Đối ngẫu của bài toán tối ưu vector lồi mở rộng

Header Page of 126 B GIO DC V O TO I HC NNG NGUYN CH THNH I NGU CA BI TON TI U VECTOR LI M RNG Chuyờn ngnh : PHNG PHP TON S CP Mó s : 60 46 40 TểM TT LUN VN THC S KHOA HC Ngi hng dn khoa hc: TS HONG QUANG TUYN Nng - Nm 2011 Footer Page of 126 1 Header Page of 126 M u Lý chn ti Ti u a mc tiờu khụng li c cỏc nh toỏn hc rt quan tõm vi chc nm tr li õy, khụng ch t quan im lý thuyt m cũn t thc t Cỏc bi toỏn ti u vector li m rng (l s m rng ca bi toỏn ti u vector li) ny sinh quỏ trỡnh xõy dng v gii thớch cỏc mụ hỡnh kinh t; la chn phng ỏn ti u v ti chớnh, k thut, sn xut, ti v nhiu lnh vc hin i khỏc Khi nghiờn cu bi toỏn ti u vector li m rng thỡ lý thuyt i ngu cng l mt nhng cụng c quan trng Phõn tớch song song mt cp bi toỏn i ngu cho trng hp li m rng (rng hn bi toỏn li) ta cng nhn c nhng kt lun hay c v mt toỏn hc v c v ý ngha thc t rt hin i Do ú, tụi chn ti: " i ngu ca bi toỏn ti u vector li m rng" vi ni dung l nghiờn cu cỏc dng i ngu mi cho bi toỏn ti u vector li m rng Cú th núi rừ hn, qui hoch li úng vai trũ c bn lý thuyt ti u v cỏc kt qu i ngu, Tuy nhiờn, i vi nhiu bi toỏn gp phi kinh t, k thut, gi thuyt li tr nờn quỏ nng Do ú, cn phi gim nh Trờn thc t cú th gim nh gi thuyt li m t c kt qu (nh lý Kuhn - Tucker, ) Hm invexity (Tớnh li bt bin) l mt vớ d nh l s m rng ca lp hm li ti kho cu mt s dng i ngu mi cho cỏc bi toỏn ti u vector li m rng: 1-i ngu Mond - Weir (tng quỏt) cho bi toỏn ti u vector kh vi 2-i ngu Mond - Weir (tng quỏt) cho bi toỏn ti u vector khụng kh vi 3-i ngu Mond - Weir (tng quỏt) cho bi toỏn ti u vector khụng kh vi cú hm d-Univex 4-i ngu Mond - Weir (tng quỏt) cho bi toỏn ti u vector khụng kh vi cú hm d-Type-I Univex 5-i ngu cho bi toỏn ti u vector (P) khụng gian Banach 6-i ngu cho bi toỏn ti u phõn thc (P) Mc tiờu v ni dung nghiờn cu Lun kho cu mt s kt qu i ngu mi (trong vũng 10 nm tr li õy) cho mt s bi toỏn ti u vector li m rng Phng phỏp nghiờn cu H thng cỏc kin thc c bn v li, hm li, hm tuyn tớnh, hm kh vi, Footer Page of 126 2 Header Page of 126 hm khụng kh vi, hm Invex, hm quasiinvex, pseudoinvex, hm Type-I v hm Type-I m rng, hm V-Invex v hm Univex, phc v cho nhu cu nghiờn cu ti Phng phỏp tham kho ti liu: Tỡm hiu chi tit cỏc khỏi nim, b , mnh , nh lý, h qu, v lý thuyt i ngu Nghiờn cu cỏc ti liu nc v ngoi nc, Giỏo trỡnh hoc cỏc bi bỏo liờn quan, í ngha khoa hc v thc tin ca ti H thng c mt s dng bi toỏn ti u vector li m rng Trỡnh by chi tit cỏc dng i ngu mi ca cỏc bi toỏn ti u vector li m rng rt hu ớch v nghiờn cu lý thuyt cng nh ý ngha thc t Cu trỳc ca lun Ngoi phn mc lc, m u v kt lun, lun gm chng: Chng C bn v hm li m rng Chng Hm Type-I m rng v cỏc hm liờn quan Chng i ngu ca bi toỏn ti u vector li m rng Footer Page of 126 3 Header Page of 126 Chng C bn v hm li m rng 1.1 Hm li v hm li m rng nh ngha 1.1.1 Tp X ca Rn l li nu mi x1 , x2 X v < < 1, ta cú x1 + (1 )x2 X nh ngha 1.1.2 Hm f : X R xỏc nh trờn li X ca Rn c gi l li nu cho bt k x1 , x2 X v < < 1, ta cú f (x1 + (1 )x2 ) f (x1 ) + (1 )f (x2 ) Nu ta cú bt ng thc cht vi mi x1 = x2 nh ngha trờn thỡ hm f c gi l hm li cht nh ngha 1.1.3 Hm f : X R c gi l ta-li trờn X nu f (x) f (y) f (x + (1 )y) f (y), x, y X, [0; 1] hoc tng ng f (x + (1 )y) max{f (x), f (y)}, x, y X, [0; 1] nh ngha 1.1.4 Hm f : X R kh vi c gi l ta-li trờn X nu f (x) f (y) (x y)f (y) 0, x, y X Chỳ ý 1.1.1 Mt tớnh cht quan trng ca hm li kh vi l bt kỡ im dng no cng l im cc tiu ton cc nh ngha 1.1.5 Cho f : X R l kh vi trờn m X Rn lỳc ú f c gi l gi-li trờn X nu f (x) < f (y) (x y)f (y) < 0, x, y X hoc tng ng nu (x y)f (y) f (x) f (y), x, y X Footer Page of 126 4 Header Page of 126 nh ngha 1.1.6 Hm f : X R kh vi trờn m X Rn l gi li cht trờn X nu f (x) f (y) (x y)f (y) < 0, x, y X, x = y hoc tng ng nu (x y)f (y) f (x) > f (y), x, y X, x = y Cỏc hm li úng mt vai trũ quan trng lý thuyt ti u Bi toỏn ti u: Min f (x), vi mi x X Rn , v..k g(x) 0, c gi l qui hoch li nu cỏc hm liờn quan l li trờn X ca Rn 1.2 Hm Invex v cỏc hm m rng nh ngha 1.2.1 Mt hm kh vi f : X R, X l m ca Rn , c gi l Invex trờn X i vi nu tn ti hm giỏ tr vector : X ì X Rn cho f (x) f (y) T (x, y)f (y), x, y X Tờn "Invex" Craven (1981) t, l vit tt ca cm t "invariant covex" Tng t, f c gi l gi-Invex trờn X i vi nu tn ti hm giỏ tr vector : X ì X Rn cho T (x, y)f (y) f (x) f (y), x, y X Hm f : X R, X m ca Rn , c gi l ta Invex trờn X i vi nu tn ti hm giỏ tr vector : X ì X Rn cho f (x) f (y) T (x, y)f (y) 0, x, y X nh lý 1.2.1 (Ben-Israel v mond (1986)) Cho hm f : X R l kh vi trờn m X Rn , ú f l Invex nu v ch nu mi im dng ca f l mt im cc tiu ton cc ca f trờn X nh ngha 1.2.2 Hm f : X R c gi l Pre-Invex (Invex khụng kh vi) trờn X nu tn ti mt hm vector : X ì X Rn cho (y + (x, y)) X, [0; 1], x, y X v f (y + (x, y)) f (x) + (1 )f (y), [0; 1], x, y X Footer Page of 126 5 Header Page of 126 1.3 Hm Type-I v cỏc hm liờn quan Hanson v Mond ó a hai lp hm mi, hai lp hm ny khụng ch m cũn cn cho tớnh ti u cỏc bi toỏn gc v bi toỏn i ngu tng ng Cho P = {x : x X, g(x) 0} v D = {x : (x, y) Y }, ú Y = {(x, y) : x X, y Rm , x f (x) + y T x g(x) = 0; y 0} nh ngha 1.3.1 f (x) v g(x) ln lt l hm mc tiờu v hm rng buc Type I i vi (x) ti x nu tn ti mt hm vector (x) : X ì X Rn cho [x f ( x)]T (x, x), x P f (x) f ( x) v [x g( x)]T (x, x), x P g( x) Hm mc tiờu v hm rng buc f (x) v g(x) c gi l Type I cht nu ta cú cỏc bt ng thc cht nh ngha trờn nh ngha 1.3.2 f (x) v g(x) l hm mc tiờu v hm rng buc Type II tng ng, i vi (x) ti x nu tn ti mt hm vector (x) : X ì X Rn cho [x f (x)]T (x, x), x P f ( x) f (x) v g(x) [x g(x)]T (x, x), x P Hm mc tiờu v hm rng buc f (x) v g(x) c gi l Type II cht nu ta cú cỏc bt ng thc cht nh ngha trờn nh ngha 1.3.3 Hm mc tiờu v hm rng buc Pseudo-Type-I nh ngha 1.3.4 Hm mc tiờu v hm rng buc Quasi-Type-I nh ngha 1.3.5 Cỏc hm f (x) v g(x) ln lt l hm mc tiờu v hm rng buc Quasi-Pseudo-Type-I tng ng, i vi (x) ti x nu tn ti mt hm n vector (x) : X ì X R cho f (x) f ( x) [x f ( x)]T (x, x) 0, x P v [x g(x)]T (x, x) g(x) 0, x P nh ngha 1.3.6 Cỏc hm f (x) v g(x) ln lt l hm mc tiờu v hm rng buc Pseudo-Quasi-Type-I tng ng, i vi (x) ti x nu tn ti mt hm n vector (x) : X ì X R cho [x f ( x)]T (x, x) f (x) f ( x) 0, x P v g(x) Footer Page of 126 [x g(x)]T (x, x) 0, x P Header Page of 126 1.4 Hm Univex v cỏc hm liờn quan Cho f l hm kh vi xỏc nh trờn mt ỉ = X Rn v cho b : X ì X ì [0, 1] R+ , : R R v k : X ì X R+ Cho x, x X , chỳng ta kớ hiu k(x, x) = lim b(x, x, ) 0 nh ngha 1.4.1 Hm f c gi l B -Invex i vi v k ti x nu x X , ta cú k(x, x)[f (x) f ( x)] [x f ( x)]T (x, x) nh ngha 1.4.2 Hm f c gi l Univex i vi , v k ti x nu x X , ta cú k(x, x)(f (x) f ( x)) [x f ( x)]T (x, x) nh ngha 1.4.3 Hm f l Quasi-Univex nh ngha 1.4.4 Hm f l Pseudo-Univex 1.5 Hm V-Invex v cỏc hm liờn quan Jeyakumar and Mond (1992) ó gii thiu khỏi nim ca hm V-Invex cho mt hm vector f = (f1 , f2 , , fp ), v cỏc ng dng ca nú cho cỏc bi toỏn ti u a mc tiờu b rng buc, nh sau: nh ngha 1.5.1 Hm vector f : X Rp c gi l V-Invex nu tn ti cỏc hm : X ì X Rn v i : X ì X R+ {0} cho mi x, x X v cho i = 1, 2, p, fi (x) fi ( x) i (x, x)fi ( x)(x, x) nh ngha 1.5.2 Bi toỏn ti u vector: (VP) V-min(f1 , f2 , , fp ) v..k g(x) 0, ú fi : X R, i = 1, 2, , p v g : X Rm l cỏc hm kh vi trờn X c gi l bi toỏn ti u vector V-Invex nu mi f = (f1 , f2 , , fp ) v g = (g1 , g2 , , gm ) l mt hm V-Invex nh ngha di õy l m rng t tớnh Invex-Type-I vụ hng sang tớnh Invex vector nh ngha 1.5.3 Bi toỏn vector (VP) c gi l V-Type-I ti x X nu tn ti cỏc hm giỏ tr thc dng i v j c nh ngha trờn X ì X v mt hm vector giỏ tr : X ì X Rn cho fi (x) fi ( x) i (x, x)fi ( x)(x, x) v gi ( x) j (x, x)gj ( x)(x, x), Vi mi x X v cho mi i = 1, 2, , p v j = 1, 2, , m Footer Page of 126 7 Header Page of 126 Chng Hm Type-I m rng v cỏc hm liờn quan 2.1 Hm Type-I Univex m rng Chỳng ta nh ngha bi toỏn Type-I Univex m rng.Trong nh ngha sau, b0 , b1 : X ì X ì [0, 1] R+ , b(x, a) = lim b(x, a, ) 0, v b khụng ph thuc vo nu cỏc hm s kh vi , : R R v : X ì X Rn l mt hm giỏ tr vector n-chiu Xột bi toỏn quy hoch a mc tiờu sau: (VP) Min f (x) v..k g(x) 0, x X ú f : X Rk , g : X Rm , X l m khỏc rng ca Rn nh ngha 2.1.1 Ta gi bi toỏn (V P ) l Pseudo-Type-I Univex cht yu ti a X0 nu tn ti hm giỏ tr thc b0 , b1 , , v cho b0 (x, a)0 (f (x) f (a)) (f (a))(x, a) < 0, b1 (x, a)1 (g(a)) (g(a))(x, a) 0, cho mi x X0 v vi mi i = 1, , p v j = 1, , m Nu (V P ) l Pseudo-Type-I Univex cht yu ti mi a X , ta núi (V P ) l Pseudo-Type-I Univex cht yu trờn X Nu nh ngha trờn ta t b0 (x, a) = = b1 (x, a), v nh nhng hm ng nht, Chỳng ta c Pseudo-quasi-Type-I cht yu nh ngha 2.1.2 Ta gi bi toỏn (V P ) l Pseudo-quasi-Type-I Univex mnh ti a X0 nu tn ti hm giỏ tr thc b0 , b1 , , v cho b0 (x, a)0 (f (x) f (a)) (f (a))(x, a) 0, b1 (x, a)1 (g(a)) Footer Page of 126 (g(a))(x, a) 0, Header Page of 126 cho mi x X0 v vi mi i = 1, , p v j = 1, , m Nu (V P ) l pseudo-quasi-Type-I Univex mnh ti mi a X , ta núi (V P ) l Pseudo-quasi-Type-I Univex mnh trờn X nh ngha 2.1.3 Ta gi bi toỏn (V P ) l quasi-Pseudo-Type-I Univex cht yu ng vi b0 , b1 , , v ti a X0 Nu tn ti mt hm giỏ tr thc b0 , b1 , , v cho b0 (x, a)0 (f (x) f (a)) (f (a))(x, a) b1 (x, a)1 (g(a)) 0, (g(a))(x, a) 0, cho mi x X0 v vi mi i = 1, , p v j = 1, , m Nu (V P ) l quasi-Pseudo-Type-I univex cht yu ti mi a X , ta núi (V P ) l quasi-Pseudo-Type-I univex cht yu trờn X nh ngha 2.1.4 Ta gi bi toỏn (V P ) l Pseudo-Type-I Univex cht yu ng vi b0 , b1 , , v ti a X0 nu tn ti hm giỏ tr thc b0 , b1 , , v cho b0 (x, a)0 (f (x) f (a)) (f (a))(x, a) < 0, b1 (x, a)1 (g(a)) (g(a))(x, a) < 0, cho mi x X0 v vi mi i = 1, , p v j = 1, , m Nu (V P ) l Pseudo-Type-I Univex cht yu ti mi a X , ta núi (V P ) l Pseudo-Type-I Univex cht yu trờn X Vớ d 2.1.1 - 2.1.3 v cỏc hm Type-I Univex m rng 2.2 Hm d-Type-I khụng kh vi v cỏc hm liờn quan Xột bi toỏn ti u vector sau: (P) Min f (x) v..k g(x) 0, x X , ú f : X Rk , g : X Rm , X l m khỏc rng ca Rn , : X ì X Rn l hm vector.f (u, (x, u)) l ký hiu o hm ca f theo hng (x, u), f (u, (x, u)) = lim+ [f (u + (x, u)) f (u)] v ký hiu tng t c to cho g(u, (x, u)) Cho D = {x X : g(x) 0} l tt c cỏc giỏ tr chp nhn c ca bi toỏn (P ) v ký hiu I = {1, , k}, M = {1, 2, , m} l cỏc ch s J(x) = {j M : gj (x) = 0} v J(x) = {j M : gj (x) < 0} Nú hin nhiờn rng J(x) J(x) = M Trong cỏc nh ngha sau, b0 , b1 : X ì X ì [0, 1] R+ , , : R R v : X ì X Rn l mt hm giỏ tr vector n-chiu Footer Page of 126 9 Header Page 10 of 126 nh ngha 2.2.1 f c gi l d-Univex i vi b0 , v ti u X nu tn ti b0 , v vi mi x X cho b0 (x, u)0 (f (x) f (u)) f (u, (x, u)) nh ngha 2.2.2 f c gi l pseudo d-Univex cht yu i vi b0 , v ti u X nu tn ti b0 , v vi mi x X cho b0 (x, u)0 (f (x) f (u)) f (u, (x, u)) < nh ngha 2.2.3 f c gi l pseudo d-Univex mnh i vi b0 , v ti u X nu tn ti b0 , v vi mi x X cho b0 (x, u)0 (f (x) f (u)) f (u, (x, u)) nh ngha 2.2.4 f c gi l quasi d-Univex yu i vi b0 , v ti u X nu tn ti b0 , v vi mi x X cho b0 (x, u)0 (f (x) f (u)) f (u, (x, u)) nh ngha 2.2.5 f c gi l pseudo d-Univex yu i vi b0 , v ti u X nu tn ti b0 , v vi mi x X cho b0 (x, u)0 (f (x) f (u)) < f (u, (x, u)) nh ngha 2.2.6 f c gi l quasi d-Univex mnh i vi b0 , v ti u X nu tn ti b0 , v vi mi x X cho b0 (x, u)0 (f (x) f (u)) f (u, (x, u)) nh ngha 2.2.7 (f, g) c gi l d-Type-I Univex i vi b0 , b1 , , v ti u X nu tn ti b0 , b1 , , v vi mi x X cho b0 (x, u)0 (f (x) f (u)) f (u, (x, u)) v b1 (x, u)0 (g(u)) g (u, (x, u)) nh ngha 2.2.8 (f, g) c gi l Pseudo-quasi-d-Type-I Univex cht yu i vi b0 , b1 , , v ti u X nu tn ti b0 , b1 , , v vi mi x X cho b0 (x, u)0 (f (x) f (u)) f (u, (x, u)) < v b1 (x, u)0 (g(u)) g (u, (x, u)) nh ngha 2.2.9 (f, g) gi l Pseudo-quasi-d-Type-I Univex mnh i vi b0 , b1 , , v ti u X nu tn ti b0 , b1 , , v vi mi x X cho b0 (x, u)0 (f (x) f (u)) f (u, (x, u)) Footer Page 10 of 126 10 Header Page 11 of 126 v b1 (x, u)1 (g(u)) g (u, (x, u)) nh ngha 2.2.10 (f, g) c gi l quasi-Pseudo-d-Type-I Univex cht yu i vi b0 , b1 , , v ti u X nu tn ti b0 , b1 , , v vi mi x X cho b0 (x, u)0 (f (x) f (u)) f (u, (x, u)) v b1 (x, u)1 (g(u)) g (u, (x, u)) nh ngha 2.2.11 (f, g) c gi l Pseudo-d-Type-I Univex cht yu i vi b0 , b1 , , v ti u X nu tn ti b0 , b1 , , v vi mi x X cho b0 (x, u)0 (f (x) f (u)) f (u, (x, u)) < v b1 (x, u)1 (g(u)) 2.3 g (u, (x, u)) < Cỏc hm Type-I liờn thụng na a phng Gi s X0 Rn l mt v : X0 ì X0 : Rn l mt ng dng vector Ta núi rng X0 l Invex ti x X0 nu x + (x, x) X0 cho bt k x X v [0, 1] Ta núi rng X0 l Invex nu X0 l Invex ti bt k x X0 Ta nhn xột rng, nu (x, x ) = x x cho bt k x X0 Khi ú X0 l Invex ti x nu X0 l mt li ti x nh ngha 2.3.1 Ta núi rng X0 Rn l mt hỡnh - a phng ti x, x X0 , nu cho bt k x X0 , ú tn ti < a (x, x) cho x + (x, x) X0 vi bt k [0, a (x, x)] nh ngha 2.3.2 (Preda 1996) Gi s f : X0 Rn l mt hm, ú X0 Rn l mt hỡnh -a phng ti x X0 Ta núi rng f l: (a) Pre-Invex na a phng (slpi) ti x nu ỳng vi x v vi mi x X0 , ú tn ti mt s dng d (x, x ) a (x, x) cho f ( x + (x, x)) f (x) + (1 )f ( x) vi < < d (x, x) (b) quasi-Pre-invex na a phng (slqpi) ti x nu ỳng vi x v vi mi x X0 , ú tn ti mt s dng d (x, x) a (x, x) cho f (x) f ( x) v < < d (x, x) suy f ( x + (x, x)) f ( x) nh ngha 2.3.3 Gi s f : X0 Rn l mt hm, ú X0 Rn l mt hỡnh - a phng ti x X0 Ta núi rng, f l -na kh vi ti x nu + (df ) ( x, (x, x)) tn ti vi mi x X0 Khi ú Footer Page 11 of 126 11 Header Page 12 of 126 0+ (df )+ ( x, (x, x)) = lim [f ( x + (x, x)) f ( x)] (o hm ti x theo hng (x, x)) Nu f l -na kh vi ti bt k x X0 Khi ú f c gi l -na kh vi trờn X0 Chỳ ý 2.3.1 Cỏc hm c nh ngha trờn l kh vi 2.4 Hm Invex khụng trn v cỏc hm liờn quan 2.5 Hm Type-I v cỏc hm liờn quan khụng gian Banach Gi s E, F, v G l ba khụng gian Banach Xột bi toỏn quy hoch toỏn hc sau: (P) M in{f (x) : x C, g(x) K}, ú f v g l cỏc ỏnh x t E vo F v G tng ng, v C v K ln lc l hai hp ca E v G Clarke ó m rng o hm theo hng ca mt hm Lipschitz a phng t E vo R ging nh nh ngha 2.5.8 ti x theo hng vector d Ký hiu l f (x, d) (xem Clarke 1983), c cho bi (x ) f (x, d) = lim sup f (x+td)f t xx0 t0 Clarke ó m rng gradien ca ti x c cho bi ( x) = {x E : ( x, d) x , d , d X}, ú E l khụng gian tụ pụ i ngu ca E v ã, ã l ghộp nhõn i ngu Gi s C l mt khụng rng ca E v xột hm khong cỏch ca nú, ngha l, hm c (ã) : E R c nh ngha bng c (x) = inf { x c : c C} Hm khong cỏch thỡ khụng kh vi hu khp ni, nhng l Lipschitz a phng Gi s x C Mt vector d E c gi l tip xỳc vi C ti x nu c ( x, d) = Tp hp cỏc vector tip xỳc ti C ti x l mt nún li úng E , c gi (theo Clarke) nún tip xỳc ti C ti x v ký hiu l Tc ( x) nh ngha 2.5.1 Mt ỏnh x h : E G gi l ỏnh x Lipschitz compact mnh ti x E nu tn ti mt hm a mc tiờu R : E comp(G) (comp(G) l ca tt c cỏc compact nh chun ca G) v mt hm r : E ì E R+ tha cỏc iu kin sau: lim r(x, d) = 0; x x, d0 Footer Page 12 of 126 12 Header Page 13 of 126 Tn ti > cho t1 [h(x + td) h(x)] (d) + d r(x, t)BG , vi mi x x + BG v t (0, ), ú BG ký hiu l hỡnh cu úng xung tõm l gc ca G; R(0) = {0} v R l na liờn tc trờn nh ngha 2.5.2 Hm l Invex ti x C nh ngha 2.5.3 Hm f : E F v g : E G l Invex nh ngha 2.5.4 Cỏc hm Lipschitz a phng giỏ tr thc f : E R v g : E R c gi l Type-I ti x C , i vi C nu vi mi y C , tn ti (y, x) TC (x) cho f (y) f (x) f (x; (y, x)), g(x) g (x; (y, x)) nh ngha 2.5.5 (f, g) c gi l quasi-Type-I ti x C , i vi C nu vi mi y C , tn ti (y, x) TC (x) cho f (y) f (x) f (x; (y, x)) 0, g(x) g (x; (y, x)) nh ngha 2.5.6 (f, g) c gi l Pseudo-Type-I ti x C , i vi C nu vi mi y C , tn ti (y, x) TC (x) cho f (x; (y, x)) f (y) f (x), g (x; (y, x)) g(x) nh ngha 2.5.7 (f, g) c gi l quasi-Pseudo-Type-I ti x C , i vi C nu vi mi y C , tn ti (y, x) TC (x) cho f (y) f (x) f (x; (y, x)) 0, g (x; (y, x)) g(x) Nu nh ngha trờn, ta cú g (x; (y, x)) g(x) > Khi ú, ta núi rng (f, g) l quasi-Pseudo-Type-I cht ti x C nh ngha 2.5.8 (f, g) c gi l Pseudo-quasi-Type-I ti x C , i vi C nu vi mi y C , tn ti (y, x) TC (x) cho f (x; (y, x)) f (y) f (x), g(x) g (x; (y, x)) Chỳ ý 2.5.1 Ta s dng khỏi nim tớnh Invex suy rng ( Type-I, Pseudo-Type-I, quasi-Type-I, v v ) cho cỏc hm gia cỏc khụng gian Banach theo hng suy rng Chớnh thc, theo hng sau, ta núi f : E F v g : E G l Type-I, quasi-Type-I, Pseudo-Type-I, quasi-Pseudo-Type-I, Pseudo-quasi-Type-I ti x C nu u f v v g l Type-I, quasi-Type-I, Pseudo-Type-I, quasi-Pseudo-Type-I, Pseudo-quasi-Type-I, theo hng ca cỏc nh ngha 2.6.4, 2.6.5, 2.6.6, 2.6.7, 2.6.8, tng ng, vi mi u Q v v K Footer Page 13 of 126 13 Header Page 14 of 126 Chng i ngu ca bi toỏn ti u vector li m rng Khỏi nim i ngu cú tm quan trng nn tng quy hoch tuyn tớnh Nm 1961 Wolfe ó dựng cỏc iu kin ti u Kuhn - Tucker thit lp toỏn i ngu cho bi toỏn ti u phi tuyn theo tinh thn i ngu tuyn tớnh Ngha l xỏc nh mt bi toỏn ti u m giỏ tr hm mc tiờu l chn di giỏ tr hm mc tiờu ca bi toỏn ban u Nghim ti u ca bi toỏn i ngu suy c nghim ca bi toỏn ban u vi mt s iu kin c th Wolfe cng a khỏi nim i ngu yu, ngha l thờm iu kin li vo iu kin Kunh - Tucker thỡ nghim chp nhn c ca bi toỏn i ngu cho giỏ tr hm mc tiờu nh hn hoc bng giỏ tr hm mc tiờu ca mi nghim chp nhn c ca bi toỏn ban u Tớnh cht li suy rng úng vai trũ cc k to ln nghiờn cu lý thuyt i ngu Nm 1981 Mond v Weir ó a mt kiu i ngu da trờn i ngu Wolfe Tin b ca i ngu Mond-Weir nm ch hm mc tiờu ging nh hm mc tiờu ca bi toỏn gc v kt qu i ngu cú c vi iu kin ni rng hn so vi iu kin li ca Wolfe Trong chng ny, ta quy c cho cỏc vector Rn nh sau: x > y nu v ch nu xi > yi , i = 1, 2, n, x y nu v ch nu xi yi , i = 1, 2, n, x y nu v ch nu xi yi , i = 1, 2, n, nhng x = y 3.1 i ngu Mond-Weir cho bi toỏn ti u vector (VP) kh vi Xột bi toỏn ti u vector (VP) sau: (VP) M in f (x) = (f1 (x), , fp (x)) v..k Footer Page 14 of 126 g(x) 0, x X Rn , 14 Header Page 15 of 126 ú f : X Rp v g : X Rm l cỏc hm kh vi v X Rn l mt m Gi s X0 l tt c cỏc phng ỏn kh thi ca bi toỏn (VP) nh ngha 3.1.1 im x X c gi l phng ỏn hu hiu hay nghim Pareto ca (VP) nu khụng tn ti x X f (x) f ( x) Bi toỏn i ngu Mond-Weir ca bi toỏn (VP) l Max f (y) (MWD) f (y) + g(y) = 0, g(y) 0, 0, v e = 1; T ú e = (1, , 1) Rp Gi s Y l cỏc phng ỏn kh thi ca bi toỏn (MWD), ngha l v..k Y = {(y, , ) : f (y) + g(y) = 0, g(y) 0, Rp , Rm , 0} nh lý 3.1.1 (i ngu yu) Gi s rng (i) x X0 ; (ii) (y, , ) Y v > 0; (iii) Bi toỏn (VP) l Pseudo-quasi-Type-I Univex mnh ti y i vi b0 , b1 , , v ; (iv) u (u) v u (u) 0; (v) b0 (x, y) > 0, v b1 (x, y) Khi ú f (x) f (y) nh lý 3.1.2 (i ngu yu) Gi s rng (i) x X0 ; (ii) (y, , ) Y v 0; (iii) Bi toỏn (VP) l Pseudo-quasi-Type-I Univex cht yu ti y i vi b0 , b1 , , v ; (iv) u (u) v u (u) 0; (v) b0 (x, y) > 0, v b1 (x, y) Khi ú f (x) f (y) nh lý 3.1.3 (i ngu yu) Gi s rng (i) x X0 ; (ii) (y, , ) Y v 0; (iii) Bi toỏn (VP) l Pseudo-Type-I Univex cht yu ti y i vi b0 , b1 , , v ; (iv) u (u) v u (u) 0; (v) b0 (x, y) > 0, v b1 (x, y) Khi ú f (x) f (y) Footer Page 15 of 126 15 Header Page 16 of 126 nh lý 3.1.4 (i ngu mnh) Gi s x l mt phng ỏn hu hiu ca (VP) v x tha mt s xỏc nh rng buc ca (VP), ú tn ti Rp v Rm cho ( l phng ỏn kh thi ca (MWD) Nu mt cỏc x, , ) l phng nh lý 3.1.1 - 3.1.3 v i ngu yu c tha món, ú ( x, , ) ỏn hu hiu ca (MWD) 3.2 i ngu Mond-Weir tng quỏt cho bi toỏn ti u vector (VP) kh vi Xột bi toỏn ti u vector (VP) sau: (VP) M in f (x) = (f1 (x), , fp (x)) g(x) 0, x X Rn , ú f : X Rp v g : X Rm l cỏc hm kh vi v X Rn l mt m Gi s X0 l tt c cỏc phng ỏn kh thi ca bi toỏn (VP) Bi toỏn i ngu Mond-Weir tng quỏt ca bi toỏn (VP) l: v..k (GMWD) M ax f (y) + J0 gJ0 (y)e v..k f (y) + g(y) = Jt gJt (y) 0, t r (3.3) (3.4) 0, v e = 1; ú e = (1, , 1)T Rp v Jt , t r l cỏc phõn hoch ca M nh lý 3.2.1 (i ngu yu) Gi s rng vi mi x l phng ỏn kh thi ca (VP) v mi (y, , ) l phng ỏn kh thi ca (GMWD), ta cú (a) > 0, (f + J0 gJ0 (ã)e, Jt gJt (ã)) l Pseudo-quasi-Type-I Univex mnh ti y vi bt k t, t r i vi b0 , b1 , , v , vi , tng; (b) (f + J0 gJ0 (ã)e, Jt gJt (ã)) l Pseudo-quasi-Type-I Univex cht yu ti y vi bt k t, t r i vi b0 , b1 , , v , vi , tng; (c) (f + J0 gJ0 (ã)e, Jt gJt (ã)) l Pseudo-Type-I Univex cht yu ti y vi bt k t, t r i vi b0 , b1 , , v , vi , tng Khi ú f (x) f (y) + J0 gJ0 (y)e nh lý 3.2.2 (i ngu mnh) Cho x l mt phng ỏn hu hiu ca (VP) Rm cho v cho x tha iu kin Slater Khi ú tn ti Rp v l phng ỏn kh thi ca (GMWD) Nu bt k tớnh i ngu yu ( x, , ) l mt phng ỏn hu hiu ca nh lý 3.2.1 cũn ỳng, ú ( x, , ) (GMWD) Footer Page 16 of 126 16 Header Page 17 of 126 3.3 i ngu Mond-Weir cho bi toỏn ti u vector (P) khụng kh vi Xột bi toỏn ti u vector sau: Min f (x) v..k g(x) 0, x X , k m ú f : X R , g : X R , X l m khỏc rng ca Rn , : X ì X Rn l cỏc hm vector Ký hiu (u)] f (u, (x, u)) = lim+ [f (u+(x,u))f v ký hiu tng t cho g (u, (x, u)) (P) Cho D = {x X : g(x) 0} l tt c cỏc giỏ tr chp nhn c ca bi toỏn (P ) v Ký hiu I = {1, , k}, M = {1, 2, , m} l cỏc ch s J(x) = {j M : gj (x) = 0} v J(x) = {j M : gj (x) < 0} Nú hin nhiờn rng J(x) J(x) = M nh ngha 3.3.1 im x D c gi l phng ỏn hu hiu yu hay nghim Pareto yu ca (P) nu f (x) f ( x), x D nh ngha 3.3.2 im x D c gi l phng ỏn hu hiu yu a phng hay nghim Pareto yu a phng ca (P) nu tn ti mt lõn cn N ( x) ca x cho f (x) f ( x), x N ( x) D B 3.3.1 (iu kin ti u cn Karush-Kuhn-Tucker) Cho x l mt phng ỏn hu hiu Pareto yu ca (P) Gi s rng gj thỡ liờn tc vi j J( x), f v g l o hm theo hng ti x vi f ( x, (x, x)) v gJ(x) ( x, (x, x)) l cỏc hm Pre-Invex ca x trờn X Hn na, gi s rng g tha rng buc Slater suy m cho ( x, ) tha cỏc iu kin sau: rng ti x Khi ú tn ti R+ f ( x, (x, x)) + T g ( x, (x, x)) T g( x) = , g( x) 0, x X , (3.10) (3.11) (3.12) Bi toỏn i ngu ca bi toỏn (P) c xột dng Mond-Weir (1981): (MWD) Max f (y) = (f1 (y), f2 (y), , fk (y)) v..k ( T f + àT g )(y, (x, y)) 0, x D, àj gj (y) 0, j = 1, 2, , m, T e = 1, Rk+ , Rm +, k ú e = (1, 1, , 1) R Ký hiu W = {(y, , à) X ì Rk ì Rm : ( T f + àT g )(y, (x, y)) 0, àj gj (y) 0, j = 1, 2, , m, Rk+ , T e = 1, Rm +} l tt c cỏc phng ỏn kh thi ca (MWD) Trong sut phn ny, ta ký hiu prx W l chiu ca W lờn X Footer Page 17 of 126 (3.13) (3.14) (3.15) 17 Header Page 18 of 126 nh lý 3.3.1 (i ngu yu) Cho x v (y, , à) ln lt l cỏc phng ỏn kh thi tng ng ca (P) v (MWD) Hn na, ta gi s rng bt k mt cỏc iu kin sau c tha món: (a) (f, àT g) l Pseudo-quasi-d-Type-I Univex mnh ti y i vi v > 0; (b) (f, àT g) l Pseudo-quasi-d-Type-I Univex cht yu ti y i vi ; (c) (f, àT g ) l Pseudo-d-Type-I Univex cht yu ti y i vi ti y trờn D prx W Khi ú f (x) f (y) nh lý 3.3.2 (i ngu mnh) Cho x l mt phng ỏn hu hiu yu a phng hoc phng ỏn hu hiu yu ca (P) tha iu kin Slater suy rng, gi s f, g l kh vi theo hng ti x vi cỏc hm Pre-Invex f ( x, (x, x)), g ( x, (x, x)) trờn X v cho gj liờn tc vi j J( x) Khi ú tn ti Rm + cho ( x, 1, ) l kh thi ca (MWD) Nu tớnh i ngu yu gia (P) v (MWD) nh lý 3.3.1 tha món, ú ( x, 1, ) l mt phng ỏn hu hiu yu a phng ca (MWD) nh lý 3.3.3 (i ngu o) Cho ( y , , ) l mt phng ỏn hu hiu yu ca (MWD) Hn na, y D prx W, tha nh lớ 3.3.1, ú y l mt phng ỏn hu hiu yu ca (P) 3.4 i ngu Mond-Weir tng quỏt cho bi toỏn ti u vector (P) khụng kh vi Xột bi toỏn i ngu Mond-Weir tng quỏt ca bi toỏn (P) : Max (y, , à) = f (y) + àTJ0 gJ0 (y)e (GMWD) v..k ( T f + àT g )(y, (x, y)) 0, x D, àJt gJt (y) 0, t r, T e = 1, (3.28) (3.29) (3.30) Rk+ , Rm +, r l cỏc phõn hoch ca M v e = (1, 1, , 1) Rk ú Jt , t Ký hiu W = {(y, , à) X ì Rk ì Rm : ( T f + àT g )(y, (x, y)) 0, àj gj (y) 0, j = 1, 2, , m, Rk+ , T e = 1, Rm +} l tt c cỏc phng ỏn kh thi ca (GMWD) nh lý 3.4.1 (i ngu yu) Gi s x v (y, , à) ln lt l cỏc phng ỏn kh thi ca (P) v (GMWD) tng ng Nu cú bt k mt cỏc iu kin sau: (a) > 0, (f + àJ0 gJ0 , àJt gJt ) l Pseudo-d-Type-I Univex mnh ti y D prx W , i vi , t, t r; Footer Page 18 of 126 18 Header Page 19 of 126 (b) (f + àJ0 gJ0 , àJt gJt ) l Pseudo-quasi-d-Type-I Univex cht yu ti y D prx W , i vi , t, t r; (c) (f + àJ0 gJ0 , àJt gJt ) l Pseudo-d-Type-I Univex cht yu ti y D prx W , i vi , t, t r Khi ú f (x) (y, , à) nh lý 3.4.2 (i ngu mnh) Cho x l mt nghim hu hiu yu a phng hoc nghim hu hiu yu ca (P) v iu kin Slater suy rng c tha món, cho f v g l kh vi theo hng ti x v f ( x, (x, x)) v g ( x, (x, x)) l hm m Preinvex trờn X , cho gj l liờn tc vi j J( x) Khi ú tn ti R+ cho ( x, 1, ) l kh thi ca (GMWD) Hn na, nu i ngu yu gia (P) v (GMWD) nh lý 3.4.1 tha món, thỡ ( x, 1, ) l mt nghim hu hiu yu a phng hoc mt nghim hu hiu yu ca (GMWD) 3.5 i ngu Mond-Weir cho bi toỏn ti u vector (P) khụng kh vi cú hm d-Univex Bi toỏn i ngu ca bi toỏn (P) c xột dng Mond-Weir (1981): (MWD) Max f (y) = (f1 (y), f2 (y), , fk (y)) v..k ( T f + àT g )(y, (x, y)) 0, x D, àj gj (y) 0, j = 1, 2, , m, T e = 1, (3.36) (3.37) (3.38) Rk+ , Rm +, k ú e = (1, 1, , 1) R Ký hiu W = {(y, , à) X ì Rk ì Rm : ( T f + àT g )(y, (x, y)) 0, àj gj (y) 0, j = 1, 2, , m, Rk+ , T e = 1, Rm +} l tt c cỏc phng ỏn kh thi ca (MWD) Ký hiu prx W l chiu ca W lờn X Chỳ ý 3.5.1 (cũn cú) nh lý 3.5.1 (i ngu yu); nh lý 3.5.2 (i ngu mnh); nh lý 3.5.3 (i ngu o) th hin mi quan h gia nghim bi toỏn gc v nghim bi toỏn i ngu ca nú 3.6 i ngu Mond-Weir tng quỏt cho bi toỏn ti u vector (P) khụng kh vi cú hm d-Univex Xột bi toỏn i ngu Mond-Weir tng quỏt ca bi toỏn (P) : (GMWD) Footer Page 19 of 126 Max (y, , à) = f (y) + àTJ0 gJ0 (y)e 19 Header Page 20 of 126 v..k ( T f + àT g )(y, (x, y)) 0, x D, àJt gJt (y) 0, t r, T e = 1, (3.51) (3.52) (3.53) Rk+ , Rm +, r l cỏc phõn hoch ca M v e = (1, 1, , 1) Rk Ký ú Jt , t hiu W = {(y, , à) X ì Rk ì Rm : ( T f + àT g )(y, (x, y)) 0, àj gj (y) 0, j = 1, 2, , m, Rk+ , T e = 1, Rm +} l tt c cỏc phng ỏn kh thi ca (GMWD) Chỳ ý 3.6.1 (cũn cú) nh lý 3.6.1 (i ngu yu); nh lý 3.6.2 (i ngu mnh) th hin mi quan h gia nghim bi toỏn gc v nghim bi toỏn i ngu ca nú 3.7 i ngu Mond-Weir cho bi toỏn ti u vector (P) khụng kh vi cú hm d-Type-I-Univex Bi toỏn i ngu ca bi toỏn (P) c xột dng Mond-Weir (1981): (MWD) Max f (y) = (f1 (y), f2 (y), , fk (y)) v..k ( T f + àT g )(y, (x, y)) 0, x D, àj gj (y) 0, j = 1, 2, , m, T e = 1, (3.59) (3.60) (3.61) Rk+ , Rm +, k ú e = (1, 1, , 1) R Ký hiu W = {(y, , à) X ì Rk ì Rm : ( T f + àT g )(y, (x, y)) 0, àj gj (y) 0, j = 1, 2, , m, Rk+ , T e = 1, Rm +} l tt c cỏc phng ỏn kh thi ca (MWD) Ký hiu prx W l chiu ca W lờn X nh lý 3.7.1 (i ngu yu) Cho x v (y, , à) ln lt l cỏc phng ỏn kh thi ca (P) v (MWD) tng ng Gi s cú mt cỏc iu kin sau: (a) f l Pseudo-d-Univex mnh ti y trờn D prx W i vi b0 , v vi > 0, b0 > 0, a (a) v àT g l quasi-d-Univex ti y trờn D prx W i vi b1 , v vi > 0, a (a) 0; (b) f l Pseudo-d-Univex cht yu ti y trờn D prx W i vi b0 , v vi b0 0, a (a) v àT g l quasi-d-Univex ti y trờn D prx W i vi b1 , v vi a (a) (c) f l Pseudo-d-Univex cht yu ti y trờn D prx W i vi b0 , v vi b0 0, a (a) v àT g l quasi-d-Univex cht ti y trờn D prx W i vi b1 , v vi a (a) Footer Page 20 of 126 20 Header Page 21 of 126 Khi ú f (x) f (y) nh lý 3.7.2 (i ngu mnh) Cho x l mt nghim hu hiu yu a phng hoc nghim hu hiu yu ca (P) v iu kin Slater suy rng c tha món, cho (f, g) l kh vi theo hng ti x vi f ( x, (x, x)) v g ( x, (x, x)) l hm Preinvex trờn X , cho gj l liờn tc vi j J( x) Khi ú tn ti Rm + cho ( x, 1, ) l kh thi ca (MWD) Hn na, nu i ngu yu gia (P) v (MWD) nh lý 3.5.1 tha món, ú ( x, 1, ) l mt nghim hu hiu yu a phng ca (MWD) nh lý 3.7.3 (i ngu o) Cho ( y , , ) l mt nghim hu hiu yu ca (MWD) Nu gi thuyt ca nh lý 3.5.1 tha ti y D prx W, ú y l mt nghim hu hiu yu ca (P) 3.8 i ngu Mond-Weir tng quỏt cho bi toỏn ti u vector (P) khụng kh vi cú hm d-Type-I-Univex Xột bi toỏn i ngu Mond-Weir tng quỏt ca bi toỏn (P) : Max (y, , à) = f (y) + àTJ0 gJ0 (y)e (GMWD) v..k ( T f + àT g )(y, (x, y)) àJt gJt (y) 0, t r, T e = 1, 0, x D, (3.74) (3.75) (3.76) Rk+ , Rm +, r l cỏc phõn hoch ca M v e = (1, 1, , 1) Rk Ký ú Jt , t hiu W = {(y, , à) X ì Rk ì Rm : ( T f + àT g )(y, (x, y)) 0, àj gj (y) 0, j = 1, 2, , m, Rk+ , T e = 1, Rm +} l tt c cỏc phng ỏn kh thi ca (GMWD) nh lý 3.8.1 (i ngu yu) Gi s x v (y, , à) ln lt l cỏc phng ỏn kh thi ca (P) v (GMWD) tng ng Gi s rng mt cỏc iu kin sau c gi: (a) > 0, f + àJ0 gJ0 l Pseudo-d-Univex mnh v àJt gJt l quasi-d-Univex ti y D prx W , i vi b0 , b1 , , , vi b0 > 0, > 0, a 0, (a) 0, v a (a) 0, t, t r; (b) > 0, f + àJ0 gJ0 l Pseudo-d-Univex cht yu v àJt gJt l quasi-d-Univex ti y D prx W , i vi b0 , b1 , , , vi b0 0, a 0, (a) 0, v a (a) 0, t, t r; (c) > 0, f + àJ0 gJ0 l Pseudo-d-Univex cht yu v àJt gJt l quasi-d-Univex cht ti y D prx W , i vi b0 , b1 , , , vi b0 0, a 0, (a) 0, v a (a) 0, t, t r Footer Page 21 of 126 21 Header Page 22 of 126 Khi ú f (x) (y, , à) nh lý 3.8.2 (i ngu mnh) Cho x l mt nghim hu hiu yu a phng hoc nghim hu hiu yu ca (P) v iu kin Slater suy rng c tha món, cho f ,g l kh vi theo hng ti x v f ( x, (x, x)) v g ( x, (x, x)) l cỏc hm Pre-Invex trờn X , v cho gj l liờn tc vi j J( x) Khi ú tn ti Rm + cho ( x, 1, ) l kh thi ca (GMWD) Hn na, nu i ngu yu gia (P) v (GMWD) nh lý 3.8.1 tha món, ú ( x, 1, ) l mt nghim hu hiu yu a phng ca (GMWD) 3.9 i ngu Mond-Weir cho bi toỏn ti u vector (VP) khụng kh vi Trong phn ny ta xột mt vi kt qu i ngu ca bi toỏn ti u vector khụng kh vi s dng o hm Clarke Xột cp bi toỏn ti u vector sau: (VP) Min f (x) = (f1 (x), , fp (x)) v..k g(x) 0, j = 1, , m, (VD) Max f (u) = (f1 (u), , fp (u)) p v..k ài c fi (u) + i=1 m j c gj (u), (3.82) j=1 j gj (u) 0, j = 1, , m, (à1 , , àp , , , m ) 0, (3.83) (3.84) ú fi : X R, i = 1, , p v gj : X R, j = 1, , m, l cỏc cỏc hm Lipschitz a phng nh lý 3.9.1 (i ngu yu) Gi s rng (f, g) l Pseudo-Type-I cht yu i vi Sau ú, cho x l phng ỏn kh thi bt k ca (VP) v (u, à, ) l phng ỏn kh thi bt k ca (VD) Khi ú f (x) f (u) nh lý 3.9.2 (i ngu yu) Gi s rng (f, g) l Pseudo-Type-I Univex cht yu i vi , b0 > 0, b1 0, v l tng Sau ú, cho x l phng ỏn kh thi bt k ca (VP) v (u, à, ) l phng ỏn kh thi bt k ca (VD) Khi ú f (x) f (u) nh lý 3.9.3 (i ngu mnh) Cho x l mt phng ỏn hu hiu ca (VP) p m l mt phng ỏn kh thi Khi ú, tn ti R v R cho ( x, , ) ca (VD) v giỏ tr mc tiờu ca chỳng thỡ ging Hn na, nu (f, g) l l mt phng ỏn hu hiu Pseudo-Type-I cht yu i vi , ú ( x, , ) yu ca (VD) Footer Page 22 of 126 22 Header Page 23 of 126 nh lý 3.9.4 (i ngu mnh) Cho x l mt phng ỏn hu hiu yu ca p m l mt phng ỏn kh (VP) Khi ú, tn ti R v R cho ( x, , ) thi ca (VD) v giỏ tr mc tiờu ca chỳng thỡ ging Hn na, Nu (f, g) l l Pseudo-Type-I Univex cht yu i vi , b0 , b1 , v , ú ( x, , ) mt phng ỏn hu hiu yu ca (VD) 3.10 i ngu cho bi toỏn ti u vector (P) khụng gian Banach Bi toỏn ti u vector tng quỏt c nh ngha l (P) Min {f (x) : x C, g(x) K} ú f : E F v g : E G l Lipschitz compact mnh ti x0 E, K G l mt im nún li úng vi phn khụng rng, v C l mt khỏc rng ca E Cho biu th ca tt c cỏc phng ỏn kh thi ca bi toỏn (P), gi s l khụng rng, ú l: = {x C : g(x) 0} = Mnh 3.10.1 Nu x0 l phng ỏn hu hiu yu ca (P), khớ ú cú tn ti mt cp vector khỏc khụng (u , v ) Q ì K cho, vi k > 0, (u f + v g + kc )(x0 ), v , g(x0 ) = Ta gi s rng gii hn ca bi toỏn (P) tha iu kin Slater Xột bi toỏn i ngu ca bi toỏn (P) sau: (D) Max f (w) v..k w C, u Q , u = 0, v K , v , g(w) 0, 0g (u f + v g + kc )(w) Chỳ ý 3.10.1 (cũn cú) nh lý 3.10.1 (i ngu yu); nh lý 3.10.2 (i ngu yu); nh lý 3.10.3 (i ngu yu); nh lý 3.10.4 (i ngu mnh); nh lý 3.10.5 (i ngu mnh); nh lý 3.10.6 (i ngu mnh) 3.11 i ngu cho bi toỏn ti u phõn thc (P) Bi toỏn ti u phõn thc (P) l (P) (x,y) Min F (x) = sup fh(x,y) yY v..k g(x) 0, ú Y l mt compact ca Rm , f (ã, ã) v h(ã, ã) : Rn ì Rm R l cỏc hm kh vi vi f (x, y) v h(x, y) > 0, v g(ã, ã) : Rn Rp l mt hm kh vi Ký hiu Footer Page 23 of 126 23 Header Page 24 of 126 Y (x) = y Y : f (x,y) h(x,y) (x,y) = sup fh(x,y) , J = {1, 2, , p}, J(x) = {j J : gj (x) = yY 0} v K = {(s, t, y) N ì Rs+ ì Rms : n + 1, t = (t1 , , ts ) Rs+ vi s s ti = v y = (y1 , , ys ) v yi Y (x), i = 1, , s} i=1 B 3.11.1 (Chandra v Kumar, 1995) Cho x l mt phng ỏn ti u ca (P) v cho gj (x ), j J(x ) l c lp tuyn tớnh Khi ú tn ti (s , t , y) K , v R, v Rp+ cho s ti {f (x , yi ) vh(x , yi )} + p àj gj (x ) = 0, (3.97) j=1 i=1 f (x , yi ) v h(x , yi ) = 0, i = 1, , s , p (3.98) àj gj (x ) = (3.99) j=1 Xột bi toỏn i ngu ca bi toỏn (P) phõn thc sau: (D) M ax(s,t,y)K sup(z,t,y)H1 (s,t,y) V s m ti {f (z, yi ) vh(z, yi )} + v..k i=1 àj gj (z) = 0, (3.100) j=1 s ti {f (z, yi ) vh(z, yi )} (3.101) i=1 m àj gj (z) 0, (3.102) j=1 (s, t, y) K, ú, H1 (s, t, y) biu th ca tt c b ba (z, à, v) Rn ì Rp+ ì R+ tha (3.100)- (3.102) Cho mt b ba (s, t, y) K , nu H1 (s, t, y) l rng, ú ta nh ngha supremum trờn nú l Chỳ ý 3.11.1 (cũn cú) nh lý 3.11.1 (i ngu yu); nh lý 3.11.2 (i ngu yu); nh lý 3.11.3 (i ngu mnh); nh lý 3.11.4 (i ngu o cht) th hin mi quan h gia nghim bi toỏn gc v nghim bi toỏn i ngu ca nú Footer Page 24 of 126 24 Header Page 25 of 126 Kt lun T cỏc cụng trỡnh nghiờn cu cú liờn quan, chỳng tụi ó c gng kho sỏt, tng hp, sp xp mt cỏch cú h thng cỏc kt qu thu nhn c, chng minh v lm sỏng t mt s nh lớ quan trng v lớ thuyt i ngu ca mt s bi toỏn ti u vector li m rng dng i ngu Mond-Weir Ni dung chớnh ca lun nh sau: Trong chng h thng li mt s khỏi nim c bn v hm li v hm li m rng c th l: Hm li v cỏc hm m rng, hm Invex v cỏc hm m rng, hm Type-I v cỏc hm liờn quan, hm Univex v cỏc hm liờn quan, hm V-Invex v cỏc hm liờn quan Trong chng h thng li mt s khỏi nim v hm Type-I m rng v cỏc hm liờn quan c th l: Hm Type-I Univex m rng, hm d-Type-I khụng kh vi v cỏc hm liờn quan, cỏc hm Type-I liờn thụng na a phng, hm Invex khụng trn v cỏc hm liờn quan, hm Type-I v cỏc hm liờn quan khụng gian Banach Trong chng ti a mt s dng i ngu mi cho bi toỏn ti u vector li m rng v mt vi nh lý i ngu yu, i ngu mnh v i ngu o ca bi toỏn i ngu c th l: i ngu Mond-Weir (tng quỏt) cho bi toỏn ti u vector (VP) kh vi, i ngu Mond-Weir (tng quỏt) cho bi toỏn ti u vector (P) khụng kh vi, i ngu Mond-Weir (tng quỏt) cho bi toỏn ti u vector (P) khụng kh vi cú hm d-Univex, i ngu Mond-Weir (tng quỏt) cho bi toỏn ti u vector (P) khụng kh vi cú hm d-Type-I-Univex, i ngu Mond-Weir cho bi toỏn ti u vector (VP) khụng kh vi, i ngu cho bi toỏn ti u vector (P) khụng gian Banach, i ngu cho bi toỏn ti u phõn thc (P) Hy vng lun l ti liu tham kho hu ớch v ti u a mc tiờu Hng phỏt trin tip theo ca lun l: Nghiờn cu i ngu Mond-Weir cho bi toỏn ti u li m rng trờn khụng gian phc, t ú hiu sõu hn v lớ thuyt ti u a mc tiờu Footer Page 25 of 126  ... dạng đối ngẫu cho toán tối ưu vector lồi mở rộng vài định lý đối ngẫu yếu, đối ngẫu mạnh đối ngẫu đảo toán đối ngẫu cụ thể là: Đối ngẫu Mond-Weir (tổng quát) cho toán tối ưu vector (VP) khả vi, đối. .. tài: " Đối ngẫu toán tối ưu vector lồi mở rộng" với nội dung nghiên cứu dạng đối ngẫu cho toán tối ưu vector lồi mở rộng Có thể nói rõ hơn, qui hoạch lồi đóng vai trò lý thuyết tối ưu kết đối ngẫu, ... hàm lồi mở rộng Chương Hàm Type-I mở rộng hàm liên quan Chương Đối ngẫu toán tối ưu vector lồi mở rộng Footer Page of 126 3 Header Page of 126 Chương Cơ hàm lồi mở rộng 1.1 Hàm lồi hàm lồi mở rộng