3 Phương pháp nhiễu và phương pháp biến phân
3.4. Phương pháp biến phân
Khái niệm 3.4.1. [8] Bây giờ ta sẽ trở lại bài toán đã nghiên cứu trong 3.3với thêm một số giả thiết. Ta giả sử rằngH là một không gian Hilbert tách và tìm được (u, λ) ∈ H ×R sao cho:
u−λLu+A(u) = 0. (3.18) Ta đưa giả thiết sau đây vào L và A.
H1. Toán tử tuyến tính bị chặn L : H → H là compact và tự liên hợp. Hơn nữa, với mọi v ∈ H,
(Lv, v) ≥ 0,
H2. Ánh xạ phi tuyến A : H →H là compact và với mọi v ∈ H, và với mọi t∈ R ta có:
A(tu) = t3A(u). (3.19) Đặc biệt, A(0) = 0 và tồn tại hằng số C > 0 sao cho
kA(v)k ≤ Ckvk3
với mọi v ∈ H. Hơn nữa:
(A(v), v) ≥ 0 (3.20) với mọi v ∈ H, ta có bất đẳng thức ngặt nếu v 6= 0.
Cuối cùng, ta giả sử rằng hàm j(v) = 14(A(v),v) là khả vi trong H
và (j0(v), h) = (A(v), h), với mọiv, h ∈ H.
Theo giả thiết (H1.) toán tử L có ít nhất một giá trị đặc trưng
λ1 > 0 và ta có:
1
λ1 = supv6=0
(Lv, v)
kvk2 . (3.21)
Theo giả thiết (H2.), suy ra (0, λ) luôn là nghiệm của
u−λLu+A(u) = 0,
với mọi λ ∈ R.
Định lý 3.4.1. [8] Nếu λ ≤ λ1, phương trình u−λLu+A(u) = 0 chỉ có nghiệm tầm thường. Nếu λ > λ1 với mỗi λ sẽ có ít nhất hai nghiệm không tầm thường.
Chứng minh.
Bước 1: Giả sử λ ≤λ1, và giả sử u là một nghiệm của
u−λLu+A(u) = 0.
Khi đó ta có:
Do đó, từ 1 λ1 = supv6=0 (Lv, v) kvk2 suy ra: (1− λ λ1)kuk2 + (A(u), u) ≤ 0.
Vì vậy, (A(u), u) ≤0 suy ra u = 0 theo giả thiết (H2.). Bước 2: Nếu λ > λ1, ta có thể tìm w ∈ H sao cho:
(Lw, w) > kwk2 λ . (3.22) Bây giờ xét hàm: J(v) = 1 2kvk2 − λ 2(Lv, v) + 1 4(A(v), v). (3.23) Đặt ϕ(t) = J(tw), ta được: ϕ(t) = t 2 2(kwk2 −λ(Lw, w)) + t 4 4(A(w), w)). Do vậy ϕ(t) → ∞ khi t → ±∞. Nhưng ta có (Lw, w) > kwk2 λ ,
suy ra ϕ(t) < 0 với t đủ nhỏ. Vì vậy, tồn tại v ∈ H sao cho J(v) < 0 và inf
v∈HJ(v) < 0.
Bước 3: Ta khẳng định J là bức, nghĩa là J(v) → +∞ khi kvk → +∞. Nếu không sẽ tồn tại α > 0 và một dãy {vn} trong H sao cho J(v) ≤α
và kvnk → +∞ khi n→ ∞. Ta đặt: wn = vn kvnk, do đó kwnk = 1 với mọi n. Khi đó: α ≥ J(vn) = 1 2kvnk2 − λ 2(Lvn, vn) + 1 4(A(vn), vn). (3.24)
Nghĩa là: α kvnk4 ≥ 1−λ(Lwn, wn) 2kvnk2 + 1 4(A(wn), wn). (3.25) Khi {wn} là dãy bị chặn, với một dãy con thích hợp, ta có thể giả sử rằng wn hội tụ yếu đến w trong H. Chuyển qua giới hạn, sử dụng tính compact của L và A, từ (3.25) ta suy ra (A(w),w) ≤ 0, vì thế w = 0. Hơn nữa, khi (A(vn), vn) ≥ 0, từ (3.24) ta suy ra:
α
kvnk2 ≥ 1 2 − λ
2(Lwn, wn).
Điều này mâu thuẫn khi chuyển qua giới hạn cho n→ ∞. Vì vậy, J là bức.
Bước 4: Cho un là một dãy cực tiểu hóa trong H, nghĩa là
J(un) → inf
v∈HJ(v) < 0.
Theo tính bức của J, suy ra un là một dãy con bị chặn và hội tụ yếu. Ta có thể giả sử rằng un hội tụ yếu đến u trong H. Theo tính compact của L và A, dễ dàng nhận ra rằng J đạt được infimum của nó tại u
và khi infimum này là âm, suy ra u 6= 0. Vì vậy, J0(u) = 0 và theo (j0(v), h) = (A(v), h), đây chính là phương trình
u−λLu+A(u) = 0.
Hơn nữa, ta có A(tu) =t3A(u), suy ra −u cũng là một nghiệm. Định lý được chứng minh.
Nhận xét 3.4.1. Ta có nhận xét về nghiệm của: u−λLu+A(u) = 0 như sau:
1. Nếu λ ≤ λ1, thì ta chỉ có nghiệm tầm thường.
2. Nếuλ > λ1, thì ta có nghiệm tầm thường và ít nhất hai nghiệm không tầm thường.
3. Nếu λ là một giá trị đặc trưng của L với bội số lẻ thì theo định lí Krasnoselskij ta có (0, λ) là một điểm rẽ nhánh.
4. Nếu λ là một giá trị đặc trưng đơn, thì ta có các nghiệm rẽ nhánh từ các nhánh tầm thường.
Ta sẽ chỉ ra, theo một phương pháp khác, rằng (0, λ1) luôn là một điểm rẽ nhánh.
Trong chứng minh của Định lí 3.4.1, ta có thể thu được các nghiệm của
u − λLu + A(u) = 0, tìm thấy cực trị của hàm J được xác định bởi
J(v) = 12kvk2 − λ2(Lv, v) + 14(A(v), v). Phương pháp khác là tìm cực trị của hàm v 7→ (Lv, v) trên tập hợp: ∂Ar = {v ∈ H 1 2kvk2 + 1 4(A(v), v) = r}
Khi đó λ sẽ xuất hiện trong dạng của một nhân tử Lagrange. Để cho thuận tiện, ta đặt:
F(v) = 1
2kvk2 + 1
4(A(v), v).
Định lý 3.4.2. [8] Hàm v 7→(Lv, v) không đạt được minimum trên ∂Ar
với r > 0.
Chứng minh.
Ta sẽ chỉ ra rằng infimum của hàm này là 0 vì 0 ∈/ ∂Ar nên minimum sẽ không đạt được trên biên của Ar với r > 0. Cho {zi} là một cơ sở trực giao của H. Đặt: wn = p2(r +ε)zm, ε > 0 là cố định. Ta có: kwnk2 = 2(r +ε). Do vậy: F(wm) =r +ε+ 1 4(A(wn), wn) > r.
Xét đa thức:
pm(t) =F(twm) =t2(r +ε) + t
4
4(A(wm), wm).
Vì pm là tăng với t > 0, pm(0) = 0 và pm(1) > r, nên tồn tại duy nhất
tm ∈ (0,1) sao cho pm(tm) = r, nghĩa là tmwm ∈ ∂Ar. Do zm hội tụ yếu đến 0 trong H, suy ra tmwm hội tụ yếu đến 0 trong H. Vì L là compact nên L(tmwm) hội tụ mạnh đến 0 trong H, ta suy ra:
(L(tmwm), tmwm) →0 khi m→ ∞.
Vậy infimum của hàm đã cho là 0. Định lí được chứng minh.
Định lý 3.4.3. [8] Hàm v 7→ (Lv, v) đạt được cực đại trên ∂Ar, với mọi
r > 0. Nếu ur là điểm cực đại, thì −ur cũng là điểm cực đại. Hơn nữa,
ur →0 khi r →0.
Chứng minh.
Rõ ràng supremum của phiếm hàm là hoàn toàn dương. Vì vậy, giá trị cực đại bất kì của nó sẽ khác không.
Nếuur là một giá trị cực đại, thì −ur cũng là giá trị cực đại. Vìur ∈ ∂Ar, ta có:
kurk2 ≤ 2r.
Hiển nhiên ur → 0 khi r →0. Vì vậy, ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại của giá trị cực đại.
Cho {wn} là một dãy cực đại trên ∂Ar. Hơn nữa, mỗi phần tử của dãy này là bị chặn theo chuẩn bởi 2r và vì thế, ta có thể tìm được một dãy con hội tụ yếu.
Ta giả sử rằng wn hội tụ yếu đến w trong H. Vì L là compact, ta thấy rằng:
(Lw, w) = sup
v∈∂Ar
Theo tính chất nửa liên tục dưới yếu của chuẩn và tính compact của A, ta có:
F(w) ≤ r.
Giả sử, nếu F(w) < r. Thì bằng việc xét đa thức p(t) = F(tw), ta dễ dàng suy ra sự tồn tại số thực t > 1 sao cho tw ∈ ∂Ar. Bởi vì:
(L(tw), tw) =t2(Lw, w) > (Lw, w) = sup
v∈∂Ar
(Lv, v).
Điều này dẫn tới mâu thuẫn, vì vậy w ∈ ∂Ar, và nó là một giá trị cực đại.
Nhận xét 3.4.2. Nếu ur ∈ ∂Ar là điểm cực đại của hàm trên thì ta có nhân tử Lagrange −vr sao cho:
Lur −vr(ur +A(ur)) = 0.
Từ mối quan hệ:
(j0(v), h) = (A(v), h) trong giả thiết (H2.), ta suy ra vr 6= 0.
Vì vậy, đặt:
µr = 1
vr
ta có: (ur, µr) và (−ur, µr) đều là nghiệm của phương trình
u−λu+A(u) = 0.
Do đó ur → 0 khi r → 0. Ta chỉ cần chỉ ra rằng µr → λ1 khi r → 0 để khẳng định (0, λ1) là một điểm rẽ nhánh.
Định lý 3.4.4. [8] Với các kí hiệu trong nhận xét trên, limµr
r→0
Chứng minh.
Bước 1: Vì ur 6= 0, theo Định lý 3.4.1 ta có µr ≥ λ1.
Do 0 ≤ vr ≤ 1
λ1 và vì thế ta có dãy con vr → v khi r →0. Bước 2: Cho tr > 0 được xác định bởi:
t2r = 2r kurk2.
Vì ur ∈ ∂Ar, ta suy ra: 1 4(A(ur), ur) = r 1− 1 t2 r .
Hơn nữa, vì kurk2 ≤ 2r, suy ra:
0 ≤ (A(ur), ur)
4r ≤Cr,
với C > 0 là một hằng số không phụ thuộc vào r. Vì vậy tr → 1 khi r →0.
Bước 3: Vì (ur, µr) thỏa mãn u−λLu+A(u) = 0 ta có:
vrtrur−L(trur) +vrtrA(ur) = 0. Đặt wr = trur, ta được kwrk2 = 2r và: vrkwrk2 −(Lwr, wr) +vrtr(A(ur), wr) = 0. Do đó, vr − (Lwr, wr) 2r + vrtr 2r (A(ur), wr) = 0. (3.26) Nhưng ta có: 1 2r |(A(ur), wr)| ≤ C r kurk3kwrk ≤ Cr.
Hiển nhiên Cr →0 khi r →0, chuyển qua giới hạn trong (3.26) sử dụng kết quả của Bước 2, ta được:
lim
r→0
(Lwr, wr) 2r = v.
Bước 4: Cho u là một hàm giá trị riêng định chuẩn của L tương ứng với
λ1 , nghĩa là:
u = λ1Lu, kuk2 = 1.
Cho t˜r > 0 sao cho ˜tru ∈ ∂Ar với r < 1/2.
Thật vậy, nếu p(t) = F(tu), thì p(0) = 0 và p(1) ≥ 1/2> r và vì thế tồn tại t˜r ∈ (0,1). Hơn nữa ta có: 1 2t˜ 2 r + ˜t 4 r 4(A(u), u) = r.
Điều này suy ra ˜tr → 0khi r →0. Do đó ta suy ra rằng: 2r ˜ t2 r = 1 + ˜t 2 r(A(u), u) 2 →1 khi r →0.
Bước 5: Cho u˜r = ˜tru. Khi ur cực đại, v 7→ (Lv, v) trên toàn ∂Ar, ta có: 1 λ1 = (Lu, u) = Lu˜r,u˜r ˜ t2 r ≤ (Lur, ur) ˜ t2 r . Khi đó ta có: 1 λ1 ≤ (Lwr, wr) t2 r˜t2 r = (Lwr, wr) 2r 1 t2 r 2r ˜ t2 r .
Và tiếp theo ta có vế phải tiến tới v khi r → 0. Vì vậy, 1< λ1 ≤ v trong khi ở Bước 1 ta có:
v ≤ 1 λ1, Vậy v = 1/λ1. Hay µr → λ1. Định lí đã được chứng minh.
Trên đây chúng ta đã tìm hiểu thêm hai phương pháp xác định nghiệm rẽ nhánh của phương trình phi tuyến, đó là phương pháp nhiễu và phương pháp biến phân cùng với một số ví dụ minh họa.
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày ba phương pháp giải phương trình phi tuyến phụ thuộc tham số trong không gian Banach. Cụ thể như sau:
Chương I: Trình bày một số kiến thức cơ sở như: không gian định chuẩn, không gian Banach, toán tử tuyến tính bị chặn, toán tử compact, không gian Hilbert,...
Chương II: Trình bày khái niệm điểm rẽ nhánh, các ví dụ về điểm rẽ nhánh, phương pháp Lyapunov- Schmidt, bổ đề Morse và một số áp dụng của nó.
Chương III: Trình bày hai phương pháp xác định nghiệm rẽ nhánh của phương trình phi tuyến, đó là phương pháp nhiễu và phương pháp biến phân cùng với một số ví dụ minh họa.
Do thời gian và khả năng còn hạn chế, nên luận văn mới chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu và tổng hợp các kết quả nghiên cứu theo chủ đề đã đặt ra. Trong quá trình viết luận văn và xử lý văn bản khó tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. Tác giả xin chân thành cảm ơn.
Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu tiếng Việt
[1] Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long (2001), Giáo trình Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội.
[2] Đậu Thế Cấp (2000), Giải tích hàm, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
[3] Phan Đức Chính (1978), Giải tích hàm, tập 1, NXB Đại học và trung học chuyên nghiệp.
[4] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, Nhà xuất bản Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội.
[5] Nguyễn Phụ Hy, Hoàng Ngọc Tuấn, Nguyễn Văn Tuyên (2006), Bài tập Giải tích hàm, Nhà xuất bản Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội. [6] Nguyễn Xuân Liêm (2002), Giải tích hàm, Nhà xuất bản Giáo dục,
Hà Nội.
[7] Hoàng Tuỵ (2005), Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[B] Tài liệu tiếng Anh
[8] S. Kesavan (2003), Nonlinear Functional Analysis, Institute Math- ematical Sciences, Chennai, Hindustan book agency.