Tính duy nhất nghiệm - Bất đẳng thức Harnack và tí- 123docz.net

3 Bất đẳng thức Harnack và tính duy nhất nghiệm

3.2 Tính duy nhất nghiệm

Trong mục này, ta xét bài toán Dirichlet

 



F(D2u) = 0 trong Ω u = ϕ trˆen ∂Ω

với F là elliptic đều, ϕ ∈ C(∂Ω) đã cho. Do F không phụ thuộc vào x nên các phương trình này tương tự như các phương trình tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng số.

Trước hết ta xét các nghiệm xấp xỉ của Jensen trong mục 3.2.1. Trong mục 3.2.2 ta sử dụng chúng để chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet. Trong mục 3.2.3 ta trình bày một vài ứng dụng của các nghiệm xấp xỉ để nhận được tính C1, α - chính quy của nghiệm của phương trình F(D2u) = 0. Khi F là lõm theo D2u.

3.2.1 Nghiệm xấp xỉ Jensen

Cho u ∈ C(Ω) và H là tập mở sao cho H ⊂ Ω. Với ε > 0, ta định nghĩa bao trên ε của u (đối với H) là:

uε(x0) = sup x∈H u(x) +ε− 1 ε|x−x0|2 , x0 ∈ H.

Về phương diện hình học, đồ thị củauε là hình bao của đồ thị họ{Pxε}x∈H

gồm các paraboloid lõm với độ mở 2/ε và đỉnh (x, u(x) +ε).

Ta sẽ chứng minh rằng uε là một phép chỉnh hóa tốt của u. Thật vậy, ta có

Định lý 3.2.1. Ta có các khẳng định sau

(a) uε ∈ C(H) và uε ↓ u đều trên H khi ε →0.

(b) Với mọi x0 ∈ H, tồn tại một paraboloid lõm với độ mở 2/ε tiếp xúc dưới với uε tại x0 trong H. Do đó uε là C1,1 dưới trong H. Nói riêng uε là khả vi cấp hai từng điểm hầu khắp nơi trong H.

(c) Giả sử u là một nghiệm nhớt dưới của F(D2u) = 0 trong Ω và H1 là tập mở thỏa mãn H1 ⊂ H. Khi đó ta có với ε ≤ ε0 (trong đó ε0 chỉ phụ thuộc vào u, H, H1), uε là nghiệm nhớt dưới của F(D2u) = 0 trong H1. Nói riêng F(D2uε(x)) ≥0 hầu khắp nơi trong H1.

Tương tự, bằng cách sử dụng các paraboloid lồi ta có định nghĩa của hàm liên tục uε (bao dưới ε của u) là hàm tăng đều trên H tới u và là C1,1 - trên. Ta cũng có uε là các nghiệm trên nếu u là nghiệm trên của F(D2u) = 0.

Để chứng minh Định lý 3.2.1, ta chứng minh một số tính chất sau của uε.

Bổ đề 3.2.1. Cho x0, x1 ∈ H. Khi đó

Các khẳng định (1), (2), (4) và (6) là hiển nhiên. Để chứng minh (3), ta lấy x∈ H và lưu ý rằng uε(x0) ≥ u(x) +ε− 1 ε|x−x0|2 ≥ u(x) +ε− 1 ε|x−x1|2 − 1 ε|x1 −x0|2 − 2 ε |x−x1| |x1 −x0| ≥ u(x) +ε− 1 ε|x−x1|2 − 3 εdiam(H)|x1 −x0|. Lấy supremum theo x trên H, ta có (3).

Để chứng minh (5), ta chú ý rằng theo (1) và (2) thì 1

ε|x∗0 −x0|2 = u(x∗0) +ε−uε(x0) ≤ u(x∗0)−u(x0).

Chứng minh Định lí 3.2.1

Theo tính chất (3) của bổ đề trên ta có uε là liên tục. Từ (4), (5) và (6) của bổ đề trên ta cũng có các khẳng định còn lại trong (a). Để chứng minh (b) ta chú ý rằng:

P0(x) =u(x∗0) +ε− 1

ε|x−x∗0|2 ≤uε(x), ∀x ∈ H

và dấu bằng xẩy ra tại x = x0. Tức là P0 tiếp xúc dưới với uε tại x0 trong H. Vậy ta có khẳng định thứ nhất trong (b). Sử dụng Mệnh đề 1.2.3 (với Ω là hình cầu chứa H) ta có khẳng định còn lại trong (b).

Cuối cùng ta chứng minh (c). Lấy x0 ∈ H1 và gọi P(x) là paraboloid tiếp xúc trên vơi uε tại x0. Xét paraboloid

Q(x) = P(x+x0 −x∗0) + 1

ε|x0 −x∗0|2 −ε. Theo tính chất (5) của bổ đề trên, ta lấy ε0 sao cho ε ≤ ε0,

x0 ∈ H1 ⇒ x∗0 ∈ H.

Lấy bất kì x ∈ H đủ gần x∗0, sao cho x+x0−x∗0 ∈ H. Khi đó, theo định nghĩa của uε, ta có u(x) ≤ uε(x+x0 −x∗0) + 1 ε|x0 −x∗0|2 −ε. Vì thế với x đủ gần x∗0, ta có u(x) ≤ P(x+x0 −x∗0) + 1 ε|x0 −x∗0|2 −ε= Q(x)

và u(x∗0) = Q(x∗0), vì P(x0) =uε(x0). Chứng tỏ Q tiếp xúc trên với u tại x∗0. Do F(D2u) ≥0 nên theo định nghĩa nghiệm nhớt trong Ω, ta có

0≤ F(D2Q) =F(D2P).

Chứng tỏ uε là nghiệm nhớt dưới trong H1. Khẳng định cuối cùng trong

Chú ý 3.2.1. Phương trình F(D2u) = 0 là bất biến đối với phép biến đổi dạng u(x) →u(x+x0) +y0.

3.2.2 Tính duy nhất nghiệm của phương trình F(D2u) = 0 Sau đây là kết quả chính của chương này.

Định lý 3.2.2. Cho u là một nghiệm nhớt dưới của F(D2u) = 0 trong Ω và v là một nghiệm nhớt trên của F(D2u) = 0 trong Ω. Khi đó

u−v ∈ S(λ

Chú ý rằng: Định lí này là tầm thường nếu một trong hai hàm u hoặc v thuộc lớp C2. Vì khi đó nó là hệ quả trực tiếp của Mệnh đề 2.1.5. Chứng minh định lí 3.2.2

Ta cố định H và H1 sao cho H1 ⊂ H ⊂ H ⊂ Ω, ta chứng minh rằng với ε đủ nhỏ thì uε − vε ∈ S(λ/n, Λ) trong H1. Khi đó ta sẽ có u−v ∈ S(λ/n, Λ) trong Ω. Vì H1 ⊂ Ω tùy ý và uε−vε hội tụ đều trong H1 tới u−v và tính đóng của lớp S.

Để chứng minh uε − vε ∈ S(λ/n, Λ) trong H1, ta gọi P là một paraboloid sao cho uε−vε ≤ P trong Br(x0) ⊂ H1 v`a uε(x0)−vε(x0) = p(x0). Ta cần chứng tỏ rằng M+(D2P, λ/n, Λ) ≥ 0.

Thật vậy, ta có thể giả sử B2r(x0) ⊂H. Lấy δ >0 và đặt w(x) =vε(x)−uε(x) +P(x) + δ|x−x0|2 −δr2.

Ta có w ≥ 0 trˆen ∂Br(x) v`a w(x0) < 0. Sử dụng tính chất (b) của Định lí 3.2.1, ta có với mỗi x ∈ Br(x0) tồn tại một paraboloid lồi Px với độ mở K tiếp xúc trên với w tại x trong Br(x), trong đó K là một hằng số không phụ thuộc vào x.

Ta áp dụng Bổ đề 2.2.3 với w trong Bd := Br(x0). Với các kí hiệu của bổ đề đó ta có, nếu x ∈ Br(x0) ∩ {w = Γw} thì Px cũng tiếp xúc trên với Γw tại x trong Br(x). Theo Bổ đề 2.2.3 và w(x0) < 0, ta có

0 <

Br(x0)∩{w=Γw}

detD2Γw. (3.2.1)

Theo tính chất (b) của Định lí 3.2.1, tồn tại A ⊂ Br(x0) sao cho

|Br(x0)\A| = 0, vε, uε (và do đó w) là khả vi cấp hai từng điểm trong A. Theo tính chất (c) của Định lí 3.2.1, ta có F(D2vε(x)) ≤0 và F(D2uε(x)) ≥0, ∀x ∈ A. (3.2.2) Vì Γw là lồi và Γw ≤w, nên D2w(x) là khôngâm, ∀x∈ A∩ {w = Γw}. (3.2.3) Từ (3.2.1) và |Br(x0)\A| = 0, ta suy ra |{w = Γw} ∩A| > 0,

nên tồn tại điểm x1 ∈ {w = Γw} ∩ A. Tại đó, theo (3.2.2) và (3.2.3) ta có 0 ≤ F(D2uε(x1)) =F(D2vε(x1)−D2w(x1) +D2P + 2δI) ≤ F(D2vε(x1) +D2P + 2δI) ≤F(D2vε(x1) +D2P) + 2Λδ ≤ F(D2vε(x1)) + Λ (D2P)+ −λ (D2P)− + 2Λδ ≤ Λ (D2P)+ −λ (D2P)− + 2Λδ ≤ M+ (D2P, λ/n, Λ) + 2Λδ. Cho δ → 0 ta nhận được M+(D2P, λ/n, Λ)≥ 0.

Hệ quả 3.2.1. Bài toán Dirichlet

 



F(D2u) = 0 trong Ω u = ϕ trên ∂Ω có không quá một nghiệm nhớt u ∈ C(Ω).

Hệ quả này dễ thấy từ Định lí 3.2.2 và nguyên lí cực đại với nghiệm nhớt dưới (Hệ quả 2.2.1).

Hơn nữa, nếu bài toán đó có một nghiệm thuộc C2(Ω) thì tính duy nhất được suy ngay từ định nghĩa nghiệm nhớt.

3.2.3 Tính C1,α - chính quy đối với phương trình F(D2u) = 0 Hệ quả sau đây của Định lí 3.2.2 sẽ cho ta C1,α - đánh giá đối với nghiệm của F(D2u) = 0.

Ta kí hiệu, với h > 0, Ωh = {x ∈ Ω : d(x, ∂Ω) > h}.

Mệnh đề 3.2.1. Cho u là một nghiệm nhớt của F(D2u) = 0 trong Ω. Lấy h > 0 và e∈ Rn có |e| = 1. Khi đó

u(x+he)−u(x) ∈ S(λ/n, Λ) trong Ωh.

Mệnh đề này là hệ quả trực tiếp của Định lí 3.2.2 và tính chất v(x) = u(x+he) cũng là nghiệm nhớt của F(D2u) = 0 trong Ωh.

Mệnh đề 3.2.1 và bổ đề sau (sử dụng liên tiếp) sẽ cho tính C1,α - chính quy của nghiệm nhớt của F(D2u) = 0.

Bổ đề 3.2.2. Cho 0 < α < 1, 0 < β ≤ 1 và K > 0 là các hằng số. Giả sử u ∈ L∞([−1, 1]) thỏa mãn kukL∞([−1,1]) ≤ K. Với h ∈ R có 0< |h| ≤1, đặt

vβ, h(x) = u(x+ h)−u(x)

|h|β , x ∈ Ih,

với Ih = [−1, 1−h] nếu h >0 và Ih = [−1−h, 1] nếu h <0. Giả thiết vβ, h ∈ Cα(Ih) và kvβ, hkCα(Ih) ≤ K với 0 < |h| ≤ 1. Khi đó ta có

(1) Nếu α+ β < 1 thì u ∈ Cα+β([−1, 1]) v`a kukCα+β([−1,1]) ≤ CK. (2) Nếu α+ β > 1 thì u ∈ C0,1([−1, 1]) v`a kukC0,1([−1,1]) ≤ CK,

trong đó các hằng số C trong (1) và (2) chỉ phụ thuộc vào α+β. Chứng minh

Do tính đối xứng của bài toán đối với phép đổi biến x → −x, nên ta chỉ cần đánh giá |u(x+ε)−u(x)| với

−1≤ x ≤0, ε > 0 v`a x+ε ≤1.

Gọi i ≥ 0 là số nguyên sao cho x+ 2iε ≤ 1< x+ 2i+1ε và đặt τ0 = 2iε. Khi đó −1≤ x < x+τ0 ≤1 và

1/2 ≤τ0 ≤2. (3.2.4)

Đặt: w(τ) =u(x+ τ)−u(x), 0 < τ ≤ τ0. Ta có

|w(τ)−2w(τ /2)| = |u(x+τ)−2u(x+ τ /2) +u(x)|

= τ 2 β vβ, τ /2(x+τ /2)−vβ, τ /2(x) ≤ K τ 2 α+β , vì vβ, τ /2

Cα([−1,1−τ /2]) ≤ K theo giả thiết. Do vậy

|w(τ0)−2w(τ0/2)| ≤ CKτ0α+β,

2w(τ0/2)−22w(τ0/22) ≤ CK21−(α+β)τ0α+β, ... ,

2i−1w(τ0/2i−1)−2iw(τ0/2i) ≤ CK2(i−1)(1−(α+β))τ0α+β,

với hằng số C phụ thuộc vào α + β. Cộng các bất đẳng thức trên, ta được w(τ0)−2iw(ε) = w(τ0)−2iw(τ0/2i) ≤CKτ0α+β i−1 X j=0 2j(1−(α+β)).

Do 2−i = τ0−iε ≤2ε (theo (3.2.4)) và kukL∞([−1,1]) ≤ K, ta có |w(ε)| ≤ 2−i|w(τ0)|+CK2−iτ0α+β i−1 X j=0 2j(1−(α+β)) ≤ 4Kε +CKετ0α+β−1 i−1 X j=0 2j(1−(α+β)). Nếu α+β < 1 thì |w(ε)| ≤ 4Kε+CKετ0α+β−12i(1−(α+β)) = 4Kε +CKεα+β ≤ CKεα+β. Nếu α+β > 1 thì |w(ε)| ≤ 4Kε+CKετ0α+β−1 ≤ CKε.

Bây giờ ta thiết lập kết quả về tính C1, α - chính quy trong miền. Hệ quả 3.2.2. Cho u là nghiệm nhớt của F(D2u) = 0 trong B1. Khi đó u ∈ C1, α(B1/2) và

kukC1, α(B1/2) ≤C

kukL∞(B1) +|F(0)|, trong đó 0 < α < 1 và C là các hằng số phổ dụng.

Chú ý 3.2.2. Ta chứng minh được rằng, nếu F là lõm hoặc lồi thì nghiệm nhớt của F(D2u) = 0 trong B1 sẽ thuộc C1,1(B1/2).

Chứng minh hệ quả 3.2.2

Cố định e ∈ Rn với |e| = 1 và 0 < h < 1/8. Theo Mệnh đề 3.2.1 với 0< β ≤1 ta có

vβ(x) = 1

hβ(u(x+he)−u(x)) ∈ S(λ/n, Λ) trong B7/8.

Do đó, theo Cα đánh giá trong miền (theo mệnh đề 3.1.2 với tỉ lệ phù hợp), ta có (ở đây C0, β l`a Cβ nếu β < 1)

trong đó 0 < r < s ≤7/8, 0 < h <(s−r)/2, α là hằng số phổ dụng và C(r, s) phụ thuộc vào n, λ, Λ, r, s.

Lấy α đủ nhỏ, ta có thể giả thiết có một số nguyên phổ dụng i sao cho iα < 1 v`a (i + 1)α > 1. Theo Mệnh đề 2.1.5, ta có u ∈

S(λ/n, Λ, −F(0)) trong B1. Do đó theo Mệnh đề 3.1.2 ta có

kukCα(B7/8) ≤ CkukL∞(B1)+|F(0)| =: CK, với K = kukL∞(B1)+|F(0)|.

Áp dụng (3.2.5) với β = α v`a r = r1 < s = 7/8 ta có

kvαkCα(Br1) ≤ C(r1)kukCα(B7/8) ≤C(r1)K,

trong đó 0 < h < (7/8−r1)/2 và C(r1) chỉ phụ thuộc vào n, λ, Λ, r1. Áp dụng (với etùy ý như trên) Bổ đề 3.2.2 (với β = α) trên các đoạn song song với e, ta có

kukC2α(Br2) ≤ C(r1, r2)K khi r2 < r1.

Sử dụng (3.2.5) và Bổ đề 3.2.2 với β = 2α, ta có u ∈ C3α(Br4). Ta có thể lập lại quá trình trên vì iα < 1, (i+ 1)α > 1. Theo (2) của Bổ đề 3.2.2, ta có

kukC0,1(B3/4) ≤ CK.

Cuối cùng ta áp dụng (3.2.5) với β = 1, ta nhận được

kv1kCα(B1/2) ≤ CkukC0,1(B3/4) ≤ CK, ∀ |e| = 1, ∀0 < h <1/8. Dov1 là tỉ sai phân củauđối vớihvà e, nên ta có kết luận u ∈ C1, α(B1/2)

và kukC1, α(B1/2) ≤ CK.

3.2.4 Áp dụng đối với phương trình lõm

Bây giờ ta trình bày một vài áp dụng đối với phương trình lõm. Nhớ lại rằng phương trình F(D2u) = 0 là lõm nếu F là lõm trên không gian các ma trận đối xứng.

Định lý 3.2.3. Cho F là lõm và u, v là các nghiệm nhớt dưới của F(D2w) = 0 trong Ω. Khi đó 12(u+v) là nghiệm nhớt của F(D2w) = 0 trong Ω.

Chú ý Định lí 3.2.3 là hiển nhiên khi u và v là các C2 - nghiệm dưới. Trước khi chứng minh định lý, ta đưa ra một số hệ quả của nó. Hệ quả 3.2.3. Cho F là lõm và giả sử F(D2u) = 0 trong Ω theo nghĩa nhớt. Lấy e ∈ Rn với |e| = 1 và h > 0. Khi đó

u(x+ he) +u(x−he)−2u(x)

h2 ∈ S λ n, Λ trong Ωh. Bằng cách viết 1

2[u(x+he) +u(x−he)−2u(x)] = 1

2[u(x+he) + u(x−he)]−u(x) là hiệu của một nghiệm nhớt dưới và một nghiệm nhớt trên. Theo Định lí 3.2.2 ta có Hệ quả 3.2.3.

Từ Hệ quả 3.2.3 và tính đóng của S ta có Hệ quả 3.2.4 sau:

Hệ quả 3.2.4. ChoF là lõm vàu ∈ C2(Ω)là một nghiệm củaF(D2u) = 0 trong Ω. Khi đó, với mọi e∈ Rn với |e| = 1,

uee = ∂ 2u ∂e∂e ∈ S λ n, Λ trong Ω. Chứng minh định lí 3.2.3

Ta chứng minh như trong Định lí 3.2.2. Ta có 12 (uε +vε) là nghiệm nhớt dưới của F(D2w) = 0. Gọi P là paraboloid tiếp xúc trên với

1 2(uε+vε) tại x0. Ta cần chứng minh F(D2P) ≥0. Đặt w(x) = P(x) +δ|x−x0|2 −δr2 − 1 2(u ε+vε).

Cũng như trong chứng minh Định lí 3.2.2, ta áp dụng Bổ đề 2.2.3 với w, tồn tại x1 ∈ Ω sao cho uε, vε và w là khả vi cấp hai tại x1 và

D2 P +δ|x−x0|2 − 1 2(u ε +vε) (x1) ≥ 0. (3.2.6) Hơn nữa, F(D2uε(x1)) ≥ 0 và F(D2vε(x1)) ≥ 0.

Vì F lõm, nên ta có F(D2 12(uε+vε)(x1)) ≥ 0, theo (3.2.6) suy ra F(D2P + 2δI) ≥ 0.

KẾT LUẬN

Trên đây là toàn bộ nội dung luận văn của tôi với đề tài "Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Elliptic F D2u(x), x = 0". Luận văn được trình bày với những cố gắng bước đầu nhằm đạt được những mục đích và yêu cầu sau:

(1). Trình bày có hệ thống các kiến thức cơ bản của giải tích hiện đại. (2). Cung cấp cho bạn đọc khái niệm nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Elliptic F D2u(x), x = 0 và một số tính chất định tính của nghiệm nhớt. Đồng thời khẳng định sự tồn tại, tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm của bài toán liên quan tới phương trình đó.

(3). Đưa ra các ví dụ cụ thể minh họa cho các khái niệm được nhắc tới. Mặc dù đã dành nhiều thời gian nghiên cứu và tìm hiểu song bản luận văn không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các quý vị độc giả để luận văn này được hoàn thiện hơn.

Một lần nữa tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy giáo hướng dẫn: T.S Trần Văn Bằng cùng toàn thể các thầy, cô công tác và tham gia giảng dạy ở phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Các thầy, cô đã nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này.

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Mạnh Hùng (2008),Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm Hà Nội.

[2] Trần Đức Vân (2004),Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.

[3] Caffarelli (1989), "Interior a priori estimate for solutions of fully nonlinear equations", Annals of Mathematics, (130), 189-213.

[4] Caffarelli (1988), "Elliptic second order equations", Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano, 253-284.

[5] Grandall, Lions (1983), "Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations", Trans. Amer. Math. Soc, (277), 1-42.

[6] Evans (1978), "A convergence theorem for solutions of nonlinear second order elliptic equations", Indiana Univ. Math, (27), 875-887. [7] Evans (1980), "On solving certain nonlinear partial diferential equations by accretive operator methods", Israel J. Math, (36), 225-247. [8] Jensen (1988), "The maximum principle for viscosity solutions of fully nonlinear second order partial diferential equations", Arch. Ra- tional Mech. Anal, (101), 1-27.