −∞ ∀x ∈ Ω, (g−3 ) thì điều kiện g2+ và g−2 được thỏa mãn.
Thật vậy, [21] giả sử v ∈ Nk và K > 0đã cho. Ta viết, v = ρω ρ = kvkvà w ∈ S∩Nk = {ω ∈ Nk| kωk = 1}. Theo g3+ ∃α = α(K) : G(x, s) ≥K nếu|s| ≥ α(K)vàx ∈ Ω. Khi đó, từ sự tồn tạiM0 : G(x, s) ≥ −M0,∀x ∈
Ω, s ∈ R và ta có
Z
Ω
G(x, ρω(x)dx ≥ M0|Ω|+K|Ωρ,K,ω|, (3.23) ở đây Ωρ,K,ω = {x ∈ Ω|ρ|ω(x)| ≥ α(K)}.
Do S ∩Nk là tập compact, nên ta chọn ρ(K) đủ lớn sao cho |Ωρ,K,ω| ≥ |Ω|/2, ∀ρ ≥ ρ(K) và ω ∈ S ∩ Nk. Như vậy, từ (3.23) suy ra g2+ được
Luận văn đã tập trung nghiên cứu một cách hệ thống về không gian Sobolev và phương pháp biến phân để giải các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến
1) Điểm tới hạn qua bài toán cực tiểu và ứng dụng vào giải bài toán Dirichlet phi tuyến.
2) Định lí biến dạng và ứng dụng vào nguyên lí cực tiểu và bài toán Neumann phi tuyến.
3) Định lí qua núi và ứng dụng vào giải bài toán Dirichlet phi tuyến. 4) Định lí điểm yên ngựa và ứng dụng vào giải bài toán cộng hưởng. Tuy nhiên, luận văn này chỉ chứa đựng một số ứng dụng của phương pháp biến phân để giải phương trình đạo hàm riêng. Nhưng do thời gian có hạn và trong khuôn khổ của luận văn thạc sĩ các vấn đề này chưa được nghiên cứu một cách triệt để. Hy vọng rằng chúng được tiếp tục trình bày trong các nghiên cứu khoa học sau này.
Mặc dù đã cố gắng nhiều và cũng được sự ủng hộ, giúp đỡ của thầy, cô giáo và bạn bè, nhưng luận văn không tránh khỏi một vài thiếu sót. Vì vậy, tôi mong được sự đóng góp ý kiến để luận văn được đầy đủ và hoàn thiện hơn, đồng thời cũng giúp đỡ cho tôi có nhiều kinh nghiệm hơn trong công việc giảng dạy và nghiên cứu sau này.
Một lần nữa, tôi xin trân trọng cảm ơn sự quan tâm giúp đỡ của quý thầy cô, bạn bè, gia đình và đặc biệt là TS. Trần Văn Bằng cùng hội đồng khoa học trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
[A] Tài liệu tiếng Việt
[1] Nguyễn Hội Nghĩa, Nguyễn Thành Long (dịch) (2002), Giải tích hàm lí thuyết và ứng dụng, Nxb Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh. [2] Nguyễn Mạnh Hùng (2007), Phương trình đạo hàm riêng tuyến
tính, Nxb Đại học sư phạm Hà Nội.
[3] Trần Đức Vân (2005), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, Nxb Đại học Quốc Gia, Hà Nội.
[B] Tài liệu tiếng Anh
[4] R.A.Adams (1976), Sobolev spaces, Academic Press.
[5] S.Agmon,(1959),The Lp approach to the Dirichlet problem, Ann. Scuola Norm.Sup.Pisa 13, 405 - 448.
[6] S.Ahmad, A.C.Lazer and J.L. Paul (1976). Elementary critical point theory and perturbations of elliptic boundary value problems at resonance,Indiana Univ. Math.J 25, 933 - 944.
[7] A.Ambrosetti and P.H.Rabinowitz (1973), Dual variational, meth- ods in critical point theory and applications,J.Funct.Anal.14, 349 - 381.
[8] H.Brézis, J.M.Coron and L.Nirenberg (1980), Free vibrations for a nonlineer wave equation and a theorem of P.Rabinowitz, Comm. Pure Appl. Math.33,667 - 689.
[9] D.C.Clark(1972), A variant of the Lusternik-Schnirelman theory, Ind. Univ. Math.J.22, 65 - 74.
[10] David G.Costa (2007), An Invitation to Variational Methods in Differential Equations, Birkh¨auser, Boston.
[11] R.Courant and D.Hilbert (1962), Methods of Mathematical Physics, Vol.II, Wiley.
[12] A.Dolph (1949), Nonlinear intergral equations of Hammerstein type, Trans. Amer. Math.Soc.66, 289 - 307.
[13] N. Dunford and J.T.Schwartz (1957), Linear Operators - Part I, Interscience Publishers,Inc.
[14] A.Hammerstein (1930),Nichlineare Integralgleichungen nebst An- wendungen, Acta Math.54, 117 -176.
[15] J.Leray and J.SChauder (1934), Topologie et equations fonc- tionelles, Ann.ScuolaNorm.Sup.Pisa 3, 45 -78.
[16] L.Lusternik (1930), Topologische Grundlagen der allgmeinen Eigenwerttheorie, Monatsch. Math.Phys.37, 125-130.
[17] L.Lusternik and L.Schnirelman (1934), Topological Methods in the Calculus of Variations, Herman.
[18] L. Nirenberg (2001), Topics in Nonlinear Function Analysis, Courant lecture Notes in Mathematics 6,....New York.
[19] R.S.Palais (1966),Lusternik - Schnirelman theory on Banach man- ifolds, Topology 5, 115-132.
[20] R.S.Palais (1970), Critical point theory and the minimax principle, in Proc. Symp.Pure Math. XV, AMS, 185-212.
[21] P.H.Rabinowitz (1986), Minimax Methods in Critical Point The- ory with Applications to Differential Equations,CBMS Regional Conf.Ser.in Math.65, AMS, Providence, RI.
[22] L.Schnirelman (1930), Uber eine kombinatorische Invari- ante,Monatsch.Math.Phys.37,no.1.
[23] M.M.Vainberg (1964), Variational Methods in the Theory of Non- linear Operators,Holden - Day.
[24] M.M.Vainberg (1973), Variational Methods and Methods of Mono- tone Operators in the Theory of Nonlinear Equations,Wiley.
[25] M. Willem (1983), Lectures on Critical Point Theory, Trabalhos de Matematica University of Brasilia, Brasilia.