Đối ngẫu của bài toán tối ưu lồi luận án thạc sĩ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỐNG THỊ LIỄU ĐỐI NGẪU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU LỒI Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số:60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đỗ Văn Lưu Thái Nguyên: 08/2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Mục lục Mở đầu 2 Chương 1. LIÊN HỢP CỦA HÀM LỒI 4 1.1. Chính quy hóa Gamma 4 1.2. Hàm liên hợp 7 1.3. Định lý H¨ormander 12 1.4. Bổ đề Farkas suy rộng 14 Chương 2. ĐỐI NGẪU CỦA CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU LỒI 19 2.1. Đối ngẫu dưới ngôn ngữ hàm Lagrange 19 2.2. Đối ngẫu Lagrange và các hàm khả vi Gâteaux 26 2.3. Đối ngẫu của bài toán biên 29 2.4. Đối ngẫu dưới ngôn ngữ hàm liên hợp 35 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý thuyết đối ngẫu là một bộ phận quan trọng của lý thuyết tối ưu hóa và có nhiều ứng dụng trong tối ưu hóa và toán ứng dụng. Với một bài toán tối ưu, người ta thường nghiên cứu một bài toán liên quan chặt chẽ với nó mà ta gọi là bài toán đối ngẫu. Nếu bài toán xuất phát là bài toán cực tiểu thì bài toán đối ngẫu là bài toán cực đại. Người ta mong muốn bài toán đối ngẫu dễ xử lý hơn bài toán xuất phát. Các loại bài toán đối ngẫu thường được nghiên cứu là đối ngẫu Lagrange, đối ngẫu Wolfe và đối ngẫu Mond-Weir với các định lý đối ngẫu yếu và mạnh. Các định lý đối ngẫu mạnh cho ta các điều kiện để giá trị hàm mục tiêu của bài toán xuất phát và bài toán đối ngẫu bằng nhau. Lý thuyết đối ngẫu cho các bài toán tối ưu lồi được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu và thu được nhiều kết quả đẹp (xem chẳng hạn [5], [2], [4] và các tài liệu tham khảo trong các công trình đó). Chính vì vậy mà em chọn đề tài "Đối ngẫu của bài toán tối ưu lồi". Đề tài này có tính thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Luận văn tập trung trình bày lý thuyết đối ngẫu cho các bài toán tối ưu lồi bao gồm định lý đối ngẫu Lagrange, định lý đối ngẫu tổng quát, các định lý đối ngẫu cho bài toán với các hàm khả vi Gâteaux, đối ngẫu của bài toán giá trị biên, đối ngẫu dưới ngôn ngữ hàm giá trị và hàm nhiễu. Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 1. Liên hợp của hàm lồi 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Trình bày một số kết quả về liên hợp của hàm lồi. Kết quả chỉ ra rằng một hàm lồi nửa liên tục dưới là bao đóng trên của các hàm afine liên tục. Khái niệm hàm liên hợp (liên hợp Fenchel) được trình bày cùng với định lý song liên hợp, định lý về liên hợp của tổng hai hàm qua tổng chập infimal của hai hàm liên hợp. Chương này cũng trình bày định lý H¨ormander mô tả một tập trong E ∗ qua các phiếm hàm dưới tuyến tính, nửa liên tục dưới trên E, định lý về song cực, bổ đề Farkas suy rộng. Chương 2. Đối ngẫu của các bài toán tối ưu lồi Trình bày lý thuyết đối ngẫu cho bài toán tối ưu lồi bao gồm định lý đối ngẫu Lagrange cho bài toán lồi với hữu hạn ràng buộc tập, định lý đối ngẫu tổng quát, các định lý đối ngẫu cho bài toán với các hàm khả vi Gâteaux, đối ngẫu của bài toán giá trị biên, đối ngẫu dưới ngôn ngữ hàm giá trị và hàm nhiễu. Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Đỗ Văn Lưu, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em hoàn thành bản luận văn này. Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa toán, phòng đào tạo sau đại học trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên cùng các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy khóa học. Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học toán K5 đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn. Thái Nguyên, tháng 6 năm 2013 Tác giả Tống thị Liễu 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1 LIÊN HỢP CỦA HÀM LỒI Chương 1 trình bày một số kết quả về liên hợp của hàm lồi. Kết quả chỉ ra rằng một hàm lồi nửa liên tục dưới là bao đóng trên (upper envelope) của các hàm afine liên tục. Khái niệm hàm liên hợp được trình bày cùng với các định lý về song liên hợp, định lý về liên hợp của tổng hai hàm qua tổng chập infimal của hai hàm liên hợp. Chương này cũng trình bày định lý H¨ormander về việc mô tả một tập trong E ∗ qua các hàm dưới tuyến tính, nửa liên tục dưới trên E, định lý về song cực và bổ đề Farkas suy rộng. Các kết quả trình bày trong chương này được tham khảo trong các tài liệu [5], [1], [6]. 1.1 Chính quy hóa Gamma Trong chương này ta kí hiệu (E, E ∗ ) là cặp đối ngẫu của các không gian lồi địa phương. Trong phần này, ta sẽ chỉ ra rằng một hàm lồi nửa liên tục dưới là bao trên của các hàm affine liên tục. Định nghĩa 1.1.1 Với f : E → R = R ∪ {±∞}, ta đặt A(f) :=  a : E → R|a là hàm affine liên tục, a ≤ f  . f Γ : E → R được định nghĩa bởi f Γ (x) := sup {a(x)|a ∈ A(f)} , x ∈ E được gọi là chính quy hóa Gamma của hàm f. Ta quy ước sup ∅ := −∞. Cho hàm f : M ⊆ E → R. Miền hữu hiệu (effective domain) của f được 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn định nghĩa như sau (xem [1]): domf = {x ∈ M|f(x) < +∞} . Hàm f được gọi là chính thường (proper) nếu domf = ∅ và f(x) > −∞(∀x ∈ M). Mệnh đề 1.1.1 Nếu f : E → R là hàm chính thường, thì các phát biểu dưới đây là tương đương: (a) f = f Γ ; (b) f là liên tục nửa dưới và lồi . Chứng minh (a) ⇒ (b) : Hiển nhiên. (b) ⇒ (a): Rõ ràng là f Γ ≤ f. Bây giời giả sử rằng với x 0 nào đó thuộc E và một k nào đó thuộc R, ta có f Γ (x 0 ) < k < f(x 0 ). Ta chỉ ra rằng tồn tại a ∈ A(f) thỏa mãn k < a(x 0 ) thì dẫn đến một mâu thuẫn f Γ (x 0 ) > k. Bởi vì f là nửa liên tục dưới, cho nên epif đóng. Hơn nữa epif lồi và (x 0 , k) ∈ epif. Theo định lý tách mạnh 1.5.9[5], áp dụng với A := epif và B := {(x 0 , k)}, tồn tại ω ∈ (E × R) ∗ và α ∈ R sao cho ω(x, t) ≤ α, ∀(x, t) ∈ epif và ω(x 0 , k) > α. (1.1) Chúng ta có ω(x, t) = x ∗ , x + ct, trong đó x ∗ , x := ω(x, 0), c := ω(0, 1). (1.2) Rõ ràng là x ∗ ∈ E ∗ . Hơn nữa, bởi vì (x, t) ∈ epif kéo theo (x, t  ) ∈ epif, với mỗi t  > t, ta có c ≤ α − x ∗ , x t  , ∀t  > max {0, t} . 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Do đó, cho t  → +∞, ta nhận được c ≤ 0. Bây giờ chúng ta phân biệt hai trường hợp. Trường hợp 1. Giả sử rằngf(x 0 ) < +∞. Khi đó, (1.1) với t := f(x 0 ) và (1.2) kéo theo x ∗ , x 0  + cf(x 0 ) ≤ α < x ∗ , x 0  + ck. Bởi vì k < f(x 0 ), ta suy ra c < 0. Hàm số a : E → R xác định bởi a(x) := α c − 1 c x ∗ , x , x ∈ E là hàm affine liên tục. Nếu x ∈ domf, từ (1.1) ta có a(x) := 1 c (α − ω(x, f(x))) + f(x) ≤ f(x). Nếu x /∈ domf, thì a(x) < +∞ = f(x). Vì vậy, a ∈ A(f). Hơn nữa, ta có a(x 0 ) = 1 c (α − x ∗ , x 0 ) > k. Trường hợp 2: Giả sử rằng f(x 0 ) = +∞. Nếu c < 0, thì ta định nghĩa hàm số a như trong trường hợp 1. Bây giờ giả sử rằng c = 0. Bởi vì f là hàm chính thường, tồn tại y 0 ∈ domf. Theo trường hợp 1, với y 0 thay cho x 0 , tồn tại a 0 ∈ A(f). Định nghĩa a : E → R như sau a(x) := a 0 (x) + ρ(x ∗ , x − α) trong đó ρ := |k − a 0 (x 0 )| x ∗ , x 0 − α + 1. Khi đó a là hàm affine liên tục. Hơn nữa, ta có a(x) ≤ a 0 (x) ≤ f(x), với mỗi x ∈ domf. Như vậy, a ∈ A(f). Cuối cùng, lưu ý rằng a 0 (x 0 ) + |k − a 0 (x 0 )| ≥ k và x ∗ , x 0  > α. Khi đó, ta có a(x 0 ) = a 0 (x 0 ) + |k − a 0 (x 0 )| + x ∗ , x 0  − α > k. 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh được hoàn thành.  1.2 Hàm liên hợp Khái niệm về hàm liên hợp có nguồn gốc từ phép biến đổi của tích các phép biến đổi Legendre trong phép tính biến phân sẽ rất quan trọng cho lý thuyết đối ngẫu trong tối ưu lồi. Định nghĩa 1.2.1 Cho f : E → R. Hàm số f ∗ : E ∗ → R định nghĩa bởi f ∗ (x ∗ ) := sup x∈E (x ∗ , x − f(x)), x ∗ ∈ E ∗ , được gọi là liên hợp Fenchel (hay ngắn gọn là liên hợp) của hàm f. Nếu f là hàm chính thường, định nghĩa kéo theo bất đẳng thức Young x ∗ , x ≤ f(x) + f ∗ (x ∗ ), ∀x ∈ E, ∀x ∗ ∈ E ∗ . (1.3) Ví dụ 1.2.1 Cho p ∈ (0, +∞), định nghĩa f : R → R bởi f(x) := |x| p p . Ta tính f ∗ . Cho E = R, ta có E ∗ = R. Với mỗi x ∗ ∈ R cố định, đặt ϕ(x) := x ∗ x − f(x). Hàm ϕ : R → R là hàm lõm (nghĩa là −ϕ là hàm lồi) và khả vi. Do đó, ϕ có một cực đại duy nhất x 0 thỏa mãn ϕ  (x 0 ) = 0, tức là x ∗ − sgn(x 0 )|x 0 | p−1 = 0. Ta suy ra f ∗ (x ∗ ) = ϕ(x 0 ) = |x ∗ | q q , trong đó 1 q + 1 p = 1. Như vậy, trong trường hợp này, bất đẳng thức Young(1.3) chỉ là bất đẳng thức Young cổ điển cho các số thực: x ∗ x ≤ |x  | p p + |x ∗ | p q . 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mệnh đề 1.2.1 Nếu f : E → R, thì các phát biểu dưới đây đúng : (a) f ∗ là hàm lồi nửa liên tục dưới. (b) Nếu domf = ∅, thì f ∗ (x ∗ ) > −∞ với mọi x ∗ ∈ E ∗ . (c) Nếu f là hàm chính thường, lồi và nửa liên tục dưới, thì f ∗ là hàm chính thường, lồi và nửa liên tục dưới. Chứng minh (a) Dễ dàng thấy rằng f ∗ lồi. Để chứng minh khẳng định thứ hai, chú ý rằng với mỗi x ∈ E, các hàm số ϕ x (x ∗ ) := x ∗ , x − f(x), x ∗ ∈ E ∗ liên tục, và như vậy f ∗ = sup x∈E ϕ x là nửa liên tục dưới. (b) Hiển nhiên. (c) Bởi vì f là hàm chính thường, ta có A(f) = ∅. Do đó, tồn tại x ∗ ∈ E ∗ và c ∈ R sao cho x ∗ , x + c ≤ f(x), với cho mỗi x ∈ E. Từ đó suy ra f ∗ (x ∗ ) = sup x∈E (x ∗ , x − f(x)) ≤ −c < +∞. Do đó x ∗ ∈ domf ∗ .  Cho g : E ∗ → R, hàm liên hợp g ∗ : E → R được định nghĩa tương tự bởi g ∗ (x) := sup x ∗ ∈E ∗ (x ∗ , x − g(x ∗ )), x ∈ E. Bây giờ giả sử f : E → R. Với g := f ∗ , ta có hàm song liên hợp f ∗∗ : E → R của f: f ∗∗ (x) = sup x ∗ ∈E ∗ (x ∗ , x − f ∗ (x ∗ )) , x ∈ E. Định lý 1.2.1 Cho f : E → R. 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (a) Ta có f ∗∗ = f Γ ≤ f. (b) Nếu f là hàm chính thường, thì f ∗∗ = f nếu và chỉ nếu f là lồi và nửa liên tục dưới. Chứng minh (a) Rõ ràng f Γ ≤ f. Ta chỉ ra rằng f ∗∗ = f Γ . Với x ∗ ∈ E ∗ và c ∈ R, ta có x ∗ , x + c ≤ f(x), ∀x ∈ E ⇔ f ∗ (x ∗ ) = sup x∈E (x ∗ , x − f(x)) ≤ −c. Như vậy, f Γ (x) = sup {x ∗ , x + c|x ∗ ∈ E, c ∈ R, c ≤ −f ∗ (x ∗ )} (1.4) Nếu f ∗ (x ∗ ) > −∞, ∀x ∗ ∈ E ∗ , thì f Γ (x) = (2.4) sup {x ∗ , x − f ∗ (x ∗ )|x ∗ ∈ E ∗ } = f ∗∗ (x), ∀x ∈ E Nếu f ∗ (x ∗ ) = −∞ với x ∗ nào đó thuộc E ∗ , thì f Γ (x) = +∞ = f ∗∗ (x), ∀x ∈ E. (b) Được suy ra từ (a) và mệnh đề 1.1.1.  Ví dụ 1.2.2 Cho hàm chỉ δ A của một tập hợp con khác rỗng A của E. Ta có δ ∗ A (x ∗ ) = σ A (x ∗ ), ∀x ∗ ∈ E ∗ , Trong đó δ A : E ∗ → R là hàm tựa của A. Nếu E là không gian véctơ định chuẩn và A = B E (hình cầu đơn vị đóng trong E), thì δ ∗ B E (x ∗ ) = σ B E (x ∗ ) = sup ||x||≤1 x ∗ , x = ||x ∗ ||, ∀x ∗ ∈ E ∗ . Ví dụ 1.2.3 Cho E là một không gian véctơ định chuẩn và f(x) = ||x||, x ∈ E. 9 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2 ĐỐI NGẪU CỦA CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU LỒI Chương 2 trình bày lý thuyết đối ngẫu của bài toán tối ưu lồi bao gồm định lý đối ngẫu Lagrange cho bài toán có ràng buộc bất đẳng thức và ràng buộc tập, định lý đối ngẫu tổng quát, các định lý đối ngẫu cho bài toán với hàm khả vi Gâteaux, đối ngẫu của bài toán giá trị biên, đối ngẫu dưới ngôn ngữ hàm giá trị và hàm nhiễu... q) m q∈R+ x∈A (2.4) Bài toán cực tiểu gốc được mô tả bởi (2.1) và do đó bởi (2.3), được gọi là bài toán xuất phát Bài toán mô tả bởi (2.4) được gọi là bài toán đối ngẫu Chúng ta nói rằng x ∈ A là một nghiệm của bài toán xuất phát (2.3) nếu x ∈ M và f (x) = α, và như vậy, nếu sup L(x, q) = inf sup L(x, q) q∈Rm + x∈A q∈Rm + Tương tự, q ∈ Rm , được gọi là một nghiệm của bài toán đối ngẫu + (2.4) nếu inf... Chúng ta thấy rằng bài toán (2.13) có dạng (2.8) Do đó, bài toán đối ngẫu là (2.12) với f và h như trong (2.14) Bài toán đối ngẫu này là tương đương với o o β = sup { q, a |q ∈ −PF , c − T ∗ q ∈ −PE } (2.15) o Nhắc lại rằng PE là nón cực âm của PE Từ mệnh đề 2.1.1 chúng ta có kết quả dưới đây Hệ quả 2.1.1 Với các giả thiết (A), các khẳng định của định lý 2.1.2 áp dụng được cho các bài toán (2.13) và (2.15)... đối ngẫu tổng quát 22 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn • Nguyên lí đối ngẫu tổng quát Cho bài toán cực tiểu f (x) → min, x ∈ M , tìm các tập hợp A, B và một hàm L : A × B → R sao cho inf f (x) = inf sup L(x, q), x∈M x∈A q∈B và xét bài toán đối ngẫu sau sup inf L(x, q) q∈B x∈A • Trường hợp đặc biệt Ở đây chúng ta áp dụng nguyên lí đối ngẫu cho các bài toán. .. Theo nguyên lí đối ngẫu tổng quát, đối ngẫu của (2.10), và vì vậy của (2.8), là β := sup inf L(x, q) q∈B x∈A 23 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.11) Ta có β = sup(−f ∗ (−T ∗ q) − h∗ (q) − q, a ) (2.12) q∈B Chú ý rằng h∗ là ký hiệu liên hợp của hàm h, còn T ∗ là liên hợp của toán tử T Mệnh đề 2.1.1 Với giả thiết (A), bài toán đối ngẫu của (2.8) là (2.12)... G 2.4 Đối ngẫu dưới ngôn ngữ hàm liên hợp Trong mục này chúng tôi trình bày một cách tiếp cận đối ngẫu khác Ví dụ 2.4.1 Như trong ví dụ 2.1.1 ta xét bài toán tối ưu tuyến tính: α := inf { c, x |x ∈ PE , T x − a ∈ PE } Bây giờ chúng ta nhiễu ràng buộc T x − a ∈ PF bằng một tham số tuyến tính b, nghĩa là chúng ta chuyển qua bài toán nhiễu: S(b) := inf { c, x |x ∈ PE , T x − a − b ∈ PE } Bài toán xuất... lớn hơn π Để 4 ý rằng K là nón lồi đóng ("nón hình kem") và K o = −K Hơn nữa, ta có T ∗ q := (q3 , 0, q2 ) , với q = (q1 , q2 , q3 ) ∈ R3 Vì vậy, bài toán (2.13) và (2.15) tương ứng là α = inf x3 |x ∈ K, (0, x3 − 1, x1 ) ∈ K , β = sup −q2 |q ∈ K, (−q3 , 0, 1 − q2 ) ∈ K Khi đó, α = 0 và β = −1 Chú ý rằng bài toán xuất phát và bài toán đối ngẫu có vô số nghiệm 2.2 Đối ngẫu Lagrange và các hàm khả vi... bị chặn, đối xứng tức là aij = aji Giả thiết rằng toán tử vi phân A là eliptic mạnh, với hằng số c > 0 Cho g ∈ L2 (G) Khi đó, 31 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (a) Bài toán (2.26) có đúng một nghiệm u ∈ E, bài toán (2.27) có đúng một nghiệm q ∈ K, và α = β (b) Các bài toán (2.25) và (2.26) là tương đương, và do đó u cũng là một nghiệm duy nhất của (2.25)... trình vi phân Ví dụ 2.3.1 Xét toán tử vi phân A = − =− N i=1 Di Di Khi đó, với u ∈ C 2 (G), ta có bài toán giá trị biên − u = g trên G, u = 0 trên ∂G 34 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Theo (2.31), bài toán cực tiểu liên kết là   N   1 2 (Di v) − gu dx| u = 0 trên ∂G , α = inf −   2 i=1 G và theo (2.34), bài toán đối ngẫu là  N  1 β = sup − (Di... (a) x là một nghiệm của bài toán xuất phát (2.3) 20 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (b) Hàm Lagrange L có một điểm yên ngựa (x, q) trên A × Rm + (iii) Nếu (b) đúng, thì q là một nghiệm của bài toán đối ngẫu (2.4) và q i gi (x) = 0, với i = 1, 2, , m Nhận xét 2.1.1 (a) So sánh định lý 2.1.1 và Định lý 5.2.1[5] chúng ta thấy rằng" biến đối ngẫu "q chính là . là bài toán đối ngẫu. Nếu bài toán xuất phát là bài toán cực tiểu thì bài toán đối ngẫu là bài toán cực đại. Người ta mong muốn bài toán đối ngẫu dễ xử lý hơn bài toán xuất phát. Các loại bài toán. rộng. Chương 2. Đối ngẫu của các bài toán tối ưu lồi Trình bày lý thuyết đối ngẫu cho bài toán tối ưu lồi bao gồm định lý đối ngẫu Lagrange cho bài toán lồi với hữu hạn ràng buộc tập, định lý đối ngẫu tổng. http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2 ĐỐI NGẪU CỦA CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU LỒI Chương 2 trình bày lý thuyết đối ngẫu của bài toán tối ưu lồi bao gồm định lý đối ngẫu Lagrange cho bài toán có ràng buộc bất đẳng