Điểm cực biên của các tập lồi, compact trong không gian metric tuyến tính

Mục lục Lời cảm ơn Lời nói đầu CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ KHÔNG GIAN METRIC TUYẾN TÍNH 1.1 Định nghĩa khơng gian metric tuyến tính định lý chuẩn bất biến Không gian modular 22 1.3 Các ví dụ khơng gian metric tuyến tính 35 1.4 Không gian metric tuyến tính đầy đủ 41 1.2 ĐỊNH LÝ KREIN-MILMAN VỀ ĐIỂM CỰC BIÊN TRONG KHÔNG GIAN TOPO LỒI ĐỊA PHƯƠNG 44 2.1 Điểm cực biên 44 2.2 Định lý Krein- Milman 47 CÁC VÍ DỤ CỦA ROBERTS VỀ CÁC TẬP LỒI, COMPATC KHƠNG CĨ ĐIỂM CỰC BIÊN 54 3.1 Định nghĩa điểm nhọn điểm xấp xỉ nhọn 54 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hồng Trí 3.2 Định lý Roberts, 1976 59 Kết luận 69 Tài liệu tham khảo 70 SVTH: Nguyễn Văn Đức 09ST- Đại học sư phạm Đà Nẵng Lời cảm ơn Khóa luận “Điểm cực biên tập lồi, compact khơng gian metric tuyến tính” hồn thành hướng dẫn tận tình hết lịng bảo thầy giáo TS Lê Hồng Trí Em xin phép gởi đến thầy kính trọng lịng biết ơn sâu sắc tận tâm thầy thân em khơng thời gian làm khóa luận mà cịn suốt q trình học tập Em xin bày tỏ biết ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu trường Đại Học Sư Phạm-Đại Học Đà Nẵng, Ban Chủ nhiệm khoa Toán tạo hội cho em làm khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy giáo Khoa Tốn, Trường Đại Học Sư Phạm-Đại Học Đà Nẵng nhiệt tình giảng dạy em suốt năm học Đại học vừa qua Mặc dù cố gắng, khóa luận khơng tránh khỏi sai sót Em mong ý kiến đóng góp thầy giáo bạn để khóa luận hoàn thiện Đà Nẵng, ngày 27 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyễn Văn Đức Lời nói đầu Định nghĩa khơng gian metric tuyến tính đưa Fréchet (1926) Và hầu hết định lý khơng gian metric tuyến tính chứng minh trước năm 1940 phần lớn Banach cộng Vào thời gian đầu trình nghiên cứu, người ta quan tâm đến định lý không gian định chuẩn, xuất định lý góp phần phát triển nhanh chóng hướng nghiên cứu định lý khơng gian topo lồi địa phương Cụ thể vào năm 1940, đời định lý Krein-Milman điểm cực biên góp phần khơng nhỏ vào lĩnh vực giải tích, đặc biệt giải tích lồi Đến năm 1976, Roberts phát biểu định lý tiếng, ông xây dựng F − không gian, chứa tập compact khơng có điểm cực biên, định lý Krein-Milman khơng cịn cho khơng gian khơng lồi địa phương Với mục đích tìm hiểu, cụ thể hóa chứng minh, ví dụ, trình bày chi tiết, bổ sung chi tiết nhỏ trình chứng minh định lý, góp phần bổ sung kiến thức khơng gian metric tuyến tính vốn khơng có hội tiếp cận trình học đại học, mục tiêu khóa luận Khóa luận "Điểm cực biên tập lồi, compact không gian metric tuyến tính" trình bày qua ba chương: Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hồng Trí Chương trình bày khái niệm khơng gian metric tuyến tính, khơng gian modular, mối liên hệ F − chuẩn khơng gian modular, ví dụ khơng gian metric tuyến tính Chương tập trung giới thiệu điểm cực biên, trình bày chi tiết định lý Krein-Milman chứng minh hệ suy từ định lý Trong chương chủ yếu mô ta nguyên tắc xây dựng không gian F − chuẩn chứa tập compact lồi khơng có điểm cực biên Roberts đưa năm 1976, trình bày chi tiết bổ sung ý nhỏ chứng minh định lý Roberts SVTH: Nguyễn Văn Đức 09ST- Đại học sư phạm Đà Nẵng Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ KHƠNG GIAN METRIC TUYẾN TÍNH 1.1 Định nghĩa khơng gian metric tuyến tính định lý chuẩn bất biến Cho X khơng gian tuyến tính trường số thực Phép toán + hai phần tử x y kí hiệu: x + y Phép tốn nhân phần tử x với tích vơ hướng t: tx Cho A, B tập X Khi ∆ A + B = {a + b/a ∈ A, b ∈ B} Cho t ∈ R ∆ tA = {ta/a ∈ A} Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X có metric ρ Khơng gian X gọi khơng gian metric tuyến tính phép toán cộng phép toán nhân với số liên tục metric ρ Tức là: Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hồng Trí (i) ∀x0 , y0 ∈ X, ∀ε > 0, ∃δ1, δ2 > : ∀x ∈ X mà ρ(x, x0) < δ1, ∀y ∈ X mà ρ(y, y0) < δ2 ρ(x + y, x0 + y0) < ε (ii) ∀x0 ∈ X, ∀t0 ∈ R, ∀ε > 0, ∃δ1, δ2 > : ∀t ∈ R mà |t − t0 | < δ1 , ∀x ∈ X mà ρ(x, x0) < δ2 ρ(tx, t0x0) < ε Có thể gọi X khơng gian metric tuyến tính (X, ρ) khơng gian metric tuyến tính Chúng ta nói tập U ⊂ X cân ( hay cân bằng) với t ∈ R, |t| tU ⊂ U Từ ta có nhận xét sau: Nhận xét 1.1.1 U cân ⇔ ∀t ∈ [−1, 1], ∀u ∈ U, tu ∈ U Chứng minh Thật vậy: "⇒" ∀t ∈ [−1, 1],do U cân ⇒ tU ⊂ U Mặt khác ∀u ∈ U ⇒ tu ∈ tU ⊂ U ⇒ tu ∈ U "⇐" ∀t ∈ [−1, 1] phải chứng minh tU ⊂ U : ∀z ∈ tU ⇒ ∃u ∈ U : z = tu.Từ giả thiết ta suy : tu ∈ U ⇒ z ∈ U ⇒ tU ⊂ U ⇒ U cân Nhận xét 1.1.2 Mỗi lân cận W zero chứa lân cận cân U zero Chứng minh Bổ đề 1.1.1 ∀t ∈ R, t = , V mở X tV mở X SVTH: Nguyễn Văn Đức 09ST- Đại học sư phạm Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hồng Trí Chứng minh Cho ϕ : X −→ X xác định bởi: x −→ tx ⇒ ϕ liên tục (do định nghĩa khơng gian metric tuyến tính) ψ : X −→ X xác định bởi: y −→ y t ⇒ ψ liên tục (do phép nhân số với vectơ) và: ψo ϕ = idX ϕo ψ = idX ⇒ ϕ phép đồng phơi Ta có : ϕ(V ) = tV ⇒ tV mở X Bổ đề 1.1.2 Cho X khơng gian metric tuyến tính, V mở X, x0 ∈ X, x0 + V = {x0 + x|x ∈ V } mở X, V ⊂ X U + V mở X Chứng minh ϕ : X −→ X xác định bởi: x −→ x + x0 ⇒ ϕ liên tục ψ : X −→ X xác định bởi: y −→ y − x0 ⇒ ψ liên tục SVTH: Nguyễn Văn Đức 09ST- Đại học sư phạm Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Lê Hồng Trí ψo ϕ = idX ϕo ψ = idX ⇒ ϕ phép đồng phôi ⇒ ϕ(V ) mở ⇒ x0 + V = ϕ(V ) mở X Ta lại có U + V = (x + v) x∈U ⇒ U + V mở X Chọn < |t0 | < δ1 ta chứng minh ∈ t0 V Ta có: = t0 (mà ∈ V ) ⇒ t0.0 ∈ t0 V tV ⇒ ∈ t0 V ⊂ 0 : ∀t ∈ R, ∀ε > mà |t| < δ1 ∀x ∈ X mà ρ(x, 0) < δ2 ρ(tx, 0) < ε Đặt V = B(0, δ2) tV ⇒ U mở tV mở lân cận điểm U= 0