Ánh xạ tựa đơn điệu tăng

THƯ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH VIỆN TRƯỜNG _ Nguyễn Thạch ÁNH XẠ TỰA ĐƠN ĐIỆU TĂNG Chuyên nghành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2010 LỜI CẢM ƠN Tôi xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS Nguyễn Bích Huy tận tình hướng dẫn suốt trình thực luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô phản biện cho nhận xét quý báu, giúp có thêm kinh nghiệm trình nghiên cứus Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô nhiệt tình giảng dạy thời gian học trường Đại học Sư phạm Tp HCM tạo điều kiện cho hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp người thân động viên giúp đỡ trình học tập thực luận văn TP.HCM, tháng 10 năm 2010 Học viên Nguyễn Thạch MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết phương trình không gian Banach có thứ tự xây dựng từ năm 1950, phát triển hoàn thiện hôm Lý thuyết mặt cho phép nghiên cứu sâu tính chất nghiệm tính dương, tính lồi… Mặt khác cho phép sử dụng tính chất thứ tự để thay tính liên tục, compact ánh xạ Do lý thuyết phương trình không gian có thứ tự tìm ứng dụng rộng rãi toán xuất phát từ vật lí, hóa học, sinh học kinh tế học Trong lí thuyết phương trình không gian có thứ tự lớp phương trình với ánh xạ tăng đóng vai trò quan trọng Các ánh xạ không liên tục thích hợp để mô tả tượng tự nhiên Lớp phương trình với ánh xạ tăng nghiên cứu hoàn chỉnh phát triển nội lí thuyết nhu cầu thực tế đặt yêu cầu mở rộng ánh xạ tăng Năm 1972, Volkmann đưa lớp ánh xạ tựa đơn điệu tăng ứng dụng chúng để nghiên cứu nghiệm phưuơng trình vi phân không gian Banach để so sánh nghiệm hai phương trình, nghiên cứu phụ thuộc đơn điệu nghiệm vào điều kiện ban đầu… tính chất chưa nghiên cứu phương trình xét không gian thứ tự Cho đến tài liệu ánh xạ tựa đơn điệu tăng báo khoa học đăng tạp chí chuyên ngành tiếng anh, tiếng đức Và trình bày cô đọng, vắn tắt Luận văn có mục tiêu trình bày khái niệm ánh xạ gần đơn điệu tăng ứng dụng cách hệ thống với chứng minh chi tiết, rõ ràng Nội dung luận văn Nội dung luận văn gồm có chương Chương 1: Không gian Banach với thứ tự sinh nón Trong chương nhắc lại khái niệm, kết sử dụng luận văn Các kết trích dẫn từ tài liệu tham khảo Chương 2: Ánh xạ tựa đơn điệu tăng Chương gồm khái niệm Ánh xạ tựa đơn điệu tăng định lý 2.1 Ánh xạ tựa đơn điệu tăng 2.2 Ánh xạ tựa đơn điệu tăng bất phương trình vi phân Chương 3: Phương trình vi phân chứa ánh xạ tựa đơn điệu tăng Chương 4: Điểm bất động ánh xạ tựa đơn điệu tăng Phương pháp nghiên cứu  Sử dụng định lí tập hợp có thứ tự bổ đề Zorn, nguyên lí Entropy, kết thứ tự không gian Banach sinh nón  Sử dụng phương pháp điểm bất động phương pháp xấp xỉ liên tiếp để nghiên cứu tồn nghiệm phương trình vi phân Chương I KHÔNG GIAN BANACH VỚI THỨ TỰ SINH BỞI NÓN 1.1 Không gian Banach với thứ tự sinh nón Định nghĩa 1.1.1: Cho X không gian Banach K tập X K gọi nón nếu: i) K đóng khác rỗng K    ii) a, b  ; a, b  0; x, y  K  ax  by  K iii) x  K  x  K  x  Ví dụ: Cho X  R n K  {( x1 , x2 , , xn )  X : xi  0, i  1,2, , n} Thì K nón X Định nghĩa 1.1.2: Trong không gian Banach với nón K, ta xét quan hệ thứ tự sau: x, y  X , x  y  y  x  K Khi đó, quan hệ  quan hệ thứ tự Thật vậy, ta có:  Phản xạ: x  x   K  x  x, x  X  Phản đối xứng: x, y  X , x  y, y  x y  x  K , x  y  K Do iii) định nghĩa 1.1.1, ta có x  y   x  y  Bắc cầu: x, y, z  X , x  y, y  z y  x  K , z  y  K Do ii) định nghĩa 1.1.1, ta có z  x  ( z  y)  ( y  x )  K  x  z Mệnh đề 1.1.1: Cho X không gian Banach với thứ tự  sinh nón K Khi i)   0, x, y, z  X x  y  x   y x  z  y  z ii) Nếu xn  yn , n  N lim xn  x, lim yn  y x  y x  x  iii) Nếu dãy ( xn ) tăng (hoặc giảm) hội tụ x xn  x (hoặc xn  x ) với n Chứng minh: i) Nếu x  y x  y  K   y   x   ( x  y)  K   x   y Nếu x  y x  y  K  y  x  ( y  z)  ( x  z)  K  x  z  y  z ii) Nếu xn  yn , n  N yn  xn  K Vì lim ( yn  x n )  y  x K đóng nên x  y  x    x  y iii) Giả sử ( xn ) tăng Với n, ta có: xn  xn  m Cho m   , ta xn  x , với n ■ Định nghĩa 1.1.3: Cho ( X , ) tập có thứ tự Tập M  X gọi tập thẳng X nếu: x, y  M x  y y  x Bổ đề Zorn: Giả sử X tập có thứ tự Nếu tập thẳng X có cận ( cận ) X có phần tử cực đại ( phần tử cực tiểu ) Mệnh đề 1.1.2: Cho X không gian Banach với thứ tự  sinh nón K, tập M  X tập thẳng   X dãy ( xn )  M Khi từ dãy ( xn ) ta rút dãy xn k đơn điệu Chứng minh: Ta đặt N0  n  N : xn  xk , k  n Ta có trường hợp:  N0 hữu hạn: Khi tồn n0  N cho n  n0 n  N0 Lúc tồn k  n cho xn  xk ( Do M tập thẳng )   Do đó, từ dãy ( xn ) ta chọn dãy xn với xn  xn  xn  , dãy k cần tìm  N0 vô hạn: Giả sử N0  n1, n2 ,  với n1  n2    với xn Khi dãy x n k  xn2  dãy cần tìm ■ Định nghĩa 1.1.4: (Nón chuẩn) Nón K không gian Banch X gọi nón chuẩn tồn N > cho: x, y  K , x  y  x  N y Khi đó, số N gọi số chuẩn nón K Ví dụ:    Trong không gian X  C1[0,1] , nón K  f  C1[0,1] : f  nón chuẩn  Trong không gian X  C1[0,1] , nón sau nón chuẩn:   K  f  C1[0,1] : f (t )  0, f '(t )  0, t  [0,1] Mệnh đề 1.1.3: Cho K nón chuẩn không gian Banach X i) u, v  X , u  v u, v   x  X : u  x  v tập đóng bị chặn ii) Nếu xn  yn  zn ( n = 1,2,…) lim xn  lim zn  x lim yn  x x  x  x    iii) Nếu dãy đơn điệu ( xn ) có dãy x n k hội tụ x dãy ( xn ) hội tụ x iv) Nếu dãy ( xn ) đơn điệu hội tụ yếu x dãy ( xn ) hội tụ x Chứng minh: i)  Giả sử dãy ( xn )  u, v lim xn  x x  Ta có: u  xn  v, n Suy u  x  v  u, v đóng  x  u, v x  u  K , v  u  K x  u  v  u Do K nón chuẩn nên tồn số chuẩn N  cho: x  u  N v  u Suy x  u  N v  u  x  N v  u  u Vậy u, v bị chặn ii) Nếu xn  yn  zn  yn  xn  zn  xn Do K nón chuẩn nên yn  xn  N zn  xn Vì lim x n  lim zn  x nên zn  xn  x  x  Suy yn  xn  Vậy yn  ( yn  xn )  xn  x iii) Ta có: xnk  x, k xn  xnk  xn  x, n Vì xnk  x nên  , k0 : x  xnk   N Khi đó: n  nk0 , xnk  xn  x   x  xn  x  xnk  x  xn  N x  xnk 0  Vậy ta có xn  x iv) Giả sử  xn  dãy đơn điệu hội tụ yếu x Gọi N số chuẩn nón chuẩn K Với f  K * , ta có: f ( xn )  f ( xm ) với n  m Cho m   , ta f ( xn )  f ( x )  xn  x, n m Theo định lý Mazur,   0, z   ti xni : z  x  i 1  N 1 Đặt n0  max n1, n2 , , nm  ta có: n  n0 , z  xn   xn  z  x  z  xn  z  N x  z  N N 1  xn  x  xn  z  z  x   Vậy dãy  xn  hội tụ x ■ Định nghĩa 1.1.5 (Nón quy) Nón K không gian Banach X gọi nón quy dãy đơn điệu tăng, bị chặn X hội tụ Ví dụ:  Trong không gian X  L[0,1] , nón K nón hàm không âm hầu khắp nơi nón quy  Trong không gian X  C[0,1] , nón K nón hàm không âm nón quy Mệnh đề 1.1.4: Cho K nón không gian Banach X i) K nón quy X dãy đơn điệu giảm, bị chặn X hội tụ ii) K nón quy K nón chuẩn Chứng minh: i) Giả sử K nón quy X Ta xét dãy  xn  giảm, bị chặn dưới: x1  x2   xn   x Khi đó, dãy ( x1  xn ) dãy đơn điệu tăng bị chặn x1  x Vì K nón quy nên dãy hội tụ Vậy  xn  hội tụ Giả sử dãy giảm, bị chặn X hội tụ Ta xét dãy ( xn ) tăng, bị chặn trên: x1  x2   xn   x Khi đó, dãy ( x1  xn ) dãy giảm bị chặn ( x1  x ) nên dãy ( x1  xn ) hội tụ Suy  xn  hội tụ Vậy K nón quy ii) Giả sử ngược lại K nón chuẩn Khi N , xN  K , yN  K ,  xN  yN xN  N yN Cho N  n2 , ta dãy ( xn )  K ,( yn )  K thỏa mãn:  xn  yn , xn  n yn Với xn  , ta xét dãy: xn'  ' Ta có:  x n   yn' , Đặt y   yn' n 1 ' ' xn y yn'  n xn yn x n  1, y n  n  Suy chuỗi  yn' hội tụ n 1 n  yn'  y, n k 1 Ta thấy dãy zn  x1'  x2'   xn' tăng bị chặn y nên ( zn ) hội tụ ( K nón quy) Suy x n  ( zn  zn 1 )  Mâu thuẫn với điều kiện x 'n  Vậy K nón chuẩn ■ 1.2 Nón liên hợp: Định nghĩa 1.2.1: Nếu K nón ta định nghĩa nón liên hợp K  K *  f  X * : f ( x )  0, x  K  K * có tính chất i), ii) định nghĩa nón     Ta chứng minh : K *   K *   *  K  K  X X Mệnh đề 1.2.1 : x0  K  f ( x0 )  0, f  K * Chứng minh :  ) Giả sử f ( x0 )  f  K * x0  K Theo định lí tách tập lồi g  X * : g( x0 )  g ( y), y  K Cố định x  K , ta có g ( x0 )  g (tx ), t  Cho t   ta có g ( x0 )  Vậy g  K * , g ( x0 )  Định nghĩa 1.2.2: Cho E không gian Banach thực với nón K K gọi nón solid int( K )   1.3 Chuẩn P Định nghĩa 1.3.1:  Cho không gian banach  E,  với nón solid K p  K Khi với x  E tồn số   để  p  x   p Chứng minh: Thật vậy, giả sử r số thực dương thỏa mãn B( p, r )  K Khi với x  ta có p x x r r x  B( p, r )  p  xK   p x p x x r r