3 Phương pháp nhiễu và phương pháp biến phân
3.3. Định lí Rabinowitz
Trong phần này, ta có kết quả mà có thể mô tả toàn cục kết quả rẽ nhánh. Nó nghiên cứu dáng điệu toàn cục của một nhánh các nghiệm rẽ nhánh từ nhánh tầm thường trong kết quả của Krasnoselskij.
Cho X là một không gian Banach, L : X → X là một toán tử tuyến tính bị chặn, compact. Cho g : X ×R → X là một ánh xạ compact sao
cho g(x, λ) = o(kxk) trong lân cận của một giá trị đặc trưng λ0 của L. Ta xét các nghiệm của phương trình:
f(x, λ) ≡ x−λLx+ g(x, λ) = 0. (3.16) Theo định lí Krasnoselskij, nếu λ0 có bội số lẻ, thì (0, λ0) là một điểm rẽ nhánh. Vì vậy nó sẽ nằm trong bao đóng S của tất cả các nghiệm không tầm thường của phương trình (3.16) trong X × R. Rabinowitz nghiên cứu dáng điệu của thành phần liên hợp C trong S chứa điểm(0, λ0). Khi
L là compact, ta có thể chọn ε0 > 0 sao cho λ0 chỉ là giá trị đặc trưng của L trong khoảng [λ0 −ε0, λ0 +ε0]. Vậy I−λL khả nghịch với λ 6= λ0
trong khoảng trên. Do đó, ta xác định các chỉ số:
i+ = i(f −λL,0,0) = d(I −λL, B(0;r),0), λ > λ0 i− = i(f −λL,0,0) = d(I −λL, B(0;r),0), λ < λ0,
không phụ thuộc vào λ và r > 0 đủ nhỏ. Bây giờ xác định
Hr : X ×R→ X ×R bởi:
Hr(x, ε) = (f(x, λ0 + ε),kxk2 −r2).
Nếu λ = λ0 ±ε0, ta biết rằng ∂xf(0, λ) = I −λL là khả nghịch. Do đó
x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình
f(x, λ) ≡ x−λLx+ g(x, λ) = 0,
trong B(0, r) với r đủ nhỏ. Vì thế, nếu ta đặt:
Br,ε0 = n (x, ε) kxk2 +ε2 < r2 +ε20 o
thì sẽ không có điểm 0 trên biên của Br,ε0.
Vì vậy, ta xác định được bậc của d(Hr, Br,ε0(0,0)).
Định lý 3.3.1. [8] (Ize) Ta có:
Chứng minh.
Với 0 ≤t ≤ 1, xác định:
Hrt(x, ε) = ((I −(λ0 +ε)L)x+ tg(x, λ0 +ε), t(kxk2 −r2) + (1−t)(ε20 −ε2)).
Với bất kì t, Hrt sẽ không triệt tiêu trên biên của B(0, r) × (−ε0, ε0). Vì vậy, ta xác định được bậc của d(Hrt, Br,ε0(0,0)), bậc này không phụ thuộc t.
Tại t= 0 ta có:
Hr0(x, ε) = (I −(λ0 +ε)L)x, ε20 −ε2).
Đạo hàm của nó tại (0, ε) được xác định như sau:
(Hr0)t(0, ε)(x, η) = ((I −(λ0 +ε)L)x,−2εη).
Ta thấy Hr0 chỉ triệt tiêu tại các điểm (0,−ε0) và (0, ε0). Đây là các nghiệm cô lập và chỉ số của chúng được tính theo công thức đưa về dạng lôgarit hoá như i− với điểm (0, ε0) và −i+ với điểm (0,−ε0). Ta suy ra:
d(Hr, Br,ε0(0,0)) = i−−i+.
Định lý 3.3.2. [8] (Rabinowitz). Cho λ0 là một giá trị đặc trưng bội số lẻ của L và C là một thành phần liên thông của S chứa điểm (0, λ0). Khi đó:
1. C không là compact.
2. C chứa một số hữu hạn các điểm có dạng (0, λj), với λj là các giá trị đặc trưng của L, và số các giá trị đặc trưng λj bội số lẻ của L là chẵn.
Do đó, một thành phần compact của S qua (0, λ0) phải giao với trục
Chứng minh.
Giả sử rằng C là compact. Vì điểm tụ của các giá trị đặc trưng của L
(các tụ điểm là compact) là vô hạn, nó kéo theo hữu hạn các điểm(0, λj) trong C với λj là giá trị đặc trưng của L. Cho Ω là một tập mở bị chặn trong X ×R sao cho C ⊂ Ω và ∂Ω không chứa bất kì nghiệm không tầm thường nào của phương trình:
f(x, λ) ≡ x −λLx + g(x, λ) = 0 và sao cho chỉ với các điểm có dạng (0, λ) trong Ω. Với λ là các giá trị đặc trưng của L, và là một trong λj
nói đến ở trên. Ta xác định:
fr(x, λ) = (f(x, λ),kxk2 −r2).
Lưu ý rằng fr = Hr1 xác định trong định lý trước với λ nằm trong lân cận của một giá trị đặc trưng của L.
Nếu fr(x, λ) = (0,0) trên ∂Ω, thì suy ra một mặt x = 0, mặt khác kxk = r với r > 0. Điều này mâu thuẫn. Vì vậy, bậc d(fr,Ω,(0,0)) là xác định được và không phụ thuộc vào r.
Nếu r > 0 đủ lớn, thì fr không thể triệt tiêu tại (x, λ), vì kxk = r. Điều này không thể xảy ra vì Ω là tập bị chặn. Vì vậy, d(fr,Ω,(0,0)) = 0. Giả sử r > 0 đủ nhỏ, nếu fr triệt tiêu tại (x, λ) thì kxk = r và λ phải nằm trong một lân cận đóng của λj. Ta cố định các lân cận rời nhau đủ nhỏ (λj −εj, λj + εj) của các giá trị đặc trưng λj. Với các lân cận này, (I −λL)−1 là bị chặn đều và vì thế với r > 0 đủ nhỏ, chỉ có các nghiệm của phương trình: f(x, λ) ≡x−λLx+g(x, λ) = 0 là các nghiệm tầm thường. Do vậy, theo định lí trước ta có:
0 = d(fr,Ω,(0,0)) = X
j
(i−(j)−i+(j)),
với i−(j) và i+(j) là các chỉ số của giá trị đặc trưng λj. Nhưng i−(j) = (−1)mji+(j), với mj là bội số của λj. Vì các giá trị đặc trưng bội số lẻ mà tổng bằng 0, suy ra phải có một số chẵn của chúng. Định lí được chứng minh.
Ví dụ 3.3.1. Cho X = R2 và xét phương trình: u−λLu−Lg(u) = 0, với: L = " 1 0 0 12 # ;g(u) = " −u32 u31 # .
Các giá trị đặc trưng của L là 1 và 2 và cả hai đều có bội số lẻ. Ta có:
L−1u = λu+g(u), và: (1−λ)u1 = −u32, (2−λ)u2 = u31. Khi đó ta có 1≤ λ ≤ 2 và : ( u1 = ±(λ−1)18(2−λ)38 u2 = ±(λ−1)38(2−λ)18.
Vì vậy, chỉ có một thành phần bị ràng buộc của nghiệm, nghĩa là S = C và nó là compact và giao với trục λ tại cả hai giá trị đặc trưng.